2022年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷一

2022年重慶市中考數(shù)學(xué)專題試卷(1)

一、例題講解：

1.對于一個三位正整數(shù)乙將各數(shù)位上的數(shù)字重新排序后(包括本身)，得到一個新的三位

數(shù)說(4,c),在所有重新排列的三位數(shù)中，當(dāng)|a+c-26|最小時，稱此時的嬴為f的“最

優(yōu)組合”,并規(guī)定F(f)=|a—b|—例如:124重新排序后為：142、214、因為|1+4-4|=1,

|1+2-8|=5,|2+4-2|=4,所以124為124的“最優(yōu)組合”，此時尸(124)=-1.

(1)三位正整數(shù)/中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，求證：/⑺=0

(2)一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)

能被2整除，前三位數(shù)能被3整除，…，一直到前N位數(shù)能被N整除，我們稱這樣的數(shù)為

“善雅數(shù)”.例如：123的第一位數(shù)I能被1整除，它的前兩位數(shù)12能被2整除，前三位數(shù)

123能被3整除，則123是一個'善雅數(shù)”.若三位“善雅數(shù)”〃7=200+10x+y((^k9,噫/9,

x、y為整數(shù))，〃?的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，求出所有符合條件的“善雅數(shù)”中F(㈤

的最大值.

2.一個三位正整數(shù)N,各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0,若從它的百位、十位、個

位上的數(shù)字任意選擇兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，所有這些兩位數(shù)的和等于這個三位數(shù)本身，則稱

這樣的三位數(shù)N為“公主數(shù)”，例如：132,選擇百位數(shù)字1和十位數(shù)字3組成的兩位數(shù)為

13和31,選擇百位數(shù)字1和個位數(shù)字2組成的兩位數(shù)為12和21,選擇十位數(shù)字3和個位

數(shù)字2組成的兩位數(shù)為32和23.因為13+31+12+21+32+23=132,所以132是“公主數(shù)”.試

判斷123是不是“公主數(shù)”？請說明理由.

3.若一個三位整數(shù)，百位上數(shù)字的2倍加上十位上數(shù)字的3倍，再加上個位上數(shù)字所得的

和能被7整除，則稱這個整數(shù)為“勞動數(shù)”.

例如:判斷210是“勞動數(shù)”的過程如下：2x2+3x14-0=7,7能被7整除，.?.210是“勞

動數(shù)”；

判斷322是“勞動數(shù)”的過程如下：2x3+3x2+2=14,14能被7整除，322是''勞動

數(shù)”；

(1)直接寫出最小的“勞動數(shù)”為,并請用上面的方法判斷448是否為“勞動數(shù)”；

(2)試證明：所有的“勞動數(shù)”均能被7整除.

4.有一個百位數(shù)字為1的三位整數(shù)，它能被7整除.將這個三位數(shù)的百位數(shù)字和個位數(shù)字

交換所產(chǎn)生的新三位整數(shù)仍能夠被7整除，求這個三位數(shù).

5.若一個正整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對稱的，則稱這個數(shù)是對稱數(shù)，如22,797,12321

都是對稱數(shù).最小的對稱數(shù)是11,沒有最大的對稱數(shù)，因為數(shù)位是無窮的.

問：若將一個三位對稱數(shù)減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果能被11整除，求滿足條件的三

位對稱數(shù)？

6.一個三位自然數(shù)機.將它任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后得一個首位不為0的新三位自然

數(shù)〃/(加可以與m相同)，記=在W所有的可能情況中，當(dāng)|a+?-c|最小時，我

們稱此時的，是，〃的“幸福美滿數(shù)”，并規(guī)定儀間=/+乃2_。2.例如：318按上述方法

可得新數(shù)有：381、813、138；因為13+2x1-81=3,13+2x8—11=18,|8+2*1-3|=7,

|l+2x3-8|=l,1<3<7<18.所以138是318的“幸福美滿

數(shù)AT(318)=12+2X32-82=-45.

(1)若三位自然數(shù)/的百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字都為〃(啜女9.〃為自然數(shù))，個位上

的數(shù)字為0,求證：K(f)=0；

(2)設(shè)三位自然數(shù)s=100+10x+y(掇/9,啜/9,x,y為自然數(shù))，且x<y,交換其

個位與十位上的數(shù)字得到新數(shù)s',若19s+8s'=3888,那么我們稱s為“夢想成真數(shù)”，求

所有“夢想成真數(shù)"中K(s)的最大值.

