數(shù)學(xué)分析第五章：導(dǎo)數(shù)和微分

第五章導(dǎo)數(shù)和微分§1導(dǎo)數(shù)的概念§2求導(dǎo)法則§3參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§4高階導(dǎo)數(shù)§5微分

1、給出了導(dǎo)數(shù)的物理模型—瞬時(shí)速度和幾何模型—切線斜率。2、給出了函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（可導(dǎo)）的定義和函數(shù)在一點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)的定義，以及函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的定義；給出了可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。3、給出了導(dǎo)數(shù)的幾何意義—切線的斜率。教學(xué)內(nèi)容：4、給出了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)的例題。教學(xué)重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的定義和計(jì)算要求:1、知道導(dǎo)數(shù)的構(gòu)造性定義,理解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)方面的作用.2、知道導(dǎo)數(shù)和連續(xù)的關(guān)系,即可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo).3、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).§1導(dǎo)數(shù)的概念問題的提出:在中學(xué)里我們學(xué)習(xí)過，物體作勻速直線運(yùn)動，其速度等于位移除以時(shí)間。而物體的運(yùn)動往往不可能總是勻速的，通常人們所說的物體運(yùn)動速度是指物體在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度。平均速度不能反映物體的瞬時(shí)速度。如果我們已知物體的運(yùn)動規(guī)律，如何計(jì)算它的瞬時(shí)速度?兩個(gè)例子:1.瞬時(shí)速度則物體在時(shí)刻t0

的瞬時(shí)速度定義為速度反映了路程對時(shí)間變化的快慢程度2.切線的斜率xQ曲線在其上一點(diǎn)即為曲線在點(diǎn)P的切線的斜率.OPTy一導(dǎo)數(shù)的定義定義1:即

(1)解:由定義求得所以切線方程為

即證

因?yàn)?/p>

注:利用導(dǎo)數(shù)的定義可證,常量函數(shù)在任何點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零,即定義2:類似地,可以定義左導(dǎo)數(shù)

左﹑右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:

注:下列函數(shù)個(gè)別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或左右導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義.函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)的函數(shù)值單獨(dú)定義的,其余點(diǎn)的函數(shù)值用統(tǒng)一解析式定義的(函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)連續(xù)).(2)求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).例

解

由于

因此

可導(dǎo)→連續(xù)。即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件?？梢宰C明：連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。二導(dǎo)函數(shù)

特別

例證明

(i)為正整數(shù).(ii)(iii)定義:證

(i)和(iii)的證明略.(ii)下面只證第一個(gè)等式,類似地可證第二個(gè)等式.由于三﹑導(dǎo)數(shù)的幾何意義法線方程為:注:例

解

由于

定義3定理(費(fèi)馬定理)注:極值點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)的關(guān)系:1.極值點(diǎn)不一定是穩(wěn)定點(diǎn),穩(wěn)定點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn).2.可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn).達(dá)布(Darboux)定理(導(dǎo)函數(shù)的介值定理)證:(略)§2求導(dǎo)法則教學(xué)內(nèi)容：1.給出了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.2.給出了反函數(shù)的求導(dǎo)法則,并得到了指數(shù)函數(shù),反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式.3.給出了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,并得到了冪函數(shù)的求導(dǎo)公式.教學(xué)重點(diǎn):熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.要求:1.掌握求導(dǎo)法則,尤其是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.2.能熟練應(yīng)用求導(dǎo)法則及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t問題的提出:從上一節(jié)可以看到,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義可以求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但通常比較繁瑣,有沒有更為簡單、方便有效的方法求函數(shù)特別是初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?

初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法:1.利用求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)；

2.利用反函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)；

3.對數(shù)求導(dǎo)法；

4.利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)；

例解由于例求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):解二反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本求導(dǎo)法則:例證(2)(3)的證明略去.三對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法的步驟:1.兩端取絕對值之后,再取自然對數(shù).2.等式兩端分別對自變量求導(dǎo).例先對函數(shù)取對數(shù),得解再對上式兩邊分別求對數(shù),得整理后得到補(bǔ)充:分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例設(shè)當(dāng)解當(dāng)§3參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)給出了由參量方程所確定的參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則.教學(xué)重點(diǎn):參量方程的求導(dǎo)法則.要求:能熟練求出參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù).問題的提出:前面兩節(jié)我們學(xué)習(xí)了顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求解方法,如何求由參量方程所確定的參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢?例試求由上半橢圓的參變量方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解由公式(1)求得例證由公式(2)有§4高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：1、給出了高階導(dǎo)數(shù)的定義，并得到冪函數(shù)y=xn、三角函數(shù)

y=sinx、y=cosx、指數(shù)函數(shù)y=ex的n階導(dǎo)數(shù)公式。2、給出了求兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式。3、給出了求由參量方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式。教學(xué)重點(diǎn)：

各類函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。要求：

熟練掌握各類函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及萊布尼茨公式的應(yīng)用。問題的提出：

速度是位移的導(dǎo)數(shù)，而加速度又是速度的導(dǎo)數(shù)，那么加速度與位移是什么關(guān)系呢？一高階導(dǎo)數(shù)的概念1、二階導(dǎo)數(shù)的定義定義1：若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，即

