江蘇省揚州市揚州中學2022-2023學年高一下學期5月月考數(shù)學試題

江蘇省揚州中學20222023學年度第二學期月考試題高一數(shù)學一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是最符合題意的.（請將所有選擇題答案填到答題卡的指定位置中.）1.若復數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）.A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先求出，然后再求出模.【詳解】因為，化簡得，故，所以故選：2.設，為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】利用直線、平面的位置關系進行判斷以及通過舉反例進行排除.【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，若，，，則或相交，故B錯誤；對于C，利用線面垂直的性質定理以及平行的傳遞性，可知C正確；對于D，若，，，當，不一定垂直于，故D錯誤.故選：C.3.在中，若，，，則此三角形解的情況是（）A.有一解 B.有兩解 C.無解 D.有解但解的個數(shù)不確定【答案】B【解析】【分析】由，根據(jù)作圓法結論可得結果.【詳解】，，有兩解.故選：B.4.設平面向量，滿足，，，則在上投影向量的模為（）.A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】表示出在上投影向量，結合已知條件即可求得答案.【詳解】由題意可知：在上投影向量為，故在上投影向量的模為，故選：A5.中國南北朝時期數(shù)學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結了魏晉時期著名數(shù)學家劉徽的有關工作，提出“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.一個上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺與一個不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A.16 B. C. D.21【答案】D【解析】【分析】由祖暅原理知不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺體積相等即可求解.【詳解】由祖暅原理，該不規(guī)則幾何體體積與正六棱臺體積相等，故.故選：D6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用和差角公式展開，得到，即可得到，再利用兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故選：A．7.已知四邊形中，，點在四邊形的邊上運動，則的最小值是（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由題意分析可知四邊形關于直線對稱，且，只需考慮點E在邊上的運動情況即可，然后分類討論,求出最小值.【詳解】如圖所示，因為，且，所以垂直且平分，則為等腰三角形，又，所以為等邊三角形,則四邊形關于直線對稱，故點E在四邊形上運動時，只需考慮點E在邊上的運動情況即可，因為，，知，即，則，①當點E邊上運動時，設，則，則,當時，最小值為；②當點E在邊上運動時，設,則,則，當時，的最小值為；綜上，的最小值為；故選：C．【點睛】方法點睛：由題意可推得四邊形的幾何性質，即要推出，然后要考慮E點位置，即要分類討論，進而根據(jù)向量的線性運算表示出，結合二次函數(shù)性質即可求解.8.在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理邊化角結合兩角和差的正弦公式可得，推出，則,結合銳角三角形確定B的范圍，繼而將不等式恒成立轉化為恒成立，結合對勾函數(shù)的單調性，即可求得答案.【詳解】由可得，結合,可得，即，由于在銳角中，，故，則,則,又，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，因為，故，令，則函數(shù)在內單調遞增，故，即，故，故選：C【點睛】方法點睛：（1）三角等式含有邊角關系式時，一般利用正弦定理轉化為角或邊之間的關系進行化簡；（2）不等式恒成立問題一般轉化為函數(shù)單調性或最值問題解決；（3）一般要注意利用基本不等式或者函數(shù)單調性比如對勾函數(shù)的單調性，求解函數(shù)最值或范圍.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下面是關于復數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（

）A.的虛部為B.在復平面內對應的點在第二象限C.的共軛復數(shù)為D.若，則的最大值是【答案】CD【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)，利用復數(shù)的概念可判斷A選項；利用復數(shù)的幾何意義可判斷B選項；利用共軛復數(shù)的定義可判斷C選項；利用復數(shù)模的三角不等式可判斷D選項.【詳解】因為，則.對于A選項，的虛部為，A錯；對于B選項，復數(shù)在復平面內對應的點在第三象限，B錯；對于C選項，的共軛復數(shù)為，C對；對于D選項，因為，，由復數(shù)模的三角不等式可得，當且僅當時，等號成立，即的最大值是，D對.故選：CD.10.關于函數(shù),下列說法正確的有（）A.的最大值為，最小值為B.的單調遞增區(qū)間為C.的最小正周期為D.的對稱中心為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡，結合正弦函數(shù)的性質可求得的最值，判斷A；同理結合正弦函數(shù)的單調性、周期以及對稱中心可判斷B，C，D..【詳解】由題意得，則最大值為，最小值為，A正確；令，即，故單調遞增區(qū)間為，B正確；的最小正周期為，C錯誤；令，故的對稱中心為，D正確，故選：ABD.11.如圖，已知的內接四邊形中，，，，下列說法正確的是（）A.四邊形的面積為 B.該外接圓的半徑為C. D.過作交于點，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項，利用圓內接四邊形對角互補及余弦定理求出，，進而求出，利用面積公式進行求解；B選項，在A選項基礎上，由正弦定理求出外接圓直徑；C選項，作出輔助線，利用數(shù)量積的幾何意義進行求解；D選項，結合A選項和C選項中的結論，先求出∠DOF的正弦與余弦值，再利用向量數(shù)量積公式進行計算.【詳解】對于A，連接，在中，，，由于，所以，故，解得，所以，，所以，故，，故四邊形的面積為，故A錯誤；對于B，設外接圓半徑為，則，故該外接圓的直徑為，半徑為，故B正確；對于C，連接，過點O作OG⊥CD于點F，過點B作BE⊥CD于點E，則由垂徑定理得：，由于，所以，即，解得，所以，所以，且，所以，即在向量上的投影長為1，且與反向，故，故C正確；對于D，由C選項可知：，故，且，因為，由對稱性可知：DO為∠ADC的平分線，故，由A選項可知：，顯然為銳角，故，，所以，所以，故D正確.故選：BCD12.