遼寧省遼陽市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

高一考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則集合B可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B2.命題“每一個(gè)四邊形的對角線都互相垂直”的否定是（）A.每一個(gè)四邊形的對角線都不互相垂直B.存在一個(gè)四邊形，它對角線不垂直C.所有對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形D.存在一個(gè)四邊形，它的對角線互相垂直【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定分析判斷即可.【詳解】因?yàn)椤懊恳粋€(gè)四邊形的對角線都互相垂直”是全稱命題，所以其否定為：存在一個(gè)四邊形，它的對角線不垂直，故B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用零點(diǎn)存在定理計(jì)算得到答案.【詳解】，易知函數(shù)單調(diào)遞增，，，,故函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.4.高一（8）班共有30名同學(xué)參加秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中的100米短跑、立定跳遠(yuǎn)兩項(xiàng)比賽．已知參加100米短跑比賽的有15人，參加立定跳遠(yuǎn)比賽的有21人，則同時(shí)參加這兩項(xiàng)比賽的有（）A.3人 B.2人 C.6人 D.4人【答案】C【解析】【分析】設(shè)同時(shí)參加這兩項(xiàng)比賽的人數(shù)為，作出venn圖，列出關(guān)系式，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)同時(shí)參加這兩項(xiàng)比賽的人數(shù)為，由題意可作出venn圖，根據(jù)venn圖可知，，解得.故選：C.5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，由函數(shù)圖象的對稱性排除選項(xiàng)C，再由函數(shù)在的單調(diào)性或值域可得出正確答案.【詳解】由已知，，則，故是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，故AD項(xiàng)錯(cuò)誤，應(yīng)選B.又設(shè)，且，則，故，則有，即，故在上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)圖象的性質(zhì)與選項(xiàng)B中圖象表示函數(shù)的性質(zhì)基本一致.故選：B.6.設(shè)等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，且，則“的周長為16”是“其中一條邊長為6”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件等知識確定正確答案.【詳解】若“的周長為16”，則，解得，所以“其中一條邊長為6”.若“其中一條邊長為6”，如，則，此時(shí)三角形的周長為，即無法得出“的周長為16”，所以“的周長為16”是“其中一條邊長為6”充分不必要條件.故選：A7.若關(guān)于x的不等式對恒成立，則a的取值集合為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)含參一元不等式恒成立對分類討論即可得a的取值集合.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為對恒成立；當(dāng)，要使得不等式對恒成立，則，解得綜上，a的取值集合為.故選：D.8.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性、單調(diào)性確定正確答案.【詳解】依題意，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，所以的圖象關(guān)于直線對稱，而時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，，，所以，所以.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】由兩函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則是否相同判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?，且兩函?shù)定義域都是，故兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，所以A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，故兩函?shù)不是同一個(gè)函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，且定義域都為，故兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，所以C正確；選項(xiàng)D，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，故兩函?shù)不是同一個(gè)函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.10.若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則a的值可能為（）A.－1 B.6 C.1 D.2【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，則有，可得a可能的值.【詳解】函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)0和6，則時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，BCD選項(xiàng)都符合.故選：BCD11.“集合只有3個(gè)真子集”的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由集合A中只有2個(gè)元素，求的取值范圍，再通過包含關(guān)系驗(yàn)證結(jié)論成立的充分不必要條件.【詳解】集合只有3個(gè)真子集，即集合A中只有2個(gè)元素，因，則有：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則的取值范圍為，由，，，可知選項(xiàng)ABD中的范圍符合充分不必要條件；又因?yàn)榕c之間沒有包含關(guān)系，可知是的既不充分也不必要條件；故選：ABD.12.某商家為了提高一等品M的銷售額，對一等品M進(jìn)行分類銷售．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該商家有200件一等品M，產(chǎn)品單價(jià)為元．現(xiàn)計(jì)劃將這200件一等品分為兩類：精品和優(yōu)品．其中優(yōu)品x件（，），分類后精品的單價(jià)在原來的基礎(chǔ)上增加2x%，優(yōu)品的單價(jià)調(diào)整為元（），因市場需求旺盛，假設(shè)分類后精品與優(yōu)品可以全部售完．若優(yōu)品的單價(jià)不低于分類前一等品M的單價(jià)，且精品的總銷售額不低于優(yōu)品的總銷售額，則n的值可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意列出不等式組得到且在上恒成立，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求出n的取值范圍．【詳解】依題意，則，由知：，且，由知：在上恒成立，因?yàn)樵谏线f增，所以，即，綜上，，.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的定義域即可求出的定義域.【詳解】由題意，在函數(shù)中，定義域?yàn)?，∴在中，，解得：，故答案為?14.已知是定義在上的奇函數(shù)，則______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】由定義區(qū)間的對稱性可解得，再由奇函數(shù)定義求解參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則恒成立，即恒成立，化簡得，因?yàn)樵摰仁綄愠闪?，所?故答案為：；.15.設(shè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為，（），則當(dāng)時(shí)，a的取值集合是______．【答案】【解析】【分析】利用韋達(dá)定理化簡可得，再解分式不等式可得答案.【詳解】因?yàn)橐辉畏匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根為，（），則，而，解得，故答案為：16.已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且，，則______．【答案】14【解析】【分析】由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得為定值，可以設(shè)，則，又由，可得的解析式求.【詳解】，，是定義在上單調(diào)函數(shù)，則為定值，設(shè)，則，，解得，得，所以.故答案為：14.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知全集，集合，．（1）求，．（2）設(shè)，若，求t的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡集合，由并集與補(bǔ)集運(yùn)算可得；（2）化簡集合，由包含關(guān)系建立不等關(guān)系即可解得t的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以?【小問2詳解】由題意得，又，因?yàn)椋瑒t，所以，解得，即的取值范圍為.18.（1）已知______，試比較M，N的大?。畯南铝袃蓚€(gè)條件中選擇其中一個(gè)填入橫線中，并解答問題．①，，②，．（2）若，證明：．【答案】（1）選①：；選②：.（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用作差法和求倒數(shù)的方法比較大?。唬?）作差法證明不等式.【詳解】（1）選①：，所以；選②：，，由，得，所以.（2）證明：，由，得，所以.19.已知函數(shù)．（1）求的解析式；（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，證明詳見解析【解析】【分析】（1）利用湊配法求得的解析式.（2）先求得的解析式并判斷出單調(diào)性，然后利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】，在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，，其中，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.20.已知某污水處理廠的月處理成本y（萬元）與月處理量x（萬噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為．當(dāng)月處理量為120萬噸時(shí)，月處理成本為49萬元．該廠處理1萬噸污水所收費(fèi)用為0.9萬元．（1）該廠每月污水處理量為多少萬噸時(shí)，才能使每萬噸的處理成本最低？（2）請寫出該廠每月獲利（萬元）與月處理量x（萬噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每月獲利的最大值，【答案】（1）當(dāng)每月污水處理量為萬噸時(shí)，每萬噸的處理成本最低（2），最大值萬元【解析】【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正確答案.（2）先求得的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以當(dāng)每月污水處理量為萬噸時(shí)，每萬噸的處理成本最低.【小問2詳解】依題意，，當(dāng)萬噸時(shí)，取得最大值為萬元.21.已知．（1）求的最小值．（2）試問是否有最值？若有，求出對應(yīng)的最值；若沒有，請說明理由．【答案】21.22.有最小值，無最大值，最小值為【解析】【分析】（1）利用乘“1”法，將原式變形為，再將括號內(nèi)的式子相乘展開，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.（2）先將原式變形，再結(jié)合乘“1”法求最值即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為.【小問2詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故有最