7.對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)〃，將它各個數(shù)位上的數(shù)字平方后再取

其個位，得到三個新的數(shù)字；再將這三個新數(shù)字重新組合成三位數(shù)后，當(dāng)|x+2y-z|的值

最小時，稱此時的后為自然數(shù)p的理想數(shù)，并規(guī)定K(p)=(x-z>+y,例如245,各數(shù)字

平方后取個位分別為4,6,5,再重新組合為465,456,546,564,654,645,因為|5+2x4-6b7

最小，所以546是原三位數(shù)245的理想數(shù)，此時K(p)=(5-6)2+4=5；

若一個三位正整數(shù)的十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍，則稱這個數(shù)為自信數(shù)，例如384,其中

8=4x2,所以384是自信數(shù)；對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0三位正整數(shù)“，把它的個

位數(shù)字和百位數(shù)字交換所得的新三位數(shù)記為小，把它的個位數(shù)字和十位數(shù)字交換所得到的

新三位數(shù)記為小，若“，02，〃這三個數(shù)的和能被29整除，則稱這個數(shù)〃為成功數(shù).若

一個成功數(shù)〃也是自信數(shù)，求所以符合條件的成功數(shù)中K(p)的最小值.

三、課堂練習(xí)：

8.如果一個自然數(shù)從高位到個位是由一個數(shù)字或幾個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)組成，那么我們把這樣

的自然數(shù)叫做循環(huán)數(shù)，重復(fù)的一個或幾個數(shù)字稱為“循環(huán)節(jié)”，我們把“循環(huán)節(jié)”的數(shù)字

個數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù).例如：525252,它由“52”依次重復(fù)出現(xiàn)組成，所以525252是

循環(huán)數(shù)，它是2階6位循環(huán)數(shù)，再如：77,是1階2位循環(huán)數(shù)，135135135是3階9位循

環(huán)數(shù)…

(1)請你直接寫出2個2階4位循環(huán)數(shù)，并證明對于任意一個2階4位循環(huán)數(shù)，若交換其

循環(huán)節(jié)的數(shù)字所得到的新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除；

(2)已知一個能被9整除的2階4位循環(huán)數(shù)，設(shè)循環(huán)節(jié)為岫，求”，。應(yīng)滿足的關(guān)系.

9.我們知道，任意一個正整數(shù)，都可以進行這樣的分解：〃=pxq(p,q是正整數(shù)，且p,,q),

在”的所有這種分解中，如果〃，夕兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱是"的最

佳分解.并規(guī)定：F(〃)='.

q

例如12可以分解成1x12,2x6或3x4,因為12-1>6-2>4-3,所以3x4是12的最佳

分解，所以尸(12)=；.

(1)如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)〃的平方，我們稱正整數(shù)，"是完全平方數(shù).

求證：對任意一個完全平方數(shù)"?，總有F(〃?)=l；

(2)如果一個兩位正整數(shù)f,f=10x+y(掇*y?9,x,y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)

與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個數(shù)，為

“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”;

(3)在(2)所得“吉祥數(shù)”中，求產(chǎn)⑺的最大值.

四、課后作業(yè)：

10.若整數(shù)a能被整數(shù)匕整除，則一定存在整數(shù)”，使得0=〃，即a=例如若整數(shù)〃能

h

被11整除，則一定存在整數(shù)”，使得烏=〃，即a=ll”.一個能被11整除的自然數(shù)我們稱

11

為“光棍數(shù)”，他的特征是奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，如：42559奇數(shù)

位的數(shù)字之和為4+5+9=18.偶數(shù)位的數(shù)字之和為2+5=7.18-7=11是11的倍數(shù).所以

42559為“光棍數(shù)”.

①請你證明任意一個四位“光棍數(shù)”均滿足上述規(guī)律；

②若七位整數(shù)175%62〃能被11整除.請求出所有符合要求的七位整數(shù).

11.將一個三位正整數(shù)〃各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含“本身)，得到新三位數(shù)abc(a<c),

在所有重新排列中，當(dāng)|a+c-2"最小時，我們稱"c?是〃的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定

F(n)=b2-ac.例如215可以重新排列為125、152、215,因為11+5-2*2|=2,

|l+2-2x5|=7,|2+5-2xl|=7,且2<5<7,所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，

產(chǎn)(215)=2?-lx5=-l.

(1)尸(236)=；

(2)如果在正整數(shù)”三個數(shù)位上的數(shù)字中，有一個數(shù)是另外兩個數(shù)的平均數(shù)，求證：F(n)

是一個完全平方數(shù)；

(3)設(shè)三位自然數(shù)f=100x+60+y(峻*9,掇*9,x,y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)

字與百位上的數(shù)字得到數(shù)心若一「=693,那么我們稱f為“和順數(shù)”.求所有“和順數(shù)”

中FQ)的最大值.

12.一個三位正整數(shù)M,其各位數(shù)字均不為零且互不相等.若將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字

交換位置，得到一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為M的“友誼數(shù)”，如：168的“友誼

數(shù)”為“618”；若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字中任選兩個組成一個新的兩位數(shù)，

并將得到的所有兩位數(shù)求和，我們稱這個和為M的“團結(jié)數(shù)”，如：123的“團結(jié)數(shù)”為

12+13+21+23+31+32=132.

