光纖傳感技術(shù)與應(yīng)用-第三章-光電傳感器中的光纖技術(shù)1

第三章

光電傳感器中的光纖技術(shù)王英武漢工程大學(xué)理學(xué)院光學(xué)信息技術(shù)實驗室電話-mail：wangying.hust@QQ：70791501光波導(dǎo)模式理論2光纖的損耗3光纖的色散4光纖的耦合技術(shù)5光纖中光波的控制技術(shù)6小結(jié)主要內(nèi)容1光波導(dǎo)模式理論電磁場方程階躍光纖的嚴(yán)格解階躍光纖中的線偏振模梯度光纖的解析解模式的橫向耦合理論模式的縱向耦合理論單模光纖電磁場方程物質(zhì)特性方程：麥克斯韋方程方程組對于非導(dǎo)電、非磁性介質(zhì)：M=0，且均勻各向同性媒質(zhì)的波動方程：非均勻媒質(zhì)的波動方程：對于緩變媒質(zhì)：折射率或相對介電常數(shù)隨位置變化緩慢近似有上式雖然與均勻介質(zhì)的波動方程形式相同，但有重要區(qū)別：折射率隨位置緩慢變化。利用波動方程求解光纖波導(dǎo)中的電磁場分布。1.1圓柱型波導(dǎo)中場方程的求解將場分量分解成縱向分量和橫向分量r

（橫向分量，矢量方程）（縱向分量，標(biāo)量方程）（三維矢量方程）（二階偏微分標(biāo)量方程方程）式中：導(dǎo)出圓柱面波導(dǎo)波動方程縱向分量的微分方程：所有沿z向傳播的場分量都有傳播因子，

為z向傳播常數(shù)；縱向分量給出電矢量或磁矢量在橫截面的半徑R方向和圓周

方向上隨z軸變化的規(guī)律；用分離變量法解二階偏微分方程，得到關(guān)于R和

兩個解。（1.1）（1.2）根據(jù)麥克斯韋方程的橫向矢量與縱向分量的關(guān)系求出橫向分量，無需解矢量方程。

r橫向分量以r和

為參量式中kc為橫向傳播常數(shù)：如果光纖中折射率是變量r的函數(shù)，則n用n(r)

代替略去推導(dǎo)過程，橫向分量有：1.2

階躍光纖的嚴(yán)格解——矢量模解（二階偏微分方程）（1.1）（1.2）（1.2）式代入（1.1）式：用分離變量法解二階偏微分方程，得到關(guān)于r和

兩個解。兩邊同乘重寫縱向分量（1.1）式：式中：上式左邊只是r的函數(shù)，右邊只是

的函數(shù)，而r、

都是獨立變量，欲使上式對任何r和

都成立，只有兩邊都等于同一常數(shù)才有可能。方程的右邊：即：（1.3）其解為：m=0、1、2、---（1.4）表示場量（電矢量或磁矢量）在橫截面圓周

方向變化的規(guī)律。

應(yīng)以2

為周期；

m=0意味場量不隨方位角變化，即子午光線；

m

0意味場量在圓周方向按正弦或余弦分布。方程的左邊：令：X=kcr，表示成貝塞爾方程形式：（1.5）X2

0，m階貝塞爾方程標(biāo)準(zhǔn)形式（纖芯內(nèi)的場解）X20，m階變態(tài)貝塞爾方程標(biāo)準(zhǔn)形式（包層內(nèi)的場解）X2

的正負(fù)取決于纖芯內(nèi)：（1.6）表示場量（電矢量或磁矢量）在橫截面半徑r方向變化的規(guī)律。——第一類貝塞爾函數(shù)——第二類貝塞爾函數(shù)（貝塞爾函數(shù)——級數(shù)表示的特殊函數(shù)）其解：特點：兩類貝塞爾函數(shù)都是震蕩函數(shù)，有無窮多個零點或根。第一類貝塞爾函數(shù)的兩種極端狀態(tài)：X=kcr在徑向按衰減的駐波場在kcr0時（光纖纖芯）呈發(fā)散狀，物理上不合理，故舍去。第二類貝塞爾函數(shù)的兩種極端狀態(tài)：包層內(nèi)其解：其中：變態(tài)貝塞爾函數(shù)和Km(X)在r較大時按指數(shù)規(guī)律迅速衰減，呈現(xiàn)表面波特性。Im(X)隨r增大呈無限增大狀態(tài)，物理上不合理，故舍去。不合理（1.7）沿半徑方向場量呈駐波分布，用貝塞爾函數(shù)描述。在圓周方向場量呈sinm

