第二十五章 銳角的三角比（四大題型）（40道壓軸題專練）（原卷版）

第二十五章銳角的三角比（四大題型）（40道壓軸題專練）壓軸題型一銳角的三角比的意義1．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、AB上一點(diǎn)，且AF＝BE，AE與DF交于點(diǎn)G，連接CG．若CG＝BC，則AF：FB的比為（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：42．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，將紙片折疊，點(diǎn)A，D分別落在點(diǎn)，處，且經(jīng)過點(diǎn)B，EF為折痕，當(dāng)⊥CD時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．3．（2020·重慶璧山·?？家荒＃鰽BC中，∠ACB=45°，D為AC上一點(diǎn)，AD=5，連接BD，將△ABD沿BD翻折至△EBD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E點(diǎn)恰好落在邊BC上．延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，連接DF，若CF=2，tan∠ABD=，則DF長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．74．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考三模）如圖，在邊長(zhǎng)為2正方形中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，連接與對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，且與交于點(diǎn)．則下列結(jié)論：①；②；③若點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，則最小值是；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)5．（2023春·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)在軸上，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若是直角三角形，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則m的值為．7．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，菱形的邊，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，將四邊形沿直線折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的長(zhǎng)是．8．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=4，E是AD的中點(diǎn)，將這張紙片依次折疊兩次；第一次折疊紙片，使B點(diǎn)落在E點(diǎn)，折痕為N；第二次折疊紙片，使N點(diǎn)與E點(diǎn)重合，點(diǎn)C在C'處，折痕為FH.則tan∠EHF=·9．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）探索發(fā)現(xiàn)；（1）如圖1，在中，；求證：；初步應(yīng)用：（2）如圖2，在中，，，，連接、；求證：．遷移拓展：（3）如圖3，在中，，H為上一點(diǎn)使，過H作交AB于G，，求的值；

10．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，，兩點(diǎn)分別在和的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且始終保持，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．

(1)如圖（1），若，求的長(zhǎng)；(2)如圖（2），求證：的長(zhǎng)是定值；(3)如圖（2），若是的中點(diǎn)，直接寫出的值．壓軸題型二求銳角的三角比的值1．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，為邊上的點(diǎn)，為等邊三角形，，，則的值為（）

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，是邊上一點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、交于，連接交于，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．4或63．（2023春·安徽黃山·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）矩形紙片中，，將紙片對(duì)折，使頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合，得折痕，將紙片展開鋪平后再進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合，得折痕，展開鋪平后如圖所示．若折痕與較小的夾角記為，則的值是（

）A． B． C． D．4．（2023春·四川自貢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的面積為，，．若的頂點(diǎn)都在雙曲線（）上，且過坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)C是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，，動(dòng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，，連接，，當(dāng)，時(shí)，的長(zhǎng)是．

6．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在菱形中，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將四邊形沿直線翻折，使的對(duì)應(yīng)邊為，當(dāng)時(shí)，的值為．

7．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)，是射線上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，是點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

8．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，已知在中，，，點(diǎn)D在邊上，連接．以為斜邊作，且，，邊的中點(diǎn)F恰好落在邊上．若，則．

9．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，是斜邊的中線，E是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將射線繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交射線于點(diǎn)F．

(1)點(diǎn)E在線段上時(shí)：①求的度數(shù)；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，②中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論，畫出圖形，并證明．(3)若，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．10．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列），為銳角，且．(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．壓軸題型三解直角三角形1．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，則的值為（）

A．30 B．11 C． D．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，E，F(xiàn)是，上兩點(diǎn)，作，，垂足分別為M，N，若，，則的值是（）A． B．5 C． D．3．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)、、分別在、，上，則周長(zhǎng)的最小值為（

）

A．15 B． C． D．204．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，于點(diǎn)，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過邊反射后，再經(jīng)邊反射，最后回到點(diǎn)，則光線經(jīng)過的最短路程為（

）

A． B． C． D．5．（2023春·上海浦東新·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，它們的夾角，它們重疊部分（圖中陰影部分的面積是．

