第25章 銳角的三角比全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷（4個(gè)專題3種思想）（解析版）

第25章銳角的三角比全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)二種方法【4個(gè)專題】1.銳角三角函數(shù)的概念2.特殊角的三角函數(shù)值與實(shí)數(shù)的運(yùn)算3.解直角三角形4.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用【3種思想】1.數(shù)形結(jié)合思想2.方程思想3.分類討論思想【檢測(cè)卷】【倍速學(xué)習(xí)二種方法】【4個(gè)專題】1.銳角三角函數(shù)的概念1．（2023·上?！ひ荒＃┰谥?，，，，那么的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出圖形，利用三角函數(shù)的定義即可完成．【詳解】如圖所示，由正弦函數(shù)定義有：，；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義，已知一個(gè)角及斜邊，求此角的對(duì)邊，則利用正弦函數(shù)可以解決．2．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）在中，，已知，，那么的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用銳角三角函數(shù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，在中，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做該銳角的正弦是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ひ荒＃┰谥苯亲鴺?biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與軸正半軸的夾角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由銳角的余切定義，即可求解．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)，∴．故選∶A【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握銳角的三角函數(shù)定義．4．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求得斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖∵中，，，，∴,∴，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）計(jì)算：【答案】【分析】因?yàn)?，，，，然后代入?jì)算式即可得出答案．【詳解】，，，，原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的各種三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．6．（2023·上?！ひ荒＃┯?jì)算：．【答案】【分析】把、、角的各種三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，準(zhǔn)確記住、、角的各種三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2.特殊角的三角函數(shù)值與實(shí)數(shù)的運(yùn)算7．（2023·上海寶山·一模）計(jì)算：．【答案】【分析】分別把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?靜安區(qū)期末）計(jì)算：﹣+2cos245°．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：﹣+2cos245°＝﹣|﹣1|+2×（）2＝﹣+1＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3.解直角三角形9．（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，則BD的長(zhǎng)度為．【分析】在△ABC中，由銳角三角函數(shù)求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由銳角三角函數(shù)求得BD．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，∴＝＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝＝3×＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．10．（2021秋?徐匯區(qū)期中）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面積為5，那么∠A的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．120° D．60°或120°【分析】首先根據(jù)已知條件可以畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)AC＝5，可以求出AC邊上的高，再根據(jù)∠A的三角函數(shù)值可得∠A的度數(shù)，注意分情況討論．【解答】解：當(dāng)∠A是銳角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，∵AC＝5，△ABC的面積為5，∴BD＝5×2÷5＝2，在Rt△ABD中，sinA＝＝＝，∴∠A＝60°．當(dāng)∠A是鈍角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于D，∵AC＝5，△ABC的面積為5，∴BD＝5×2÷5＝2，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝，∴∠BAD＝60°．∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是畫出合適的圖形，作出相應(yīng)的輔助線．11．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義設(shè)CD＝4k，則AD＝3k，從而利用勾股定理求出AC＝5k，進(jìn)而可得k＝3，然后可得AD＝9，CD＝12，最后利用三角形的面積公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ABC中，tanA＝＝，∴設(shè)CD＝4k，則AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB?CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cosB＝＝＝，∴∠B的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在四邊形中，平分，，．

(1)求證：且求出的值；(2)如果，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)246【分析】（1）先利用兩角對(duì)應(yīng)相等判斷，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系和相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論；（2）利用直角三角形的邊角間關(guān)系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面積公式得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，在中，∵，∴＝；（2）∵，∴＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的邊角間關(guān)系及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．4.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用13．（2023·上海·一模）如圖，高壓電線桿垂直地面，測(cè)得電線桿的底部A到斜坡C的水平距離長(zhǎng)為15.2米，落在斜坡上的電線桿的影長(zhǎng)為5.2米，在D點(diǎn)處測(cè)得電線桿頂B的仰角為．已知斜坡的坡比，求該電線桿的高．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】該電線桿的高為17米【分析】過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)斜坡的坡比，米，求出的長(zhǎng)度，然后求出和的長(zhǎng)度，在中，求出的長(zhǎng)度，即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)，

