解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題解直角三角形的應(yīng)用：坡度坡角問題〔重難點培優(yōu)〕姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔2021秋?二道區(qū)期末〕如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：3，壩高BC＝3m，那么AB的長度為〔〕A．6mB．33mC．9mD．63m【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC，根據(jù)勾股定理求出AB．【解析】∵迎水坡AB的坡比為1：3，∴BCAC=1解得，AC＝33，由勾股定理得，AB=BC2+應(yīng)選：A．2．〔2021秋?耒陽市期末〕如圖大壩的橫斷面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，假設(shè)坡面CD的長度為62米，那么斜坡ABA．43B．63C．65【分析】過B作BE⊥AD于E，過C作CF⊥AD于F，那么四邊形BEFC是矩形，得BE＝CF，由坡比得BE＝CF＝DF=22CD＝6〔米〕，AE＝2BE＝【解析】過B作BE⊥AD于E，過C作CF⊥AD于F，如下圖：那么四邊形BEFC是矩形，∴BE＝CF，∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD=62∴CF＝DF=22CD＝∴BE＝CF＝6米，又∵斜坡AB的坡比i＝1：2=BE∴AE＝2BE＝12〔米〕，∴AB=AE2應(yīng)選：C．3．〔2021秋?大東區(qū)期末〕如圖，某游樂場山頂滑梯的高BC為50米，滑梯的坡比為5：12，那么滑梯的長AB為〔〕A．100米B．110米C．120米D．130米【分析】直接利用坡比的定義得出AC的長，再利用勾股定理得出AB的長．【解析】∵某游樂場山頂滑梯的高BC為50米，滑梯的坡比為5：12，∴BCAC那么50AC解得：AC＝120米，故AB=AC應(yīng)選：D．4．〔2021?阿城區(qū)模擬〕一輛汽車沿坡角為α的斜坡前進(jìn)500米，那么它上升的最大高度為〔〕A．500sinαB．500sinαC．500cosαD．【分析】在三角函數(shù)中，根據(jù)坡度角的正弦值＝垂直高度：坡面距離即可解答．【解析】如圖，∠A＝α，AE＝500．那么EF＝500sinα．應(yīng)選：A．5．〔2021?濟(jì)南二?！炒汗?jié)期間，某老師讀到?行路難?中“閑來垂釣碧溪上，忽復(fù)乘舟夢日邊．〞邀約好友一起在江邊垂釣，如圖，河堤AB的坡度為1：，AB長為米，釣竿AC與水平線的夾角是60°，其長為6米，假設(shè)釣竿AC與釣魚線CD的夾角也是60°，那么浮漂D與河堤下端B之間的距離約為〔〕〔參考數(shù)據(jù)：3=A．米B．米C．米D．米【分析】延長CA交DB延長線于點E，過點A作AF⊥BE于點F，利用正切的概念求出AE、EF、BF，再證△CDE為等邊三角形，求出DE，即可求解．【解析】如圖，延長CA交DB延長線于點E，過點A作AF⊥BE于點F，那么∠CED＝60°，∵AB的坡比為1：，∴AFBF設(shè)AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，2＝25x2+144x2．解得：x＝，∴AF＝5x＝2〔米〕，BF＝12x＝〔米〕，由題意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF=33AF=233〔米〕，AE∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝〔6+4∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+4即浮漂D與河堤下端B之間的距離約為米，應(yīng)選：B．6．〔2021?花都區(qū)一模〕如圖，某地修建一座高BC＝5m的天橋，天橋斜面AB的坡度為1：3，那么斜坡AB的長度為〔〕A．