2023年黑龍江省雞西市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考測(cè)試卷(含答案帶解析)

2023年黑龍江省雞西市成考專升本高等數(shù)

學(xué)二自考測(cè)試卷(含答案帶解析)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

A.A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

［皿乏“o

設(shè)函數(shù)/(x)=,工’在仙0處連續(xù),則a=().

2.a.x=oA.-lB.1C.2D.3

3.從10名理事中選出3名常務(wù)理事，共有可能的人選()。

A.120組B.240組C.600組D.720組

4.設(shè)事件A,B相互獨(dú)立，A,B發(fā)生的概率分別為06,0.9,則A,B都不

發(fā)生的概率為()。

A.0.54B.0.04C.0.1D,0.4

I

1?x-l

lime=

5.1

A.A.OB.lC.+ooD.不存在且不是+oo

6.

若下列各極限都存在，其中不成立的是

A.lim…八°)=八。)

jf*O工

B.lim/(X)-^(Jo)=/(xo)

L與X-Xo

C.lim/G。+/一八工。)=/(工。)

D.1加義工。)_《0°_4力=/(工。)

LOAZ

設(shè)函數(shù)w=sin(jV).則得等于

A?QCGNIJ')

B.-jrycost2:^)

C.^J^COSCJ'J2)

7D.y2cas(.ry)

R設(shè)函數(shù)z=cos(*+y?),則罌■等于()?

0.dxdV

A.-2ycos(x+y2)

B.-2ysin(x+y2)

C.2ycos(x+y2)

D.2ysin(x+y2)

9.

函數(shù)y=Lln(H+2)的定義域是

X

兒工工0且1，-2Rx>0

C-z>-2D.z>—2且zKO

10.

函數(shù)/(X)在［Q,切上連續(xù)是/(X)在該區(qū)間上可積的

A.必要條件，但非充分條件B.充分條件，但非必要條件

C.充分必要條件D.既不是充分條件，也不是必要條件

設(shè)z=e'y,則套=

11.耐()O

A2x(l+x2y)exZy

口2x(1+x2)ex2y

D.

2Jt2y

r2jcy(l+jr)e

2?v

Dxy(l+x)e

［，設(shè)u(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且“(x)M,貝11|即1?(幻］'=

JL/?

u9

A.u

/

u

R薩

15.

2u

C.u

D.W

13.

已知田旺"■則/號(hào))等于(),

A.-2B.-1C.—

9

14.

對(duì)于函數(shù)y=3，下列結(jié)論正確的是

A.x=0是極小值點(diǎn)

B.z=0是極大值點(diǎn)

C.(0,0)是曲線拐點(diǎn)

D.(0,0)不是曲線拐點(diǎn)

以下結(jié)論正確的是()

A?函數(shù)/⑺的導(dǎo)的不數(shù)作的點(diǎn).?定不是八，)的極儺點(diǎn)

B.若小為函數(shù)/⑺的駐點(diǎn).則上.必為—的極例點(diǎn)

C.若函數(shù)八」)在點(diǎn)X,處一極值川J'5)存在,則必仃?Cr“=Q

15.n若函數(shù)/C)在點(diǎn)，處連續(xù).則廣(工>一定存在

16.函數(shù)y=ax2+c在(0,+oo)上單調(diào)增加，則a,c應(yīng)滿足【】

A.a<c且c=0B.a>0且c是任意常數(shù)C.a<0且c#0D.a<0且c是任

意常數(shù)

]7設(shè)函數(shù)z=tan(xy),則g：=().

一,

A.CO8：(X/)

.

B.co/(xy)

?

