2023屆廣東省東莞市第四高級中學(xué)高一年級上冊數(shù)學(xué)期末檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的,

請將正確答案涂在答題卡上.）

1.若xlog34=l,貝1|4X+4"X=

A.lB.2

33

2.函數(shù)/(%)=一％3,若a=/2,/?=/(log32),c=flog2,則。

^.a<h<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

3.已知關(guān)于x的方程加+（a-3）x+l=0在區(qū)間上存在兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)"的取值范圍是（）

3

—,+ooB.(9,”)

2

C.(—>,0)59,+8)-00,—

3

4.某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了一種螺線，作法如下：在水平直線/上取長度為1的線段A3,并作等邊三角形43C,然后

以點B為圓心，R4為半徑逆時針畫圓弧，交線段C8的延長線于點O；再以點C為圓心，。為半徑逆時針畫圓弧，

交線段AC的延長線于點E,以此類推，得到的螺線如圖所示.當(dāng)螺線與直線/有6個交點（不含4點）時，則螺線長

度最小值為（）

A.30兀

D.40兀

5.已知向量a=(cosasin。)，向量5=(百,-1),則國—司的最大值，最小值分別是()

A.472?0B.4,472

C.16,0D.4,0

6.若無論實數(shù)攵取何值，直線公一y一左一1=0與圓f+丁—2x—2y+〃=0相交，則〃的取值范圍為。

A.(—co,—2^B.(―℃,2)

C.(-8,0)D.(O,2)

7.已知奇函數(shù)f(x)的定義域為A,其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.若/(-2)=/(1)工0,則函數(shù)Ax)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)

的零點個數(shù)至少為。

A.lB.2

C.3D.4

8.設(shè)a,/為兩個不同的平面，山，〃為兩條不同的直線，則下列命題中正確的為()

A.若mllnua，則mHa

B.若mlaI,〃ua,則mlln

C.若a_Lua,貝［|帆J_〃

D.若機(jī)_L4，機(jī)ua,則。_L尸

9.函數(shù)/(幻=，百萬+一二的定義域為()

x+1

A.{x|x>-1}

B.{x|x>-3且x?1}

C.{x|xN-3且x?1}

D.{x|x>-3}

10.已知幕函數(shù)y=/(x)的圖象過點(；，￥),則10g2/(2)的值為()

C.2D.-2

11.已知x>0,y>0,且一二+―=2，則x+丁的最小值為

x+1y2

A.3B.5

C.7D.9

12.平行四邊形A8CD中，AB=4,AQ=2,ABAD=-4>點M滿足由=3就，則市?語=()

A.1B.-1

C.4D.-4

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.)

13.已知函數(shù)/(x)=2瓜in(2x+1],g(x)=-x+a,若存在和^《一2，]，使得/(/)=g(巧)，則實數(shù)

IL64」

a的取值范圍為一

14.已知函數(shù)-2X+2)-加有兩個零點和三，則罰+々=

15.已知平面向量a，5的夾角為同=4,網(wǎng)=2,則忖―源|=

16.函數(shù)/(x)=bgi(x一f)的單調(diào)增區(qū)間為

2

三、解答題(本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.某淘寶商城在2017年前7個月的銷售額y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表，已知y與f具有較好的線性關(guān)系.

月份,i234567

銷售額y5866728896104118

(1)求)'關(guān)于/的線性回歸方程；

(2)分析該淘寶商城2017年前7個月的銷售額的變化情況，并預(yù)測該商城8月份的銷售額.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

力—)(y一區(qū))

b=------------,a-y-bt-

Z(—)2

i=l

18.設(shè)函數(shù).f(X)=G?+(〃-l)x+2.

(1)若不等式〃x)<。的解集為(1,2),求實數(shù)m)的值；

(2)若/(-1)=5,且存在XER,使/(“<1成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)=-2x2+2ax+2a+1,。eR

(1)若函數(shù).f(x)在區(qū)間(0,1)上有且僅有1個零點，求”的取值范圍：

(2)若函數(shù).f(x)在區(qū)間上的最大值為方，求。的值

20.已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X20時有〃x)=$.

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(x)在。+0。)上的單調(diào)性，并用定義證明.