如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，沿AE?AF及EF把這個正方形折成一個四面體，使得B?C?D三點重合于點S，得到四面體（如圖2）.下列結論正確的是（）A.平面平面SAFB.四面體的體積為C.二面角正切值為D.頂點S在底面AEF上的射影為的垂心【答案】BD【解析】【分析】（１）作輔助線，證為平面SAF與平面AEF的二面角的平面角，顯然為銳角，從而判斷A選項．（２）先證平面AEF，從而得到錐體高，計算出所需長度，算出體積即可．（３）證為平面SEF與平面AEF的二面角的平面角，計算的正切值．（４）先證O為S在平面AEF上的射影，由于AM，只需證，即可．【詳解】如圖，作EF的中點M，連結AM、SM，過S作AM的垂線交AM于點O，連結SO，過O作AF的垂線交AF于點N，連結SN由題知AE=AF=，所以AM，SE=SF=1，所以，為平面SEF與平面AEF的二面角的平面角又平面ASM，平面ASM，SO，作法知，，平面AEF，所以SO為錐體的高．所以O為S在平面AEF上的射影.平面AEF，所以，由作法知，平面SON，平面SON，為平面SAF與平面AEF的二面角的平面角，顯然為銳角，故A錯．由題知，，又AS＝２，，SE＝１，，四面體S?AEF的體積為，故B正確．在直角三角形ASM中：故C不正確．因為，，所以，，由對稱性知，又AM故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.圓錐側面展開圖扇形的圓心角為，底面圓的半徑為1，則圓錐的側面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長與底面半徑關系得，解出弧長，最后利用側面積公式即可.【詳解】設圓錐的母線為,則,所以,則圓錐的側面積為.故答案為：.14.已知，則的值是__________．【答案】5【解析】【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化簡，在將代入即可.【詳解】因為，所以，故答案為：5.15.已知函數(shù)，且關于的方程有且僅有一個實數(shù)根，那實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)形結合的方法，將方程根的問題轉化為函數(shù)圖象交點的問題，觀察圖象即可得到結果.【詳解】作出的圖象，如下圖所示：∵關于的方程有且僅有一個實數(shù)根，∴函數(shù)的圖象與有且只有一個交點，由圖可知，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知銳角的內角所對的邊分別，角．若是的平分線，交于，且，則的最小值為________；若的外接圓的圓心是，半徑是1，則的取值范圍是________．【答案】①.②..【解析】【分析】(1)由已知利用，可得，然后利用“”的代換，基本不等式即可得出結果.(2)根據(jù)銳角三角形的角度范圍，表示出，進而得出結果.【詳解】(1)由是的平分線，得，又，即，化簡得，，當且僅當，即，時，取等號．(2)，=，是銳角三角形，，，．故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知復數(shù)，，，i為虛數(shù)單位．（1）若是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的運算法則求出，根據(jù)復數(shù)的概念列式可求出；（2）根據(jù)求出，再根據(jù)復數(shù)的乘法法則求出結果即可.【小問1詳解】，，所以，因為是純虛數(shù)，所以，得.【小問2詳解】由（1）知，，因為，所以，得，所以，，所以.18.如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點，，．（1）求證：平面；（2）求點D到平面ABE的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過證明，，得證平面．（2）由，利用體積法求點D到平面ABE的距離．【小問1詳解】證明：∵，D，E分別為AC，的中點，∴，且，又平面，∴平面，又平面，∴，又，且，平面，∴平面．【小問2詳解】∵，，，∴，∴，，．在中，，，∴邊上高為．∴．設點D到平面ABE的距離為d，根據(jù)，得，解得，所以點D到平面ABE的距離為．19.在中，，，，為的三等分點（靠近點）．（1）求的值；（2）若點滿足，求的最小值，并求此時的．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將化為和表示，利用和的長度和夾角計算可得結果；（2）用、表示，求出關于的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)知識可求出結果.【小問1詳解】因為為的三等分點（靠近點），所以，所以，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，所以當時，取得最小值.20.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求C；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由題給條件求得，進而求得；（2）先利用正弦定理和題給條件求得和，再構造函數(shù)，求得此函數(shù)值域即為的取值范圍【小問1詳解】由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則【小問2詳解】A，B為的內角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則則令，則又在單調遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為21.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB中點，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點．在翻折過程中，（1）求證：平面；（2）若二面角，求與面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，通過證平面平面，可得面.（2）利用二面角的平面角的定義先找出二面角的平面角即為，再利用面面垂直的性質定理找到平面的垂線，從而作出與面所成的角，計算可得答案.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，為線段的中點，，平面，平面，平面，又，，四邊形為平行四邊形，則平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面，則面【小問2詳解】取中點，中點，連接，，，由，，為邊的中點，得，所以為等邊三角形，從而，，又，為的中點所以，又是等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以，過點作，過作交于，連接，是等邊三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又，所以，，面面，面，所以面，所以為與平面所成的角，在中可求得，所以，與面所成角的正弦值為22.已知向量，，若函數(shù)的最小正周期為.（1）求的單調遞增區(qū)間：（2）若關于的方程在有實數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的周期，得到，然后求解函數(shù)的解析式，再利用正