C.cos，(xy)

___Z_

D.cos2(xr)

18.下列結(jié)論正確的是

A.A.若A+B=。，則A,B互為對(duì)立事件

B.若A,B為互不相容事件，則A,B互為對(duì)立事件

若A,B為互不相容事件，則A,B也互不相容

D.若A.B為互不相容事件，則A-B=A

19.設(shè)F-2(x)=e2x+i,則f"(x)|x=O=O

A.A.4eB.2eC.eD.l

20.設(shè)f(x)=xe2(x」)，則在X=1處的切線方程是()。

A.3x-y+4=0B.3x+y+4=0C.3x+y-4=0D.3x-y-2=0

21.

下列極限值等于e的是

A.lim(l+—)xB.lim(l+x)x

x-*0JCr-*0

C.lim(l+—)xD.lim(l+x)^

Xa—???

設(shè)函數(shù)z=x”ny,則注=

22.砂

A.A.7

xJ

y2

B.

xJ+l

C.y

23.

設(shè)/（*）在4及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)X<貓時(shí)廣（X）>0.當(dāng)X>x_時(shí)/（x）<0.則必f

/'（與）（）.

A?小于°B.等于0C.大于0D.不確定

下列命題肯定正確的是

A.若hm"）存在.hm不存在+必不存在

若lim，（工）與limgCr）都不存在，JOJlim［/（x）4-gCr）］必不存在

B.?I

若lim/Q）存在?lim*（工）不存在?則?8（工）］必不存在

C,-

若lim/J）不存在.剜l(xiāng)im=|/（"|必不存在

24.D,

25.若r(X)<0(a<x/b)且f(b)>0,則在(a,b)內(nèi)必有

A.A./W>0

c/(x)=0

D./（x）符號(hào)不定

26.若點(diǎn)（1，3）是曲線的拐點(diǎn)，則

aTT

A.A.22

B.一32,M6=—22

_3._9

3

D.2

27.

設(shè)函數(shù)/（工）=反二到，則1而穴工）是

X—bX—5

A.0B.-1

C.1D.不存在

28.下列廣義積分收斂的是()o

Inrdx

A.J?

「3dz

B.J,R

?一1

In|x|dx

C.J-8

?+oo

eTdx

DJ

設(shè)/(x)=翌"，WJlf/(x)dxr=

29.x」()o

cosx

X

A.

sinx

B.x

—+C

C.X

sinx八

------+C

D.x

30.5人排成一列，甲、乙必須排在首尾的概率P=

A.A.2/5B.3/5C.l/10D.3/10

二、填空題(30題)

3J.禽?叱

若z=ln(_r+ny),則占=dz

3乙?

33.

若廣盧也收斂,則％應(yīng)滿足的條件是

設(shè)y=/(“-*)，且/可導(dǎo)，則y'=.

34.

tSz=ulnv?rfn?=cosx,v=e4.則業(yè)=

35.dx

36.

Y4-/

設(shè)y(r)=lim?---V，則/(/)=

X*XT

37.

設(shè)y=sin(Inx),則y[l)=

38.若r占山=?則。=—?

設(shè)z=,則dz=_______________.

39.㈠

40.

設(shè)z=arcsin(xy),則/告=_____________.

axoy

函數(shù)石在區(qū)間卜1,1］上的量大值是.

Q■?

42.已知y=xe”',則y"=

43.設(shè)事件A與B相互獨(dú)立,且P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,則P(B)=

44.

設(shè)y'=2x,且*=1時(shí)，y=2,則y=.

45.

(x)(4)

設(shè)函數(shù)/(x)在x=4處連續(xù)且可導(dǎo)，且/'(4)=2,則|im/-/=______________

x-4

46.

如果b>0,且J：lnxdx=l,則6=.

47.設(shè)z=x2y+y2,貝!Jdz=_.

48.

設(shè)尸(x)=[arcsin/dr.則尸'(0)=

，

49.J

50.

若。(w)dx=ax+log/+C,則/(x)

51.

設(shè)J2華工收斂.則&的取值范圉是

52.

