云南省昭通一中教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（B卷）

昭通一中教研聯(lián)盟2023~2024學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（B卷）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷第3頁(yè)至第4頁(yè).考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知向量，則等于（）A. B.5 C. D.3【答案】C【解析】【分析】由空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】，則.故選：C.2.已知，則下列向量中與平行的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共線向量定理逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋訠正確；對(duì)于C，因，所以C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以D不正確．故選：B．3.兩平行直線與的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直線利用平行直線的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】?jī)善叫兄本€的距離，故選：B.4.已知直線與垂直，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.-2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩條直線垂直與其方程的系數(shù)之間的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，所以，得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線垂直的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線的一般式方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)方向向量確定斜率，得到直線方程.【詳解】根據(jù)題意，直線的方向向量為，則其斜率，直線方程為，即方程為，故選：C.6.已知空間向量，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)投影向量的公式計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可知在上的投影向量為，故選：B.7.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先求出圓心關(guān)于直線對(duì)稱的坐標(biāo)，然后可以求解【詳解】由題意得，圓：，化簡(jiǎn)得：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑：，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為得：，解之得：，得所求圓的圓心坐標(biāo)為，半徑也為，所以得：所求圓的方程為：.故選：D.8.已知空間中三點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可求解．【詳解】依題意得則點(diǎn)C到直線AB的距離為故選：A二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知四邊形的頂點(diǎn)分別是，，，，那么以下說(shuō)法中正確的是（）AB.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為C.的中點(diǎn)坐標(biāo)為D.點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線或面對(duì)稱的性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)的結(jié)論．【詳解】由于四邊形的頂點(diǎn)分別是，，，，2，，，1，，，，，對(duì)于，故正確；對(duì)于：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，1，，故正確；對(duì)于的中點(diǎn)坐標(biāo)為，0，，故錯(cuò)誤；對(duì)于：點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)為，，，故正確；故選：．10.已知圓和點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)閳A，點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，解得，從而切線方程為；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，容易驗(yàn)證，直線與圓相切.故過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或，故選：CD.11.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.B.兩個(gè)圓心所在的直線的斜率為C.的最大值為7D.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】【分析】確定兩圓圓心和半徑，計(jì)算，A錯(cuò)誤，，B正確，，C正確，兩圓相離，不相交，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，半徑為，對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：由于，所以兩圓相離，不相交，錯(cuò)誤；故選：.12.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.C.D.直線與AC所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】利用空間向量法，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】以為基底，則對(duì)A：∵則∴，A正確；對(duì)B：∵，則∴，B正確；對(duì)C：∵則，即∴，則，C錯(cuò)誤；對(duì)D：∵則即∴，即直線與AC所成為，D正確；故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效.三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)A，B，C三點(diǎn)共線可得，然后利用兩點(diǎn)間的斜率公式代入求解即可.【詳解】由三點(diǎn)共線可得，即，解得.故答案為：0.14.，，則，的夾角為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】直接根據(jù)向量夾角公式的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?#15.如圖，圓弧形拱橋的跨度，拱高，則拱橋的直徑為_(kāi)_______m.【答案】【解析】【分析】利用勾股定理求得圓的半徑，進(jìn)而求得圓的直徑.【詳解】設(shè)圓心為，半徑為，連接，如下圖所示，，由勾股定理得，解得，所以直徑為.故答案為：16.阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262~190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.現(xiàn)有，，求點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________.【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，確定坐標(biāo)，根據(jù)得到，化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】，且，故點(diǎn)的軌跡是圓.以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，即，整理得，.（答案不唯一，建系不同，軌跡方程不同）故答案：，.四?解答題（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.（1）求與直線平行，且與直線在軸上的截距相同的直線方程；（2）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，求邊上的中線所在直線的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由斜截式方程求解即可；（2）先由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】（1）直線的斜率為2，直線在軸上的截距為，由題意知，所求直線斜率為2，且在軸上的截距為，由直線的斜截式方程可得，即.（2），的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中線的斜率為，中線所在直線的方程為，即.18.如圖，在棱長(zhǎng)是2的正方體中，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由可證明，再由線面平行的判定定理即可證明.（2）先求出平面的法向量和直線的方向向量，由點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，分別為的中點(diǎn)，，.，又平面平面，平面.【小問(wèn)2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以平面的法向量，點(diǎn)到平面的距離.19.圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓截得的弦長(zhǎng).【答案】（1）（2）相交，弦長(zhǎng)為6【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入點(diǎn)數(shù)據(jù)解方程組得到答案.（2）計(jì)算圓心到直線的距離，再計(jì)算弦長(zhǎng)得到答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，則解得，所以圓的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.所以弦長(zhǎng)為.20.如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，且，是的中點(diǎn)．求證：直線平面；求直線與平面的夾角的正弦值．【答案】證明見(jiàn)解析；.【解析】【分析】證明，結(jié)合，即可證明直線平面；以為原點(diǎn)，分別以,,為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】解：底面，.又底面是正方形，.，平面，平面，平面.以為原點(diǎn)，分別以,,為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)，則,,,,,,.設(shè)平面的法向量為，由得，令，則.設(shè)直線與平面所成角為，則，，即直線與平面的夾角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面所成角的求法，向量的數(shù)量積的運(yùn)用，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題.21.已知點(diǎn)，圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積．【答案】（1）；（2）的方程為，的面積為.【解析】【分析】（1）由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出坐標(biāo)，由與數(shù)量積等于0列式得的軌跡方程；（2）設(shè)的軌跡的圓心為，由得到．求出所在直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得到所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出到的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長(zhǎng)間的關(guān)系求出的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式得答案．【詳解】解：（1）由圓，即，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．設(shè)，則，．由題意可得，即．整理得．的軌跡方程是．（2）由（1）知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，由于，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而．，直線的斜率為．直線的方程為，即．則到直線的距離為．又到的距離為，．．22.如圖1，在中，，，別為邊BM，MC的中點(diǎn)，將沿AD折起到的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC.（1）求證：平面平面ABCD；（2）線段PC上是否存在一點(diǎn)E，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明平面ABCD．然后再得面面垂直；（2）由兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在滿足題意，設(shè)出，用空間向量法求二面角，再根據(jù)二面角的大小得出．【詳解】（1）證明：因?yàn)锳，D分別為MB，MC中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以所以．因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋珹B，AD平面ABCD，所以平面ABCD．又因?yàn)槠矫鍼AD，所以平面平面（2）解：因?yàn)?，，，所以AP，AB，AD兩兩互相垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空