信賴區(qū)間-推理性的統(tǒng)計量VIP

A3-信賴區(qū)間

(ConfidenceIntervals)Pg76復習母體與樣本之間的差異演練估計信賴區(qū)間的方法:平均數(shù)(大樣本和小樣本)標準偏差比例章節(jié)目的與用途Pg77分析階段:可能取得的成果項目回顧和第一次課程其余成果確定變異來源:探測性資料分析應用工具:FMEA和用Excel操縱資料

圖表技巧

確定變異來源:統(tǒng)計分析

信賴區(qū)間假說檢定與樣本大小

中心趨勢

確定變異來源：變異數(shù)分析

實驗設計(DOE)規(guī)劃

完成階段總結

結論,問題和下階段任務

Pg78簡要復習:母體與樣本母體統(tǒng)計數(shù)平均數(shù)–m標準差–s樣本統(tǒng)計數(shù)樣本平均數(shù)–

用于標準偏差的

估計數(shù)–s母體

-人們想要推斷的事物的整個群體樣本--人們實際從母體中搜集的數(shù)據(jù)組合Pg79推論性的統(tǒng)計量–定義母體是實驗者感興趣的所有測量值的集合樣本是母體中挑選出來的測量值的一個子集合.推斷是關于由樣本中所包含的信息對母體參數(shù)的一個陳述兩種類型的推論

估計

作一個民意測驗計劃測定公眾對新的政治丑聞的反應.目的是通過調查一個有代表性的樣本來估計所有美國人的反應.假說檢定

一種已開發(fā)的萊姆關節(jié)炎疾病疫苗,其副作用的比率為1.45%.又開發(fā)了一種新的疫苗,想了解其副作用的比率是否低于

1.45%本模塊講的是關于估計的問題Pg80使用樣本數(shù)據(jù)對母體平均數(shù)的最佳估計值是什么?樣本平均數(shù)樣本平均數(shù)與母體平均數(shù)的估計有多好?

什么因素影響樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)作為母體平均值的估計的準確性?想一想:估計與中央極限定理樣本平均數(shù)分布的變異是母體變異和樣本大小的函數(shù).

Pg81信賴區(qū)間–圖示法

平均數(shù)的分布(n=5)95%的樣本平均數(shù)落在這個區(qū)間內(nèi)如果我們構想一個在樣本平均數(shù)左右的寬度為

的區(qū)間,我們有95%的把握說真實平均數(shù)是在這個信賴區(qū)間內(nèi)的某個地方

μPopulation＝0

Population

＝1Pg82信賴區(qū)間–數(shù)學模型

95%的X-bar估計誤差上下限是:換句話說,我們有95%的把握說真實的平均數(shù)在樣本平均

數(shù)的

范圍之內(nèi).?Pg83實例一個社會工作者對初犯者出獄至第二次被捕入獄在社會上所待的平均時間長短發(fā)生興趣.150份監(jiān)獄記錄的隨機樣本表明前后兩次犯罪之間監(jiān)外生活的平均時間為3.2年,樣本標準偏差為1.1年(假定非常接近真實的

s).估計平均數(shù)

m,即前后兩次犯罪之間監(jiān)外生活的平均時間.構想一個信賴度為95%的信賴區(qū)間?Pg84Minitab中的信賴區(qū)間打開

Minitab

文件

Recidivism.mtw中的資料選擇

Stat>BasicStatistics>1-samplet…Recidivism.mtwPg85Minitab的輸出信賴區(qū)間

–

單一樣本檢定

1Samplet…還記得手工計算嗎?One-SampleT:RecidivismVariableNMeanStDevSEMean95.0%CIRecidivism1503.20191.09490.0894(3.0253,3.3786)Pg86大樣本

的區(qū)間估計從中央極限定理中我們得知從母體中抽取的樣本平均數(shù)的95%將落入這個區(qū)間內(nèi)