函數(shù)f(±)=(coszH在x=0點(diǎn)處連續(xù),則定義/(0)=

rxdx

53.G

設(shè)/(x)=x2,g(x)=e'，M—{g(/(x)])".

54.心

55.fsinxcos2xdx=

56.

已知/(x)=InX,則j：/z(ex)dx=

57.

函數(shù)二=2xy-3x2-3/+20在其定義域上

A.有極大值,無(wú)極小值B.無(wú)極大值,有極小值

C.有極大值,有極小值D.無(wú)極大值，無(wú)極小值

58.

不定積分jxV'dz=.

60.

設(shè)，(2t—Ddt=6,則H=.

三、計(jì)算題(30題)

6］設(shè)土HMV+sin/,而u=e1.v=co"?求$?

62求不定積分［［產(chǎn)+ln(l+Qj&n

ix=alt-sin/):求必修

巳知參數(shù)方程Y

63y=a(\-cosZ)

64設(shè)函數(shù)N=(2工+山”〃.求也

“計(jì)算定積分|cos^sinxdj.

65.九

求不定積分

66.

67.該面數(shù)?=V+"(*.>>)?其中/<x.>)為可it函數(shù).求dt.

68.計(jì)算定利:ln(Vx+l)dr.

69.求函數(shù)z=arctan(x^)的全微分.

70.求檄分方臉+合J的通解.

求廣義皿

7L底…

x>0.

設(shè)函數(shù)/(X)求定枳分

*V0.

72.

(arctanf)2d.r

求極限lim乩一

73.Vxl4-1

74.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶（如圖所示），其周長(zhǎng)為

12m,為使窗戶的面積A達(dá)到最大，矩形的寬1應(yīng)為多少？

計(jì)算定積分「71-eudx.

75.Jo

76.設(shè)函數(shù)y=由方程y=（iu）'?工》確定，求/.

計(jì)算］|（6+，_q）ckrd.v.其中D為?+>2《］

求定積分「ln（l+G）&.

78.J。

［/sin—.zX0.

求函數(shù)八力={工的導(dǎo)數(shù).

79.人工=。

80.求函數(shù)f（x）=x3-3x+l的單調(diào)區(qū)間和極值.

設(shè)下述積分在全平面上與路徑無(wú)關(guān):

I+^(x)-y^ydy.

81.其中函數(shù)61）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?并且6D=1.求函數(shù)職工）.

82改變積分[d，：/（7~）右+[chf'/G.y）dy的積分次序.

83設(shè)函數(shù)八工）-Cr-a）*（i）.其中g(shù)（j-）在點(diǎn)工=。處連續(xù).求/（a）.

巳知曲級(jí)y―丁.鼠求：

（1）曲線在點(diǎn)＜1.】）處的切線方程與法線方程；

84.（2）曲線上騫一點(diǎn)處的切找與直姚,=4工一1平行？

求極限lim亡宰三

85.21-71-J4

計(jì)算定枳分，/2工一工&.

86.

87.求函數(shù)/（，）=工，，在定義域內(nèi)的最大值和最小值.

QQ設(shè)工=、/（二）+〃（*）.其中/（"A./V）分別為可減的數(shù).求爭(zhēng)，喜.

oo.y7dxdy

求極限limcotj■/-r------\

89.

90.已知函數(shù)》=arcsinx后黑,求機(jī)“

四、綜合題(10題)

設(shè)平面圖形D是由曲線y=C'.直線y=C及y軸所圍成的?求：

(I)平面圖形D的面積：

91.(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

92.

一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)月租金定為2000元時(shí),公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)月

租金每增加100元時(shí).就會(huì)多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi).試問(wèn)租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

93.求由曲線y=(X-D1和直線1=2所圍成的圖形繞，軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積?

94.

設(shè)/(x)在區(qū)間［a.瓦I上可導(dǎo)，且/(a)=f(b)=0.證明：至少存在一點(diǎn)WW《。山》,使得

/(e)+3e*/(e)=o.

