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北京市東城區(qū)市級名校2024屆高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共10小題;在每小題給出的四個選項中,只有一個選項符合題意,請將正確選項填涂在答題卡上.)1.邊長為的正四面體的表面積是A. B.C. D.2.中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體,該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現(xiàn)有一個如圖所示的曲池,其高為3,底面,底面扇環(huán)所對的圓心角為,弧AD長度為弧BC長度的3倍,且,則該曲池的體積為()A B.C. D.3.若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.4.下列命題中是真命題的是()A.“”是“”的充分條件B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的充要條件5.奇函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減且,則不等式的解集為()A. B.C. D.6.方程的根所在的區(qū)間為A. B.C. D.7.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=﹣x+1,則當(dāng)x<0時,f(x)等于()A.﹣x+1 B.﹣x﹣1C.x+1 D.x﹣18.已知a=20.1,b=log43.6,c=log30.3,則()A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>a>b9.在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是()A. B.C. D.10.若角的終邊上一點(diǎn),則的值為()A. B.C. D.二、填空題(本大題共5小題,請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____12.已知集合,.若,則___________.13.在區(qū)間上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù),則事件發(fā)生的概率為_________.14.已知函數(shù)滿足,則________.15.已知集合,若,求實(shí)數(shù)的值.三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)16.已知集合A為函數(shù)的定義域,集合B是不等式的解集(1)時,求;(2)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍17.已知圓C過,兩點(diǎn),且圓心C在直線上(1)求圓C的方程;18.已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)當(dāng)時,求的最大值和最小值.19.求值:(1)(2)2log310+log30.8120.已知函數(shù)的最小正周期為,再從下列兩個條件中選擇一個作為已知條件:條件①:的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;條件②:的圖象關(guān)于直線對稱(1)請寫出你選擇的條件,并求的解析式;(2)在(1)的條件下,當(dāng)時,求的最大值和最小值,并指出相應(yīng)的取值注;如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分21.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求的值;(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上是減函數(shù).
參考答案一、選擇題(本大題共10小題;在每小題給出的四個選項中,只有一個選項符合題意,請將正確選項填涂在答題卡上.)1、D【解析】∵邊長為a的正四面體的表面為4個邊長為a正三角形,∴表面積為:4×a=a2,故選D2、B【解析】利用柱體體積公式求體積.【詳解】不妨設(shè)弧AD所在圓的半徑為R,弧BC所在圓的半徑為r,由弧AD長度為弧BC長度的3倍可知,,即.故該曲池的體積.故選:B3、C【解析】根據(jù)題意得,,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,所以,,因?yàn)榈慕饧癁?,即函?shù)的定義域?yàn)橛捎诤瘮?shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.故選:C4、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)槭羌螦的子集,故“”是“”的必要條件,故選項A為假命題;當(dāng)時,則,所以“”是“”的必要條件,故選項B為真命題;因?yàn)槭巧系臏p函數(shù),所以當(dāng)時,,故選項C為假命題;取,,但,故選項D為假命題.故選:B.5、A【解析】由已知可作出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合圖象可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,,所以當(dāng)時,,當(dāng),,又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以在上單調(diào)遞減,,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,大致圖象如下,由得或,解得,或,或,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,解題的關(guān)鍵點(diǎn)是由題意分析出的大致圖象,考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.6、C【解析】令函數(shù),則方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【詳解】令函數(shù),則方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn),再由,且,可得函數(shù)在上有零點(diǎn)故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】當(dāng)x<0時,,選B.點(diǎn)睛:已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式,首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程,從而可得的值或解析式.8、A【解析】直接判斷范圍,比較大小即可.