或,我們有95%的把握說真實的平均數(shù)落入這個區(qū)間(信賴區(qū)間)內(nèi).99.7%的信賴區(qū)間是寬還是窄?對于監(jiān)獄數(shù)據(jù),99.7%的信賴區(qū)間是多少?對于監(jiān)獄數(shù)據(jù),68%的信賴區(qū)間又是多少??Pg87平均數(shù)的信賴區(qū)間對于母體標準偏差已知或大樣本的信賴區(qū)間其基本公式為:

其數(shù)量(1-

)稱之為信賴系數(shù)并且公式給出

的100(1-

)%的信賴區(qū)間Alpha是在你計算的區(qū)間內(nèi)捕獲不到真實的母體平均數(shù)的機率.

的95%信賴區(qū)間是多少?

的99%信賴區(qū)間是多少?Z/2

是什么?Pg88數(shù)值

Za/2

是Z中的一個值其常態(tài)分布右側的面積是a/2.或在a距離

右邊的Za/2

標準差曲線下的面積為a/2.常用的Za/2

值與想應的a:a/2(1-a)Area<.90.9501.65.95.9751.96.98.9902.33.99.9952.58信賴區(qū)間取決于機率分布Za/2Pg89實例在36所私立小學的隨機樣本中,學生的平均數(shù)量為379.2其標準偏差為124.構造教區(qū)中各學校學生平均數(shù)量的信賴度為95%的信賴區(qū)間.

Pg90怎樣用

Minitab計算

Za/2

從主菜單中選擇

Calc>ProbabilityDistributions>Normal…Minitab輸出:P(X<=x)x0.97501.9600

左邊的面積是(1-a/2)計算面積為

(1-a)時的

Pg91練習用Minitab,證明下列表格中的Z值與

a

值的對應關系是正確的.(1-a)面積<.90.9501.65.95.9751.96.98.9902.33.99.9952.58Pg92小樣本的信賴區(qū)間又是怎樣的呢?如果母體標準偏差是已知(幾乎從未已知),也使用前面的公式來計算小樣本的信賴區(qū)間.如果母體標準偏差未知(通常是未知):使用標準偏差的估計數(shù)使用

t-分配代替常態(tài)(Z)分布.

問:什么是

t-分配?t-分配是鐘型分布(類似常態(tài))家族之一,其分布取決于樣本的大小.樣本數(shù)n越小,其分布越扁平.Pg93t-分配n=100(df=99)時的t0.025

n=5(df=4)時的t0.025t-分配n52.781.24102.260.71202.090.47302.050.371001.980.2010001.960.06注意兩個不同的

t分配之間的差異看一看樣本大小是怎樣影響信賴區(qū)間的寬度Pg94信賴度為95%的Z與

t

各樣本大小相對的t及

Z

樣本大小

Pg95實例:用

Minitab計算

用10個樣本,計算信賴度為95%的t-值在主選單中選擇

Calc>ProbabilityDistributions>t…

Minitab輸出:

P(X<=x)x0.97502.2622計算面積為

(1-a)相應的

左邊的面積為(1-a/2)自由度=n-1Pg96練習使用Minitab證明下列表格中的t值與

n值的對應關系是正確的.n52.781.24102.260.71202.090.47302.050.371001.980.2010001.960.06Pg97實例高速公路巡邏人員想知道在某一段高速公路轎車的平均速度.一位巡邏人員隨機挑選10輛車,用雷達測量它們的速度.這10輛車的平均速度為72.6mph,母體標準偏差的估計量為6.2mph.請計算信賴度為95%的平均速度的信賴區(qū)間

巡邏人員希望更準確一點,于是收集100輛車的資料,其平均數(shù)為70,標準偏差為8.1.請計算平均速度的信賴度為95%的信賴區(qū)間

注：兩組資料皆來自于一個

m

為71和

s

為8的常態(tài)分布.Pg98用

Minitab直接計算平均數(shù)的信賴區(qū)間打開

MinitabHighway.mtw文件中的資料從主菜單中選擇

Stat>BasicStat>1-Sample-t…

點選

Options選擇一個信賴區(qū)間Minitab輸出:VariableNMeanStDevSEMean95.0%CISpeed11072.626.231.97(68.16,77.07)?Highway.mtwPg99用Minitab計算信賴區(qū)間的另一個方法選擇