(1)求證：M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；

(2)若一個三位正整數(shù)N,其百位數(shù)字為2,十位數(shù)字為a、個位數(shù)字為6,且各位數(shù)字

互不相等(“工0出工0),若N的“團結(jié)數(shù)”與N之差為24,求N的值.

13.如果把一個奇數(shù)位的自然數(shù)各數(shù)為上的數(shù)字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高

位依次排列出的一串?dāng)?shù)字完全相同,相鄰兩個數(shù)位上的數(shù)字之差的絕對值相等(不等于0),

且該數(shù)正中間的數(shù)字與其余數(shù)字均不同，我們把這樣的自然數(shù)稱為“階梯數(shù)”，例如自然

數(shù)12321,從最高位到個位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1,2,3,2,1,從個位到最高位依

次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1,2,3,2,1,且|1-2|=|2-3R3-2|=|2-1|=1,因此12321

是一個“階梯數(shù)”，又如262,85258,...?都是“階梯數(shù)”,若一個“階梯數(shù)”f從左數(shù)

到右，奇數(shù)位上的數(shù)字之和為M,偶數(shù)位上的數(shù)字之和為N,記P(/)=2N-

QQ)=M+N.

(1)已知一個三位“階梯數(shù)”t,其中P?)=12,且Q(r)為一個完全平方數(shù)，求這個三位

數(shù)；

(2)已知一個五位“階梯數(shù)”f能被4整除，且Q⑺除以4余2,求該五位“階梯數(shù)”t

的最大值與最小值.

14.對于各位數(shù)字都不為0的兩位數(shù)機和三位數(shù)”，將m中的任意一個數(shù)字作為一個新的

兩位數(shù)的十位數(shù)字，將〃中的任意一個數(shù)字作為該新數(shù)的兩位數(shù)的個位數(shù)字，按照這種方式

產(chǎn)生的所有新的兩位數(shù)的和記為尸(，〃,〃)，例如：%12,345)=13+14+15+23+24+25=114

(1)F(24,579)=,并求證：當(dāng)"能被3整除時，一定能被6整除；

(2)若一個兩位數(shù)s=21x+y,一個三位數(shù)f=12x+y+198(其其中啜/4,啜55,且x、

y均為整數(shù)).交換三位數(shù)f的百位數(shù)字和個位數(shù)字得到新數(shù)「，當(dāng)「與s的個位數(shù)字的3倍

的和被7除余1時，稱這樣的兩個數(shù)s和f為“幸運數(shù)對”，求所有“幸運數(shù)對”中F(sj)的

最大值.

2022年重慶市中考數(shù)學(xué)專題試卷(1)

參考答案與試題解析

一、例題講解：

1.對于一個三位正整數(shù)f,將各數(shù)位上的數(shù)字重新排序后(包括本身)，得到一個新的三位

數(shù)%(q,c),在所有重新排列的三位數(shù)中，當(dāng)|a+c-20|最小時，稱此時的He為f的“最

優(yōu)組合”,并規(guī)定產(chǎn)⑴-勿-例如:124重新排序后為：142、214、因為|1+4-4|=1,

|1+2-8|=5,|2+4-2|=4,所以124為124的“最優(yōu)組合”，此時L(124)=7.

(1)三位正整數(shù)f中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，求證：尸⑺=0

(2)一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)

能被2整除，前三位數(shù)能被3整除，…，一直到前N位數(shù)能被N整除，我們稱這樣的數(shù)為

“善雅數(shù)”.例如：123的第一位數(shù)1能被I整除，它的前兩位數(shù)12能被2整除，前三位數(shù)

123能被3整除，則123是一個“善雅數(shù)”.若三位“善雅數(shù)”/n=200+10x+XO-9,09,

x、y為整數(shù))，m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，求出所有符合條件的“善雅數(shù)”中"加)

的最大值.

【分析】(1)由三位正整數(shù)/中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，根

據(jù)“最優(yōu)組合”的定義即可求解；

(2)由三位“善雅數(shù)”的定義，可得。為偶數(shù)，且2+x+y是3的倍數(shù)，且2+x+y<30,

又由m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，可得2+x+y=32=9,繼而求得答案.

【解答】(1)證明：.?三位正整數(shù)f中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均

數(shù)，

重新排序后：其中兩個數(shù)位上數(shù)字的和是一個數(shù)位上的數(shù)字的2倍，

.,.a+c-2Z?=0,B[J(a-h)-(b-c)=0,

：.F(r)=0；

(2)-〃?=200+10x+y是“善雅數(shù)”，

??”為偶數(shù)，且2+x+y是3的倍數(shù)，

x<10,y<10,

:.2+x+y<30,

m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù),

.'.2+x+y=32=9,

.,.當(dāng)x=0時、y=l,

當(dāng)x=2時，y=5,

當(dāng)x=4時，y=3,

當(dāng)x=6時，y=1,

.?.所有符合條件的“善雅數(shù)”有：207,F(207)=-5；225,尸(225)=-3；243,尸(243)=1；

261,F(261)=-l；

.?.所有符合條件的“善雅數(shù)”中尸(加)的最大值是1.

