2023年新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微07 數(shù)列（數(shù)學文化）（解析版）

專題07數(shù)列專題（數(shù)學文化）

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習）《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨

水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和

為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為（一丈=十尺=一百寸）（）.

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

【答案】B

【分析】十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成一個等差數(shù)列｛對｝,利用等差數(shù)列通項公式、前〃項和公式列出方程組，求

出首項和公差，由此能求出芒種日影長.

【詳解】由題意知：

.??從冬至日起，依次小寒、大寒等十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成一個等差數(shù)列僅“｝,設(shè)公差為d,

.,冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，

4+%+%=3。］+9d=315

°C9x8,0”，解得4=135,4=一10,

S9=94+-^-a=S55

芒1種日影長為42=4+""=135-11x10=25（寸）=2尺5寸.

故選：B

2.（2022秋?陜西咸陽?高二武功縣普集高級中學?？茧A段練習）河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)

為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計算，從第二層開

始，每層浮雕像的個數(shù)依次是下層個數(shù)的2倍，且第三層與第二層浮雕像個數(shù)的差是16,則該洞窟的浮雕像

的總個數(shù)為（）

A.1016B.512C.128D.1024

【答案】A

【分析】設(shè)從上到下第〃（〃eN*,l<n<7）層的浮雕像個數(shù)為為,分析可知數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，且公比為2,

根據(jù)已知條件求出％的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)從上到卜.第〃（〃eN*,14"47）層的浮雕像個數(shù)為句,

由題意可知，數(shù)列｛可｝為等比數(shù)列，且該數(shù)列的公比為2,

由已知可得〃3-〃2=24-〃2=16,可得出=16,故4=m?=&,

因此，該洞窟的浮雕像的總個數(shù)為止=8x127=1016.

1-2

故選：A.

3.（2022秋?廣東廣州?高二華南師大附中?？茧A段練習）《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一.書

中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的;是較小

的兩份之和，則最小的一份為（）

A.5B.10C.15D.30

【答案】B

【分析】設(shè)五個人所分得的面包為a-24,a-4,a,a+d,a+2d,（其中4>0）,則由總和為100可求

得。=20,再由較大的三份之和的g是較小的兩份之和，可得12d=3a,從而可求出d,進而可求出a-2d

【詳解】設(shè)五個人所分得的面包為。-2d,a-d,。,a+d,a+2d,（其中d>0）,

則有（a-2d）+-d）+Q+（a+d）+（a+2d）=5a=100,

a=20,

由a+a+d+a+2d=3（?！?d+a—d）,得3a+3d=3（2a3d）；

：A2d=3a,

：.d=5.

???最少的一份為2d=2（）—10=10.

故選：B

4.（2022?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預測）位于叢臺公園內(nèi)的武靈叢臺己經(jīng)成為邯鄲這座三千年古城的地標建筑，

叢臺上層建有據(jù)勝亭，其頂部結(jié)構(gòu)的一個側(cè)面中，自上而下第一層有2塊筒瓦，以下每一層均比上一層多2

塊筒瓦，如果側(cè)面共有11層筒瓦且頂部4個側(cè)面結(jié)構(gòu)完全相同，頂部結(jié)構(gòu)共有多少塊筒瓦？（）

A.440B.484C.528D.572

【答案】C

【分析】由題意知每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列由等差數(shù)列求和公式可求得每一面的筒瓦總數(shù)，由此可

得四個側(cè)面筒瓦總數(shù).

【詳解】；一個側(cè)面中，第一層筒瓦數(shù)記為2,自上而下，由于下面每一層比上一層多2塊筒瓦，

每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{4“},其中4=2,d=2.

?.?一個側(cè)面中共有11層筒瓦，,一個側(cè)面筒瓦總數(shù)是11x2+11x（11-1）x2=132，

2

，頂層四個側(cè)面筒瓦數(shù)總和為132x4=528.

故選：C.