10mB．103mC．5mD．53m【分析】直接利用坡度的定義得出AC的長，再利用勾股定理得出AB的長．【解析】如下圖：∵i＝1：3，BC＝5m，∴BCAC解得：AC＝53〔m〕，那么AB=BC2+應(yīng)選：A．7．〔2021?泰順縣二模〕某屋頂示意圖如下圖，現(xiàn)要在屋頂上開一個天窗，天窗AB在水平位置，屋頂坡面長度PQ＝QD＝米，那么屋頂水平跨度PD的長為〔〕米A．245cosαB．485cosαC．245sinαD．【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出PO＝OD，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PO的長求出答案．【解析】由題意可得：AB∥PD，那么∠ABC＝∠QPD＝α，可得QO⊥PD，那么PO＝DO，cosα=PO故PO=245cos那么PD＝2PO=485cos應(yīng)選：B．8．〔2021?杭州模擬〕如圖，AB是斜靠在墻上的長梯，AB與地面夾角為α，當(dāng)梯頂A下滑1m到A′時，梯腳B滑到B′，A'B'與地面的夾角為β，假設(shè)tanα=43，BB'＝1m，那么cosA．45B．35C．34【分析】在Rt△ABC中，由tanα=43，可設(shè)AC＝4xm，那么BC＝3xm，根據(jù)勾股定理求出AB＝5xm，那么A′B′＝AB＝5xm．在Rt△A′B′C中，根據(jù)勾股定理列出方程〔4x﹣1〕2+〔3x+1〕2＝〔5x〕2，求出x＝【解析】如圖．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα=4∴可設(shè)AC＝4xm，那么BC＝3xm，∴AB=AC2∴A′B′＝AB＝5x〔m〕．∵在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝〔4x﹣1〕m，B′C＝〔3x+1〕m，∴〔4x﹣1〕2+〔3x+1〕2＝〔5x〕2，解得x＝1，∴A′C＝3m，B′C＝4m，A′B′＝5m，∴cosβ=B應(yīng)選：A．9．〔2021?松北區(qū)模擬〕如圖，胡同左右兩側(cè)是豎直的墻，一架32米長的梯子BC斜靠在右側(cè)墻壁上，測得梯子與地面的夾角為45°，此時梯子頂端B恰巧與墻壁頂端重合．因梯子阻礙交通，故將梯子底端向右移動一段距離到達(dá)D處，此時測得梯子AD與地面的夾角為60°，那么胡同左側(cè)的通道拓寬了〔〕A．3米B．3米C．3-2米D．〔3-【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出EC、EB，根據(jù)正切的定義求出DE，結(jié)合圖形計算得到答案．【解析】在Rt△EBC中，∠BCE＝45°，∴EC＝EB=22BC=22在Rt△BDE中，tan∠BDE=BE∴DE=BE∴CD＝EC﹣DE＝〔3-3應(yīng)選：D．10．〔2021?邯鄲三?！橙鐖D是某廠家新開發(fā)的一款摩托車，它的大燈射出的光線AB，AC與地面MN的夾角分別為8°和10°，該大燈照亮地面的寬度BC的長為米，那么該大燈距地面的高度為〔〕〔參考數(shù)據(jù)：sin8°≈425，tan8°≈17，sin10°≈9A．米B．米C．米D．米【分析】過點A作AD⊥MN于點D，由銳角三角函數(shù)的定義得出BD≈7AD，CD=285AD，再由BD﹣CD＝BC，得7AD-【解析】過點A作AD⊥MN于點D，如下圖：在Rt△ADB與Rt△ACD中，tan∠ABD=ADDB=tan8tan∠ACD=ADCD=tan10∴BD≈7AD，CD≈285∵BD﹣CD＝BC，∴7AD-285解得：AD＝，即該大燈距地面的高度米，應(yīng)選：B．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021?奉賢區(qū)三?！骋恍逼碌钠卤葹?：2，坡角為α，那么sinα＝55【分析】坡比＝坡角的正切值，設(shè)豎直直角邊為x，水平直角邊為2x，由勾股定理求出斜邊，進(jìn)而可求出α的正弦值．