專項(xiàng)六函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式

考點(diǎn)13利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值命題分析考向趨勢(shì)這一題型在高考中,主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(特別是含參函數(shù)的單調(diào)性),會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值,能利用函數(shù)的單調(diào)性、極值求參數(shù)的取值范圍、參數(shù)值此題型常作為解答題的第一問,考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,單調(diào)性求參數(shù)的范圍,函數(shù)的極值求參數(shù)的值或取值范圍,是中檔題;假設(shè)作為第二問,那么?？疾楹瘮?shù)的極值或是利用單調(diào)性或極值探討函數(shù)與不等式的問題,難度較大【母題】(2021年全國Ⅱ卷,文T21)函數(shù)f(x)=2lnx+1.(1)假設(shè)f(x)≤2x+c,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(2)設(shè)a>0,討論函數(shù)g(x)=f(x【拆解1】函數(shù)f(x)=2lnx-2x+1,那么f(x)的極大值為.

【拆解2】假設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx-2x+1-c的極大值是-3,那么實(shí)數(shù)c的值是.

【拆解3】假設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx-2x+1-c有大于0的極大值,那么實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

【拆解4】關(guān)于x的函數(shù)f(x)=2(ln【拆解5】當(dāng)a>0時(shí),假設(shè)f(x)=2(lnx-lna)x-a在(1.函數(shù)f(x)=exx-ax(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.函數(shù)f(x)=ax2+lnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)假設(shè)?x∈(0,+∞)使f(x)>0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1.函數(shù)的單調(diào)性(1)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟①確定函數(shù)f(x)的定義域;②求f'(x);③解不等式f'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的局部為單調(diào)遞增區(qū)間,解不等式f'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的局部為單調(diào)遞減區(qū)間.(2)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論;劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論,還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn);個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性,如f(x)=x3,f'(x)=3x2≥0,f'(x)=0在x=0處取到,但f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).2.求函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上極值的步驟1.(2021年河北省承德市質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=ax2+blnx在x=1處有極值12(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.(2021年福建省高三第一次聯(lián)考)函數(shù)f(x)=xlnx+ax+b在(1,f(1))處的切線為2x-2y-1=0.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.3.(2021年廣西南寧、梧州等八市高三聯(lián)考)函數(shù)f(x)=ax2-x-2lnx(a∈R).(1)假設(shè)函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)為x=1,求函數(shù)f(x)的極值;(2)討論f(x)的單調(diào)性.4.(2021年福建省三明市模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+x2+ax.(1)當(dāng)x=12時(shí),f(x)取得極值,求實(shí)數(shù)a的值(2)假設(shè)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5.(2021年河北省高三月考)函數(shù)f(x)=lnx-ax-1(1)假設(shè)曲線y=f(x)存在斜率為-1的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x+alnx,求證:當(dāng)-1<a<0時(shí),g(x)在(1,6.(2021年山西省臨汾市考前適應(yīng)性訓(xùn)練)函數(shù)f(x)=ex-ax-1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)是曲線y=f(x)上任意三點(diǎn),求證:f(x27.(2021年貴州貴陽模擬)函數(shù)f(x)=12x2-ax+lnx(a∈R)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:假設(shè)函數(shù)f(x)有極大值,那么極大值小于-328.(2021年江西省景德鎮(zhèn)市第三次質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=aex(a≠0),g(x)=12x2(1)當(dāng)a=-2時(shí),求曲線f(x)與g(x)的公切線方程.(2)假設(shè)y=f(x)-g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x2≥3x1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考點(diǎn)14函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的最值、恒成立問題命題分析考向趨勢(shì)主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值、不等式恒成立、能成立問題,題目以解答題的形式出現(xiàn),屬于壓軸題,難度較大此題型主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值,解決不等式恒成立問題,求參數(shù)的范圍或參數(shù)值,根據(jù)函數(shù)最值研究能成立問題【母題】(2021年新高考Ⅰ卷,T21)函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)假設(shè)f(x)≥1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【拆解1】函數(shù)f(x)=ex-lnx+1,那么曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為.

【拆解2】直線y=(e-1)x+2與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為().A.1B.2e-1C.2【拆解3】函數(shù)f(x)=ex+x,那么不等式f(x2)>f(2-x)的解集為().A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【拆解4】假設(shè)lna+x-1≥lnx恒成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【拆解5】函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna(a是常數(shù),且a>1),那么f(x)的最小值是.