或cos

m

駐波分布，m是沿圓周方向出現(xiàn)最大值的對數(shù)。m=0對應(yīng)子午光線。沿z軸呈行波狀態(tài)，波的相位常數(shù)為。縱向分量Ez

和Hz的特點：在纖芯內(nèi)在包層內(nèi)沿半徑方向呈漸消場，用變態(tài)貝塞爾函數(shù)描述，以保證電磁波能量集中在纖芯和邊界面附近。在圓周方向場量分布和纖芯內(nèi)相同，以保證滿足界面邊界條件。具有表面波特性。否則成為輻射波而不是導(dǎo)波。纖芯內(nèi)的場解A1，B1是待定常數(shù)包層內(nèi)的場解A2，B2是待定常數(shù)注意兩個貝塞爾函數(shù)的差異。（1.8）（1.9）縱向分量（1.2）式場解用貝塞爾函數(shù)表示，則有：1.2.1導(dǎo)波模的特征方程如何確定光纖中電磁場解（1.8），（1.9）式中的待定常數(shù)？能否用數(shù)值解表示光纖中的電磁場分布？電磁波成為導(dǎo)波的條件是什么？模式如何分類？傳播模式與光纖結(jié)構(gòu)有什么關(guān)系？由特征方程回答上述問題。引入兩個參數(shù)：

——表示纖芯內(nèi)場沿半徑a方向分布規(guī)律

——纖芯內(nèi)橫向傳播常數(shù)

——表示包層內(nèi)場沿半徑a方向衰減程度

——包層內(nèi)橫向衰減系數(shù)

表示軸向相位常數(shù)，與波矢量k0和橫向傳播常數(shù)kc之間有確定關(guān)系：U、W與波導(dǎo)參數(shù)V（結(jié)構(gòu)參數(shù)）三者之間有確定關(guān)系：參數(shù)U，W代入表示芯層和包層的縱向場量（1.8）,（1.9）式：利用邊界條件確定待定常數(shù)：在纖芯與包層界面上電場和磁場的軸向場量切向分量必須連續(xù)：即：令：則縱向分量改寫成：（1.10a）（1.10d）（1.10c）（1.10b）A=0B0TE模A

0B=0TM模TE模特點：電場矢量不出現(xiàn)在傳播方向，而在與傳播方向垂直的平面內(nèi)；利用縱向分量和橫向分量的關(guān)系，可以得到4個橫向電場分量：（1.11a~d）4個橫向磁場分量（1.12a~d）以上電場和磁場各六個方程包含參量U,W,

以及待定系數(shù)A,B為消去待定系數(shù)A、B，利用圓周方向的場量必須連續(xù)的邊界條件：將電（磁）場橫向分量代入得：（1.13a）（1.13b）上兩式相乘，消去A,B由得到用橫向傳播常數(shù)和折射率表示、滿足邊界條件的光纖中電磁場分布方程，稱之為特征方程。消去

引入簡化符號：上式是導(dǎo)波模的精確特征方程表達(dá)式。（1.14）

光纖通訊實際使用光纖的纖芯和包層相對折射率差很小近似有特征方程（1.14）簡化成：（弱導(dǎo)波光纖）即m=0、1、2、3---（1.15）上式是弱導(dǎo)波光纖特征方程。注意對于TE模有待定系數(shù)A=0B0由邊界條件（1.13b）式：三項均不能為零，TE模存在條件只能是m=0即1.2.2導(dǎo)波模的分類TE模和TM模TE波在光纖中存在條件是m=0，意味著場量不是的函數(shù)，在光纖中呈軸對稱分布，只能以子午光線形式傳播。據(jù)邊界條件（1.13a）式:據(jù)貝塞爾函數(shù)遞推公式TE模精確特征方程（1.16）因式中m=0，所以有：與TM模同樣的推導(dǎo)過程，有TM模精確特征方程：A