【解析】如下圖：由題意，得：tanα＝i=1設(shè)豎直直角邊為x，水平直角邊為2x，那么斜邊=x2那么sinα=x故答案為5512．〔2021?平房區(qū)三?！硵r水壩橫斷面如下圖，迎水坡AB的坡比是1：3，壩高BC＝10m，那么坡面AB的長度是20m．【分析】利用坡比的定義得出AC的長，進(jìn)而利用勾股定理求出AB的長．【解析】∵迎水坡AB的坡比是1：3，壩高BC＝10m，∴BCAC解得：AC＝103，那么AB=BC2+故答案為：20．13．〔2021?沈河區(qū)二?！橙鐖D，在平地上種植樹木時，要求株距〔相鄰兩棵樹之間的水平距離〕為10m，假設(shè)在坡度為i＝1：的山坡上種樹，也要求株距為10m，那么相鄰兩棵樹間的坡面距離為229m．【分析】先利用坡度求得垂直距離，再由勾股定理求得坡面距離即可．【解析】過A作AB⊥CD于B，如下圖：由題意得：水平距離BD為10m，AD的坡度為i＝1：=AB∴鉛直高度AB=BD2.5=10在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=AB2+B即相鄰兩棵樹間的坡面距離為229m，故答案為：229．14．〔2021秋?鎮(zhèn)平縣期末〕如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一個平臺，斜坡CD的坡度〔或坡比〕為i＝1：，坡長為10米，DE為地平面〔A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)〕，那么平臺距地面的高度為8米．【分析】延長AB交ED的延長線于F，過C作CG⊥EF于G，那么BF＝CG，設(shè)CG＝4x米，那么DG＝3x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】如圖，延長AB交ED的延長線于F，過C作CG⊥EF于G，那么BF＝CG，在Rt△CDG中，i=CGDG=1：=43設(shè)CG＝4x米，那么DG＝3x米，由勾股定理得：〔4x〕2+〔3x〕2＝102，解得：x＝2，∴CG＝8〔米〕，GD＝6〔米〕，∴BF＝CG＝8米，即平臺距地面的高度為8米，故答案為：8米．15．〔2021?中山市模擬〕如圖，一個長方體木箱沿斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時，AB＝6m，木箱高BE=3m，斜坡角為30°，那么木箱端點E距地面AC的高度EF為9【分析】根據(jù)正弦的定義求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BD，進(jìn)而得到AD的長，求出DF，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解析】設(shè)AB、EF交于點D，∵∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BE∴3DE解得，DE＝2〔m〕，∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝5〔m〕，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD=5∴EF＝DE+DF=92〔故答案為：9216．〔2021?臨泉縣模擬〕如圖，某單位門前原有四級臺階，每級臺階高為18cm，寬為30cm，為方便殘疾人士，擬在門前臺階右側(cè)改成斜坡，設(shè)臺階的起點為A點，斜坡的起點為C點，準(zhǔn)備設(shè)計斜坡BC的坡度i＝1：5，那么AC的長度是270cm．【分析】根據(jù)題意求出BH，根據(jù)坡度的概念求出CH，計算即可．【解析】由題意得，BH⊥AC，那么BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270〔cm〕，故答案為：270．17．〔2021?山西〕太原地鐵2號線是山西省第一條開通運營的地鐵線路，于2021年12月26日開通，如圖是該地鐵某站扶梯的示意圖，扶梯AB的坡度i＝5：12〔i為鉛直高度與水平寬度的比〕．