5.（2023?全國?高三專題練習）如圖1,洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡的圖案，2014年正式入選國家級

非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中

的九宮格，將自然數(shù)1,2,3,…，/放置在〃行〃列（“23）的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對角

線上的數(shù)字之和（簡稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“〃階幻方洛書就是一個3階幻方，其

“幻和”為15.則7階幻方的“幻和”為（）

＜洛

五H

把

六

兌

H匕

八

既

慈N

九

'h

圖1圖2

A.91B.169C.175D.180

【答案】c

【分析】根據(jù)“幻和”的定義，將自然數(shù)1至/累加除以"即可得結(jié)果.

【詳解】由題意，7階幻方各行列和，即“幻和”為上專士上=175.

故選：C

6.（2022?全國?高三專題練習）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學

等領(lǐng)域有著非常廣泛的應用，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：4=%=1，

?！?%+4.2（〃23,幾￡4）.己知+%'是該數(shù)歹U的第[00項,則〃?=（）

4

A.98B.99

C.100D.101

【答案】B

【分析】根據(jù)題意推出=a2aA,a/=02a3—%4，L,a；=amam^-amam_x,

“I

利用累加法可得Zd=《,4川，即可求出m的值.

/=1

【詳解】由題意得，=a2a],因為。〃_|=〃〃-?！╛2，

2

得a2=a2（a3-a,）=a2a3—〃，

2

a3=a3（a4一%）=/4一%出,

L,

aaaa

m=冊（〃m+l-4吁1）=nflm+\~inm-\?

累加,得d+%2++a,^=amam+i,

222

因為“「+%-++",是該數(shù)列的第100項，

即4,小是該數(shù)列的第100項，所以m=99.

故選：B.

7.（2022春?河南南陽?高二校聯(lián)考階段練習）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示

的幾何體，后人稱之為“三角垛其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第50層

球的個數(shù)為（）

A.1255B.1265

C.1275D.1285

【答案】C

【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的個數(shù)與層數(shù)的關(guān)系，得到4=3羅，進而求解結(jié)

論.

【詳解】解：設(shè)各層球的個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{〃“},

由題意可知，4=1，/=4+2=1+2,生=/+3=1+2+3，…，an=an_{+/?=1+2+3+...+H,

故4=1+2+3+…+〃=

2

50x51

=1275,

2

故選：C.

8.（2022秋?江蘇南通?高三江蘇省如皋中學統(tǒng)考階段練習）1883年，德國數(shù)學家康托提出了三分康托集，

亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間OU平均分

12

成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間［0,1和［§［］：第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，

各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：［01］,?,白，耳,1］；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下

的各個區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷〃步構(gòu)造后，掌2021不屬于剩下的閉區(qū)間，則〃的最小值是（）.

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)三分康托集的構(gòu)造過程可知：經(jīng)歷第〃步，每個去掉的開區(qū)間以及留下的閉區(qū)間的區(qū)間長度都

是（gj,根據(jù)規(guī)律即可求出卷屬于1-2x（；）,進而根據(jù)不等式可求解.

【詳解】黑2021不屬于剩下的閉區(qū)間，2黑021屬于去掉的開區(qū)間

20222022

經(jīng)歷第1步，剩下的最后一個區(qū)間為g,1],經(jīng)歷第2步，剩下的最后一個區(qū)間為[1,1],

經(jīng)歷第〃步，剩下的最后一個區(qū)間為1-如,去掉的最后開區(qū)間為l-2x以-3

（黑化簡得4044>3〃

由l—2x解得〃=7

2022<3〃'

故選:A

9.（2022春?江蘇南通?高二統(tǒng)考期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.這種

方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2

后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所有3的倍數(shù);接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理;....

依次進行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到30的全部素數(shù)

過程中剔除的所有數(shù)的和為（）

A.333B.335C.337D.341

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出2到30的全部整數(shù)和，再求出2到30的全部素數(shù)和即可計算作答.

【詳解】2到30的全部整數(shù)和S產(chǎn)后29=464,2到30的全部素數(shù)和

S2=2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129,

所以剔除的所有數(shù)的和為464-129=335.