供證耽方程-T—j：備也=0在區(qū)間(。川內(nèi)有唯一的實(shí)根?

96.證明方程4h=2'在［0J］上有且只有一個(gè)實(shí)根.

97.

設(shè)函數(shù)F(J-)=(T>0),其中/(x)在區(qū)間［a,+8)上連續(xù)./"(工)在

x-a

(a.+°°)內(nèi)存在且大于零.求證:F(H)在(a.+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

98.

過(guò)曲線、=/(X00)上某點(diǎn)人作切找.若過(guò)點(diǎn)人作的切線.曲線.丫-l'及r軸闈成

的圖形面積為上.求該圖形燒，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體枳V.

平面圖形由拋物線y1-2z.與該曲線在點(diǎn)處的法線所圍成,試求，

(1)讀平面圖形的面根?

99.<2)該平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

100證明；當(dāng)工》。時(shí)二p

五、解答題(10題)

101.

證明jx"(l—x)"dx—Jx"(l—x)"dx.

102.z=sin(xy2)+ex2y,求dz.

103.

(本題滿分10分)求函數(shù)：="TF在條件2"、=5下的極值.

104.

設(shè),=arcsin/(，)，求y'.

ln(l+xb

計(jì)算lim------------?

105.xsinx

106.

已知/")=卜2T,計(jì)算J：/(x)dx.

x+1x^lJo

107.

設(shè)函數(shù)y=y(x)是由方程ln(x+y)=/y所確定的隱函數(shù)，求函數(shù)曲

線丫=義為過(guò)點(diǎn)(0，D的切線方程.

108.設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xlnx,求Jxf*(x)dx。

、M

109.?計(jì)算aJrcsinzdLr.

110.求由曲線丫=6乂、x2+y2=l、X=1在第一象限所圍成的平面圖形的面

積A及此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx。

六、單選題(0題)

111.3個(gè)男同學(xué)與2個(gè)女同學(xué)排成一列，設(shè)事件A=｛男女必須間隔排

列｝,則P(A)=

A.A.3/10B.l/10C.3/5D.2/5

參考答案

1.B

根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)的定義：lim/(x)=/(O),則有

,nlim/(x)=limS'n=3=/(0)=a.

Z.Lli*.rx

3.A

4.B

5.D

因?yàn)楫?dāng)x~*i-時(shí)，——-?o,而當(dāng)x—r時(shí)，——-*-H?

x-lx-1

11

所以當(dāng)時(shí)，-0,而當(dāng)時(shí)，e=-+oo

i

則lime1不存在且不是+?o,故選D.

XT1

6.C

7.D

8.A

9.D

10.B

［解析1根據(jù)定積分的定義和性質(zhì)，函數(shù)/(x)在［a,加上連續(xù)，則f(x)在［a,b］

上可積：反之，則不一定成立.

11.A

因?yàn)槔?一八2盯

OX

所以：^~=(2xye'')：.=(2x+2xy-x2)cic2y=2x(l+x2y)eJ［2>

dxdy

12.C

(InU2)Z=(2Inu)z=—

u

13.B

答應(yīng)選B.

提示先用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),再求/'(右)?

因?yàn)榭偞窊淙?/p>

則咱…

當(dāng)x=2時(shí).得/［十)=-1.故選B.

14.C

15.C

16.B

由：y'=2ax,若：y在(0,+功上單調(diào)增加，則應(yīng)有y，>0,即a>0,且對(duì)c

沒(méi)有其他要求，故選B.

17.A此題暫無(wú)解析

18.D

19.A

因?yàn)椋?-2,(x)f=7^(x),

所以廣°g=2e叫fS(x)=4e2,+,.

則〃(0)=4e.

20.D

因?yàn)閞(x)=(l+2x)e2(x-1\f(l)=3,則切線方程的斜率k=3,切線方程為

y-l=3(x-l),即3x-y-2=0,故選Do

21.C

22.A

23.B

答應(yīng)選B.

