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2024屆四川省宜賓市筠連縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4,2),則()A.2 B.4C.2或-2 D.4或-42.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?,其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為()A.1 B.2C.3 D.43.已知函數(shù),則下列說法正確的是()A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在區(qū)間的最小值為14.下列選項(xiàng)正確的是()A. B.C. D.5.玉雕在我國(guó)歷史悠久,擁有深厚的文化底蘊(yùn),數(shù)千年來始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.玉雕壁畫是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝,加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫.某扇形玉雕壁畫尺寸(單位:)如圖所示,則該壁畫的扇面面積約為()A. B.C. D.6.設(shè),,,則,,三者的大小關(guān)系是()A. B.C. D.7.已知是第二象限角,且,則()A. B.C. D.8.已知,則的最小值為()A.2 B.3C.4 D.59.當(dāng)時(shí),在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與的圖象可能為A. B.C. D.10.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是A. B.C. D.11.已知函數(shù)冪函數(shù),且在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)()A. B.C.或 D.12.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是A. B.C. D.二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13.若,是夾角為的兩個(gè)單位向量,則,的夾角為________.14.已知在同一平面內(nèi),為銳角,則實(shí)數(shù)組成的集合為_________15.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是______.16.已知,,試用a、b表示________.三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17.化簡(jiǎn)或求值:(1);(2)18.袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號(hào)分別為1,2.(Ⅰ)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率;(Ⅱ)現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率.19.袋子里有6個(gè)大小、質(zhì)地完全相同且?guī)в胁煌幪?hào)的小球,其中有1個(gè)紅球,2個(gè)白球,3個(gè)黑球,從中任取2個(gè)球.(1)寫出樣本空間;(2)求取出兩球顏色不同的概率;(3)求取出兩個(gè)球中至多一個(gè)黑球的概率.20.如圖,在平行四邊形中,設(shè),.(1)用向量,表示向量,;(2)若,求證:.21.已知為第三象限角,且.(1)化簡(jiǎn);(2)若,求的值.22.(1)計(jì)算:.(2)若,求的值.
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1、B【解析】設(shè)冪函數(shù)代入已知點(diǎn)可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)冪函數(shù)又函數(shù)過點(diǎn)(4,2),,故選:B.2、C【解析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域?yàn)镽可得,由和奇函數(shù)的性質(zhì)可得、,利用零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)果.【詳解】奇函數(shù)的定義域?yàn)镽,其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線,得,由得,所以,故函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn),由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)在之間至少存在3個(gè)零點(diǎn).故選:C3、D【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其周期、對(duì)稱軸、零點(diǎn)、最值即可.【詳解】函數(shù),周期為,故A錯(cuò)誤;函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為,,,不是對(duì)稱軸,故B錯(cuò)誤;函數(shù)的零點(diǎn)為,,,所以不是零點(diǎn),故C錯(cuò)誤;時(shí),,所以,即,所以,故D正確.故選:D4、A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一判斷可得;【詳解】解:對(duì)于A:在定義域上單調(diào)遞減,所以,故A正確;對(duì)于B:在定義域上單調(diào)遞增,所以,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:因?yàn)?,,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:因?yàn)?,,即,所以,故D錯(cuò)誤;故選:A5、D【解析】利用扇形的面積公式,利用大扇形面積減去小扇形面積即可.【詳解】如圖,設(shè),,由弧長(zhǎng)公式可得解得,,設(shè)扇形,扇形的面積分別為,則該壁畫的扇面面積約為.故選:.6、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算變形、,再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可;【詳解】解:,,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增,且,所以,即,故選:D7、B【解析】先由求出,再結(jié)合是第二象限角,求即可.