1.函數(shù)f(x)=(x-1)lnx.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)假設(shè)不等式exf(x)≥x+aex在(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.函數(shù)f(x)=e-x-ax(a∈R).(1)當(dāng)a=-2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)假設(shè)ln[e(x+1)]≥2-f(-x)對(duì)任意的x∈[0,+∞)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的常用方法破解此類以函數(shù)為背景的不等式恒成立問題需要“一構(gòu)造、一分類〞.“一構(gòu)造〞是指通過不等式的同解變形,構(gòu)造一個(gè)與背景函數(shù)相關(guān)的函數(shù);“一分類〞是指在不等式恒成立問題中,常需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,求出參數(shù)的范圍.有時(shí)也可以利用別離參數(shù)法,即將不等式別離參數(shù),轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值.一般地,a>f(x)對(duì)x∈D恒成立,只需a>f(x)max;a<f(x)對(duì)x∈D恒成立,只需a<f(x)min.2.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式存在性問題的策略(1)根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問題.(2)用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值.(3)構(gòu)建不等式求解.3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值、不等式恒成立問題是高考的壓軸題,難度很大.利用觀察、分析、聯(lián)想類比的方法,拆解或結(jié)論,揭示隱含條件、抓住問題關(guān)鍵、開闊解題視野、尋找解題思路,到達(dá)事半功倍之效.1.(2021屆新疆烏魯木齊第三次質(zhì)檢)f(x)=ex-alnx+2a(a>0).(1)當(dāng)a=e時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)x0是f(x)的極小值點(diǎn),求f(x0)的最大值.2.(2021屆遼寧省沈陽市三模)函數(shù)f(x)=ebxax在x=2處取到極值,極值為(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè)不等式x2f(x)≥kx+lnx+1在x∈(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.3.(2021屆廣東省中山市高三期末)函數(shù)f(x)=ex-ex2+ax(a∈R).(1)假設(shè)f(x)在(0,1)上單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)假設(shè)y=f(x)+exlnx的圖象恒在x軸上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4.(2021屆江西省南昌市高三適應(yīng)性考試)函數(shù)f(x)=lnx-ax.(1)假設(shè)函數(shù)f(x)在定義域上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值;(2)設(shè)函數(shù)h(x)=(x-2)ex+f(x),當(dāng)a≥1時(shí),h(x)≤b對(duì)任意的x∈13,1恒成立,求滿足條件的實(shí)數(shù)5.(2021屆河南省焦作市高三第四次模擬)函數(shù)f(x)=alnx+3x2(a∈R).(1)求f(x)的極值;(2)設(shè)g(x)=2x-m,當(dāng)a=-4時(shí),f(x)-g(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.6.(2021屆廣東省珠海市一模)函數(shù)f(x)=ax(1)當(dāng)a=b=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;(2)假設(shè)f(1)=1,且方程f(x)=1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.7.(2021屆江西省上饒市一模)函數(shù)f(x)=-alnx+x+4-(1)當(dāng)a≥4時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=ex+mx2-6,當(dāng)a=e2+2時(shí),對(duì)任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[1,+∞),使得f(x1)+2e2≥g(x2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.8.(2021屆福建省漳州市高三第三次質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=(x+3)ex-2m,m∈R.(1)假設(shè)m=32,求f(x)的最值(2)假設(shè)當(dāng)x≥0時(shí),f(x-2)+2m≥1e2(mx2+2x+1),求實(shí)數(shù)m考點(diǎn)15利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題命題分析考向趨勢(shì)主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(或方程根的)個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)求參數(shù)的取值范圍,題目以解答題的形式出現(xiàn),難度較大,是高考的熱點(diǎn)此題型主要從以下幾個(gè)方面考查:(1)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或方程的根的個(gè)數(shù)的判斷與證明;(2)根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或方程的根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍【母題】(2021年全國Ⅰ卷,文T20)函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)假設(shè)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【拆解1】假設(shè)函數(shù)f(x)=ex-a(x+2)在[-1,2]上單調(diào)遞增,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.a≤1e2B.a≤1eC.a≤1D.a【拆解2】函數(shù)f(x)=ex-a(x+2),討論f(x)的單調(diào)性.【拆解3】函數(shù)f(x)=ex-a(x+2),假設(shè)f(x)有大于零的極小值,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【拆解4】函數(shù)f(x)=ex-a(x+2),假設(shè)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn),那么a的值是.