王老師乘扶梯從扶梯底端A以米/秒的速度用時40秒到達(dá)扶梯頂端B，那么王老師上升的鉛直高度BC為10013【分析】由坡度的定義，可設(shè)BC＝5a米，那么AC＝12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．【解析】由題意得：∠ACB＝90°，AB＝×40＝20〔米〕，∵扶梯AB的坡度i＝5：12=BC∴設(shè)BC＝5a米，那么AC＝12a米，由勾股定理得：〔5a〕2+〔12a〕2＝202，解得：a=2013∴BC=100故答案為：1001318．〔2021?吳中區(qū)二?！橙鐖D，是小強(qiáng)洗漱時的側(cè)面示意圖，洗漱臺〔矩形ABCD〕靠墻擺放，高AD＝88cm，寬AB＝51cm，小強(qiáng)身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱時下半身與地面成80°〔∠FGK＝80°〕，身體前傾成125°〔∠EFG＝125°〕，腳與洗漱臺距GC＝15cm〔點D，C，G，K在同一直線上〕．小強(qiáng)希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點O的正上方，他應(yīng)向前或后退11cm．〔sin80°≈，cos80°≈，2≈【分析】過點F作FN⊥DK于N，過點E作EM⊥FN于M，過點E作EP⊥AB于點P，延長OB交MN于H，那么四邊形EPHM與四邊形BCNH都為矩形，證明△EFM是等腰直角三角形，得出EM=22EF≈，求出AO＝BO＝，GN≈17，【解析】過點F作FN⊥DK于N，過點E作EM⊥FN于M，過點E作EP⊥AB于點P，延長OB交MN于H，如下圖：那么四邊形EPHM與四邊形BCNH都為矩形，∴PH＝EM，∵EF+FG＝166cm，F(xiàn)G＝100cm，∴EF＝66cm，∵∠FGK＝80°，∴∠GFK＝10°，∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，∴△EFM是等腰直角三角形，∴EM=22EF=∵AB＝51，O為AB中點，∴AO＝BO＝，∵PH＝EM≈，∵GN＝100?cos80°≈17，CG＝15，∴OH＝25.5+15+17＝，OP＝OH﹣PH＝﹣≈11，∴他應(yīng)向前約11cm，故答案為：11．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021?泰州模擬〕貨車長方體貨廂的凈高BC為m，底部B離地面的高度BD為m．現(xiàn)欲將高為2m的正方體貨物裝進(jìn)貨廂，工人師傅搭了坡度為i＝1：3的坡面AB．〔1〕假設(shè)貨物從如下圖的位置升高m，那么水平移動了多少？〔2〕由于貨物較重但分布均勻，工人師傅試圖將貨物沿坡面AB推到適當(dāng)位置后，再輕松平放進(jìn)貨廂．請問能否到達(dá)目的？為什么？【分析】〔1〕設(shè)水平移動了xm，由i＝1：3，得0.5x=1〔2〕當(dāng)重心G落在直線CD上時，過點E作貨廂底部的垂線于H，求得EH=111510【解析】〔1〕設(shè)水平移動了xm，∵i＝1：3，∴0.5x解得：x＝，∴貨物從如下圖的位置升高m，水平移動了m；〔2〕能到達(dá)目的，理由如下：當(dāng)重心G落在直線CD上時，過點E作貨廂底部的垂線于H，交BF于I，過點G作GT⊥BF于T，如下圖：此時點E到貨廂底部的垂線最長，GT＝FT=12EF＝1〔∵貨廂底部與地面平行，∴EH∥CD，∴∠IHT＝∠ABD，∵∠BDA＝∠IHB＝90°，∴∠IBH＝∠BAD，∵∠BIH＝∠EIF，∠IHB＝∠EFI＝90°，∴∠FEI＝∠IBH＝∠BAD，∵tan∠BAD=1∴FIEF∴FI=13EF=2∴EI=EF2∵∠ABD＝∠GBT，∠BDA＝∠GTB＝90°，∴∠BGT＝∠BAD，∴BTGT∴BT=13GT=1∴BF＝FT+BT＝1+13=∴BI＝BF﹣FI=43-∵IHBH∴IH2+〔3IH〕2＝BI2，∴10IH2＝〔23〕2∴IH=1015〔∴EH＝EI+IH=2103∵1115∴貨物的E點碰不到貨廂頂部，∴工人師傅能到達(dá)目的．20．〔2021?