21.為推動治理交通擁堵、停車難等城市病，不斷提升城市道路交通治理能力現(xiàn)代化水平，樂山市政府決定從2021

年6月1日起實施“差別化停車收費”，收費標(biāo)準(zhǔn)討論稿如下：A方案：首小時內(nèi)3元，2-4小時為每小時1元(不足1

小時按1小時計)，以后每半小時1元(不足半小時按半小時計)；單日最高收費不超過18元.B方案:每小時1.6元

(1)分別求兩個方案中，停車費y(元)與停車時間x(O<xW24)(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)假如你的停車時間不超過4小時，方案4與方案3如何選擇？并說明理由

(定義：大于或等于實數(shù)x的最小整數(shù)稱為x的向上取整部分，記作比如：「2］=2,「2.1］=3)

22.已知函數(shù)/(x)=2"—晟(aeR).

(1)若/(x)在［1,2］上是減函數(shù)，求a的取值范圍;

4

(2)設(shè)。=—1,g(x)=/(x)-m?2'+］加，若函數(shù)g(x)有且只有一個零點，求實數(shù)"的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的,

請將正確答案涂在答題卡上.)

1、D

【解析】條件可化為產(chǎn)1。&3,運用對數(shù)恒等式，即可

xx

【詳解】Vjrlog34=l,.,.A=log43,...4J3,/.4+4'=3+1=y.故選D

【點睛】本題考查對數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目

2、A

【解析】首先判斷/，log、？和log，!的大小關(guān)系，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷Ac的大小關(guān)系.

乙3

【詳解】2^>2°=1,2^>1,

111

0<log2<log3=1,.,.0<log2<l,log-<0,.-.23>log2<log-,

33323323

/(x)=-x3是R上的減函數(shù)，av。vc.

故選：A.

3、C

【解析】本題首先可根據(jù)方程存在兩個不同的實數(shù)根得出aw0、(a—3)2-4">0,然后設(shè)/(%)=加+(a—3)x+1,

分為a>0、a<0兩種情況進(jìn)行討論，最后根據(jù)對稱軸的相關(guān)性質(zhì)以及的大小即可得出結(jié)果.

(詳解】因為方程ax:2+(?-3)x+l=0存在兩個不同的實數(shù)根，

所以a0(),(a-3)--4a>0,解得a〉9或a<l,

設(shè)/(%)="+(a-3)x+l,對稱軸為％=?

'~2a，

當(dāng)。>0時，

因為兩個不同實數(shù)根在區(qū)間上，

Q—31g

v3a<a

2a23

所以⑴'即凄-+1>。'解得a>

2

W142

當(dāng)av0時，

因為兩個不同的實數(shù)根在區(qū)間上，

ci―31(-

--------<—3-a>a

2a2

所以?(iA，即彳a(z?-3)，解得"0，

/尸/n1+42+l<0

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是(y,o)ud),+8),

故選：C.

4、A

【解析】根據(jù)題意，找到螺線畫法的規(guī)律，由此對選項逐一分析，從而得到答案

27r27r2兀

【詳解】第1次畫線：以點3為圓心,r=l,旋轉(zhuǎn)式，劃過的圓弧長為Ix^=—?

33

旋轉(zhuǎn)與2714兀

第2次畫線：以點。為圓心，尸=2,,劃過的圓弧長為2、寸=交/累計1次；

3

旋轉(zhuǎn)與2兀6兀_

第次畫線：以點為圓心，,劃過的圓弧長為3x^=2兀，交/累計2次；

3Ar=3,T-

旋轉(zhuǎn)與2兀8兀

第4次畫線：以點3為圓心，〃,劃過的圓弧長為4義寸=

=4,T;

旋轉(zhuǎn),2兀10K

第5次畫線：以點。為圓心，r=5,,劃過的圓弧長為5x^='-----,交/累計3次；

3

前5次累計面紗2兀4"6兀8K,&=1。兀；

刖3隊東VT四織-十一十一

33333

旋畤2兀1271

第6次畫線：以點A為圓心，r=6,,劃過的圓弧長為6xg==4兀，交/累計4次，累計畫線

1(比+4兀=14兀；

2TL14K

,劃過的圓弧長為

第7次畫線：以點8為圓心，r=7,旋叮7x7=亍;