同時(shí)稱在點(diǎn)為二階可導(dǎo)。2、n階導(dǎo)數(shù)：的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的n階導(dǎo)數(shù)。3、高階導(dǎo)數(shù)：二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。二高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1、n個(gè)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)例1求冪函數(shù)（n為正整數(shù)）的各階導(dǎo)數(shù)。解由冪函數(shù)的求導(dǎo)公式得由此可見，對于正整數(shù)冪函數(shù)xn，每求導(dǎo)一次，其冪次降低1，第n階導(dǎo)數(shù)為一常數(shù)，大于n階的導(dǎo)數(shù)都等于0。注：用類似的方法，可求得三角函數(shù)y=sinx,y=cosx及指數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)。2、利用萊布尼茨公式求兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)萊布尼茨公式：例4：設(shè)，求解令由例2和例3有應(yīng)用萊布尼茨公式（n=5）得3、分段函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)例5研究函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，由左右導(dǎo)數(shù)定義不難求得而當(dāng)時(shí)，不存在，整理后得當(dāng)時(shí)4、由參量方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)由參量方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)分別為:（1）（2）例6試求由擺線參量方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。解由公式（1）得再由公式（2）得

§5微分教學(xué)內(nèi)容：1、給出了函數(shù)在一點(diǎn)得微分（可微）的概念，并證明了可導(dǎo)與可微是等價(jià)的。2、微分運(yùn)算法則以及一階微分形式的不變性。3、高階微分的定義與計(jì)算，并說明高階微分不具有形式的不變性。4、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。要求:1、掌握微分概念，理解微分的分析和幾何意義。2、掌握微分與導(dǎo)數(shù)的異同以及它們之間的聯(lián)系。問題的提出：

恩格斯在《反社林論》中指出：“高等數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)之一是這樣一個(gè)矛盾：在一定條件下直線和曲線應(yīng)當(dāng)是一回事”。這里所說的“一定條件”指的是什么？換句話說，怎樣的函數(shù)可用線性函數(shù)去逼近？由兩部分組成：（Ⅰ）（陰影部分）（Ⅱ）它是關(guān)于的高階無窮小量例：設(shè)一邊長為x的正方形，它的面積是的函數(shù)。若邊長由增加了，相應(yīng)地正方形面積地增量

因此，當(dāng)給一個(gè)微小增量時(shí)，由此引起的正方形增量可近似地用的線性部分來代替，且由此產(chǎn)生的誤差是一個(gè)關(guān)于的高階無窮小量。一微分的概念定義：設(shè)函數(shù)定義在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)。當(dāng)給一個(gè)增量時(shí)，相應(yīng)地得到函數(shù)的增量為：如果存在常數(shù)A，使得能表示成則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，并稱（1）式中的第一項(xiàng)為在點(diǎn)的微分，記作

（1）或注意：①函數(shù)的微分與增量之間僅相差一個(gè)關(guān)于的高階無窮小量。②若函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)的小鄰域內(nèi)可用切線代替曲線。二可導(dǎo)與可微的聯(lián)系與區(qū)別1、函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，且2、函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別。①是一個(gè)函數(shù)，而微分是的線性函數(shù)，它的定義域是R,它是無窮小，即②從幾何意義上說，導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)的切線斜率，而微分是曲線在點(diǎn)的切線方程在點(diǎn)的縱坐標(biāo)。③導(dǎo)數(shù)通常用于關(guān)于函數(shù)性質(zhì)理論的研究，而微分通常用于近似計(jì)算和微分運(yùn)算。三微分的運(yùn)算法則1、微分運(yùn)算法則①②③④2、一階微分方程的不變性則3、函數(shù)微分的計(jì)算方法（1）利用微分運(yùn)算法則例1求的微分。解（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求微分，即

例求的微分。解因?yàn)?/p>

所以（3）利用一階微分形式的不變性例2求的微分。解由一階微分形式不變性，可得四高階微分3、高階微分：二階以及二階以上的微分統(tǒng)稱為高階微分。1、二階微分：一階微分的微分稱為二階微分。記作且有（1）2、n階微分：n-1階微分的微分稱為n階微分，記作且有（2）例3設(shè)分別依公式（1）、（2）求解由得依公式（1）得類似地，依公式（2）得五微分在近似計(jì)算1、函數(shù)的近似計(jì)算近似計(jì)算公式：①當(dāng)很小時(shí)，例5設(shè)鐘擺的周期是1秒，在冬季擺長至多縮短0.01cm，試問此鐘每天至多快幾秒？解由物理學(xué)知道，單擺周期T與擺長l的關(guān)系為其中g(shù)是重力加速度。已知鐘擺周期為1秒，故此擺原長為當(dāng)擺長最多縮短0.01cm時(shí)，擺長的增量它引起單擺周期的增量（見下頁）這就是說,加快約0.0002秒,因此每天大約加快例4求的近似值。解由于因此取由上述式子得到②當(dāng)很小時(shí)，注：利用該公式時(shí)