故選：B

10.（2022?全國?高三專題練習）談祥柏先生是我國著名的數(shù)學科普作家，在他的《好玩的數(shù)學》一書中,

有一篇文章《五分鐘挑出埃及分數(shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分數(shù)（稱為埃及分數(shù)）.則

下列埃及分數(shù)」、L「L、

的和7c()

1x33x55x72021x2023

2022「20231011c2023

A.----B.C.----D.----

2023202220231011

【答案】C

【分析】利用裂項相消法可求得結(jié)果.

2n-\2〃+1

2021x202322021~2023

212023J2023'

故選：C.

11.（2022春?四川資陽?高一統(tǒng)考期末）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，書中有這樣一個問題：九百九十

六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務要分明依次弟，孝和休惹外人傳.意為：

996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第二個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止.分

配時一定要長幼分明，使孝順子女的美德外傳.據(jù)此，前五個孩子共分得的棉花斤數(shù)為（）

A.362B.430C.495D.645

【答案】C

【分析】設(shè)這八個孩子分得棉花的斤數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列｛七｝，由題設(shè)求得其首項與公差，即可求得結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)這八個孩子分得棉花的斤數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列｛〃,,｝,

由題意知：公差1=17,

8x7

=

又6Z（+d-y+生+…+卬4———x17=996,得4=65,

故選：C.

12.（2022秋?江蘇淮安?高三校考階段練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.

十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、

申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，

天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推,

排列到“癸酉”后,天干回到“甲''重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始,即“丙子”，…，

以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（）

A.壬午年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年

【答案】A

【分析】將天干和地支分別看作等差數(shù)列，結(jié)合100+10=10,100+12=84,分別求出100年后天干為壬，

地支為午，得到答案.

【詳解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，

由于100+10=10,余數(shù)為0,故100年后天干為壬，

由于100+12=84,余數(shù)為4,故100年后地支為午，

綜上：100年后的2122年為壬午年.

故選：A

13.（2022秋?江蘇宿遷?高三沐陽縣建陵高級中學校考期中）南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法

通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所以論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并

不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛

積術(shù)”，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前6項分別為1,5,11,21,37,61,……則該數(shù)列的第8項為（）

A.99B.131C.139D.141

【答案】D

【分析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.

【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項為x,根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個數(shù)列，得到

的數(shù)列也用后一項減去前一項得到一個數(shù)列，即得到了一個等差數(shù)列，如圖：

1X/5VXII/2X1/37VX61/X/x

y-34=12fx=141

山圖可得x-95=y，則1y=46

故選：D

14.（2023春?廣西柳州?高三統(tǒng)考階段練習）《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責之

粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊羊主曰：“我羊食半馬馬主曰：“我馬食半牛今欲衰償之，問各出幾

何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾

苗只有羊的一半羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”

打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應賠償多少粟？在這個問題中，馬主人比豬主人多賠償了（）

4.

B.221

C.3D.

5~5

【答案】B

【分析】轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進行求解，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，求出馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù).

【詳解】由題意得：豬、羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)成等比數(shù)列，公比為2,

設(shè)豬的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為x,

3

則x+2x+4x+8x=9,解得：JC=-,

故馬主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為4x=?12,

1239

所以馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù)為=

故選：B

15.（2021秋?河南商丘?高二校聯(lián)考期中）《莉拉沃蒂》是古印度數(shù)學家婆什迦羅的數(shù)學名著，書中有下面的

表述：某王為奪得敵人的大象，第一天行軍2由旬（由旬為古印度長度單位），以后每天均比前一天多行相

同的路程，七天一共行軍80由旬到達地方城市.下列說法正確的是（）

10,7

A.前四天共行與由旬

B.最后三天共行53由旬

C.從第二天起，每天比前一天多行的路程為三23由旬

D.第三天行了三由旬

【答案】D

【分析】山題意，每天行軍的路程｛《,｝為等差數(shù)列，且4=2,4=80,利用基本量4/表示可得

d=學22，依次分析，即得解

【詳解】由題意，不妨設(shè)每天行軍的路程為數(shù)列｛4“｝，則4=2

又以后每天均比前一天多行相同的路程，故｛%｝構(gòu)成一個等差數(shù)列，不妨設(shè)公差為d

七天一共行軍80由旬，即￡=80

故S?=7q+-4=80,解得d=一

0,4x3,_188A也口

S4=4qH——d=—^―,AIH慶:

188372

+“6+47=S[_S*=80——=二7，B錯誤；

由于“=2?2，故從第二天起，每天比前一天多行的路程為2《2由旬，C錯誤；

77

2258

%=q+2d=2+2x—=—,D正確

77

故選：D

16.(2022?全國?高三專題練習)“垛積術(shù)''是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學家楊輝、

元代數(shù)學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等.某倉庫中部分

貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是〃件.己

知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的當.若這堆貨物總價是100-20()(2丫

10110)

萬元，則n的值為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】先依次求出各層貨物總價，再利用裂項抵消法進行求解.

【詳解】由題意，得第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為2x^萬元,

oo

第三層貨物總價為3x(常萬元,……,第〃層貨物總價為〃x(噌嚴萬元.

設(shè)這堆貨物總價為"萬元，

999

貝lJy=]+2x—+3x(—)2+—+〃x(—)〃T

101010

—y=—+2x(—)2+3x(—)3+--.+nx(—,

10“10101010

iqqqaQ

兩式相減,得一)，=i+二+(—>+(—>+…+(―(―)\

101010101010

1IT5）999

即一y=——一〃?（一）"=]0TOX（一）"一〃.（一）”，

1019vio1010

10

則y=1（X）一I（X）X（Q一10〃?（Q=100_（I00+1On）x（制,

99

令y=100-（100+10〃）x（—）n=100-200x（―）n,

得〃=10.

故選：B.

17.（2021秋?吉林松原?高二長嶺縣第三中學?？茧A段練習）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再

加上1；若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2,反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1-4-211.這

就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.如取正整數(shù)，”=6,根據(jù)上述運算法則得出

6-3-10-5-16-8-4-2-1,共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)

%當°為偶數(shù)時

系如下.：已知數(shù)列｛為｝滿足：4=機（機為正整數(shù)），〃向=｛2'"，則當小=42時，則使4=1

34+1,當為為奇數(shù)時

需要的雹程步數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】直接利用遞推關(guān)系逐步計算可得4,=1使得需要多少步雹程.

【詳解】解：根據(jù)題意，當加=42,根據(jù)上述運算法則得出42-21T64-32-16-8T4一2一1,

所以共需經(jīng)過8個步驟變成1,故使4,=1需要的雹程步數(shù)為8.

故選：B

18.（2022?全國?高三專題練習）意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯數(shù)學理論的

歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列｛%｝滿足4=1，/=1,

%=41+4一2（〃23,〃€^）.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1,記前〃

項所占的格子的面積之和為S,,每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為q,則其中不正確結(jié)論

的是（）

+aa1

A.S“+i=晨1+%+「％B.《+%+%+?=?+2~

C.4+/+%+=a2n-\D.4(c?-c?-1)=^?,2-6i?tl(/t>3)

【答案】C

【分析】A選項由前(〃+l)項所占格子組成長為+q”，寬為。用的矩形即可判斷；B選項由

4=+/一2(〃23,〃eN*)結(jié)合累加法即可判斷；

C選項通過特殊值檢驗即可；D選項表示出c,,=；乃a；,c“T=；府3,作差即可判斷.

【詳解】山題意知：前(〃+1)項所占格子組成長為用，寬為%的矩形，其面積為

S“+i=(?,,+%+I)4+I=44”+d+i，A正確；

%=4+4，。4=%+。2，M+2=《川+。”，以上各式相加得，

a3+a4++q+2=⑷+生++4+1)+(4+4++〃“)，化簡得〃”+2一生=4+02++/，即

q+/++an=an+2-1,B正確；

4=4=1，%=2,%=3,%=5,4=8,「.q+q+%=8w%—1=7,C錯誤；

易知％=(兀a：,%=(若T--1-4(。-%)=乃(a；-)=乃(a“-%)(4,+%)=萬―("23),D正確.