旋唁2,7116K

第8次畫線：以點C為圓心，r=8,,劃過的圓弧長為8x1=9交/累計5次；

3

旋吟2IT18K

第9次畫線：以點A為圓心，r=9,,劃過的圓弧長為9x1==6兀，交/累計6次，累計畫線

14兀+I4兀+16兀6=30冗

7r故選項A正確

'33

故選：A

另解：由前三次規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，每畫三次，與/產(chǎn)生兩個交點，故要產(chǎn)生6個交點，需要畫9次；每一次畫的圓弧長度

是以丁為首項，T為公差的等差數(shù)列，所以前9項之和為：9x——+：x——=30??

33323

故選：A.

5、D

【解析】利用向量的坐標(biāo)運算得到|21-5|用e的三角函數(shù)表示化簡求最值

【詳解】解：向量d=(cosasinS),向量5=(6,-1),貝(J24一(2cos。—白，2sin0+l),

所以|27-B|2=(2cos8—\/3)2+(2sin6+l)2=8-4y/3cos0+4sin0=8-8sin(。一1)，

所以|2萬-B|2的最大值，最小值分別是：16,0；

所以的最大值，最小值分別是4,0；

故選：D

【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算以及三角函數(shù)解析式的化簡；利用了兩角差的正弦公式以及正弦函數(shù)的有界性

6、A

［解析】利用二元二次方程表示圓的條件及點與圓的位置關(guān)系即得.

【詳解】由圓d+y2—2x—2y+b=0,可知圓(一2『+(—2)2-48>0,

：.b<2,

又?.?直線京一丁一左一1=0,即y+l=Z(x-l),恒過定點(1,一1),

???點。,一1)在圓/+丁2一21一2)，+匕=0的內(nèi)部，

；.「+(—1)—2x1—2x(―1)+〃<0,即Z?<—2,

綜上，b<—2.

故選：A.

7、C

【解析】根據(jù)奇函數(shù)fM的定義域為R可得/(0)=0,由/(-2)=/⑴/0和奇函數(shù)的性質(zhì)可得/(2)/(1)<0、

/(-2)/(-1)<0,利用零點的存在性定理即可得出結(jié)果.

【詳解】奇函數(shù)/5)的定義域為K,其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，

得/(0)=0,由f(-2)=/⑴工0得-/(2)=/(I)*0,

所以/(2)/(1)<0,故函數(shù)在(1,2)之間至少存在一個零點，

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在(-2,-1)之間至少存在一個零點，

所以函數(shù)在(-2,2)之間至少存在3個零點.

故選：C

8、D

【解析】根據(jù)點線面位置關(guān)系，其中D選項是面面垂直的判定定理，在具體物體中辨析剩余三個選項.

【詳解】考慮在如圖長方體A3。。一A4G。中，

AD//BC,BCcYffiABCD,但不能得出AD〃平面ABC。，所以選項A錯誤

ADU平面BCCR,BB]U平面BCC^,但不能得出AD//BB,,所以選項B錯誤；

平面ABCD±平面BCQ4,B￡u平面BCC,B},但不能得出與G，平面ABCD；

其中D選項是面面垂直的判定定理.

故選：D

【點睛】此題考查線面平行與垂直的辨析，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確掌握基本定理，并應(yīng)用定理進(jìn)行推導(dǎo)及辨析.

9、C

【解析】根據(jù)給定函數(shù)有意義直接列出不等式組，解不等式組作答.

x+3>0

【詳解】依題意，〈,八，解得XN-3且工。一1,

x+loO

所以/G)=J看與+」一的定義域為且x?1).

X+1

故選:C

10、A

【解析】待定系數(shù)求得幕函數(shù)解析式，再求對數(shù)運算的結(jié)果即可.

【詳解】設(shè)■函數(shù)為/(X)=￡,由題意得，￥=(g)〃na=g,

1

.”八2)=陶22=5

故選：A

【點睛】本題考查幕函數(shù)解析式的求解，涉及對數(shù)運算，屬綜合簡單題.