【點評】此題考查了完全平方數(shù)的應(yīng)用問題.注意掌握數(shù)的整除問題，注意掌握分類討論思

想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

2.一個三位正整數(shù)N,各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0,若從它的百位、十位、個

位上的數(shù)字任意選擇兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，所有這些兩位數(shù)的和等于這個三位數(shù)本身，則稱

這樣的三位數(shù)N為“公主數(shù)”，例如：132,選擇百位數(shù)字1和十位數(shù)字3組成的兩位數(shù)為

13和31,選擇百位數(shù)字1和個位數(shù)字2組成的兩位數(shù)為12和21,選擇十位數(shù)字3和個位

數(shù)字2組成的兩位數(shù)為32和23.因為13+31+12+21+32+23=132,所以132是“公主數(shù)”.試

判斷123是不是“公主數(shù)”？請說明理由.

【分析】根據(jù)“公主數(shù)”的定義即可求解.

【解答】解：123不是“公主數(shù)”.理由如下：

■,12+21+13+31+23+32=132^123,

.?.123不是“公主數(shù)”.

【點評】本題考查了有理數(shù)的加法的實際運用，學(xué)生的閱讀理解能力以及知識的遷移能力，

解題的關(guān)鍵是理解“公主數(shù)”的定義.

3.若一個三位整數(shù)，百位上數(shù)字的2倍加上十位上數(shù)字的3倍，再加上個位上數(shù)字所得的

和能被7整除，則稱這個整數(shù)為“勞動數(shù)”.

例如：判斷210是“勞動數(shù)”的過程如下：2x2+3xl+0=7,7能被7整除，.?是10是“勞

動數(shù)”;

判斷322是“勞動數(shù)”的過程如下：2x3+3x2+2=14,14能被7整除，322是“勞動

數(shù)”；

(1)直接寫出最小的“勞動數(shù)”為105，并請用上面的方法判斷448是否為“勞動數(shù)”；

（2）試證明：所有的“勞動數(shù)”均能被7整除.

【分析】（1）根據(jù)“勞動數(shù)”的定義及三位數(shù)的特點即可得出結(jié)論；

（2）先設(shè)出三位數(shù)，然后判斷出此三位數(shù)除以7的商是整數(shù)即可.

【解答】解：（1）“勞動數(shù)”是三位數(shù)，而三位數(shù)要最小，百位最小是1,十位最小是0,

設(shè)這個最小的“勞動數(shù)”為°,

由“勞動數(shù)”的定義得，lx2+3x0+a=2+a,

.?.2+a能被7整除，且要最小，

2+tz=7,

..a——5,

??.最小的“勞動數(shù)”為105,

故答案為：105；

2x4+3x4+8=28,而28能被7整除，

.?.448是“勞動數(shù)”；

（2）設(shè)一個“勞動數(shù)”為詼，

為+勸+c能被7整除，

,為+勸+c是7的倍數(shù)，

100Q+10/?+C98。+2。+7/7+3〃+。（98。+7。）+（2。+38+c）一.2a+3b+c

777

a,b,2a+3"c是整數(shù),

7

“勞動數(shù)”為赤能被7整除.

【點評】此題主要考查了三位數(shù)的表示，整除問題，新定義，解本題的關(guān)鍵是理解和應(yīng)用新

定義“勞動數(shù)”.

4.有一個百位數(shù)字為1的三位整數(shù)，它能被7整除.將這個三位數(shù)的百位數(shù)字和個位數(shù)字

交換所產(chǎn)生的新三位整數(shù)仍能夠被7整除，求這個三位數(shù).

【分析】先根據(jù)題意列出代數(shù)式，再根據(jù)整除的定義驗證求解.

【解答】解：設(shè)原三位數(shù)的十位數(shù)字為“，個位數(shù)字為b,

則100+10“+6是7的倍數(shù)，10077+10“+1是7的倍數(shù)，

蟋山9,啜必9,且都是整數(shù)，

.,.a=6th=S9

所以這個三位數(shù)是168.

【點評】本題考查了整式的加減，代入驗證求解是解題的關(guān)鍵.

5.若一個正整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對稱的，則稱這個數(shù)是對稱數(shù)，如22,797,12321

都是對稱數(shù).最小的對稱數(shù)是11,沒有最大的對稱數(shù)，因為數(shù)位是無窮的.