故選：C.

19.(2023?全國?高三專題練習)如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正

方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記

第”代"勾股樹''中所有正方形的個數(shù)為4,，數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S”，若不等式S“>2022恒成立，則〃的

最小值為()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)第1代“勾股樹”，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)，以此類推，得到第〃代“勾股樹”中所有

正方形的個數(shù)，即4,從而得到S“求解.

【詳解】解:第1代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為3=/-1,第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為7=22+'-1,...,

以此類推，第"代"勾股樹沖所有正方形的個數(shù)為2"+-1，即％=2向-1,

所以=4（1-2=

“1-2

因為見>。所以數(shù)列⑸｝為遞增數(shù)列,

又鼠=1012<2022,S9=2035>2022,

所以”的最小值為9.

故選：C.

20.（2022?海南省直轄縣級單位?統(tǒng)考三模）北宋數(shù)學家賈憲創(chuàng)制的數(shù)字圖式（如圖）又稱“賈憲三角”，后

被南宋數(shù)學家楊輝引用、〃維空間中的幾何元素與之有巧妙聯(lián)系、例如，1維最簡幾何圖形線段它有2個0

維的端點、1個1維的線段：2維最簡幾何圖形三角形它有3個0維的端點，3個1維的線段，1個2維的

三角形區(qū)域；……如下表所示.從1維到6維最簡幾何圖形中，所有1維線段數(shù)的和是（）

元素維度

0123

幾何體維度

"=|（線段）21

"=2（三角形）331

〃=3（四面體）4641o?????o

A.56B.70C.84D.28

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得4-4,1=〃，可求得為=當即可求解.

【詳解】設(shè)從1維到〃維最簡幾何圖形的1維線段數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛4｝,

由題意可得“2-4=3T=2,a3-a2=6-3=3,a4-a3=10-6=4,

以此類推，可得”“一。,1=〃，

所以%=。1+（。2一。|）+（。3一生）++（。"一凡-1）

n（n+l]

=1+2+3++n------乙，

2

所以q+a、+%+%+%+“6=1+3+6+10+15+21=56.

故選：A.

21.（2023?全國?高三專題練習）大衍數(shù)列，來源于中國古代著作《乾坤普》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推

f?2_1

」，〃為奇數(shù)

論.其前10項為：0、2、4、8、12、18、24>32、40、50,通項公式為《,=-2,若把這

《，〃為偶數(shù)

2

個數(shù)列｛4,｝排成下側(cè)形狀，并記4（皿〃）表示第根行中從左向右第〃個數(shù)，則4（9,5）的值為（）

0

248

1218243240

50......

A.2520B.2312

C.2450D.2380

【答案】D

【分析】確定4（9,5）在數(shù)列｛%｝中的項數(shù)，結(jié)合數(shù)列｛〃”｝的通項公式可求得結(jié)果.

【詳解】由題可知，設(shè)數(shù)陣第〃行的項數(shù)為"，則數(shù)列｛"｝是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列,

Q7

數(shù)歹IJ他,｝的前8項和為1x8+xTx2=64,

2

所以，4(/9,5、)是數(shù)列｛/q、｝的第64+5=69項，因此，A(9,5)=、69-」1=2380.

故選：D.

