浙江省溫州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題word版含解析

2022-2023學(xué)年浙江省溫州市高二年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8題，每題5分，共40分）設(shè)集合，，則等于(

)A. B. C. D.若a，，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)是虛數(shù)單位”是“”的(

)A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則(

)A.12 B.14 C.16 D.18已知定義域為R的奇函數(shù)，滿足，且當時，，則的值為(

)A. B.0 C.1 D.2若圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則下列結(jié)論正確的為(

)A.圓錐的母線長為1 B.圓錐的底面半徑為2

C.圓錐的體積為 D.圓錐的側(cè)面積為在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB的中點，則EF和AC所成的角等于(

)A. B. C. D.已知，，，則(

)A. B. C. D.在正方體中，點P滿足，且，直線與平面所成角為，若二面角的大小為，則的最大值是(

)A. B. C. D.二、多選題（本大題共4題，每題5分，共20分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有(

)A.若，，m，，則

B.若，，則

C.若，，則

D.若，，，則已知，對于，，下述結(jié)論正確的是(

)A. B.

C. D.已知，為雙曲線的兩個焦點，P為雙曲線C上任意一點，則(

)A. B.

C.雙曲線C的離心率為 D.雙曲線C的漸近線方程為在正三棱錐中，，，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，若點Q是此三棱錐表面上一動點，且，記動點Q圍成的平面區(qū)域的面積為S，三棱錐的體積為V，則(

)A.當時， B.當時，

C.當時， D.當時，三、填空題（本大題共4題，每題5分，共20分）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后的圖象過原點，則m的最小值是__________.若點在冪函數(shù)的圖象上，則的值為__________.已知四面體ABCD中，，平面ACD，平面ABD，則四面體ABCD外接球的半徑是__________已知，分別是橢圓的左右焦點，P是橢圓C上一點，若線段上有且只有中點Q滿足其中O是坐標原點，則橢圓C的離心率是__________.四、解答題（本大題共6題，共70分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點，求圓C的標準方程;若過點的直線l與圓C相交于M，N兩點，且，求直線l的方程.已知函數(shù)求函數(shù)的值域;若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.某校對2022學(xué)年高二年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績單位：分進行分析，隨機抽取100名學(xué)生，將分數(shù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：估計該校高二年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績的第80百分位數(shù);為了進一步了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績在和的兩組中，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績在內(nèi)的概率.已知四棱錐中，，，，，，求證：求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角A，B，C的所對的邊分別為a，b，c，__________.若，求求的最大值.已知點P在圓上運動，過點P作x軸的垂線段PQ，Q為垂足，動點M滿足求動點M的軌跡方程過點的動直線l與曲線E交于A，B兩點，與圓O交于C，D兩點，求的最大值;是否存在定點T，使得的值是定值?若存在，求出點T的坐標及該定值;若不存在，請說明理由.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由，解得或，

2.【答案】B

【解析】解：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且，

，且可推出，但，不一定得到，且，

“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件．

3.【答案】B

【解析】解：，，存在非零實數(shù)k，使得，

，解得，，即，

4.【答案】A

【解析】解：滿足，由函數(shù)對稱性可知關(guān)于對稱，

且，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以

可得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，

則

當時，所以，所以

5.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，由于其側(cè)面展開圖是一個半圓，

則，即，又圓錐的表面積為，

所以表面積，解得，得母線長，

則圓錐的高，

所以側(cè)面積，體積

6.【答案】B

【解析】解：如圖所示：

取BC的中點G，連接FG，

，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，

，，且，

又，，為EF與AC所成的角或其補角

，，，為等腰直角三角形，

，即EF與AC所成的角為

7.【答案】A

【解析】解：，，

，

平方分析可知，，，

綜上：

8.【答案】C

【解析】解：，且，

在平面上，

設(shè)正方體的棱長為1，則可知為棱長為的正四面體，

可求得點到平面的距離，且到平面的垂足為等邊的中心，設(shè)為，連接并延長交于點O，顯然O為和的交點，

又與平面所成角為，則，可求得，

在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，

易證得，，而AC與為平面內(nèi)兩相交直線，

平面，即可得到點在直線上，

又平面，平面平面，且兩個平面的交線為AO，

把兩個平面抽象出來，如下圖，

作交AO于M點，過點M作交AD于N點，連接MN，

平面平面，平面，平面平面，

平面，，

又，MN與PM為平面PMN中兩相交直線，

故平面PMN，，

為二面角的平面角，即為角，

設(shè)，，得，

當M與點不重合時，在中，可求得

若M與點重合時，即當時，可求得，也符合上式，

故，

，，，

，，

令，

則，當，即時等號成立，

故的最大值是

9.【答案】BD

【解析】解：若，，m，時，根據(jù)面面平行的判定定理應(yīng)該還需要m、n相交于一點，才可以得到，故A錯誤；

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，當，，有，故B正確；

若，時，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，應(yīng)該還需要，才可以得到，故C錯誤；

直接根據(jù)線面垂直以及線線垂直的性質(zhì)，可以判斷當，，時，有，故D正確．

10.【答案】AC

【解析】解：對于A，，A正確.

