河南省南陽(yáng)六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

）2023—2024學(xué)年（上）南陽(yáng)六校高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線l過點(diǎn)和，則直線l在y軸上的截距為（）A.－1 B.0 C.2 D.42.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別是，，P為C上一點(diǎn)，且，Q是線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.2 B.4 C.6 D.83.已知雙曲線C：的漸近線方程為，且C過點(diǎn)，則C的方程為（）A. B. C. D.4.已知直線l：，圓C：，若過l上一點(diǎn)A向圓C引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A.1 B. C. D.5.已知直線l過點(diǎn)，且在x軸上的截距為y軸上截距的3倍，則直線l的方程為（）A. B.C.或 D.或6.已知直線l：與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，且，則C的方程為（）A. B. C. D.7.已知，直線l：，橢圓C：的離心率，過C的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與l交于點(diǎn)P，若（k表示斜率，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與C的左支交于A，B兩點(diǎn)，，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程為B.方程表示過點(diǎn)且斜率為k的直線C.直線必過定點(diǎn)D.方程為的直線與x軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a10.已知圓：，圓：，且與交于P，Q兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓與圓關(guān)于直線PQ對(duì)稱B.線段PQ所在直線的方程為C.圓與圓的公切線方程為或D.若A，B分別是與上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為1111.已知點(diǎn)A是橢圓C：上一點(diǎn)，B是圓P：上一點(diǎn)，則（）A.橢圓C的離心率為 B.圓P的圓心坐標(biāo)為C.圓P上所有的點(diǎn)都在橢圓C的內(nèi)部 D.的最小值為12.已知拋物線C：過點(diǎn)，C的焦點(diǎn)為F，.直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（均不與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合），且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為－64 D.直線l恒過點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為______.14.已知直線：與：平行，且兩條直線均不與坐標(biāo)軸平行，則與之間的距離為______.15.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上，，且為線段的中點(diǎn)，則C的離心率為______.16.已知圓：，圓：，過圓上的一點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知直線l：.（Ⅰ）若l不經(jīng)過第三象限，求a的取值范圍；（Ⅱ）求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l距離的最小值，并求此時(shí)直線l的方程.18.（12分）已知直線過橢圓C：的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn).（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線l與C交于，兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，，圓M為的外接圓.（Ⅰ）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線l，被圓M截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.20.（12分）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱且過點(diǎn).（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直線l與C交于，兩點(diǎn)，，且，求直線l的方程.21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，E為C上一點(diǎn)，的面積最大值為2.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）在直線上任取一點(diǎn)，直線l：與直線OP交于點(diǎn)Q，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若對(duì)任意，恒成立，求m的值.22.（12分）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，離心率.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)且與C的右支交于M，N兩點(diǎn)，記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，證明：為定值.2023—2024學(xué)年（上）南陽(yáng)六校高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)·答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.答案C命題意圖本題考查直線的方程與性質(zhì).解析直線l的斜率為，∴直線l的方程為，即，故直線l在y軸上的截距為2.2.答案A命題意圖本題考查橢圓的方程與性質(zhì).解析∵，而，∴，又Q是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，∴OQ為的中位線，∴.3.答案B命題意圖本題考查雙曲線的基本性質(zhì).解析∵雙曲線C的漸近線方程為，∴可設(shè)C的方程為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故C的方程為.4.答案D命題意圖本題考查直線與圓的位置關(guān)系.解析直線l上的點(diǎn)A到圓心C的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)最小，，∴切線長(zhǎng)的最小值為.5.答案C命題意圖本題考查直線的方程與性質(zhì).解析分兩種情況：①當(dāng)l過原點(diǎn)時(shí)，由直線經(jīng)過點(diǎn)，可得直線方程為，即；②當(dāng)l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得，此時(shí)l的方程為，即.6.答案C命題意圖本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.