問：若將一個三位對稱數(shù)減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果能被11整除，求滿足條件的三

位對稱數(shù)？

【分析】設(shè)這個三位對稱數(shù)為10*+106+a,依題意求得這個三位對稱數(shù)減去其各位數(shù)字

之和，再利用數(shù)位上的數(shù)字的特征求得。值，則結(jié)論可得.

【解答】解：設(shè)這個三位對稱數(shù)為100a+10&+a,

則這個三位對稱數(shù)減去其各位數(shù)字之和為：

100a+\0h+a-(2a+h)

=99a+9b

=ll(9a+—).

11

這個三位對稱數(shù)減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果能被11整除，

...94+”是正整數(shù)，而1都/9的整數(shù)，

11

,絲是整數(shù)，

11

面B9的整數(shù)，

:.b=Q.

.,?滿足條件的三位對稱數(shù)為：101,202,303,404,505,606,707,808,909.

【點評】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確利用三位數(shù)字的表示方法表示出三位對稱數(shù)

是解題的關(guān)鍵.

6.一個三位自然數(shù)將它任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后得一個首位不為0的新三位自然

數(shù)機’(加可以與機相同)，m'=abc,在"/所有的可能情況中，當(dāng)|a+2Z?-c|最小時,我

們稱此時的W是機的“幸福美滿數(shù)”，并規(guī)定K(M=/+2〃-c2.例如：318按上述方法

可得新數(shù)有：381、813、138；因為13+2x1-81=3,|3+2x8-l|=18,18+2x1-31=7,

|l+2x3-8|=l,1<3<7<18.所以138是318的“幸福美滿

數(shù)AT(318)=12+2X32-82=-45.

(1)若三位自然數(shù)，的百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字都為“(1領(lǐng)力9.〃為自然數(shù))，個位上

的數(shù)字為0,求證：K(/)=0；

(2)設(shè)三位自然數(shù)s=100+10x+y(啜k9,啜69,x,y為自然數(shù))，且x<y,交換其

個位與十位上的數(shù)字得到新數(shù)s',若19s+&s'=3888,那么我們稱s為“夢想成真數(shù)”，求

所有“夢想成真數(shù)"中K(s)的最大值.

【分析】(1)根據(jù)案例找出f變化后得到的新數(shù),驗證后即可得出而是f的“幸福美滿數(shù)”.進

而即可得出K(f)=n2-2x02-n2=0.

(2)根據(jù)題意找出s、丁，結(jié)合19s+8s'=3888即可得出2x+y=12,根據(jù)“啜小9,掇步9,

x<y”即可得出x、y的可能值，進而可找出s的“幸福美滿數(shù)”和K(s)的值，取其最大

值即可.

【解答】(1)證明：病按上述方法可得新數(shù)而，

|廉+2〃-01=3",|〃+2x0-川=0,0<3/?,

，而是f的“幸福美滿數(shù)

K(t)=n2-2x02-n2=0.

(2)解：根據(jù)題意得：s=lxy,s'=lyx,

19s+8s'=3888,

19x(100+10x+y)+8x(100+10y+x)=3888,即2x+y=12.

1>9,1轟/9,x<y,

x=2,y=8;x=3,y=6.

.?.s=128或s=136.

128是128的“幸福美滿數(shù)”，136和316是136的“幸福美滿數(shù)”，

K(s)=-55或—17或-25.

，所有“夢想成真數(shù)"中K(s)的最大值為-17.

【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用以及解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是：(1)結(jié)合案例找

出I的“幸福美滿數(shù)”：(2)結(jié)合案列找出s的“幸福美滿數(shù)”.

7.對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)p,將它各個數(shù)位上的數(shù)字平方后再取

其個位，得到三個新的數(shù)字；再將這三個新數(shù)字重新組合成三位數(shù)xyz,當(dāng)|x+2y-z|的值

最小時，稱此時的亞為自然數(shù)p的理想數(shù)，并規(guī)定K(p)=(x-z)2+y,例如245,各數(shù)字

平方后取個位分別為4,6,5,再重新組合為465,456,546,564,654,645,因為|5+2x4-6|=7

最小，所以546是原三位數(shù)245的理想數(shù)，此時K(p)=(5-6>+4=5；

若一個三位正整數(shù)的十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍，則稱這個數(shù)為自信數(shù)，例如384,其中

8=4x2,所以384是自信數(shù)：對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0三位正整數(shù)p,把它的個

位數(shù)字和百位數(shù)字交換所得的新三位數(shù)記為p,,把它的個位數(shù)字和卜位數(shù)字交換所得到的

新三位數(shù)記為外，若小，p2,〃這三個數(shù)的和能被29整除，則稱這個數(shù)p為成功數(shù).若

一個成功數(shù)〃也是自信數(shù)，求所以符合條件的成功數(shù)中K(p)的最小值.

【分析】設(shè)p的百位數(shù)字是a,十位數(shù)字是2-個為數(shù)字是b,由題意可得274+助能被

29整除,求出夕=421或842,再分別求出K(421),K(842)即可求K(p)的最小值為11.