分析本題主要考不函數(shù)在點(diǎn)％處取到極值的必要條件：若函數(shù)、=/■)在點(diǎn)小處可一

且與為/(*)的極值點(diǎn).則必有/'(%)=0.

本8S雖未直接給出x?足極假點(diǎn).但是根據(jù)已知條件及極俏的第一充分條件可知/(%)為:

大值.故選B.

考生必須注意的是：題目中的條件/(x)住點(diǎn)x.的鄰域內(nèi)可中是不可少的.否則相應(yīng)的結(jié)二

「5)=0不一定正啾這是因?yàn)闃O值可以在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處取到,如

x=0時(shí).「不存在.但?=04;,的小力值?氣

24.A

25.A

因?yàn)閒Xx)<0xe(a,b)

所以單調(diào)減少%G(a,b)

又f(b)>0所以/(x)>0%(a,b)

26.A

27.D

28.B

29.B

30.C

甲乙排在首尾的方法為2!,另外3人排在中間的方法是3!,

所以，甲乙必須排在頭尾的概率為衛(wèi)=」1~.

5!10

31.1

32.

______L.1

1r+lny'z+lnyy

33.k<0

『e"dx=}(融))

=10^|^=-(0-1)(當(dāng)上40時(shí))

tck

1

~k

-a-x\naf\a-x)

［解析］4=八小)(尸)'

=f\a~x)-Ina-a~x(—x)z

M=-a~x-Ina'f\a~x)

cosx-xsinx

［解析］方法一

dzdzdu.dzdv..x.u.

dxdudxdvdxv

..cosx.

-sinx-Inex+-------ex=-xsinx+cosx

eJ

方法二

將u=cosx,v=e*代入z="Inv中，得

Z=cosxlnex=xcosx

則一=cosx-xsinx

dx

36.

X+f2,~—■,,2^+i

因?yàn)閒(t)=limt(------Y=tlim(l+------)2f

IQx-tX-foa

2tn7/

=”油［。+)2f］2r-lim(l+—/

XT8x-t1=x-t

=re

所以//(r)=c2,+teJfx2=(l+2?)e2t

37.

y'=cos(lnx)(lnx)'=—cosInx>/(D=—coslnxl

x

38.利用反常積分計(jì)算，再確定a值。

因?yàn)閒=arctanx

J?1+xI?

TT.曾

=--arctana=7，

24

即arctana=;，則有<i=1.

4

(vdx-xdy)(ydx-xdv)

39.2D?一尸24.,

dz_y

?j"/y2

；一,:Yz「3[y1

40.W-x2y2)3S—x2y2)3解析：也力—力^一川^—一川產(chǎn))

41.3

42.

1答案】應(yīng)埴4(z-l)e":

求出yQ,化簡(jiǎn)后再求)，”更簡(jiǎn)捷.

y*=e'2,-2xc5'=(I-2x)e'2".

曠”=-26-"-2(1-2幻/'=4(*-1卜-".

43.0.5

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)一P(A)P(B),

即0.7=0.4+P(B)-0.4P(B)o

得P(B)=0.5o

44.

由),=Jy^dx=J2xdx=x2+C

又由初值條件，有y(l)=l+C=2

得C=l故y=—+i

45.2

46.e

因?yàn)閖jInxdx=(xlnx-x)|j=/?ln/?-/7+1=1

得b\nb=b

所以InZ?=1,b=e

47.

［解析］因?yàn)?；=2xy,z：=x2+2y.

所以d'=z*dx+r*d>,=2.xydr+(x:+2,v)dy.

48.

49.0

_UlnaH--r—ailnaH--r—

50A.xlnaxlna

51.k<-l

52.1

^ln(4+x2)+C

［解析］E^T=4lT^d(4+，)=<ln(4+/)+c

53.；4+x2J4+x22

54.2xex2

--cos1x+C—cos1x+C

55.33

56.

