函數(shù)模型及其應用第二課時高一上學期數(shù)學人教A版(2019)必修第一冊

4.5.3函數(shù)模型的應用(第二課時)解決實際應用問題的基本步驟：第一步：閱讀理解，認真審題

讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學實質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而把握住新信息。第二步：引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型

設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學化，即所謂建立數(shù)學模型。第三步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)數(shù)學問題（即數(shù)學模型）予以解答，求得結(jié)果。

第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答。

解決實際應用問題的基本步驟：實際問題讀懂問題抽象概括數(shù)學問題演算推理數(shù)學問題的解還原說明實際問題的解互動交流,探求新知例5.假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：回報的累積值.方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多 回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前 一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案呢？1.考慮回報量,除了要考慮每天的回報量之外,還得考慮什么?想一想方案一：每天回報40元；我來說①例5涉及哪些數(shù)量關(guān)系？②如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？思考：投資天數(shù),回報金額③三個函數(shù)模型的增減性如何？④要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進行分析，如何分析？每天的回報數(shù)、增加量、累計回報數(shù)想一想：2.本題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系?如何利用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系?說一說設(shè)第x天所得回報是y元,則方案一可用函數(shù)y=40(x∈N*)進行描述;方案二可以用函數(shù)y=10x(x∈N*)進行描述;方案三可以用函數(shù)進行描述。想一想：3.怎樣去研究這三個函數(shù),才能找到最佳的方案呢?要對三個方案作出選擇,就要對它們的增長情況進行分析,用計算器計算出三種方案所得回報的增長情況,列表如下：說一說x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8000000000…01010101010101010…100.40.81.63.26.412.825.651.2…107374182.4從表格中獲取信息，體會三種函數(shù)的增長差異。我們來計算三種方案所得回報的增長情況：我想問根據(jù)所列的表格中提供的數(shù)據(jù),你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識?你來說方案一每天的回報不變;方案二、三每天的回報都在增加,且方案三隨x的增加每天的回報越來越大,比方案二要大得多。我想問作出三個方案的圖象看看?oxy2040608010012014042681012我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多。指數(shù)爆炸從圖象上把握不同函數(shù)模型的增長：根據(jù)以上分析,你認為該作出何種選擇?從問題1可知,考慮回報量,除了要考慮每天的回報量之外,還得考慮回報的累積值.你能把前11天回報的累積值算出來嗎?累計回報表

天數(shù)方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8思考投資1~6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8~10天，應選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應選擇方案三。例6.某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.25x，,,其中哪個模型能符合公司的要求？問題：本例涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例的實質(zhì)是什么？我們借助信息技術(shù)，作出函數(shù)圖象，可直觀的判斷：通過觀察函數(shù)圖象得到初步結(jié)論：按對數(shù)模型進行獎勵時符合公司的要求。4006008001000120020012345678xyo對數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律。y=5y=0.25x它在區(qū)間[10，1000]上遞增，4.55所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.<5對于模型而且當x=1000時，≈再計算按模型[10,1000]時，是否有

獎金是否不超過利潤的25℅，即當獎勵時，成立令[10,1000].由圖象可知它是遞減的，因此＜≈-0.3167＜0即<0.25x所以獎金不會超過利潤的25℅。也可列表計算確認上述判斷：xyo2.51.022.1851.042.54………4.954.445.044.442………4.55模型獎金/萬元利潤10208008101000……y＝0.25X我們來看函數(shù)的圖象:7綜上所述:模型確實符合公司要求.1log+=xy問題:當時,獎金是否不超過利潤的25%呢?10

說一說：常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的增長差異.y=40y=10xy=0.4×2x練習1.

四個變量隨著變量x變化的數(shù)據(jù)如下表關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是2、在同一直角坐標系內(nèi)作出下列函數(shù)的圖象，比較它們函數(shù)值的大小及增長的速度差異：(1)y=5x(2)3.教材P154練習1。4.課外活動：收集一些社會生活