則四邊形為矩形，，∵斜坡的坡比，米，∴設(shè)米，則米，，解得，則米，米，米，米，在中，，設(shè)米，則米，，解得，（米），米，答：該電線桿的高為17米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)坡度和仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解，難度一般．14．（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谀┠炒笮唾?gòu)物中心為方便顧客地鐵換乘，準(zhǔn)備在底層至層之間安裝電梯，截面圖如圖所示，底層與層平行，層高為9米，、間的距離為6米，．

(1)請(qǐng)問(wèn)身高米的人在豎直站立的情況下搭乘電梯，在處會(huì)不會(huì)碰到頭部？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若采取中段平臺(tái)設(shè)計(jì)（如圖虛線所示），已知平臺(tái)，且段和段的坡度，求平臺(tái)的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)不會(huì)，理由見解析(2)7米【分析】（1）先過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)，，得出，再根據(jù)正切定理求出的長(zhǎng)，然后與人的身高進(jìn)行比較，即可得出答案；（2）根據(jù)的長(zhǎng)求出，再過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)段和段的坡度，求出和的長(zhǎng)，最后根據(jù)，即可求出答案．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

，，，不會(huì)碰到頭部；（2），，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)，則，段和段的坡度，，，，（米）．

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是坡度角，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．15．（2023春·上海浦東新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）祖沖之發(fā)明的水碓（duì）是一種舂米機(jī)具（如圖1），在我國(guó)古代科學(xué)家宋應(yīng)星的著作《天工開物》中有詳細(xì)記載，其原理是以水流推動(dòng)輪軸旋轉(zhuǎn)進(jìn)而撥動(dòng)碓桿上下舂米．圖2是碓桿與支柱的示意圖，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓桿長(zhǎng)16尺，．當(dāng)點(diǎn)A最低時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)B位于最高點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)B位于最低點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A位于最低點(diǎn)時(shí)與地面的垂直距離；(2)求最低點(diǎn)與地面的垂直距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)點(diǎn)A距離地面2尺(2)點(diǎn)到地面之間的垂直距離約為尺【分析】（1）分別過(guò)點(diǎn)O作直線，作，H為垂足，分別過(guò)點(diǎn)B、作、，垂足分別為C、D；根據(jù)30度角所對(duì)的邊是斜邊的一半，可得，，即可求得；（2）根據(jù)，，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，即可求得．【詳解】（1）分別過(guò)點(diǎn)O作直線，作，H為垂足，分別過(guò)點(diǎn)B、作、，垂足分別為C、D．