【拆解5】函數(shù)f(x)=ex-a(x+2)(x≠-2),假設(shè)f(x)不存在零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

1.設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+ax+lnx(a∈R).(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在13,3上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)2.函數(shù)f(x)=lnx-aex+1(a∈R).(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)假設(shè)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)直接研究函數(shù),求出極值以及最值,畫出草圖.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.(2)別離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為a=g(x),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間上的單調(diào)性,求出極值以及最值,畫出草圖.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即直線y=a與函數(shù)y=g(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.只需要將a與函數(shù)g(x)的極值和最值進(jìn)行比較即可.2.利用導(dǎo)數(shù)研究方程解的個(gè)數(shù)問題的一般思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y=k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題.(2)利用導(dǎo)數(shù)研究出該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì),進(jìn)而畫出其圖象.(3)結(jié)合圖象求解.方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三個(gè)等價(jià)的概念,解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等性質(zhì)畫出函數(shù)圖象的走勢(shì),通過數(shù)形結(jié)合思想直觀求解.3.利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的零點(diǎn)難度比較大,可以以題目的條件和結(jié)論為切入點(diǎn),也可以通過分析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征,利用拆數(shù)、拆式等技巧進(jìn)行猜想嘗試,揭示數(shù)學(xué)問題的隱蔽關(guān)系,尋找隱含條件,進(jìn)而解決問題.1.(2021屆江西重點(diǎn)中學(xué)高三聯(lián)考)函數(shù)f(x)=sinx+lnx-1.(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)π2,(2)當(dāng)x∈(0,π)時(shí),討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2.(2021屆黑龍江省雞西市高三期末)函數(shù)f(x)=ex-2x.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)假設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-a在x∈[-1,1]上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.3.(2021屆河南商丘模擬)函數(shù)f(x)=ax2+(a-2)x-lnx.(1)假設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值;(2)當(dāng)0<a<1時(shí),求f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).4.(2021屆東北三校高三模擬)函數(shù)f(x)=2xex-ax-alnx(a∈R).(1)假設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線l過點(diǎn)(0,-2e-1),求實(shí)數(shù)a的值;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5.(2021屆河南高三聯(lián)考)函數(shù)f(x)=xsinx+acosx+x,a∈R.(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)當(dāng)a>2時(shí),假設(shè)方程f(x)-3=0在區(qū)間0,π2上有唯一解,求實(shí)數(shù)6.(2021屆山西省長治市高三質(zhì)檢)設(shè)f(x)=xsinx+cosx,g(x)=x2+4.(1)討論f(x)在[-π,π]上的單調(diào)性;(2)令h(x)=g(x)-4f(x),試證明h(x)在R上有且僅有三個(gè)零點(diǎn).7.(2021屆天津市二模)函數(shù)f(x)=12ax-a+1-lnxx,其中a(1)假設(shè)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)假設(shè)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.8.(2021屆山東省泰安市高三四模)函數(shù)f(x)=(x-2)ex+x+2,f'(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:(1)當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0;(2)g(x)=(1-sinx)[xex-f'(x)+2]-2在(-π,π)上有且只有3個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)16函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問題命題分析考向趨勢(shì)由于不等式具有較好的考查邏輯推理能力的功能,我們發(fā)現(xiàn)高考題中有許多與不等式證明有關(guān),其工具就是構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,滲透了分類與整合的思想,是高考的熱點(diǎn),難度較大此題型主要利用導(dǎo)數(shù)證明代數(shù)不等式.涉及的主要方法:(1)參變量別離,構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;(2)直接構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決;(3)適當(dāng)變形后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題解決【母題】(2021年全國Ⅱ卷,文T21)函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明:(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).【拆解1】函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1,求證:f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.【拆解2】函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1,證明f(x)存在唯一的極值點(diǎn).【拆解3】函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1,討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【拆解4】函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,證明:x1x2=1.1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)ex+a+1,a∈R.(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0]上的最小值;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上存在零點(diǎn),證明:a>2.2.函數(shù)f(x)=(x+sinx-cosx)ex,f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).(1)設(shè)g(x)=f'(x)-f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè)x≥0,證明:f(x)≥x-1.1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的根本步驟(1)作差或變形.(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值.(4)根據(jù)單調(diào)性及最值,得到所證不等式.2.構(gòu)造輔助函數(shù)的4種方法3.用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性:假設(shè)f(x)在[a,b]上是增函數(shù),那么①?x∈[a,b],那么f(a)≤f(x)≤f(b);②對(duì)?x1,x2∈[a,b],且x1<x2,那么f(x1)<f(x2).對(duì)于減函數(shù),有類似的結(jié)論.(2)利用最值:假設(shè)f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m),那么對(duì)?x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).(3)證明f(x)<g(x),可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),證明F(x)<0.1.(2021屆陜西西安高三模擬)函數(shù)f(x)=x+asinx+b,g(x)=ex-x+f(x).