【解答】解：設(shè)〃的百位數(shù)字是。，十位數(shù)字是2"個為數(shù)字是6,

p=l(X)4+20b+b=100a+21b,p}=100Z?+2Qb+a=1206+a,

p2=100。+106+2b=100。+125,

/.〃+P]+〃2=201a+153b=174a+27a+145力+8Z?,

0,p2,p這三個數(shù)的和能被29整除，

二27a+汕能被29整除，

.'.a=4tZ>=1或a=8,b=2>

=421或842,

當(dāng)p=421時，各數(shù)字平方后取個位分別為6,4,1,

再重新組合為641,614,461,416,164,146,

|4+2-6|=0,

/.p=426,

二426是原三位數(shù)421的理想數(shù)，

此時K(421)=(4_l)2+2=]]；

當(dāng)p=842時，各數(shù)字平方后取個位分別為4,6,4,

再重新組合為464,446,644,

-.|4+8-6|=6.

p=446；

,446是原三位數(shù)842的理想數(shù)，

此時K（842）=（8-2）2+4=68；

K（p）的最小值為II.

【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法，整式的加減法運算，弄清定

義是解題的關(guān)鍵.

三、課堂練習(xí)：

8.如果一個自然數(shù)從高位到個位是由一個數(shù)字或幾個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)組成，那么我們把這樣

的自然數(shù)叫做循環(huán)數(shù)，重復(fù)的一個或幾個數(shù)字稱為“循環(huán)節(jié)”，我們把“循環(huán)節(jié)”的數(shù)字

個數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù).例如：525252,它由“52”依次重復(fù)出現(xiàn)組成，所以525252是

循環(huán)數(shù)，它是2階6位循環(huán)數(shù)，再如：77,是1階2位循環(huán)數(shù)，135135135是3階9位循

環(huán)數(shù)…

（1）請你直接寫出2個2階4位循環(huán)數(shù)，并證明對于任意一個2階4位循環(huán)數(shù)，若交換其

循環(huán)節(jié)的數(shù)字所得到的新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除；

（2）已知一個能被9整除的2階4位循環(huán)數(shù)，設(shè)循環(huán)節(jié)為"，求a,b應(yīng)滿足的關(guān)系.

【分析】（1）根據(jù)循環(huán)節(jié)”的數(shù)字個數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù)，可得答案；

（2）根據(jù)一個能被9整除的2階4位循環(huán)數(shù)，可得細±2,根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得答

9

案.

【解答】解：（1）1717是2階4位循環(huán)數(shù)，7171是2階4位循環(huán)數(shù)；

證明：設(shè)原數(shù)為旃，新數(shù)為嬴

即原數(shù)1000。+100〃+10Q+/2,新數(shù)是1000/7+100。+10〃+a,

1000〃+100。+10人+。一（1000。+1006+10。+加

=9906-909^7

=909（〃一白）

=9x101（6-。），

a，人為整數(shù)，

「2-。也為整數(shù)，

/.新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除；

(2)該2階4位循環(huán)數(shù)為麗，

KMOa+1011

H即n--------------

9

73…2(〃+b)

=112?+11/?+—----,

9

要使得1010a+10仍能被9整除，則需5+份能被9整除，

0<4,9,0</??9,

.?.0<。+么,18，

應(yīng)滿足的關(guān)系是a+Z?=9或a+Z?=18.

【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，理解循環(huán)階的階數(shù)是解題關(guān)鍵.

9.我們知道，任意一個正整數(shù)〃都可以進行這樣的分解：〃=,夕是正整數(shù)，且p?q),

在〃的所有這種分解中，如果p,g兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱〃xq是鹿的最

佳分解.并規(guī)定：F(n)=Z.

q

例如12可以分解成1x12,2x6或3x4,因為12-1>6-2>4-3,所以3x4是12的最佳

分解，所以F(12)=3.

4

(1)如果一個正整數(shù)，〃是另外一個正整數(shù)”的平方，我們稱正整數(shù)機是完全平方數(shù).

求證：對任意一個完全平方數(shù)，〃，總有/(%)=1;

(2)如果一個兩位正整數(shù)/,f=10x+y(啜k/?9，x,y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)

與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個數(shù)f為

“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”;

(3)在(2)所得“吉祥數(shù)”中，求產(chǎn)⑺的最大值.

【分析】(1)對任意一個完全平方數(shù)機，設(shè)機=/(〃為正整數(shù))，找出機的最佳分解，確定

出F(m)的值即可；

(2)設(shè)交換r的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為「，貝”=10y+x,根據(jù)“吉祥數(shù)”的

定義確定出x與)，的關(guān)系式，進而求出所求即可；

(3)利用“吉祥數(shù)”的定義分別求出各自的值，進而確定出尸⑺的最大值即可.