∵，∵∴，∴點(diǎn)A距離地面2尺；（2）∵，∴∴∴故點(diǎn)到地面之間的垂直距離約為0.28尺．【點(diǎn)睛】本題考查含30度角的直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【4種思想】1.數(shù)形結(jié)合思想16.如圖，山頂上有一個(gè)信號(hào)塔AC，已知信號(hào)塔高AC＝15米，在山腳下點(diǎn)B處測(cè)得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔頂A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（點(diǎn)A，C，D在同一條豎直線上）．（參考數(shù)據(jù)：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：由題意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴tan42.0°＝≈0.9，∴AD≈0.9BD，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴tan36.9°＝≈0.75，∴CD≈0.75BD，∵AC＝AD﹣CD，∴15＝0.15BD，∴BD＝100（米），∴CD＝0.75BD＝75（米），答：山高CD為75米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2.方程思想17.（2022?徐匯區(qū)二模）激光電視的光源是激光，它運(yùn)用反射成像原理，屏幕不通電無(wú)輻射，降低了對(duì)消費(fèi)者眼睛的傷害．根據(jù)THX觀影標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)觀影水平視場(chǎng)角“θ”的度數(shù)處于33°到40°之間時(shí)（如圖1），雙眼肌肉處于放松狀態(tài)，是最佳的感官體驗(yàn)的觀影位．（1）小麗家決定要買一個(gè)激光電視，她家客廳的觀影距離（人坐在沙發(fā)上眼睛到屏幕的距離）為3.5米，小佳家要選擇電視屏幕寬（圖2中的BC的長(zhǎng)）在什么范圍內(nèi)的激光電視就能享受黃金觀看體驗(yàn)？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技術(shù)革新和成本降低，激光電視的價(jià)格逐漸下降，某電器商行經(jīng)營(yíng)的某款激光電視今年每臺(tái)銷售價(jià)比去年降低4000元，在銷售量相同的情況下，今年銷售額在去年銷售總額100萬(wàn)元的基礎(chǔ)上減少20%，今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是多少元？【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意可得AB＝AC，當(dāng)∠BAC＝33°時(shí)，當(dāng)∠BAC＝40°時(shí)，利用銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題；（2）設(shè)今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是x元，則去年每臺(tái)的售價(jià)為（x+4000）元．由題意列出方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，當(dāng)∠BAC＝33°時(shí)，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），當(dāng)∠BAC＝40°時(shí)，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要選擇電視屏幕寬為2.10m﹣2.52m之間的激光電視就能享受黃金觀看體驗(yàn)；（2）設(shè)今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是x元，則去年每臺(tái)的售價(jià)為（x+4000）元．由題意可得：＝，解得：x＝16000，經(jīng)檢驗(yàn)x＝16000是原方程的解，符合題意，答：今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是16000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，視點(diǎn)，視角和盲區(qū)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程．18.（2022?崇明區(qū)二模）為解決群眾“健身去哪兒”問(wèn)題，某區(qū)2021年新建、改建90個(gè)市民益智健身苑點(diǎn)，圖1是某益智健身苑點(diǎn)中的“側(cè)擺器”．鍛煉方法：面對(duì)器械，雙手緊握扶手，雙腳站立于踏板上，腰部發(fā)力帶動(dòng)下肢做左右擺式運(yùn)動(dòng)．（1）如圖2是側(cè)擺器的抽象圖，已知擺臂OA的長(zhǎng)度為80厘米，在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最低點(diǎn)位置，點(diǎn)B為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最高點(diǎn)位置，∠BOA＝25°，求踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差．（精確到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在側(cè)擺器上進(jìn)行鍛煉，原計(jì)劃消耗400大卡的能量，由于小杰加快了運(yùn)動(dòng)頻率，每小時(shí)能量消耗比原計(jì)劃增加了100大卡，結(jié)果比原計(jì)劃提早12分鐘完成任務(wù)，求小杰原計(jì)劃完成鍛煉需多少小時(shí)？【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA垂足為D，由題意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先設(shè)小杰原計(jì)劃x小時(shí)完成鍛煉，然后根據(jù)實(shí)際每小時(shí)的能量消耗﹣原計(jì)劃每小時(shí)的能量消耗＝100，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA垂足為D，由題意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO?cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差約為7.5厘米；（2）設(shè)小杰原計(jì)劃x小時(shí)完成鍛煉，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：都是原方程的根，但不符合題意，舍去，答：小杰原計(jì)劃鍛煉1小時(shí)完成．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3.分類討論思想19．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）我們規(guī)定：兩個(gè)正多邊形的中心之間的距離叫做中心距，在同一個(gè)平面內(nèi)有邊長(zhǎng)都為6的正三角形和正方形，當(dāng)它們的一邊重合時(shí)，中心距為．【答案】或【分析】分兩種情況，結(jié)合正方形和正三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，在正方形和正三角形中，連接交于點(diǎn)O，正三角形的中線交于點(diǎn)F，則點(diǎn)O，P分別正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴點(diǎn)O，E均在的垂直平分線上，∴點(diǎn)E，O，P，G四三點(diǎn)共線，∵正方形和正三角形的邊長(zhǎng)都為6，∴．∴，∴，∴；即中心距為；如圖，在正方形和正三角形中，連接交于點(diǎn)O，正三角形的中線交于點(diǎn)F，則點(diǎn)O，P分別正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴點(diǎn)O，E均在的垂直平分線上，∴點(diǎn)E，O，P，G四三點(diǎn)共線，∵正方形和正三角形的邊長(zhǎng)都為6，∴．∴，∴，∴；即中心距為；綜上所述，中心距為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和正三角形的性質(zhì)，解直角三角形，利用分類思想解答是解題的關(guān)鍵．20.（2023·上海·一模）如圖，在中，，，，，平分交邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)設(shè)，，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)y=(3)的長(zhǎng)為1或【分析】（1）要證，只需證，只需證到，．由，平分∠ABC可證到；由可證到，問(wèn)題解決．（2）作的垂直平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，易證，從而可以證到，可得．只需用x、y表示出、，問(wèn)題就得以解決．（3）當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，可分和兩種情況討論．當(dāng)時(shí)，由可得，從而可以得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值；當(dāng)時(shí)，易證，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，則有，結(jié)合，就可得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值．【詳解】（1）證明：∵平分，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．∴．（2）解：作的垂直平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，如圖2，