【詳解】∵∴,∵是第二象限角,∴,∴,故A,C,D錯(cuò),B對(duì),故選:B.8、A【解析】由可得,將整理為,再利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以的最小值為.故選:A9、C【解析】當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,單調(diào)遞減故選10、C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以選項(xiàng)A不正確;因?yàn)楹癁楹瘮?shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),所以選項(xiàng)B不正確;函數(shù)圖象拋物線開口向下,對(duì)稱軸是軸,所以此函數(shù)是偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以,選項(xiàng)C正確;函數(shù)雖然是偶函數(shù),但是此函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),所以選項(xiàng)D不正確;故選C考點(diǎn):1、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性;2、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù);3函數(shù)的圖象11、A【解析】由冪函數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式,求出的值,然后再將的值代入函數(shù)解析式進(jìn)行檢驗(yàn),可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù),則,即,解得或.若,函數(shù)解析式為,該函數(shù)在定義域上不單調(diào),舍去;若,函數(shù)解析式,該函數(shù)在定義域上為增函數(shù),合乎題意.綜上所述,.故選:A.12、C【解析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷即可【詳解】∵,,∴,∴函數(shù)在區(qū)間(2,3)上存在零點(diǎn)故選C【點(diǎn)睛】求解函數(shù)零點(diǎn)存在性問題常用的辦法有三種:一是用定理,二是解方程,三是用圖象.值得說明的是,零點(diǎn)存在性定理是充分條件,而并非是必要條件二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13、【解析】由題得,,再利用向量的夾角公式求解即得解.【詳解】由題得,所以.所以,的夾角為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算,考查向量的夾角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、【解析】分析:根據(jù)夾角為銳角得向量數(shù)量積大于零且向量不共線,解得實(shí)數(shù)組成的集合.詳解:因?yàn)闉殇J角,所以且不共線,所以因此實(shí)數(shù)組成的集合為,點(diǎn)睛:向量夾角為銳角的充要條件為向量數(shù)量積大于零且向量不共線,向量夾角為鈍角的充要條件為向量數(shù)量積小于零且向量不共線.15、##【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到,,進(jìn)而得到答案.【詳解】角的終邊經(jīng)過點(diǎn),,,.故答案為:.16、【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)式指數(shù)式互化公式,結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以,因此有:,故答案為:三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17、(1)99;(2)2.【解析】(1)根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可;(2)對(duì)式子提公因式,結(jié)合同底的對(duì)數(shù)運(yùn)算得到最終結(jié)果解析:(1)原式(2)原式18、(I).(II)【解析】解:(I)從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種:紅1紅2,紅1紅3,紅1藍(lán)1,紅1藍(lán)2,紅2紅3,紅2藍(lán)1,紅2藍(lán)2,紅3藍(lán)1,紅3藍(lán)2,藍(lán)1藍(lán)2.其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的有3種情況,故所求的概率為.(II)加入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片后,從六張卡片中任取兩張,除上面的10種情況外,多出5種情況:紅1綠0,紅2綠0,紅3綠0,藍(lán)1綠0,藍(lán)2綠0,即共有15種情況,其中顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的有8種情況,所以概率為.考點(diǎn):古典概型點(diǎn)評(píng):主要是考查了古典概型的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題19、(1)答案見解析;(2);(3).【解析】(1)將1個(gè)紅球記為個(gè)白球記為個(gè)黑球記為,進(jìn)而列舉出所有可能性,進(jìn)而得到樣本空間;(2)由題意,有1紅1白,1紅1黑,1白1黑,共三大類情況,由(1),列舉出所有可能性,進(jìn)而求出概率;(3)由題意,有1紅1白,1紅1黑,1白1黑,2白,共四大類情況,由(1),列舉出所有可能性,進(jìn)而求出概率【小問1詳解】將1個(gè)紅球記為個(gè)白球記為個(gè)黑球記為,則樣本空間,共15個(gè)樣本點(diǎn).【小問2詳解】記A事件為“取出兩球顏色不同”,則兩球顏色可能是1紅1白,1紅1黑,1白1黑,則包含11個(gè)樣本點(diǎn),所以.【小問3詳解】記事件為“取出兩個(gè)球至多有一個(gè)黑球”,則兩球顏色可能是1紅1白,1紅1黑,1白1黑,2白,則包含12個(gè)樣本點(diǎn),所以.20、(1),.(2)證明見解析【解析】(1)根據(jù)向量的運(yùn)算法則,即可求得向量,;(2)由,根據(jù)向量的運(yùn)算法則,求得,即可求解.【小問1詳解】解:在平行四邊形中,由,,根據(jù)向量的運(yùn)算法則,可得,.【小問2詳解】解:因?yàn)?,可得,所?21、(1)
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