22.(2022?全國?高三專題練習)在歸國包機上，孟晚舟寫下《月是故鄉(xiāng)明，心安是歸途》，其中寫道“過去

的1028天，左右胸躇，千頭萬緒難抉擇；過去的1028天，日夜徘徊，縱有萬語難言說；過去的1028天,

山重水復，不知歸途在何處“感謝親愛的祖國，感謝黨和政府，正是那一抹絢麗的中國紅，燃起我心中的

信念之火，照亮我人生的至暗時刻，引領(lǐng)我回家的漫長路途下列數(shù)列｛%｝(〃6N*)中，其前〃項和不可能

為1028的數(shù)列是()

(參考公式：12+22+32++"2="(〃+D(2"+D)

6

74

2

A.%=10〃+28B.an=4n-12??+—

7i

+2

C.an=(-1)"'n——D.an=2"-'+-

"45n2

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前〃項和公式以及參考公式求數(shù)列｛%｝前〃項和S,,,令S,,=1028,看

是否有正整數(shù)解即可判定選項A、B、D的正確性；通過分類討論分別求出S*和S”」然后可得到S”<0,

令5"T=1028,看是否有正整數(shù)解即可選項C的正確性.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛”“｝的前〃項和為s.，

對于A：由等差數(shù)列的前〃項和公式，得：

5?==n(5n+33)=1028,

因為方程無正整數(shù)解，即選項A錯誤；

74

對于B：不妨令d=4〃2,cn=-12n+—,

數(shù)列｛d｝和匕｝的前〃項和分別為T?和Q“,

則q="+%，Sn=T?+Q?,

由參考公式和等差數(shù)列的前"項和公式，得：

T?=4(1+2+3++舟=2〃(〃+；(2〃+1),

幽土竺

"25

T八2〃(〃+1)(2〃+1)244

所以°=(+Q=—―-------6rn2+y/?=1028,

解得〃=10eN”,即選項B正確;

對于C：①當〃=2M&eN*）lN-，

7

222222

S?=S2t=1-2+3-4++(2k-l)-(2k)--x2k

14〃

=-(3+7++41)----<0,故此時S“w1028；

45

②當〃=2Z—1,WN")時，

7

2222222

5n=S2I__I=l-2+3-4++(2k-3)-(2k-2)+(2^-1)--(2Z:-1)

.7

=_(3+7+…+4-24-1)2——(21)

45

=_(J)(3+4I)+工

245

7

=2k92-3k+2——(21)

45

7

令2r-3%+2——(2*-1)=1028,解得&=23,

45

即”=2x23-1=45時，5.=1028,

即選項C正確：

對于D：山等比數(shù)列的前〃項和公式可知，

nn

lx(1-2")

2-2-

解得"=10eN*,即選項D正確.

故選：A.

23.（2023?全國?高三專題練習）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解

釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總

和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、

40、50,則此數(shù)列的第21項是（）

A.200B.210C.220D.242

【答案】C

【分析】由數(shù)列奇數(shù)項的前幾項可歸納出奇數(shù)項上的通項公式，從而得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列的前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,其中奇數(shù)項為0、4、

2

_1Q2_17-1

12、2440,有4=----=0,%=----=4,%=-----=12,%=-----=24,...

故其奇數(shù)項上的通項公式為q,=日二1,故％=空二!-220,

故選：C

24.（2022春?云南紅河?高二彌勒市一中?？茧A段練習）斐波那契數(shù)列（R6owcciSe"e〃ce）又稱黃金分割

數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多，斐波那契（心切園4。尸乃。〃℃3）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列在

數(shù)學上，斐波納契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列｛4｝滿足：4=%=1，%+2=%+%”，現(xiàn)從數(shù)列的前2022

項中隨機抽取1項，能被3整除的概率是（）

A逆B%C迫D1

'2022"2022'2022'4

【答案】A

【分析】依次寫出數(shù)列各項除以3所得余數(shù)，尋找后可得結(jié)論.

【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，數(shù)列各項除以3所得余數(shù)依次為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,

余數(shù)數(shù)列是周期數(shù)列，周期為8,2022=252x8+6,所以數(shù)列的前2022項中能被3整除的項有252x2+1=505,

所求概率為P=藕，

故選A.