則有．在中，，則．∵垂直平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，，，∴．又∵，∴．∴．（3）解：①，如圖3，

∵（已證），∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．整理得：．則有．解得：（舍），．②，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，如圖4，

∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在中，．∴．∴．∴．∴．整理得：．則有．∴，．∵，∴．綜上所述：當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為1或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、用因式分解法解一元二次方程、銳角三角函數(shù)的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)．而作的垂直平分線交于點(diǎn)M，進(jìn)而證到是解決第二小題和第三小題的關(guān)鍵．21．（2023·上?！ひ荒＃┮阎挠嗲兄禐?，，點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F都在射線上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，連接，并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)P．

(1)連接，求證：；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，如果的正切值為2，求線段的長(zhǎng)；(3)連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)(3)或或【分析】（1）連接，根據(jù)余切的定義，設(shè)，則，，再根據(jù)余切的定義即可得證；（2）設(shè)，則，，先根據(jù)正切的定義可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，分三種情況：、、，先根據(jù)余切的定義求出的值，再根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

∵四邊形是正方形，∴，，∵的余切值為2，∴，設(shè)，則，∴，，∴．（2）解：由（1）可知，設(shè)，則，∴，∵的正切值為2，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，，∴，，即，解得．（3）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，由題意，分三種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，

∵，∴，∴，∴，∵，∴，，即，解得；②如圖，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，

∴，，，，又，∴，∴，∵，∴，，即，解得；③如圖，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，

設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得，，∴，，即，解得，綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段的長(zhǎng)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切、余切，正確求出與正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【檢測(cè)卷】一．選擇題（共6小題）1．（2023?崇明區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴cosA＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023?嘉定區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（）A． B． C．3 D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴AB＝＝＝，∴sinA＝＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023?楊浦區(qū)一模）已知點(diǎn)A（1，2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA與x軸正半軸的夾角為α，那么cosα的值為（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)勾股定理可以得到OA的長(zhǎng)，從而可以計(jì)算出cosα的值．【解答】解：連接OA，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，則∠ABO＝90°，∵點(diǎn)A（1，2）∴OB＝1，AB＝2，∴OA＝＝＝，∵射線OA與x軸正半軸的夾角為α，∴cosα＝＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出OA的長(zhǎng)．4．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cosA的值為（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)銳角的余弦等于銳角的鄰邊比斜邊，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，由勾股定理，得AB＝＝．由銳角的余弦，得cosA＝＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的余弦等于銳角的鄰邊比斜邊是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離OP＝4，線段OP與x軸正半軸的夾角為α，且cosα＝，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（3，5） C． D．【分析】根據(jù)題意作x軸的垂線，根據(jù)OP＝4，且，從而求出橫坐標(biāo)，再求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【解答】解：過(guò)P作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)A，∵OP＝4，，∴，∴OA＝3，∴．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．6．（2023?