2024屆吉林省“五地六校”高一數學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

2024屆吉林省“五地六?！备咭粩祵W第一學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．設，為平面向量，則“存在實數，使得”是“向量，共線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知集合，集合與的關系如圖所示，則集合可能是（）A. B.C. D.3．直線l通過兩直線7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交點，且點(5,1)到直線l的距離為，則直線l的方程是()A.3x＋y＋4＝0 B.3x－y＋4＝0C.3x－y－4＝0 D.x－3y－4＝04．下列函數，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是A. B.C. D.5．將函數的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖像向左平移個單位，得到的圖像對應的解析式為（）A. B.C. D.6．已知命題p：?n∈N，2n>2021．那么A.?n∈N，2n≤2021 B.?n∈NC.?n∈N，2n≤2021 D.?n∈N7．函數的零點所在的大致區(qū)間是A. B.C. D.8．已知函數，且在上的最大值為，若函數有四個不同的零點，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.9．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，10．若，，三點共線，則（）A. B.C. D.11．命題“，是4的倍數”的否定為（）A.，是4的倍數 B.，不是4的倍數C.，不是4的倍數 D.，不是4的倍數12．菱形ABCD在平面α內，PC⊥α，則PA與BD的位置關系是（）A.平行 B.相交但不垂直C.垂直相交 D.異面且垂直二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．直線3x+2y+5＝0在x軸上的截距為_____.14．在平面直角坐標系中，動點P到兩條直線與的距離之和等于2，則點P到坐標原點的距離的最小值為_________.15．函數的定義域為___16．已知且，則的最小值為______________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知（1）若函數f(x)的圖象過點（1，1），求不等式f(x)＜1的解集；（2）若函數只有一個零點，求實數a的取值范圍18．已知A（1，1）和圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1，一束光線從A發(fā)出，經x軸反射后到達圓C（1）求光線所走過的最短路徑長；（2）若P為圓C上任意一點，求x2+y2﹣2x﹣4y的最大值和最小值19．某國際性會議紀念章的一特許專營店銷售紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需向該會議的組織委員會交特許經營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時，該店一年可銷售2000枚，經過市場調研發(fā)現，每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上，每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現設每枚紀念章的銷售價格為元（每枚的銷售價格應為正整數）.（1）寫出該特許專營店一年內銷售這種紀念章所獲得的利潤（元）與每枚紀念章的銷售價格的函數關系式；（2）當每枚紀念章銷售價格為多少元時，該特許專營店一年內利潤（元）最大，并求出這個最大值；20．在直角坐標平面中，角α的始邊為x軸正半軸，終邊過點（-2，y），且tana=-，分別求y，sinα，cosα的值21．已知，（1）求和的值（2）求以及的值22．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求(1)A∪(B∩C)；(2)(?UB)∪(?UC)

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】結合充分條件和必要條件的概念以及向量共線即可判斷.【詳解】充分性：由共線定理即可判斷充分性成立；必要性：若，，則向量，共線，但不存在實數，使得，即必要性不成立.故選：A.2、D【解析】由圖可得，由選項即可判斷.【詳解】解：由圖可知：，，由選項可知：，故選：D.3、C【解析】交點坐標為，設直線方程為，即，則，解得，所以直線方程為，即，故選C點睛：首先利用點斜式設出直線，由距離公式求出斜率，解得直線方程．求直線的題型，基本方法是利用點斜式求直線方程，本題通過距離公式求斜率，寫出直線方程4、A【解析】由冪函數，指數函數與對數函數的性質可得【詳解】解：根據題意，依次分析選項：對于A，，其定義域為R，在R上既是奇函數又是增函數，符合題意；對于B，，是對數函數，不是奇函數，不符合題意；對于C，，為指數函數，不為奇函數；對于D，，為反比例函數，其定義域為，在其定義域上不是增函數，不符合題意；故選A【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性，是基礎題，掌握冪函數，指數函數與對數函數的性質是解題關鍵5、B【解析】由三角函數的平移變換即可得出答案.【詳解】函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得，再將所得的圖象向左平移個單位可得故選：B.6、A【解析】根據含有一個量詞命題否定的定義，即可得答案.