因?yàn)??)=」,則/(e、)=er

X

所以rrc)dx=-e-「=eT-e2

J11

57.A

58.

M'+c

*'+c

59.

arcsinx-Vl-x2+C.

60.-2或3

dz1dzdu.dzdv.dzd：dzdu.&dv1

■SSZ,————r—■■■■■J'■,―，SZZ1■-1??，—1-■?-1-，.

d/dudtdvdtdtddtdudtdvd/dt

=-wsin/+cos/=ve*—wsin?+cos/

=ercos/-ersin/+cos/=ercos/-ezsin/+cos/

61.=er(cos；sin/)4-cos/.=er(cos/-sin/)4-cos/.

+Ind+z)]cLr=yje2,d(2x)+jln(l+l)(Lr

—[e"+xln(l+x)—[一業(yè)

/J1TX

=.e"+xln(1+x)—J[1-i./dx

=4_c：，+.rln(1+1)—X+ln(1)幻+C.

62.L

ke'3+ln(l+z)]dr=yje2,d(2x)+jln(l+I)ir

=4-e2j+jln(1+?r)—f~T~djr

=:+xln(1+x)—J[l-iT

=5*+xin(1+x)—?r+ln(1*“)+C

￡?

=asinl_

a(1—cos/)1—cos/

63.

=asinZ

a(1—cos，)1—cos/*

d2y…cos，?(1—cos<)-sin?]1

dr1(1—cost尸clr

di

=-跳二!_________1___

(1-cos/)2a(1—cos/)

1_____111

=-=—CSC—t

a(1-cos，尸4a2#

64.

方程兩邊取對(duì)數(shù),得

Inr—(“+2y)ln(2i+y).

兩端微分有

[dkr=(Ar+2d>)ln(2x+y)+(“+2y)工.

所以dz=(2工+y)^°([ln(2x+y)+2?+[2!n(2x+y)+

Ctji?yCtX*y

方程兩邊取對(duì)數(shù).得

Inx—(x+2y)ln(2r+y)?

兩端微分有

LjLr=(dx+2d>)ln(2x+>)+(J+2y)2*?

x2工十y

所以dz=(2r+yL”<[ln(2i+y)+2?^±-^])cLr4-[2!n(2j4-y)+^^Idy.

?yc?x]y

設(shè)u=COST,則du=-sinjcLr,當(dāng)工=0時(shí)U=1,當(dāng)”=吃?時(shí)，”二0

設(shè)a=cosx,則du=—siardj??當(dāng)工==0時(shí)u=1,當(dāng)時(shí)■“二()

?*?原式=一￡|?(1"=一;L-

=~2f(1-TT7)dz

=-2(l-In|1+/D-FC

再將r=，T=7代入.修理后得

f—=-2(y/3-i—InI1+73—xI)+C.

66.41+v3—x

設(shè)，=八一工，則.r=3—f，.d”0—2tdt.

Jl+籍7T備”

T號(hào)市

一一2/(1一出四

——2(?-]n|1+，|)+C

再將/u斤i代入.修理后得

噴k-2(斤G—n|l+k?I)+C.

dz=家業(yè)+空dy

ardy

67=[//(/(l?y)]<Lr+[3/+

dz=段Ar+當(dāng)dy

ftrdy

=[4'(1.y)+/(?r.y)]cLr+[3y:+x/'G.y)]".

原式令":iJjnU+l)?2rdr

=JInd+t)d(f:)=/*?ln(l+r)-jjj7dl

=1112_￡(!^^1也=皿2_￡(，_1+清產(chǎn)

=In2-一1+ln(t+1)|]

=ln2-(。—)一(In2-0)

J.

68.

