2022年高考數學沖刺必考解析：解析幾何綜合題解題思路與案例分析

解析幾何綜合題解題思路案例分析

解析幾何綜合題是高考命題的熱點內容之一.這類試題往往以解析幾何知識為

載體，綜合函數、不等式、三角、數列等知識，所涉及到的知識點較多，對解題能

力考查的層次要求較高，考生在解答時，常常表現(xiàn)為無從下手，或者半途而廢。據

此筆者認為：解決這一類問題的關鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維.即在

掌握通性通法的同時，不應只形成一個一個的解題套路，解題時不加分析，跟著感

覺走，做到那兒算那兒.而應當從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題

思路的整體設計上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運算難關.

1判別式一一解題時時顯神功

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案例1已知雙曲線C:/卷=1,直線/過點兒歷,0),斜率為3當0<女<1時，雙

曲線的上支上有且僅有一點B到直線/的距離為后,試求2的值及此時點B的坐標。

分析1：解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必

然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不

難想到：過點B作與/平行的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數表現(xiàn)形式是所

構造方程的判別式△=().由此出發(fā)，可設計如下解題思路：

/:y=k(x-42)(0<A:<1)

直線/‘在/的上方且到直線/的距離為J5

丁=履+42贈構'的娥弋入雙曲線方程’消去"令判別式八二°

解得R的值

解題過程略.

分析2：如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂“有

且僅有一點B到直線/的距離為后”，相當于化歸的方程有唯一解.據此設計出如下

解題思路：

問題

Ikx-V2+X2-V2A:|

關于X的方程J------；-------——=V2(0<%<1)有唯一解

“+1

口轉化為一元二次方程根的問題

求解

簡解：設點加(工,五下)為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線/的距離為:

kx-V2+X2—V2Zrl

——-p=JO(0<%<1)(*)

于是，問題即可轉化為如上關于x的方程.

由于0<%<1,所以J2+—>兇>點,從而有

kx-，2+尸-=-kx-\-，2+x~+yp2.k.

于是關于x的方程(*)

<=>-kx+,2+.2+y[2k=J2/2+1)

o(72+x2)2=(52(.2+1)-41k+kx)2,

不2(匕+1)—>/2,k+kx>0

僅2_1卜2+2tq2（女2+I）-41k\c+仙女2+1）-行4-2=0,

小2（匕+1）-+kx>0.

由0〈左＜1可知:

方程(代_1卜2+2kH2*2+D-以卜+仙人+1)-五R-2=0的二根同正，故

12(r+1)-揚:+?。?恒成立,于是(*)等價于

(k2—1卜2+2kH2@2+D—亞加+仙/+1)-J2kf-2=0.

由如上關于x的方程有唯一解，得其判別式△=(),就可解得k=*

點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體

思維的優(yōu)越性.

2判別式與韋達定理—二者聯(lián)用顯奇效

案例2已知橢圓C:/+2y2=8和點p(4,1),過P作直線交橢圓于A、B兩點，

在線段AB上取點Q,使尊=-震，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.

分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。

其實，應該想到軌跡問題可以通過參數法求解.因此，首先是選定參數，然后想方

設法將點Q的橫、縱坐標用參數表達，最后通過消參可達到解題的目的.

由于點。(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率女作

為參數，如何將與女聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用

題目條件：喧=-黑來轉化?由A、B、P、Q四點共線，不難得至！U=4(?+：B)2XEB,

PBQB8-(xA+xs)

要建立尤與人的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.

通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，

已經做到心中有數.

在得到X=/（A）之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得

到關于的方程（不含外，則可由"心-4）+1解得4=2二1,直接代入即可

x-4

得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。

簡解：設他,必）向孫必），Q（xM則由蕓=-哭可得：匕==士土，

PBQBx2-4x2-x

解之得：,=4（司+%2）-2.》2（1）

8—（X]+%）

設直線AB的方程為：八力-4）+1,代入橢圓C的方程，消去y得出關于x的一

元二次方程:

(21+1卜2+軟(]_4%)x+2(1-的2-8=0(2)

4Z(4火-1)

x,+x,=-------,

.I'2Ik2+\

2(1-42)2-8

x,x=-----；-----.

122k2+1

代入(1),化簡得：x=竺與.

k+2

與y=&(x-4)+1聯(lián)立，消去女得：(2x+y-4)(x-4)=0.

在(2)中，由A=—64代+64k+24>0,解得?一回〈kJ+回,結合(3)可求

44

16-2V1016+2V10

得--------<x<--------

故知點Q的軌跡方程為：2x+y-4=0(16-*<"6+*)

99

點評：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判

別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點

在消去參?，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有

效通道.

3求根公式——呼之欲出亦顯靈

案例3設直線/過點P(0,3),和橢圓<+4=1順次交于A、B兩點，試求瞿的

94PB

取值范圍.

分析：本題中，絕大多數同學不難得到：翟=-土，但從此后卻一籌莫展，問題

rt3xB

的根源在于對題目的整體把握不夠.事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一

是構造所求變量關于某個(或某兒個)參數的函數關系式(或方程)，這只需利用對

應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系.

分析1：從第一條想法入手，區(qū)已經是一個關系式，但由于有兩個變量

PBxB

工4,4,同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量一一直線4?

的斜率4.問題就轉化為如何將乙,4轉化為關于力的表達式，到此為止，將直線方程

代入橢圓方程，消去y得出關于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

簡解1：當直線/垂直于x軸時，可求得孩=-1;

當/與x軸不垂直時，設A（和凹）,5（孫必），直線/的方程為：y-kx+3,代入橢圓

方程，消去y得

(91+4*+54依+45=0

-27/±6形2一5

解之得

孔2=9a+4

因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮4>0的情形.

“0時，寸金^^,“包?

19k2+4-9r+4

所以”一x--9"2k?=i______18^_=1_______18

PBx29—+2,9左2—5穌+2的6—59+2，9二%

由△=(—54女尸一180(9左2+4)20,解得k2>~,

9

所以-1<1-------'=<」，

9+2月%5

綜上一W

分析2:如果想構造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產生不

等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定人的取值范圍，于是問題轉化為如何將

所求量與女聯(lián)系起來.一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直

接應用韋達定理，原因在于當=-%不是關于不看的對稱關系式.原因找到后，解決

PBX-,

問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于七小的對稱關系式.

簡解2：設直線/的方程為：y=H+3,代入橢圓方程，消去y得

(9^+4*+54依+45=0(*