【詳解】,,,故a>b>c.故選:A.9、C【解析】依次判斷四個選項的單調(diào)性即可.【詳解】A選項:增函數(shù),錯誤;B選項:增函數(shù),錯誤;C選項:當(dāng)時,,為減函數(shù),正確;D選項:增函數(shù),錯誤.故選:C.10、B【解析】由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】∵角的終邊上一點(diǎn),∴,∴,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義,考查誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題(本大題共5小題,請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)11、【解析】由對數(shù)的真數(shù)大于零、二次根式的被開方數(shù)非負(fù),分式的分母不為零,列不等式組可求得答案【詳解】由題意得,解得,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?2、【解析】根據(jù)給定條件可得,由此列式計算作答.【詳解】因集合,,且,于是得,即,解得,所以.故答案為:13、【解析】由得:,∵在區(qū)間上隨機(jī)取實(shí)數(shù),每個數(shù)被取到的可能性相等,∴事件發(fā)生的概率為,故答案為考點(diǎn):幾何概型14、6【解析】由得出方程組,求出函數(shù)解析式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足,所以,解之得,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)的值,屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】根據(jù)題意,可得或,然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】由題可知:集合,所以或,則或當(dāng)時,,不符合集合元素的互異性,當(dāng)時,,符合題意所以【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系求參數(shù),考查計算能力,屬基礎(chǔ)題.三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)16、(1)(2)【解析】(1)由函數(shù)定義域求A,由不等式求B,按照集合交并補(bǔ)運(yùn)算規(guī)則即可;(2)由A推出B的范圍,由于a的不確定性,可以將不等式轉(zhuǎn)換,用基本不等式解決.【小問1詳解】由,解得:,即;當(dāng)時,由得:或,∴,∴,∴;【小問2詳解】由知:,即對任意,恒成立,∴,∵,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,∴,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為;綜上:,.17、(1);(2)或.【解析】(1)設(shè)圓C的圓心為,半徑為r,結(jié)合題意得,解出a、b、r的值,將其值代入圓的方程即可得答案(2)根據(jù)題意,分類討論,斜率存在和斜率不存在兩種情況:①當(dāng)直線l的斜率不存在時,滿足題意,②當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)所求直線l的斜率為k,則直線l的方程為:,由點(diǎn)到直線的距離公式求得k的值,即可得直線的方程,綜合2種情況即可得答案【小問1詳解】根據(jù)題意,設(shè)圓C的圓心為,半徑為r,則圓C方程為,又圓C過,,且圓心C在直線上,∴,解得:,,,故圓C的方程為小問2詳解】根據(jù)題意,設(shè)直線l與圓C交與MN兩點(diǎn),則,設(shè)D是線段MN的中點(diǎn),則,∴,在中,可得當(dāng)直線l的斜率不存在時,此時直線l的方程為,滿足題意,當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)所求直線l的斜率為k,則直線l為:,即由C到直線MN距離公式:,解得:,此時直線l的方程為綜上,所求直線l的方程為或18、(1);(2)最大值為,最小值為.【解析】(1)展開兩角差的余弦,再由輔助角公式化簡,利用周期公式求周期;(2)由x的范圍求出相位的范圍,再由正弦函數(shù)的有界性可求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【小問1詳解】,,的最小正周期為;【小問2詳解】因,所以,所以,所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.19、(1)(2)4【解析】(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)運(yùn)算即可;(2)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算可得結(jié)果.試題解析:(1),(2)2log310+log30.81=20、(1);(2)時,有最小值,時,有最大值2.【解析】(1)若選①,根據(jù)周期求出,然后由并結(jié)合的范圍求出,最后求出答案;若選②,根據(jù)周期求出,然后由并結(jié)合的范圍求出,最后求出答案;(2)結(jié)合(1),先求出的范圍,然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出答案.【小問1詳解】若選①,由題意,,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,所以,而,則,于是.若選②,由題意,,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以,而,則,于是.【小問2詳解】結(jié)合(1),因?yàn)?,所以,則當(dāng)時,有最小值為,當(dāng)時,有最大值為.21、(1)(2)詳見解析【解析】(1)既可以利用奇函數(shù)的定義求得的值,也可以利用在處有意義的奇函數(shù)的性質(zhì)求,但要注意證明該值使得函數(shù)是奇函數(shù).(2)按照函數(shù)單調(diào)性定義法證明步驟證明即可.【詳解】解:(1)解法一:因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù),所以,即,整理得,所以,所以.解法二:因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù),所以
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