原式Jjna+1)?2td/

=Jln(l+r)d(r:)=1?ln(l+Q；-1擊d,

=in2_r￡izLi±id,7n2￡(<-l+/+1)dr

Jo/4-1

=In2—[寺〃-I)1|：+lna+l)|：]

一十)一(

=ln2—In20)

=1

2,

??2jryJF,

i+x?y'

；?dNNfdi+T~?^y*

69.1+才y”1+x*y

._2￡X_

a||**

1+1+x\y

.

二dw=]zdx+-?idy,

Ixy1+xy

由18意.知P(x)=J.Q(J)=J.

.,.eJw,=e什d-c*1**='=J

卜=eH?山=e~=工，

：

JQ?Jm<Lr=[c,?xd-r=[e*dx1=ye'?

該微分方程的通解>=+('}

70.

由題意.知P<x)=—,Q(x)=t'.

N,

:.ef=e加"?c-a==CUr1=X|?

=e~=]

，

JQ?J，"cLr=[e*?iz=~jeP業(yè)1=yer?

1.19—

...該微分方程的通解.V4-C

原式*/，&廿+f昂目公

=ln2-ln(14-e1)+F

Jo1.+J4-x

—In2—ln(1+u')+-arctan2x

土

=ln2—ln(1+c:)+

71.o

=In2-ln(1+e1)+『

1+4〉

ln2—ln(1+el>+--arctan2x

￡?

In2-Ind+c-*)+-y.

o

72.

rj,p.rj

/(x)cLr=/(z)cLr+/(x)dx

J—IJTJo

=ln(1+e‘)----------rdx

1+43

In2-!n(i+e')+-^j7工)

ln2-ln(14-e')4-yarctan2x

In2—ln(1+e')+

o

|jT/(x)dr=f(z)ckz+/(x)dx

J—1J0

0

=ln(1+eT)+2

一］o1j+白4-jr皿

=In2—ln(1+e')+《「■'iLrd(2_r)

ZJ.1+4x

=ln2-ln(1+B')+-yarctan2x

ZIo

=ln2-ln(l+e,)+3

o

I(arctan/)2d/I(arctan/)2dr

limlim----------------------lim:工

J6+1xQ+1

lim(arctan.r):

=(y)2.

73.

I(arctan/)2d/|(arctan/)2dr

lim——；，—=lim--------------------?lim/

y/xl+1xG+1

=lim(arctan.r)2

74.

窗戶的面積/=//?+亨巴

l和h滿足2/i-31=12,得A=6-方，，代入4,則有

4=6/-#+",

￥=6-3/+多工0,

得/=凈曳.

由于實(shí)際問(wèn)題只有唯一的駐點(diǎn)，可知/=吟沁（m）為所求

75.

令「一朝則”=一百小山工一筮&.且當(dāng)工=°時(shí)"=會(huì)當(dāng)”=1位

ln(2—V3)一

4

令e-r=sin，?則x=-Insin/,<Lr黑市.且當(dāng)工=°時(shí)"=會(huì)當(dāng)

—In(2—V3)一§.

4

y—[(Iru-)/j"?/2+(lnx)r?《工。)'

=[廣―]?+(lnx)r?“4)'

=e,，Kln/,rln(lnjr)+?r?j*工2+(lru*)r?eta，J?2Irtr?

亡｝皿尸

=?(Inr)*?「In(lnx)+1?-*+2(1?1rl.

76.

y=了?x*~+(hu■尸?(工?)'

=+(lnj>?(e4)‘

=e'xefIn(lnx)4-j"?亡'+(lnj)>?eh，1?21nx?—

=?(Iru)4?rln(lru*)+亡].x*~+2(lnx)”?IJ.

77.

根據(jù)枳分區(qū)域與被積函數(shù)的特點(diǎn),該二重枳分用極坐標(biāo)計(jì)算比用直角坐標(biāo)計(jì)

算簡(jiǎn)便.