25.（2022?高二課時練習）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存

在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形

圖.若記圖2中第〃行黑圈的個數(shù)為4，則％=（）

【答案】A

【分析】凡表示第n行中的黑圈個數(shù),設(shè)“表示第〃行中的白圈個數(shù),由題意可得%M=2a?+b?,b,l+l=a“+b〃,

根據(jù)初始值，山此遞推，不難得出所求.

【詳解】已知％表示第〃行中的黑圈個數(shù)，設(shè)么表示第〃行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的

一白一黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈2個黑圈，

an+i=2an+bn,b,M=a?+b?,

又：4=0,4=1；

“2=1也=1；

%=2x1+1=3,々=1+1=2；

a4=2x3+2=8也=3+2=5；

%=2x8+5=21也=8+5=13；

4=2x21+13=55,

故選：A.

26.（2022?全國?高三專題練習）如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和

音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間

的距離為1,雁柱所在曲線的方程為>=11，第〃根弦（〃EN,從左數(shù)第1根弦在y軸上，稱為第0根弦）

20

分別與雁柱曲線和直線/：y=x+i交于點4（%?,笫）和耳，（片,立），則川=（）

”=0

參考數(shù)據(jù)：取1.產(chǎn)=814.

雁柱><+.

圖1圖2

A.814B.900C.914D.1000

【答案】C

【分析】求出以、y；,用錯位相減法求和即可.

2020

【詳解】由條件可得2＞比=工("+1)1」"=以11°+2*1/++20x1.P+21X1.產(chǎn)①,

n=0n=0

20

所以l.lxZ%%=lxl.T+2x1.12++20x1.12(,+21x1.121(2),

M=0

一②得：

2011pl

-0.以2券,=1.1°+11++l.l2O-21xl.l2I=——-——21x1.121,

n=01-1.1

l-l.P+0.1x21xim1+1.產(chǎn)1+8.14…

=-------------------=-------=-------=-91.4,

-0.1-0.1-0.1

20

所以￡yM=9i4.

?i=0

故選：c.

27.（2022秋?陜西渭南?高二?？计谥校﹫D1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA，BB'，CC',是桁，

相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中。R,CC、,BB、,

的是舉，OD、,DCt,CBt,BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為器=0$,*=附*=右,

V-7X-XJL/|

普=%,已知%，右,左成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則&=（）

￡>/11

E1國2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】B

【分析】設(shè)。2=。0=。4=84=1,則可得關(guān)于&2的方程，求出其解后可得正確的選項

【詳解】設(shè)。解=0G=cg=網(wǎng)=1,則。=0.5,CC|=占，64=22，M=自，

D0+CG+84+A4,

依題意,有k-0.1=勺,&2+01=&，且=0.725

2OD、+DC、+Cg+BAy

所以『=0.725,故&=°.8.

故選：B

28.（2022秋?陜西咸陽?高二?？茧A段練習）《張邱建算經(jīng)》記載了這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減

半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的路程是前一天的一半，連續(xù)走了

7天，共走了700里”.在上述問題中，此馬第二天所走的路程大約為（）

A.170里B.180里C.185里D.176里

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，可知此馬每天走的路程形成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前〃項和公式求得基本量，從而

得解.

【詳解】由題意得，設(shè)這匹馬的第〃天走的路程為4，則有$=700,

所以數(shù)列｛。,｝是4=；的等比數(shù)列，

?4'"（if350x128

故700=L\，」，解得q=F—，

1--

2

175x128/

所以%=%q=———?176.4.

故選：D.

29.（2022秋?廣東廣州?高三校聯(lián)考階段練習）如圖所示的三角形叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)

的倒數(shù)組成，第〃行有八個數(shù)且兩端的數(shù)均為4（"22）,每個數(shù)是它下一行左右相鄰的兩數(shù)的和，如

n

上……,則第8行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）

1222363412

A.-----B.----C.——D.-----

280168140105

【答案】A

【分析】利用“萊布尼茲調(diào)和三角形”的性質(zhì)，依次運算即可.

【詳解】設(shè)第"行第”個數(shù)為。（〃,機），則。（5,1）=工，”（6,1）=，，a（7,l）=i/8,1）=