【解答】解：(1)證明：對任意一個完全平方數(shù)〃，，設(shè)〃?="(〃為正整數(shù))，

|"|=0,

:.nxn^m的最佳分解,

對任意一個完全平方數(shù)機，總有尸(加)=-=1;

n

(2)設(shè)交換f的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為乙則/=10)，+x,

.，是“吉祥數(shù)”，

=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=36,

二.y=x+4,

掇ky?9,x,y為自然數(shù)，

滿足“吉祥數(shù)”的有：15,26,37,48,59；

(3)尸(15)=3,尸(26)=2,F(31)=—,F(48)=-=-,F(59)=—,

513378459

33211

—>->—>—>一，

45133759

.?.所有“吉祥數(shù)”中，尸⑺的最大值為3.

4

【點評】此題考查了因式分解的應(yīng)用，弄清題中“吉祥數(shù)”的定義是解本題的關(guān)鍵.

四、課后作業(yè)：

10.若整數(shù)a能被整數(shù)。整除，則一定存在整數(shù)〃，使得g=〃，即。=加.例如若整數(shù)“能

h

被11整除，則一定存在整數(shù)〃，使得烏=〃，即a=一個能被11整除的自然數(shù)我們稱

II

為“光棍數(shù)”，他的特征是奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，如：42559奇數(shù)

位的數(shù)字之和為4+5+9=18.偶數(shù)位的數(shù)字之和為2+5=7.18-7=11是11的倍數(shù).所以

42559為“光棍數(shù)”.

①請你證明任意一個四位“光棍數(shù)”均滿足上述規(guī)律；

②若七位整數(shù)175/62〃能被11整除.請求出所有符合要求的七位整數(shù).

【分析】①先設(shè)出四位數(shù)，將四位數(shù)寫成11的倍數(shù)，即可；

②根據(jù)題意先得出〃?，〃的關(guān)系得出々的可能值，分情況寫出七位數(shù)即可.

【解答】解：①設(shè)礪為任意四位數(shù)，滿足方+d-(a+c)=ll〃(〃為整數(shù))，

abed=1000(/+1006+10c+d=1001a+996+1lc+11〃=11(91。+96+C+”)，

91a+9b+c+〃為整數(shù)，

abed能被11整除,

②由題意(l+5+6+〃)-(7+/+2)=lbl,%為整數(shù),

:.,3+n-m=\\k>

0?m,%,9且為整數(shù)，

-6^^+n-m12,

.'.k=0,1)

當(dāng)A=0時，m-n=3,

滿足的數(shù)有：1753620,1754621,1755622,1756623,1757624,1758625,1759626,

當(dāng)上=1時，n—m=8>

滿足的數(shù)有：1750628,1751629.

【點評】此題是數(shù)的整數(shù)，主要考查了新定義，數(shù)的整除，解本題的關(guān)鍵是理解新定義，掌

握數(shù)的整除是解本題的難點.

11.將一個三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含w本身)，得到新三位數(shù)abc[a<c),

在所有重新排列中，當(dāng)|a+c-2"最小時，我們稱上是〃的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定

F(n)=b2-ac.例如215可以重新排列為125、152、215,因為|l+5-2x2|=2,

11+2-2x51=7,|2+5-2xl|=7,且2<5<7,所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，

F(215)=22-1X5=-1.

(1)F(236)=_-3_;

(2)如果在正整數(shù)“三個數(shù)位上的數(shù)字中，有一個數(shù)是另外兩個數(shù)的平均數(shù)，求證：F(〃)

是一個完全平方數(shù)：

(3)設(shè)三位自然數(shù)f=100x+60+y(啜/9,掇/9,x,y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)

字與百位上的數(shù)字得到數(shù)七若1-尸=693,那么我們稱?為“和順數(shù)”.求所有“和順數(shù)”

中尸⑴的最大值.

【分析】(1)根據(jù)定義求出236是236的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，再計算即可；

(2)設(shè)〃=a6c,令2/>=a+c,由|a+c-2Z>|=0可知"的"調(diào)和優(yōu)選數(shù)”的十位數(shù)字是,

再由尸(〃)=從一ac=(史上1一ac=(@二f,即可證明；

22

(3)根據(jù)題意可得x—y=7,再由x、y的取值范圍求出x=9,y=2或x=9,y=\,則

f=962或861,分別求出尸(962)=18,/(861)=28,即可求解.