積分區(qū)域D由，'+/&】化為1.04842".故

jj(qf+y"-xv)cLrdy=『r-r2cos4hintf)rdrdO

=fdd\3——coMsiM”

-costfsind

4

一；"!一sinMsind

=(*—［卜次川:=翁.

根據(jù)積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點(diǎn),該二重積分用極坐標(biāo)計(jì)算比用直角坐標(biāo)計(jì)

算簡(jiǎn)便.

枳分區(qū)域D由/+/41化為r41?04642人故

jj(QW+y，—xv)d.rdy=，(，―/cos^sintf)rdrdff

=jcwj(r1-rJcos0sinZ?)dr

=［y-ycostfsin^jJcW

=［夕I-:￡sinMsind

==-2+In2.

故ln(l+v/x)cLr=ln2+—In2=-y.

78.

!n(l+，7)<Lr工xln(l

此一后業(yè)

由于打:后必心二d”令/=77)

J-1-rr

￡口+陽(yáng)七

—，+In|1+/111

一-2+In2.

故Ind+y7)dr=In2+-ln2

79.

當(dāng)/齊。時(shí)J。)=/sin上是初等函數(shù)?可直接求導(dǎo).即

x

f(x)=(x2sin十)，

=2xsin—+x2cos—(----lr)

XXX

.11

=9Zxsm------cos—?

XX

當(dāng)z=0時(shí),

2?1

fxsin一

f(0)=lim立工----L-----=lim--------工=lirrtrsin-=0.

x-?0JTXX

當(dāng)*#0時(shí),/(.)=x2sin工是初等函數(shù)，可直接求導(dǎo).即

x

f(x)=(x2sin十)，

=2xsin—+x1cos—(----

XTXZ

.11

=Z9xsin------cos—?

XX

當(dāng)z=0時(shí),

、(小、X?S?ill—1.

/(x)—/(0)x...1

f(0)=lim±----------4-----=hm-----------=hm.rsin—=0n.

■一。10

80.函數(shù)的定義域?yàn)?-oo,+oo),且r(x)=3x2-3.

令r(X尸0,得駐點(diǎn)Xl=-1,X2=l.列表如下：

X(-?,-1)-1(-I.D1(I**?)

/r(x)0-0?

“X)z/(7):3為極大值A(chǔ)O="?為極小值z(mì)

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為G8，-1］和［1，+00),單調(diào)減區(qū)間

為［-1,1］；f(-l)=3為極大值31)=-1為極小值.

注意：如果將(-00,-1］寫(xiě)成(-8,-1),［L+00)寫(xiě)成(1,+00),［-1,1］寫(xiě)成

(-1,1)也正確.

P=-|-y9;(x).Q=［中(工)—y>>

由積分與路徑無(wú)關(guān)，得

aQ=ap

dx,

即

《‘《”)一=3用(工)或—3^(j)=x.

得

F(j)=/卜3［卜』-皿<1］+(：］

=e-，［卜e,d_r+c］

■叫

=e”［——卜+'［

TT(k+k)+q

=~f-l+CeU-

由F(l)=1得.1=一■1?一!+CeL解得C=9T.故有

P=-|-y*y(x)*Q=［哪］)—v.

由積分與路徑無(wú)關(guān)?得

aQ=ap

dxdy'

即

（，《工）—=3用（JT）或，（外一3.（工）=了.

得

由職】）=1得,1=-4一4+0￥,解得c=馬廠?故有

0?/tr

82.

由所給累次積分畫(huà)出原二重積分的枳分區(qū)域。的示意圖,如圖所示.據(jù)此將D

視作Y型區(qū)域.即

D=((x.y)I0&y&l.Ty&工42一田.

因此

［d-rj/(x.y)djr+1<LrJ

f(.x.y)dyf(x,y)djc.

由所給累次積分畫(huà)出原二重積分的枳分區(qū)域。的示意圖.如圖所示?據(jù)此將D

視作丫型區(qū)域?即