【詳解】命題p：?n∈N，2n>2021的否定?p為：?n∈N，故選：A7、C【解析】分別求出的值，從而求出函數的零點所在的范圍【詳解】由題意，，，所以，所以函數的零點所在的大致區(qū)間是，故選C.【點睛】本題考察了函數的零點問題，根據零點定理求出即可，本題是一道基礎題8、B【解析】由在上最大值為，討論可求出，從而，若有4個零點，則函數與有4個交點，畫出圖象，結合圖象求解即可【詳解】若，則函數在上單調遞增，所以的最小值為，不合題意，則，要使函數在上的最大值為如果，即，則，解得，不合題意；若，即，則解得即，則如圖所示，若有4個零點，則函數與有4個交點，只有函數的圖象開口向上，即當與）有一個交點時，方程有一個根，得，此時函數有二個不同的零點，要使函數有四個不同的零點，與有兩個交點，則拋物線的圖象開口要比的圖象開口大，可得，所以，即實數a的取值范圍為故選：B【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數與方程的綜合應用，考查二次函數的性質的應用，考查數形結合的思想，解題的關鍵是由已知條件求出的值，然后將問題轉化為函數與有4個交點，畫出函數圖象，結合圖象求解即可，屬于較難題9、C【解析】根據含有一個量詞的命題的否定形式，全稱命題的否定是特稱命題，可得答案.【詳解】命題：“，”是全稱命題，它的否定是特稱命題：，，故選：C10、A【解析】先求出，從而可得關于的方程，故可求的值.【詳解】因為，，故，因為三點共線，故，故，故選：A.11、B【解析】根據特稱量詞命題的否定是全稱量詞命題即可求解【詳解】因為特稱量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以命題“，是4的倍數”的否定為“，不是4的倍數”故選：B12、D【解析】由菱形ABCD平面內,則對角線,又,可得平面,進而可得,又顯然，PA與BD不在同一平面內，可判斷其位置關系.【詳解】假設PA與BD共面，根據條件點和菱形ABCD都在平面內，這與條件相矛盾.故假設不成立，即PA與BD異面.又在菱形ABCD中，對角線，，，則且，所以平面平面.則,所以PA與BD異面且垂直.故選：D【點睛】本題考查異面直線的判定和垂直關系的證明,屬于基礎題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】直接令，即可求出【詳解】解：對直線令，得可得直線在軸上截距是，故答案：【點睛】本題主要考查截距的定義，需要熟練掌握，屬于基礎題14、【解析】∵3x﹣y=0與x+3y=0的互相垂直，且交點為原點，∴設點P到兩條直線的距離分別為a，b，則a≥0，b≥0，則a+b=2，即b=2﹣a≥0，得0≤a≤2，由勾股定理可知===，∵0≤a≤2，∴當a=1時，的距離，故答案為15、【解析】解不等式組即得解.【詳解】解：由題得且,所以函數的定義域為.故答案為：16、9【解析】因為且，所以取得等號，故函數的最小值為9.，答案為9.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）（－1，1）（2）a≥0或【解析】（1）將點（1，1）代入函數解析式中可求出的值，然后根據對數函數的單調性解不等式即可，（2）將問題轉化為只有一解，再轉化為關于x的方程ax2＋x＝1只有一個正根，然后分和分析求解【小問1詳解】∵函數的圖象過點（1，1），，解得此時由f(x)＜1，得，解得故f(x)＜1的解集為（－1，1）【小問2詳解】∵函數只有一個零點，只有一解，將代入ax＋1＞0，得x＞0，∴關于x的方程ax2＋x＝1只有一個正根當a＝0時，x＝1，滿足題意；當a≠0時，若ax2＋x－1＝0有兩個相等的實數根，由，解得，此時x＝2，滿足題意；若方程ax2＋x－1＝0有兩個相異實數根，則兩根之和與積均為，所以方程兩根只能異號，所以，a＞0，此時方程有一個正根，滿足題意綜上，a≥0或18、（1）；（2）最大值為11，最小值為﹣1【解析】(1)點關于x軸的對稱點在反射光線上,當反射光線從點經軸反射到圓周的路程最短,最短為;(2)將式子化簡得到,轉化為點點距,進而轉化為圓心到的距離,加減半徑,即可求得最值.【詳解】（1）關于x軸的對稱點為，由圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1得圓心坐標為C（﹣2，2），∴，即光線所走過的最短路徑長為；（2）x2+y2﹣2x﹣4y＝（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣5（x﹣1）2+（y﹣2）2表示圓C上一點P（x，y）到點（1，2）的距離的平方，由題意，得，因此，x2+y2﹣2x﹣4y的最大值為11，最小值為﹣1【點睛】本題考查最短路徑問題,以及圓外一點到圓上一點的距離的最值問題,屬于基礎題;求最短路徑時作對稱點,由兩點之間線段最短的原理確定長度,將圓外一點距離的最值轉化為點到圓心的距離和半徑之間的關系.19、（1）；（2），.【解析】（1）根據題意列函數關系式即可,需注意,當時,由題意不生產紀念章,故；（2）利用配方法分別求解不同條件下的最值,并進行比較即可,需注意每枚的銷售價格應為正整數【詳解】（1）依題意,得,整理可得（2）由（1）可得,當時,則當時,；當時,則當或時,；因為,則當時,【點睛】本題考查函數關系式在生活中的應用,考查配方法求最值,實際應用中要注意自變量的取值范圍20、.【解析】利用直接求出y的值；然后直接構造直角三角形利用即可得解【詳解】解：∵角α的始邊為x軸正半軸，終邊過點（-2，y），且tana=-=，∴y=1，∴sinα==，cosα==-【點睛】如果在單位圓中，可直接得出，在非單位圓則是，為圓的半徑21、（1），（2），【解析】（1）根據三角函數的基本關系式，準確運算，即可求解；（2）利用兩角差的正弦公式和兩角和的正切公式，準確運算，即可求解.【小問1詳解】因為，根據三角函數的基本關系式，可得，又因為，所以，且.【小問2詳解】由，和根據兩角差的正弦公式，可得，再結合兩角和的正切公式，可得22、（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2