Stat>BasicStat>DisplayDescriptiveStatistics…

然后點選

Graphs

并選擇

GraphicalSummary…Pg100Minitab輸出這個熟悉嗎?這個是怎么計算出來的??Pg101母體標準偏差的信賴區(qū)間

(CI)標準偏差的信賴區(qū)間是用 卡方分配來計算的c2分配的關鍵參數(shù)是自由度

(df=n-1)對于

c2分配來講:

c2

分配不是對稱的,所以:d.f.=4d.f.=8d.f.=20Pg102標準偏差的信賴區(qū)間(CI)--公式卡方分配的兩邊必須輸入這個公式來計算:

和常態(tài)及t分配計算方法一樣,Minitab用相同的方法計算卡方機率,.

Pg103實例:計算標準偏差的信賴區(qū)間

(CI)以Speed1為實例,n=10,s=6.2,計算標準偏差的信賴區(qū)間其信賴度為95%.Pg104用

Minitab計算

X2分配的左側機率Minitab中選擇

Calc>ProbabilityDistributions>Chi-Square…Minitab輸出

P(X<=x)x0.02502.7004計算在d.f.=9a/2=.025條件下的機率

Pg105Minitab中選擇

Calc>ProbabilityDistributions>Chi-Square…Minitab輸出

P(X<=x)x0.975019.0228計算在d.f.=9a/2=.975條件下的機率

用

Minitab計算

X2分配的右側機率Pg106練習手工計算第二組速度數(shù)據(jù)標準偏差的信賴度為95%的信賴區(qū)間n=100S=8.1用MinitabHighway.mtw文件中的

Speed2資料及

Minitab的圖形摘要(GraphicalSummary)功能,證明你的手工計算結果.Highway.mtwPg107比例的信賴區(qū)間

(CI)當滿足某些假設時*,則

比例的CI是: 其中:

例如–將二項式分配作常態(tài)分配近似處理,計算200個測試中有5個不合格的信賴度為90%的信賴區(qū)間Pg108比例和二項式實驗

(ProportionsandBinomialExperiments)比例數(shù)據(jù)通常是二項式類型實驗的結果二項式實驗(或伯努利試驗)的結果只能有兩個,不是“成功”就是“失敗”.這種類型的實驗機率用二項式分配,一個復雜的分配來描述許多情況下可用常態(tài)分配近似二項式分配

nxp>5和nx(1-p)>5=nxp且2=nxpx(1-p)Pg109用

Minitab計算比例的信賴區(qū)間

一位檢查員隨機抽樣檢查200件倉庫內(nèi)的產(chǎn)品.發(fā)現(xiàn)5件有缺陷的產(chǎn)品.請計算倉庫中合格品比例的信賴度為90%的信賴區(qū)間.選擇

Stat>BasicStatistics>1-Proportion…

?Pg110Minitab單一比例檢定結果(1ProportionTest)使用常態(tài)近似方法:

SampleX NSamplep90.0%CI Z-ValueP-Value

11952000.975000(0.956841,0.993159)13.440.000使用原始的二項式分配:

SampleXN Samplep 90.0%CI P-Value

1195200 0.975000 (0.948157,0.990099) 0.000計算中如果將成功/失敗的數(shù)值顛倒將會是什么結果呢?(將5當作成功而不是用195.)SampleXN Samplep 90.0%CI P-Value15200 0.025000 (0.009901,0.051843) 0.000?Pg111家庭作業(yè)

對于下列問題,使用

MinitabCIHomework.mtw文件中的數(shù)據(jù),首先手工計算平均數(shù)和標準偏差的信賴區(qū)間,然后用

Minitab的

Graphicalsummary(圖形摘要功能)檢查計算結果.一位林務官要估計一個2000英畝種植園中每畝成年樹的平均數(shù)量.抽取并檢驗了一英