11,C

11

【解析】運用乘1法，可得由戶1(戶1)+y-1=[(戶1)+/]?(—?+-)-1,化簡整理再由基本不等式即可

x+1y

得到最小值

【詳解】由(A+1)+y-1

=[(廣1)+y],1-1

11

=[(A+1)+y]*2(----+-)-1

x+1y

y(x+1)、

=2(2+^-+------)-1

x+iy

23+4包^=7

V-x+1y

當(dāng)且僅當(dāng)x=3,尸4取得最小值7

故選C

【點睛】本題考查基本不等式的運用：求最值，注意乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于中檔

題

12、B

【解析】選取而，而為基向量，將市，砒用基向量表示后，再利用平面向量數(shù)量積的運算法則求解數(shù)量積

MAMB-

______________3______3_____

-.MA=MD+DA=-DM-AD=--DC-AD=——AB-AD,

44

_______________3______1_____

MB=AB-AM=AB+MA=AB——AB-AD=-AB-AD,

44

=\--AB-AD\-\-AB-AD\=--AB2+AD2+-ABAD

I4）U）162

3

X16+4-2

16

=-1,故選B

【點睛】本題考查了平面向量的運算法則以及向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬中檔題.向量的運算法則是：（1）平行

四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向

量是和）.

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）

【解析】先求出/（X）的值域，再求出g（X）的值域，利用g（X）max>/（X）mm和g（X）min4/（?max得到不等式組求解

即可.

【詳解】因為xe,所以0＜2x+g?葛，故0W2gsin（2x+q）＜2G,即0碩力273

67+->O

7t71

因為g(x)=-x+aea------,QH——,依題意得〈_,解得—領(lǐng)b—卜2g

4664

4

故答案為:

【解析】根據(jù)函數(shù)零點的定義可得/（%）=/（々），進(jìn)而有占2-2?+2=%22-2馬+2,整理計算即可得出結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)/*）=111（/一2%+2）-m又兩個零點玉，龍2，

所以/（%）=/（%），

2

即ln（x：-2玉+2）=ln（x2-2x2+2）,

得xj—2%|+2.=x2~2%2+2,

即為2-々2=2（.-9）,

所以玉+々=2.

故答案為：2

15、4石

【解析】1一2同=J/_癡/+4片代入各量進(jìn)行求解即可.

【詳解】忖-2司=五一4=0+452=/16-323菖+16=腕=46,故答案46.

【點睛】本題考查了向量模的求解，可以通過先平方再開方即可，屬于基礎(chǔ)題.

16、

【解析】結(jié)合定義域由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.

【詳解】由x—f＞。得/X）定義域為（0,1）,

令f=則f在不,1單調(diào)遞減，又y=bg/在（0,+8）單調(diào)遞減，

2

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

-1、

故答案為：--1.

-27

三、解答題(本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17、(1)9=10/+46；(2)預(yù)測該商城8月份的銷售額為126萬元.

【解析】(1)根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)及平均數(shù)公式可求出「與了的值從而可得樣本中心點的坐標(biāo)，求可得公式

E：;u-n2中所需數(shù)據(jù)，求出務(wù)=10,再結(jié)合樣本中心點的性質(zhì)可得,。=46,進(jìn)而可得丁關(guān)于，的回

歸方程；(2)由(1)知，方=10〉0,故前7個月該淘寶商城月銷售量逐月增加，平均每月增加10萬，將y=8,代

入(1)中的回歸方程，可預(yù)測該商城8月份的銷售額.

.試題解析：(1)由所給數(shù)據(jù)計算得亍=；(1+2+3+4+5+6+7)=4,

(58+66+72+88+96+104+118)=86,

n

>=9+4+1+0+1+4+9=28,

/=1

E(f,-T)(y-歹)=(—3)x(—28)+(—2)x(—20)+(-1)x(-14)+0x2+1x10+2x18+3x32=28(),

/=1

g==型=10,a=y-bT=86-10x4=46.

所求回歸方程為9=10r+46.

(2)由(1)知，2=10〉0,故前7個月該淘寶商城月銷售量逐月增加，平均每月增加10萬.

將y=8,代入(1)中的回歸方程，得5=10x8+46=126.

故預(yù)測該商城8月份的銷售額為126萬元.