對于B，取，，，，B錯誤.

對于C，當，，則，，，滿足，

當，時，，由在R上的單調(diào)性知，，滿足，

當，時，同理滿足，

當，時，，，，，滿足，故，C正確.

對于D，取，，，，不滿足，D錯誤.

11.【答案】BC

【解析】解：雙曲線C：，則，

P為雙曲線C上任意一點，根據(jù)雙曲線的定義可得，

則，故A錯誤；

根據(jù)向量知識集合雙曲線得定義，

可得，

當且僅當P為實軸端點，等號成立，故B正確；

由于，，則雙曲線C的離心率，故C正確；

因為雙曲線C：，則雙曲線C的漸近線方程為，故D錯誤.

12.【答案】ACD

【解析】解：由題意知，直線PE垂直于動點Q圍成的平面區(qū)域所在的平面，

當時，正三棱錐的底面ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面PAB、PAC、PBC都是以P為直角頂點的等腰直角三角形，

則此時正三棱錐的體積，

由題意可知，動點Q圍成的平面區(qū)域為如圖所示的矩形FGHI，其中點F、G、H、I均為所在棱上的中點，且，，則該矩形的面積為，故A、C均正確；

當時，正三棱錐即為棱長為2的正四面體，各個面都是邊長為2的正三角形，

則此時正三棱錐的體積，

由題意可知，動點Q圍成的平面區(qū)域為如圖所示的三角形FGH，

其中點F、G分別為PC、PB的中點，且，，

則該三角形的面積為，故B錯誤、D正確.

13.【答案】

【解析】解：平移后函數(shù)解析式為，由圖象過原點，，

，又，故時，m取最小值

14.【答案】4

【解析】解：因為為冪函數(shù)，則，，即，

又點在函數(shù)的圖象上，則，解得，所以

15.【答案】1

【解析】解：如圖所示：

將四面體ABCD放到長方體中，則四面體ABCD的外接球即為其所在的長方體的外接球，

BC為長方體的體對角線即為外接球的直徑，因此，四面體ABCD外接球的半徑是

16.【答案】

【解析】解：當P為長軸的端點時，不滿足條件，

故不妨設(shè)，當Q為中點時，則，，，

且，在中，，

假設(shè)Q不為中點，設(shè)，，在中，，

，

整理得：，又線段上有且只有中點Q滿足，

故關(guān)于t的方程兩根相等，，

化簡得：，又，求得

17.【答案】解：設(shè)圓C的標準方程為，其中，半徑為，記線段AB中點為D，則，又直線AB的斜率為1，由條件得線段AB中垂線CD方程為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線CD上，化簡得，所以圓心，，所以圓C的標準方程為；因為直線l與圓C相交的弦長，圓心到直線l的距離，當直線l的斜率不存在時，l的方程，此時，不符合題意，舍去.當直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則l的方程，即，由題意得，解得或，故直線l的方程為或，即或，綜上直線l的方程為或18.【答案】解：因為定義域為，

則，設(shè)，則，所以值域為因為，所以，設(shè)，則，

原問題化為對任意，，即，因為當且僅當即時，取等號，

即的最小值為3，所以19.【答案】解：由，可得樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在110分以下所占比例為，在130分以下所占比例為，因此，第80百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為由題意可知，分數(shù)段的人數(shù)為人，分數(shù)段的人數(shù)為人用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在內(nèi)抽取2人，分別記為a，b，內(nèi)抽取3人，分別記為x，y，z，設(shè)“從樣本中抽取2人，至少有1人分數(shù)在內(nèi)”為事件A，則樣本空間為共包含10個樣本點，而事件，包含7個樣本點，所以，即抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績在內(nèi)的概率為

20.【答案】解：在梯形ABCD中，，，，，

可算得，所以，在中，，，滿足，所以，

又平面PBD，平面PBD，且，所以平面PBD，又因為平面PBD，所以；由證明可知，平面PBD，因為平面ABCD，

則平面平面ABCD，取BD中點O，連OP，OC，因為，所以，而平面ABCD，且平面平面，

平面PBD，所以就是PC與平面PBD所成的角，在中，易得，在中，，，計算可得，所以，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為解法由證明可知，平面PBD，因為平面ABCD，

則平面平面ABCD，

通過計算可得，建立以，為x軸，y軸的正方向，

以過D與平面ABCD垂直的向量為在z軸的正方向建立如圖空間直角坐標系，

顯然z軸再平面PBD中且垂直于BD，

則，，，，所以，，，設(shè)平面PBD的法向量為，則，即取，設(shè)直線PC與平面PBD所成角為，則，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為

21.【答案】解：若選①，由正弦定理可得，，當時，代入得，，整理可得，，在中，，所以，所以，即，

又C為三角形內(nèi)角，所以，所以若選②，當時，代入得，，，，，又因為，，所以，所以若選①，因為，所以，，，在中，，，所以選②，因為，所以，，，在中，，所以，，由，及在上遞減，可得，進一步得，所以，所以