【解答】(1)解：236重新排列為236,326,263,

|2+6-6|=2,|3+6-4|=5,|2+3-12|=7,

??.236是236的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”,

/.F(236)=9-12=-3,

故答案為：-3；

(2)證明：設(shè)〃=abc,令2Z?=〃+c,

.1a+c-2Z?|=0,

F(n)=b--ac=(^―)-?c=(^—)，

尸(〃)是一個完全平方數(shù)；

(3)解：r=100x+60+y,

/.t'=100j+60+x,

.-.f-f=99x-99>=693,

:.x-y=l,

啜k9,

.,.啜0+y9,

.?.-7領(lǐng)J，2,

啜/9,x,y為自然數(shù)，

.-.x=9,y=2或x=9,y=\,

.)=962或861,

當(dāng)，=962時，“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”是269,

/.尸(962)=18；

當(dāng)f=861時，“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”是168,

/.F(861)=28；

尸⑺的最大值為28.

【點評】本題考查完全平方數(shù)，弄清定義，熟練掌握完全平方公式，并將所求的問題與整式

的運算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

12.一個三位正整數(shù)M,其各位數(shù)字均不為零且互不相等.若將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字

交換位置，得到一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為M的“友誼數(shù)”，如：168的“友誼

數(shù)”為“618”；若從”的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字中任選兩個組成一個新的兩位數(shù)，

并將得到的所有兩位數(shù)求和，我們稱這個和為M的“團結(jié)數(shù)”，如：123的“團結(jié)數(shù)”為

12+13+21+23+31+32=132.

(1)求證：M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；

(2)若一個三位正整數(shù)N,其百位數(shù)字為2,十位數(shù)字為a、個位數(shù)字為匕，且各位數(shù)字

互不相等(a*0,0x0),若N的“團結(jié)數(shù)”與N之差為24,求N的值.

【分析】(1)根據(jù)題意可以表示出M的友誼數(shù)，然后作差再除以15即可解答本題；

(2)根據(jù)題意可以表示出N和N的團結(jié)數(shù)，然后作差即可解答本題.

【解答】解：(1)由題意可得，

設(shè)M為lOOo+lM+c,則它的友誼數(shù)為：100/2+10a+c,

(100a+10b+c)-(1006+10“+c)

=100。+10匕+c—100b-10a-c

=\OO(a-b)+\O(b-a)

=90(67-/?),

9Q(a-b)j八

-------=6(。-b),

15

與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；

(2)由題意可得，

N=2x100+10。+人=200+10“+。，

N的團結(jié)數(shù)是：10x2+a+10a+2+10x2+6+10*6+2+1On+Z?+1Ob+a=22a+22/?+44,

22a+22^+44-(200+10a+力=24,

即N是284或218.

【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用、解二元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所

求問題需要的條件.

13.如果把一個奇數(shù)位的自然數(shù)各數(shù)為上的數(shù)字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高

位依次排列出的一串?dāng)?shù)字完全相同，相鄰兩個數(shù)位上的數(shù)字之差的絕對值相等(不等于0),

且該數(shù)正中間的數(shù)字與其余數(shù)字均不同，我們把這樣的自然數(shù)稱為“階梯數(shù)”，例如自然

數(shù)12321,從最高位到個位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1,2,3,2,1,從個位到最高位依

次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1,2,3,2,1,且|1—2R2—3R3—2|=|2-1|=1,因此12321

是一個“階梯數(shù)”,又如262,85258,都是“階梯數(shù)”,若一個“階梯數(shù)”/從左數(shù)

到右，奇數(shù)位上的數(shù)字之和為M,偶數(shù)位上的數(shù)字之和為N,記P⑴=2N-M,

Q(t)=M+N.

(1)已知一個三位“階梯數(shù)”t,其中尸⑺=12,且QQ)為一個完全平方數(shù)，求這個三位

數(shù)；

(2)已知一個五位“階梯數(shù)”r能被4整除，且Q⑺除以4余2,求該五位“階梯數(shù)”t

的最大值與最小值.

【分析】(1)設(shè)“階梯數(shù)”r的百位為x,相鄰兩數(shù)的差為4,則，=4(“+幻4,可得

M=a+a^=2a,N=a+k.根據(jù)PQ)=12,得到關(guān)于A的方程，可求人=6,再根據(jù)

Q(f)=3a+6為一個完全平方數(shù)，其中掇心9,可求3a+6=9,16,25,可求a=l,從

而得到這個三位數(shù)；

(2)設(shè)某五位階梯數(shù)為a(a+k){a+2k)(a+k)a,根據(jù)

t1111\a+\2\Qk—re2k-a

-=--------------------=2778Q+302k+------,

444

可得2%-a是4的倍數(shù)，根據(jù)M=3a+2Z,N=2A+2K,可得Q(f)=M+N=5a+4k,則

5"+4"-2=9+“+上，可得q-2是4的倍數(shù),根據(jù)完全平方數(shù)的定義得到〃=2,6,

44

再分兩種情況求得,的值，進一步得到該五位“階梯數(shù)”,的最大值和最小值.

【解答】解：(1)設(shè)“階梯數(shù)”f的百位為x,相鄰兩數(shù)的差為3則f=a(a+&)a,

..M=a+