【方法點晴】本題主要考查線性回歸方程求法與實際應(yīng)用，屬于中檔題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出

散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算三的值；③計算回歸系數(shù)④寫出回歸直線方

/=1i=l

程為y=回歸直線過樣本點中心3)是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩

個變量的變化趨勢.

18、(1)a=l,b=-2；

(2)。>9或

【解析】(1)根據(jù)/(力=公2+僅-1)%+2<0的解集為(1,2),利用根與系數(shù)的關(guān)系求解；

(2)根據(jù)/(-1)=5,得到。一匕=2,再由存在xeR,61r2+(a-3)x+l<0成立，分a=0,a<0,a>0,利

用判別式法求解.

【小問1詳解】

解：因為〃%)="+僅-l)x+2<0的解集為(1,2),

a>0

\-h

所以〈----=3,解得a=1,6=-2；

a

2=2

【小問2詳解】

(2)因為/(—1)=5,所以。一匕=2,

因為存在xeR,/(x)=tzx~+("-l)x+2<1成立，

即存在xeR,加2+(a-3)x+1<0成立，

當(dāng)a=0時，x>g，成立；

當(dāng)a<0時，函數(shù).y=c￡+(a-3)x+l圖象開口向下，成立；

當(dāng)a>0時，△=(“一3)一一4?！?,即〃一1()。+9>(),

解得。〉9或a<l,此時，。〉9或0<〃<1,

綜上：實數(shù)a的取值范圍a>9或。<1.

(2)a=-2+^3

【解析】(1)結(jié)合函數(shù)圖象，分四種情況進(jìn)行討論，求出a的取值范圍；(2)對對稱軸分類討論，表達(dá)出不同范圍下

的最大值，列出方程，求出。的值.

【小問1詳解】

①/(0)=2a+l=0,解得：4=—g，Wf(x)=-2x2-x,/(x)零點為一；，o,不合題意

、1133

②〃1)—。，解得:.=此時小)7八5二一。)的零點為-“L不合題意;

③△=4/+8(2?+1)=0,解得：。=_2±&，當(dāng)a=-2+及時，/(*)的零點為T+］，不合題意；當(dāng)。=-2—夜

時，/(x)的零點為-1-立，不合題意;

2

A>011

/(0)./(1)<0,解得：

綜上：a的取值范圍是P7

【小問2詳解】

/(X)對稱軸為x=￡,當(dāng)T<—1，即“<-2時，f(x)在上單調(diào)遞減，f(x)皿=舍去；

當(dāng)—1號41,即-2WaW2時，=f^=~+a2+2a+\=^,解得：。=一2+G或a=-2-6<一2(舍

去)；

當(dāng)?>1,即。>2時，f(x)在［-1,1］上單調(diào)遞增，/?_=/(1)=4?-1=1解得：a=l<2(舍去)；

22X

綜上：6F=-2+>/3

4x

,x>0

20、⑴/(外=卜

;(2)見解析.

4x

A^x,x<0

-A-x

【解析】(1)當(dāng)x<0時,貝可得/(_彳)=:一，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式;

4-x

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)的單調(diào)性，得到結(jié)論.

【詳解】(1)由題意，當(dāng)x<0時，則一x>0,可得/(—x)=士，

4-x

4x

因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以/(x)=—/(-為=：；—,

4-x

4x

,x>0

所以函數(shù)的解析式為fM=4-：Ly

4x

,x<0

.4-x

（2）函數(shù)，（力=4-+4）-4=4_工在[0,+8）單調(diào)遞增函數(shù).

x+4x+4

證明：設(shè)0?玉</,貝u/a）-/（々）=

%+4x2+4(%+4)(X2+4)

因為0<Xj<x2,所以玉一元2<0,(不+4)(X2+4)>0

所以F（X|）-/（工2）<0，即/（%）</（工2）

故/（X）在[0,+OO）為單調(diào)遞增函數(shù)

【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，其中解答中熟記函

數(shù)的單調(diào)性的定義，以及熟練應(yīng)用的函數(shù)的奇偶性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3,0<%<1

/、「x]+2,1<x<4/、,、

21、⑴〃力=11Vh2,