專(zhuān)題12 相似三角形的性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題(解析版)（重點(diǎn)突圍）

專(zhuān)題12相似三角形的性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題考點(diǎn)一利用相似三角形的性質(zhì)求解考點(diǎn)二相似三角形實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)三利用相似求坐標(biāo)考點(diǎn)四在網(wǎng)格中畫(huà)已知三角形相似的三角形考點(diǎn)五相似三角形的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一利用相似三角形的性質(zhì)求解例題：（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級(jí)期中）若，且周長(zhǎng)比為4：9，則其對(duì)應(yīng)邊上的高的比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，周長(zhǎng)比為4：9，∴兩個(gè)三角形的相似比為4：9，∵對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比，∴對(duì)應(yīng)邊上的高的比為4：9．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)．熟記相似三角形的周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)邊上的三線比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南·永州柳子中學(xué)九年級(jí)期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵△ABC~△DEF，∴∠A＝∠D＝50°，∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）兩個(gè)相似三角形的面積之比為3：4，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之比為_(kāi)______．【答案】：2【分析】相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積之比為3：4，∴相似比是：2，∵相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，∴這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之比為：：2，故答案為：：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．3．（2021·廣西·北師大平果附屬學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DE//BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm．(1)求CE的長(zhǎng)；(2)若△ABC的面積為，求△ADE的面積．【答案】(1)CE=2cm(2)△ADE的面積為．【分析】（1）設(shè)CE=xcm，根據(jù)平行線分線段成比例定理得代入可得結(jié)論；（2）根據(jù)平行得相似，則面積比等于相似比的平方，可得結(jié)論．（1）解：設(shè)cm，則cm，∵，∴，∵cm，cm，∴，∴，∴，∴cm，（2）解：∵，∴，∴，∵的面積為，∴的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定及平行線分線段成比例定理，在三角形相似的判定中常用平行相似的判定方法；還要熟練掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積比等于相似比的平方．考點(diǎn)二相似三角形實(shí)際應(yīng)用例題：（2021·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知零件的外徑為，現(xiàn)用個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)和相等，）測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑．若，且量得，則零件的厚度（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】A【分析】先根據(jù)題意證明△AOB∽△COD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AB，問(wèn)題得解．【詳解】解：∵兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，∵OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，∵CD＝12mm，∴AB＝24mm，∴零件的厚度為mm．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求出零件的內(nèi)孔直徑AB是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東青島·九年級(jí)期末）如圖，路燈A與地面的距離米，身高1.6米小明與路燈底部的距離米，則小明影子長(zhǎng)_______米．【答案】5【分析】根據(jù)題意可得CDAB，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得CDAB，∴?EDC~?EBA，∴，∴，∴DE=5米，故答案為：5．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為了測(cè)量一棟樓的高度，小王在他的腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到樓的頂部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同時(shí)量得BC＝0.3m，CE＝2m，則樓高DE為_(kāi)_____m．【答案】10【分析】如圖，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△DEC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角，它們的余角相等），∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝10（m）故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．考點(diǎn)三利用相似求坐標(biāo)例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C，由題意易得OA=10，然后由勾股定理可得，進(jìn)而可得△BOC∽△AOB，設(shè)OC=x，則有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C，如圖所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵點(diǎn)，∴OA=10，∵，∴，∴AB=2OB，∴BC=2OC，∴在Rt△BOC中，，即，∴，∴BC=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020·江蘇·景山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫格點(diǎn)三角形．在如圖的方格中，作格點(diǎn)和相似（相似比不為1），則點(diǎn)的坐標(biāo)是_________．【答案】或【分析】要求△ABC與△OAB相似，因?yàn)橄嗨票炔粸?，由三邊對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等，知△OAB的邊AB不能與△ABC的邊AB對(duì)應(yīng)，則AB與AC對(duì)應(yīng)或者AB與BC對(duì)應(yīng)并且此時(shí)AC或者BC是斜邊，分兩種情況分析即可．【詳解】根據(jù)題意：OA=2，OB=1，AB=，△ABC和△OAB相似應(yīng)分兩種情況討論，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，如圖，△ABC即為所作∵△ABC∽△OBA，

AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶，解得BC=5，∴OC=4，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，AB∶OB=∶BA，=，=5，此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，綜上所述，C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)或(3，2)，故答案為：（4，0）或（3，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-相似變換：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到；相似圖形的作圖在沒(méi)有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進(jìn)行簡(jiǎn)單的相似變換作圖．2．（2020·江蘇泰州·九年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(b，0)(b＞2)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，若△POA和△PAB相似，則符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)________．【答案】【分析】如圖，分類(lèi)討論：（1）；（2），根據(jù)相似三角形的相似比列式計(jì)算出b的值，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】由題意可得：OA=2，OB=b，AP=，如圖：（1）當(dāng)時(shí)，，OA=AB=2，b=4，P(2，)；（2）當(dāng)時(shí)，，，解得：b=9±，P(2，3±)；綜上：P的坐標(biāo)為：(2，)，(2，3±)．故答案為：(2，)，(2，3±)．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度進(jìn)而寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)四在網(wǎng)格中畫(huà)已知三角形相似的三角形例題：（2022·四川·渠縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形，請(qǐng)按以下要求作圖．(1)在圖1中畫(huà)出格點(diǎn)△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面積比為；(2)在圖2中將△ABC繞著某格點(diǎn)逆向時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到格點(diǎn)△PFG，其中C與P對(duì)應(yīng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合位似中心得出答案；（2）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案．（1）如圖，（案不唯一）（2）如圖，【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換以及旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)題意得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在5×5的邊長(zhǎng)為1小的正方形的網(wǎng)格中，如圖1△ABC和△DEF都是格點(diǎn)三角形（即三角形的各頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上）．(1)判斷：△ABC與△DEF是否相似？并說(shuō)明理由；(2)在如圖2的正方形網(wǎng)格中，畫(huà)出與△DEF相似且面積最大的格點(diǎn)三角形，并直接寫(xiě)出其面積．【答案】(1)相似，見(jiàn)解析(2)圖見(jiàn)解析，面積為5【分析】（1）相似，分別求出每個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似判斷即可；（2）根據(jù)勾股定理得出三角形各邊長(zhǎng)，利用邊長(zhǎng)之比相等，作出面積最大的格點(diǎn)三角形即可．(1)△ABC∽△DEF，理由如下：在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，∴△ABC∽△DEF；(2)如圖，△MNP即為所求，．【點(diǎn)睛】此題考查了作圖—相似變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似變換的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）如圖，在方格紙中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上（△ABC稱(chēng)為格點(diǎn)三角形，即格點(diǎn)△ABC），用無(wú)刻度直尺作圖．(1)在圖1中的線段AC上找一個(gè)點(diǎn)D，使；(2)在圖2中作一個(gè)格點(diǎn)△CEF，使△CEF與△ABC相似．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，從而得出點(diǎn)D的位置；（2）根據(jù)∠ACB=90°，AC=2BC，即可畫(huà)出△CEF．（1）解：如圖1所示，點(diǎn)D即為所求，（2）如圖2所示，△CEF即為所求，【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五相似三角形的綜合問(wèn)題例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在線段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．（1）求證：△AFE∽△ADC．（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EB=2FD．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出∠BAD=∠DAC，再根據(jù)∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，進(jìn)而根據(jù)兩角分別相等的三角形相似可證；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊得出AE=AF，再根據(jù)及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）∵AD為∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴△AFE∽△ADC；（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵，∴，∴，∵，∴，∴EB=2FD．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定．第（1）問(wèn)能根據(jù)角的等量代換得出角相等及熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵；第（2）問(wèn)根據(jù)相似得出比例式及根據(jù)比例式得出線段的關(guān)系是解的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）求證EG2＝GF?AF；（3）若AG＝3，EG＝，求BE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來(lái)依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點(diǎn)O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來(lái)，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系；（3）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng)，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可．【詳解】（1）證明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四邊形EFDG為菱形．