松江區(qū)一模）如圖，為測(cè)量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距a米的A、B兩點(diǎn)處，觀測(cè)對(duì)岸的標(biāo)志物P，測(cè)得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么這條河的寬度是（）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，可以得到AC＝，BC＝，然后根據(jù)AC+BC＝AB，即可得到PC．【解答】解：作PC⊥AB，交AB于點(diǎn)C，∵PC⊥AB，∠PAB＝α、∠PBA＝β，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴AC＝，BC＝，∵AB＝a，AB＝AC+BC，∴a＝+，解得PC＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二．填空題（共12小題）7．（2023?嘉定區(qū)一模）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，那么AB的長(zhǎng)是9．【分析】根據(jù)余弦值的定義即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由cosB＝得AB＝＝＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形，解此題的關(guān)鍵在于利用三角比的定義求解即可．8．（2023?金山區(qū)一模）已知α是銳角，且cosα＝，那么α＝45°．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：∵α是銳角，且cosα＝，∴α＝45°．故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．9．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A的正切值等于2，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)為1．【分析】由銳角的正切定義，相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵tanA＝，∴AB＝，∴AB＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝DE：BC，∴AD：＝1：3，∴AD＝，∴DB＝AB﹣AD，∴BD＝﹣＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角的正切定義，相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握并靈活應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)．10．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）如果一個(gè)行人在斜坡為1：2.4的坡面上行走130米，則他升高了50米．【分析】根據(jù)斜坡為1：2.4，可知坡度為1：2.4，然后根據(jù)勾股定理，可以得到高為1時(shí)的斜邊的長(zhǎng)度，從而可以求得一個(gè)行人在斜坡為1：2.4的坡面上行走130米時(shí)升高的高度．【解答】解：∵斜坡為1：2.4，∴坡度為1：2.4，設(shè)升高的高度為x米，則水平距離為2.4x米，則在坡面上走的距離為：＝2.6x，令2.6x＝130，解得x＝50，即一個(gè)行人在斜坡為1：2.4的坡面上行走130米，他升高的高度為50米，故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的高度11．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（1，2），那么OP與x軸正半軸的夾角為α，tanα＝2．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，由P點(diǎn)的坐標(biāo)得PA、OA的長(zhǎng)，根據(jù)正切函數(shù)的定義得結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，如圖：∵點(diǎn)P（1，2），∴PA＝2，OA＝1，∴tanα＝．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系里的意義及解直角三角形．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．12．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么∠ABC的正切值為．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以求得AC、BC和AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△ACB的形狀，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由圖可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴tan∠ABC＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．13．（2023?普陀區(qū)二模）如圖，斜坡AB的坡度i1＝1：，現(xiàn)需要在不改變坡高AH的情況下將坡度變緩，調(diào)整后的斜坡AC的坡度i2＝1：2.4，已知斜坡AB＝10米，那么斜坡AC＝13米．【分析】根據(jù)斜坡AB的坡度i1＝1：和AB的值先求出AH，再根據(jù)斜坡AC的坡度i2＝1：2.4求出AC即可．【解答】解：∵i1＝1：，∴tan∠ABH＝，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝10＝5（米），∵坡度i2＝1：2.4，∴，即，解得CH＝12，∴AC＝＝13（米）．故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡腳問(wèn)題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022秋?虹口區(qū)期中）已知△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6，那么AB的長(zhǎng)是10．【分析】利用直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABC中，∵cosA＝＝，AC＝6，∴AB＝10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握“某角的余弦＝”是解決本題的關(guān)鍵．15．