解析設(shè)，，把l與C的方程聯(lián)立，得，消去y并整理，得，可得.觀察可知l經(jīng)過C的焦點(diǎn)，∴，∴，∴C的方程為.7.答案D命題意圖本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系.解析設(shè)橢圓的半焦距為.由題意設(shè)點(diǎn)，則，即，∴，又，，即，整理得，而，∴.8.答案A命題意圖本題考查雙曲線的性質(zhì).解析∵，∴可設(shè)，，而，，∴，.∵，∴，即，解得，又，即，∴，雙曲線C的離心率為.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.答案BC命題意圖本題考查直線的方程與性質(zhì).解析對(duì)于A，傾斜角為時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式的定義可知B正確；對(duì)于C，化簡(jiǎn)得直線，過定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，直線與x軸的交點(diǎn)為，到原點(diǎn)的距離為，故D錯(cuò)誤.10.答案AD命題意圖本題考查圓與圓的位置關(guān)系.解析對(duì)于A，兩圓的半徑均為3，則PQ為線段的垂直平分線，故圓與圓關(guān)于直線PQ對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，因?yàn)閳A與圓相交，所以兩個(gè)方程相減可得直線PQ的方程為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閳A與圓相交，所以有兩條公切線，又兩圓的半徑相等，所以公切線與平行，即公切線的斜率，設(shè)公切線方程為，即，所以，解得，所以與的公切線方程為或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的最大值為，D正確.11.答案BCD命題意圖本題考查圓與橢圓的方程及位置關(guān)系.解析對(duì)于A，橢圓C的方程可化為，∴半焦距，∴離心率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓P的方程可化為，∴圓心為，故B正確；對(duì)于C，圓P上的點(diǎn)顯然在橢圓C內(nèi)，由，可得，而，∴橢圓C與圓P無公共點(diǎn)，∴.圓P在橢圓C內(nèi)部，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，∴時(shí)，取得最小值，∴的最小值為，故D正確.12.答案ACD命題意圖本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系.解析∵，∴，∴，C的方程為，故A正確；將點(diǎn)的坐標(biāo)代入C的方程得，故，故B錯(cuò)誤；設(shè)，，∵，∴，∴，∴，故C正確；設(shè)l：，l的方程與聯(lián)立可得，∴，∴，∴直線l恒過點(diǎn)，故D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.答案3命題意圖本題考查拋物線的性質(zhì).解析設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，由拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，可得，解得.14.答案命題意圖本題考查直線與直線的平行.解析∵與平行，∴，即，解得（舍去）或.當(dāng)時(shí)，直線：，：，此時(shí)兩平行直線之間的距離為.15.答案命題意圖本題考查橢圓的性質(zhì).解析設(shè)橢圓的半焦距為，，∵，，∴，.又，∴，∴，故，又為線段的中點(diǎn)，∴，即，∴.16.答案命題意圖本題考查圓與圓的位置關(guān)系.解析∵，，，∴，∴點(diǎn)P在以為圓心，4為半徑的圓上，可設(shè)其軌跡方程為C：.由于點(diǎn)P在圓C，上，∴圓C，相切或相交，∴，又，解得，∴.實(shí)數(shù)m的取值范圍是.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.命題意圖本題考查直線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離.解析（Ⅰ）直線l的方程可化為，要使直線l不經(jīng)過第三象限，則必須有，……（2分）解得，故a的取值范圍是.……（4分）（Ⅱ）設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則，……（7分）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，……（8分）此時(shí)直線l的方程為或.……（10分）18.命題意圖本題考查橢圓的方程，橢圓與直線的位置關(guān)系.解析（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為.∵直線過點(diǎn)和，……（2分）∴，，∴，……（4分）故C的方程為.……（5分）（Ⅱ）由題可設(shè)直線l的方程為，由，可得，……（6分）∴，，……（7分）又，∴，……（9分）整理可得，解得（負(fù)值舍去），∴，……（11分）故直線l的方程為或.……（12分）19.命題意圖本題考查圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系.解析（Ⅰ）設(shè)圓M的方程為，……（1分）因?yàn)閳AM為的外接圓，所以，解得，所以圓M的方程為，……（4分）故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……（5分）（Ⅱ）因?yàn)檫^點(diǎn)作直線l，被圓M截得的弦長(zhǎng)為，所以可得圓心到直線l的距離為.……（7分）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，方程為，滿足題意；……（8分）當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，由，解得，……（10分）所以直線l的方程為，即.……（11分）綜上所述，所求直線l的方程為或.……（12分）20.命題意圖本題考查拋物線的方程，拋物線與直線的位置關(guān)系.解析（Ⅰ）由題意可設(shè)C：，……（1分）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，∴，……（3分）故C的方程為.……（4分）（Ⅱ）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，則，，即.當(dāng)時(shí)，l：，此時(shí)，不成立；……（6分）當(dāng)時(shí)，，，∴直線l：，即，①……（7分）①與C的方程聯(lián)立，消去x，整理得，∴，，……（8分）而，……（10分）解得（舍去）或，∴，故直線l的方程為或.……（12分）21.命題意圖本題考查橢圓的方程，橢圓與直線的位置關(guān)系.解析（Ⅰ）由題意知的面積最大值為，解得，……（2分）又橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，∴半焦距，……（3分）∴，……（4分）故C的方程為.……（5分）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，由題意知直線OP的方程為，聯(lián)立，得，即Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.……（7分）聯(lián)立，消