（2）證明：如圖1所示：連接DE，交AF于點(diǎn)O．∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，，∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO?AF．∵，∴；（3）如圖2所示：過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．∵，∴，整理得：FG2+3FG-10=0．解得：FG=2，F(xiàn)G=-5（舍去）．∵∴∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到DF2=FO?AF是解題答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長(zhǎng)是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．2．（2021·福建省詔安第一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，，交BD于點(diǎn)F．(1)如圖1，直按寫(xiě)出的值_______；(2)將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE、DF，猜想DF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，當(dāng)BE=BA時(shí)，其他條件不變，△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為何值時(shí)EA=ED?請(qǐng)?jiān)趫D3或備用圖中畫(huà)出圖形并求出的值．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析，α的值為30°或150°，【分析】由是正方形ABCD的對(duì)角線，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，則可求出邊相等，進(jìn)而可知，根據(jù)邊之間的等量關(guān)系可知，故可知；由（1）知，，，，進(jìn)而可知邊之間的比例關(guān)系，由旋轉(zhuǎn)知，，故可證明，根據(jù)相似比可證明邊之間的等量關(guān)系；（3）連接DE，CE根據(jù)邊相等的條件，以及角相等的條件可知AE=DE，BE=CE，由四邊形ABCD是正方形，可知，AB=BC，進(jìn)而可得△BCE是等邊三角形，，進(jìn)而可證，即：，同理，也可證明△BCE是等邊三角形，，即：．(1)是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ABD=45°，，，，，，，，，故答案為：；(2)，理由：由（1）知，，，，，由旋轉(zhuǎn)知，，，，；(3)如圖3，連接DE，CE∵EA=ED，∴點(diǎn)E在AD的中垂線上，∴AE=DE，BE=CE，∵四邊形ABCD是正方形，，AB=BC，，∴△BCE是等邊三角形，，，即：，如圖4，同理，△BCE是等邊三角形，，即：，故答案為：30°或150°．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，能夠根據(jù)題意將變換后的圖像畫(huà)出來(lái)并構(gòu)造適合的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（上海市嘉定區(qū)部分學(xué)校聯(lián)考2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）已知兩個(gè)相似三角形的相似比為，那么它們的面積比為（）A．2 B．8 C．4 D．1【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得到答案．【詳解】解：兩個(gè)相似三角形的相似比為，它們的面積比故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．2．（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，畫(huà)2個(gè)相似三角形，在下列各圖中，正確的畫(huà)法有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可．【詳解】解：第1個(gè)網(wǎng)格中兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例滿足，所以這兩個(gè)三角形相似；第2個(gè)網(wǎng)格中兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例，所以這兩個(gè)三角形相似；第3個(gè)網(wǎng)格中兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例滿足，所以這兩個(gè)三角形相似；第4個(gè)網(wǎng)格中兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例，所以這兩個(gè)三角形相似；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握三角形相似的判定并根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)判斷出三角形的三邊的比例是解題的關(guān)鍵．3．（2022·福建省大田縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)．若的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，再根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似以及相似三角形的面積比等于相似比的平方．4．（2022·海南·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（－2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí)，平移的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BO′=3，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x軸向右平移后的正方形，∵頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，6）和（7，0），∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四邊形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點(diǎn)O在邊AB上，且BO＝2OA．以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（

）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，過(guò)O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，∴，∵BO＝2OA，∴OA＝10，OB＝20，過(guò)O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，∴，，∴，，∴OE＝16，OD＝6，當(dāng)⊙O過(guò)點(diǎn)C時(shí)，連接OC，根據(jù)勾股定理得，如圖，∵以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，∴r＝6或10或16或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·湖南岳陽(yáng)·九年級(jí)期中）已知，的周長(zhǎng)為3，的周長(zhǎng)為1，則與的面積之比為_(kāi)____．【答案】【分析】先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出其相似比，再根據(jù)面積的比等于相似比的平方進(jìn)行解答即可．【詳解】解：的周長(zhǎng)為3，的周長(zhǎng)為1，∴三角形的相似比是，∴與的面積之比為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．7．（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海蛟川書(shū)院九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)是___________．