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，△ABC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么∠ABC的余弦值為．【分析】利用勾股定理可求出AC、BC、AB的值，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，根據(jù)余弦的定義即可得答案．【解答】解：∵△ABC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，∴，，，∵，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查網(wǎng)格的特征、勾股定理及余弦的定義，在直角三角形中，銳角的余弦是角的鄰邊與斜邊的比；熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．16．（2023?金山區(qū)二模）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，tanC＝，點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，如果點(diǎn)E關(guān)于直線AD對(duì)稱的點(diǎn)F恰好落在線段BC上，那么CE的最大值為．【分析】在直角△ABC中，根據(jù)正切函數(shù)定義得出AC＝4，利用勾股定理求出BC＝＝5．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AE＝AF，那么CE＝AC﹣AE＝4﹣AE＝4﹣AF，當(dāng)AF取最小值時(shí)CE取最大值．根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)AF⊥BC時(shí)，AF最?。鶕?jù)三角形的面積求出AF＝＝，進(jìn)而求出CE的最大值．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，tanC＝＝，∴AC＝4，∴BC＝＝5．∵點(diǎn)E關(guān)于直線AD對(duì)稱的點(diǎn)F恰好落在線段BC上，∴AE＝AF．∵點(diǎn)E在線段AC上，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣AE＝4﹣AF，∴當(dāng)AF取最小值時(shí)CE取最大值．如圖，當(dāng)AF⊥BC時(shí)，AF最?。逽△ABC＝BC?AF＝AB?AC，∴AF＝＝＝，∴CE＝4﹣＝，即CE的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)．根據(jù)題意得到當(dāng)AF取最小值時(shí)CE取最大值是解題的關(guān)鍵．17．（2023?閔行區(qū)二模）閱讀理解：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α、β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這個(gè)三角形為特征三角形．問(wèn)題解決：如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，AB＝25，，如果△ABC是特征三角形，那么線段AC的長(zhǎng)為．【分析】由題意可分：①設(shè)∠A＝α，∠B＝β，則在AB上截取一點(diǎn)D，使得CD＝CA，此種情況不符合題意；②設(shè)∠A＝β，∠B＝α，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，然后根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可進(jìn)行求解．【解答】解：由題意可分：①設(shè)∠A＝α，∠B＝β，則在AB上截取一點(diǎn)D，使得CD＝CA，如圖所示：∴∠A＝∠ADC，∵，∴，∴∠CDB為鈍角，故不存在2α+β＝90°；②設(shè)∠A＝β，∠B＝α，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，如圖所示：∵△ABC是特征三角形，即2α+β＝90°，且∠A+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝2∠ABC，∴BC平分∠ABE，∴CF＝CE，∵，∴，設(shè)AF＝3x，CF＝CE＝4x，AC＝5x，則有AE＝9x，∴BE＝12x，∵AB＝25，在Rt△ABE中，由勾股定理得81x2+144x2＝625，解得：或（舍去），∴；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB交邊AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線，與過(guò)點(diǎn)M作AB的平行線交于點(diǎn)Q．如果直線CQ⊥AB，那么AP的長(zhǎng)為．【分析】如圖，設(shè)AP＝m．證明AP＝MQ＝m，根據(jù)cos∠A＝cos∠CMQ＝，構(gòu)建方程求解．【解答】解：如圖，設(shè)AP＝m．∵PQ∥ACMQ∥AB，∴四邊形APQM是平行四邊形，∠A＝∠CMN，∴AP＝MQ＝m，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，∴AB＝＝10，AC＝＝6，∵PM⊥AB，∴AM＝PA÷cosA＝m，∴CM＝AC﹣AM＝6﹣m，∵CQ⊥AB，AB∥MN，∴CQ⊥MN，∴cos∠CMQ＝cosA＝＝，∴＝，∴m＝，經(jīng)檢驗(yàn)m＝是分式方程的解，∴AP＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案．【解答】解：原式＝4×﹣2××+＝2﹣1+2＝2+1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．20．（2023?普陀區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，DE∥AC，cosC＝，AC＝10，BE＝2AE．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）求△BDE的面積．【分析】（1）在Rt△ACD中，由cosC＝＝，求出CD，再由DE∥AC得，即可求出BD．（2）由勾股定理求出AD，根據(jù)BE＝2AE得到S△BDE＝S△ABD，即可求出結(jié)果．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴cosC＝，∴＝，∴CD＝8，∵DE∥AC，∴，又BE＝2AE，∴，∴BD＝16．（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝6，∵BE＝2AE，∴S△BDE＝S△ABD＝×AD?BD＝××6×16＝32．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，以及平行線分線段成比例定理，三角形的面積計(jì)算，熟練運(yùn)用三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．