6．（2023·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿所在的直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，且交于點(diǎn)，的值為．7．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在射線上，將沿翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)且時(shí)，的長(zhǎng)為．8．（2023·上?！ひ荒＃┬露x：有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形.如圖，已知在對(duì)余四邊形中，，，，，那么邊的長(zhǎng)為．9．（2023·上海·一模）如圖，在中，，，，，平分交邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)設(shè)，，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．10．（2023·上海寶山·一模）如圖1，在中，，，．點(diǎn)D、E分別在邊、上（不與端點(diǎn)重合），和交于點(diǎn)，滿足．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．壓軸題型四解直角三角形的應(yīng)用1．（2023春·海南儋州·九年級(jí)專題練習(xí)）某公園有一座古塔，古塔前有一個(gè)斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一個(gè)平臺(tái)、小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量古塔的高度，她在平臺(tái)的點(diǎn)處水平放置一平面鏡，她沿著方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，剛好在鏡面中看到古塔頂端點(diǎn)的像，這時(shí)，測(cè)得小華眼睛與地面的距離米，米，米，米，已知，根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，古塔的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A． B． C． D．2．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）5G時(shí)代，萬物互聯(lián)．互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能與各行業(yè)應(yīng)用深度融合，助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，共建智慧生活．網(wǎng)絡(luò)公司在改造時(shí)，把某一5G信號(hào)發(fā)射塔建在了山坡的平臺(tái)上，已知山坡的坡度為．身高1.6米的小明站在A處測(cè)得塔頂M的仰角是，向前步行6米到達(dá)B處，再延斜坡步行6.5米至平臺(tái)點(diǎn)C處，測(cè)得塔頂M的仰角是，若在同一平面內(nèi)，且和分別在同一水平線上，則發(fā)射塔的高度約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A．17.3米 B．18.9米 C．65.0米 D．66.6米3．（2023春·海南儋州·九年級(jí)專題練習(xí)）高鐵沙坪壩站雙子塔為國(guó)內(nèi)首例在高鐵站上實(shí)施商業(yè)開發(fā)的綜合體．如圖，小南在與塔底同一高度的地面處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋酉聛恚匾粭l坡比為1:2.4的斜坡行進(jìn)了156米后，在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，點(diǎn)在同一平面內(nèi)，則小南測(cè)得的雙子塔的高度約為（

）米．（參考數(shù)據(jù)：，，）A．193 B．196 C．201 D．2064．（2023春·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一艘船由港沿北偏東65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏東20°方向，則，兩港之間的距離為（

）.A． B． C． D．5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組要測(cè)量一幢大樓的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測(cè)得大樓頂部M的仰角是，沿著山坡向上走55米到達(dá)B處，在B處測(cè)得大樓頂部M的仰角是，斜坡的坡度（坡度是指坡而的鉛直高度與水平寬度的比），則大樓的高度為米．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

6．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）長(zhǎng)嘴壺茶藝表演是一項(xiàng)深受群眾喜愛的民俗文化，所用到的長(zhǎng)嘴壺更是歷史悠久．圖1是某款長(zhǎng)嘴壺模型放置在水平桌面l上的抽象示意圖，已知壺身，，壺嘴，且，，，則，如圖2，若長(zhǎng)嘴壺中裝有若干茶水，繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)壺身，當(dāng)恰好倒出茶水時(shí)，，則此時(shí)出水口F到桌面的距離為cm．

7．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）圖1是一種雙層電腦支架實(shí)物圖，圖是其示意圖，，，為固定點(diǎn)，支杠，可分別繞著點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)，分別在，上移動(dòng)．，，，當(dāng)支點(diǎn)與點(diǎn)的距離為時(shí)，則點(diǎn)到的距離為，此時(shí)，再移動(dòng)支點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，、兩點(diǎn)的水平距離是垂直距離的兩倍，則．

8．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，公園里有一燈桿垂直水平地面，燈架是一段劣弧，點(diǎn)為燈泡，與相切于點(diǎn)．小明調(diào)節(jié)帶支架的測(cè)角儀使得，，且測(cè)角儀的高為1.6m，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角為．沿著向燈桿方向水平前進(jìn)3m達(dá)到時(shí)(，，分別是點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）測(cè)得點(diǎn)的仰角也為，此時(shí)點(diǎn)恰好在點(diǎn)的正上方．則點(diǎn)距離地面的高度為m．若，則所在圓的半徑為．

9．（2023春·江西撫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1是折疊會(huì)議桌的實(shí)物圖，其側(cè)面可抽象成圖2，桌面可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，，，．，點(diǎn)是點(diǎn)在地面的正投影．

(1)①桌面到地面的距離為______，______．②求桌腳的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到）(2)當(dāng)桌面繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到圖3所示的位置時(shí)，求點(diǎn)到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）10．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