【答案】【分析】利用平行四邊形對(duì)邊平行，得到，再根據(jù)，得，然后列比例式，代數(shù)求值即可．【詳解】解：平行四邊形，，，，，，又，，，，，即，，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用，如何找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為“格點(diǎn)三角形”．如圖，在的網(wǎng)格中，是一個(gè)格點(diǎn)三角形，如果也是該網(wǎng)格中的一個(gè)格點(diǎn)三角形，它與相似且面積最大，那么與相似比的值是______．【答案】【分析】根據(jù)表格求出的三邊長(zhǎng)，作出，求出的三邊長(zhǎng)，然后對(duì)應(yīng)的邊作比可得比值相等，兩個(gè)三角形相似，相似比即為對(duì)應(yīng)邊的比，此時(shí)面積是最大的．【詳解】解：由表格可得：，，，如圖所示：作，，，∵，∴與的相似比為，由于表格的限制，可得且此時(shí)面積最大，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，在表格中作出相似三角形是解題關(guān)鍵．9．（2020·浙江省義烏市稠江中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若BD＝6，AE＝5，AB＝7，則AC＝_______．【答案】【分析】根據(jù)AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠DAC，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等，求證△ABD∽△BED、△ACE∽△ADB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例可得，然后將已知數(shù)值代入即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】∵AD平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAD，∵，∴∠C＝∠D，∴△ACE∽△ADB，∴，即：，∵AD平分∠BAC，∴，∴∠BAD＝∠EBD，∵∠BDA＝∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴，即：，解得：DE＝4或－9（舍去），∴AD＝AE＋DE＝5＋4＝9，∴，AC＝，故填：．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生應(yīng)熟練掌握．10．（2021·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，連接．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在折線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是___．【答案】或【分析】由題意易得，然后可分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，有；進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，∴，，∴，當(dāng)與相似時(shí)，則可分：①當(dāng)時(shí)，有，如圖所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，有，如圖所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；綜上所述：當(dāng)與相似時(shí)，或；故答案為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AB上的點(diǎn)，CE，AD交于點(diǎn)F，BD＝AD，BE＝EC．(1)求證：△ABD∽△CBE；(2)若CD＝CF，試求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，結(jié)合∠B＝∠B，可以得到；（2）設(shè)∠B＝x，則由（1）和已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到問(wèn)題解答．（1）證明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE

∴∠BAD＝∠BCE而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）解：設(shè)∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝

∴

∴即【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問(wèn)題，熟練掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及方程思想方法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．12．（2022·陜西西安·九年級(jí)期中）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)E在上，．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先得出，再根據(jù)已知得到，利用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可得證；（2）利用相似三角形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)，由代數(shù)得出答案即可．【詳解】（1）∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)期中）如圖，，且，點(diǎn)D在內(nèi)部，連接．(1)求證：．(2)若，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)可得，則，即可證明；（2）根據(jù)，先求出的長(zhǎng)度，在根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；以及兩邊成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似．14．（2022·湖南常德·一模）如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸和軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的圖象經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，連接(1)求的面積(2)若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且∽，求點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)得到D（1，3），再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式為y＝，接著利用E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2得到E（2，），然后根據(jù)三角形面積公式求解；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比可求出CF，然后計(jì)算出OF的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)F坐標(biāo)．（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，把代入得，反比例函數(shù)解析式為，，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即，的面積；（2）∽，，即，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．15．（2022·福建·將樂(lè)縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期中）已知：E是矩形的邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線交于點(diǎn)F，(1)求證