黃岡模擬〕時代購物廣場要修建一個地下停車場，停車場的入口設(shè)計示意圖如下圖，其中斜坡的傾斜角為18°，一樓到地下停車場地面的垂直高度CD＝m，一樓到地平線的距離BC＝1m．〔1〕為保證斜坡的傾斜角為18°，應(yīng)在地面上距點B多遠(yuǎn)的A處開始斜坡的施工？〔結(jié)果精確到m〕〔2〕如果給該購物廣場送貨的貨車高度為m，那么按這樣的設(shè)計能否保證貨車順利進(jìn)入地下停車場？并說明理由．〔參考數(shù)據(jù)：sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈〕【分析】〔1〕根據(jù)題意可得∠BAD＝18°，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)果；〔2〕如圖，過點C作CE⊥AD于點E，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出CE的長，再進(jìn)行比擬即可得結(jié)論．【解析】〔1〕由題意可知：∠BAD＝18°，在Rt△ABD中，AB＝18BDtan18°≈答：應(yīng)在地面上距點B約m遠(yuǎn)的A處開始斜坡的施工；〔2〕能，理由如下：如圖，過點C作CE⊥AD于點E，那么∠ECD＝∠BAD＝18°，在Rt△CED中，CE＝CD?cos18°≈×＝〔m〕，∵＞，∴能保證貨車順利進(jìn)入地下停車場．21．〔2021秋?蘇州期末〕如下圖，建筑物AB坐落在一斜坡的坡頂?shù)钠降厣?，?dāng)太陽光線與水平線夾角成60°時，測得建筑物AB在坡頂平地上的一局部影子BC＝15米，在斜坡CE上的另一局部影子CD＝53米，且斜坡CE的坡度為i〔即tanα〕＝1：3，求建筑物AB的高度．〔結(jié)果保存根號〕【分析】此題是把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形和等腰三角形問題，首先根據(jù)題意作圖〔如圖〕，得Rt△ABF，等腰△AFD；由斜坡CE的坡度為i〔即tanα〕＝1：3，求出∠E，再由Rt△CFD和三角函數(shù)求出CF．進(jìn)而求出AB．【解析】如圖，延長BC交AD于F，過F作FG⊥CD于G，∵斜坡CE的坡度為i〔即tanα〕＝1：3，∴α＝30°．∵BF∥EM，∴∠FCD＝∠E＝30°．∵∠AFB＝60°．∴∠CDF＝∠AFB﹣∠FCD＝30°．∴∠ECD＝∠FDC＝30°．∴FC＝FD．∴CG=12CD∴CF=CGcos∴BF＝BC+CF＝15+5＝20〔米〕．∴AB＝BF?tan60°＝203〔米〕．答：建筑物AB的高度是203米．22．〔2021?海陵區(qū)一?！乘畨蔚臋M截面是梯形ABCD，現(xiàn)測得壩頂DC＝4m，坡面AD的坡度i為1：1，坡面BC的坡角β為60°，壩高3m，〔3≈〔1〕壩底AB的長〔精確到〕；〔2〕水利部門為了加固水壩，在保持壩頂CD不變的情況下降低AD的坡度〔如圖〕，使新坡面DE的坡度i為1：3，原水壩底部正前方m處有一千年古樹，此加固工程對古樹是否有影響？請說明理由．【分析】〔1〕分別過C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分別為F、H，易得四邊形CDHF是矩形，從而CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，易得AH＝DH＝3m，在Rt△BCF中，坡面BC的坡角β為60°，壩高3m，易得BF，那么AB＝AH+HF+FB＝m；〔2〕由題意得，Rt△EDH中，由坡面DE的坡度i為1：3，易得AE＝EH﹣AH的值進(jìn)而與m比擬即可．【解析】〔1〕如圖，分別過C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分別為F、H，得四邊形CDHF是矩形，∴CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，得AH＝DH＝3m，在Rt△BCF中，∠B＝60°，CF＝3m，得BF=3m那么AB＝AH+HF+FB＝≈m；那么壩底AB的長約為m；〔2〕由題意得