21．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）求∠EAB的正弦值．【分析】（1）利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理求出AC；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．先判斷EF是三角形的中位線，再求出EF、DF、AF及AE，最后求出∠EAB的正弦值．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均為直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tanB＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系以及三角形的中位線定理是解決本題的關(guān)鍵．22．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動(dòng)，對(duì)地下車庫(kù)作了改進(jìn)．如圖，這小區(qū)原地下車庫(kù)的入口處有斜坡AC長(zhǎng)為13米，它的坡度為i＝1：2.4，AB⊥BC，為了居民行車安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為17°，即∠ADC＝17°（此時(shí)點(diǎn)B、C、D在同一直線上）．求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)D與原起點(diǎn)C的距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【分析】根據(jù)坡度的概念，設(shè)AB＝5x米，則BC＝12x米，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求解，然后根據(jù)余切的定義列出算式，求出DC．【解答】解：由題意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，設(shè)AB＝5x米，則BC＝12x米，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5米，BC＝12米，在Rt△ABD中，tan∠ADC＝，∵∠ADC＝17°，AB＝5米，∴，∴CD≈4.1（米），答：斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)D與原起點(diǎn)C的距離為4.1米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．23．（2023?寶山區(qū)二模）“小房子”是一種常見的牛奶包裝盒（如圖1），圖2是其一個(gè)側(cè)面的示意圖，由“盒身”矩形BCDE和“房頂”等腰三角形ABE組成．已知BC＝4.5厘米，CD＝8厘米，AB＝AE＝5厘米．（1）求“房頂”點(diǎn)A到盒底邊CD的距離；（2）現(xiàn)設(shè)計(jì)了牛奶盒的一個(gè)新造型，和原來(lái)相比較，折線段ABC的長(zhǎng)度（即線段AB與BC的和）及矩形BCDE的面積均不改變，且sin∠ABE＝，BC＞CD，求新造型“盒身”的高度（即線段BC的長(zhǎng)）．【分析】（1）作AH⊥CD，垂足為H，交EB于點(diǎn)F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BE＝CD＝8厘米，BE∥CD，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)AF＝5x厘米，AB＝13x厘米，根據(jù)勾股定理得到BF＝＝12x（厘米），求得BE＝24x厘米，根據(jù)矩形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）作AH⊥CD，垂足為H，交EB于點(diǎn)F，∵四邊形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝8厘米，BE∥CD，∴AH⊥BE．∵AB＝AE＝5厘米，F(xiàn)H＝BC＝4.5厘米，∴BF＝EF＝4厘米，∴AF＝＝3（厘米），∴AH＝AF+FH＝3+4.5＝7.5（厘米）答：房頂”點(diǎn)A到盒底邊CD的距離為7.5厘米；（2）在Rt△ABF中，∵sin∠ABE＝＝，∴設(shè)AF＝5x厘米，AB＝13x厘米，∴BF＝＝12x（厘米），∴BE＝24x厘米，∵BC+AB＝4.5+5＝9.5（厘米），∴BC＝（9.5﹣13x）厘米，∵矩形BCDE的面積不改變，∴BC?BE＝（9.5﹣13x）×24x＝8×4.5，解得x＝或x＝，∴BC＝3，CD＝12或BC＝6.5，CD＝5，∵BC＞CD，∴BC＝6.5．答：新造型“盒身”的高度為6.5厘米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，要把實(shí)際問(wèn)題抽象到直角三角形中，利用三角函數(shù)求解．24．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，光從空氣斜射入水中，入射光線AB射到水池的水面B點(diǎn)后折射光線BD射到池底點(diǎn)D處，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光線AC射到水池的水面C點(diǎn)后折射光線CE射到池底點(diǎn)E處，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′為法線．入射光線AB、AC和折射光線BD、CE及法線MN、M′N′都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A到直線BC的距離為6米．（1）求BC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（參考數(shù)據(jù)：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）【分析】（1）根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)，可以求得CF和BF的值，然后即可計(jì)算出BC的值；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和銳角三角函數(shù)，可以求得水池的深．【解答】解：（1）作AF⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則AF∥MN∥M′N′，∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF，∵∠ABM＝30°，∠ACM′＝60°，∴∠BAF＝30°，∠CAF＝60°，∵AF＝6米，∴BF＝AF?tan