0B=0對于TM模有待定系數(shù)（1.17）TE波或TM波在光纖中存在條件是m=0，只能以子午光線形式傳播。對弱導(dǎo)光纖，近似有TM模和TE模有相同的特征方程（1.18）EH模和HE?！旌夏．?dāng)m

0時，場量沿圓周方向周期性分布，為滿足邊界條件A與B都不得為零，因而在縱向Ez,Hz

同時存在。對弱導(dǎo)光纖有：EH模HE模據(jù)貝塞爾函數(shù)遞推公式m>0m<0（電場為縱向分量稱之為EH模，磁場為縱向分量稱之為HE模）EH模HE模如果令m=0，并注意到則在弱導(dǎo)光纖條件下，EH、HE模有與TM、TE模相同的特征方程：TM、TE模是EH、HE模的特例。1.2.3導(dǎo)波模的截止參數(shù)和單模傳輸條件一個導(dǎo)波模沿Z方向無衰減傳播的條件：U、W都是正實數(shù)。W越大，包層中的場量沿半徑方向衰減也快；越小就有越多的能量向包層中彌散。W2<0，電磁場成為沿徑向的輻射模。W2=0是導(dǎo)波模與輻射模的臨界點，與此對應(yīng)的歸一化頻率稱為截止頻率：截止頻率是與臨界角對應(yīng)的橫向傳播系數(shù)；不同的模式有不同的截止頻率，在光纖結(jié)構(gòu)參數(shù)確定情況下，截止頻率限定了工作波長。TE模和TM模的截止頻率特征方程

W0時欲使上式成立，應(yīng)有，對應(yīng)有兩種情況：若UC=0，則不能滿足；因而截止?fàn)顟B(tài)的特征方程應(yīng)該為：即歸一化截至頻率UC及VC是零階貝塞爾函數(shù)的零點：2.405，5.520，8.654，---（1.19）TE模和TM模的歸一化截止頻率若工作波長，光纖結(jié)構(gòu)參數(shù)a、n1、n2都確定，則歸一化頻率是確定的;光纖中任意一個模式傳播條件：TE01模和TM01模是所有模中歸一化頻率最低的:2.405，5.520，8.654，---例：某光纖a=4.0m，0.003，纖芯折射率n1=1.48，則TE01模和TM01

的截止波長為c1.20m。即對于工作波長=1.31m，最簡單的模式TE01模和TM01

也不能傳播，只能傳播=0.85m的光波。EH模特征方程W0時，截止?fàn)顟B(tài)特征方程為Jm（Uc）=0Uc（或Vc

）是m階貝塞爾函數(shù)的零點最小歸一化頻率為：最小截止波長為：仍考察前例：光纖a=4.0m，0.003，纖芯折射率n1=1.48，則EH11模的截止波長為c0.75m。不僅波長=1.31m不能傳播，而且=0.85m的光波也不能傳播。HE模特征方程W0時，分為m=1和m2兩種情況m=1截止?fàn)顟B(tài)下的特征方程為其解有兩個：一階貝塞爾函數(shù)的根記作HE1n，并將VC=0的模作為第一個模，即HE11模（1.20）注意HE11模，其截止頻率為：截至波長為：HE11模可以以任意低的頻率在光纖中傳播，不存在截止，HE11模是光纖中的主模——理想極限m2截止?fàn)顟B(tài)下的特征方程為其截止頻率為：m=2、3、4---，n=1、2、3---有些模式的截止頻率彼此相同，稱其為簡并模（1.21）截止頻率由低到高的前34個模式主模是HE11模階躍光纖單模傳播條件：V<2.405，則只有HE11?？梢詡鞑ィ渌６冀刂?。低階導(dǎo)波模在橫截面內(nèi)的場分布對確定的模m都可以求得其特征方程的解n，每一個解的系列都對應(yīng)確定的電磁場結(jié)構(gòu)，表示成EHmn。圖中各個模式的場分布是電場和磁場各分量和稱的結(jié)果，如HE11模式是六個場分量在圓周方向按正、余弦規(guī)律變化，但合成后趨向于x或y方向；所有模式中，TE01和TM01最簡單，軸心處電（磁）場為零；下表m和n表示場量在圓周方向和半徑方向出現(xiàn)極大點和零點的個數(shù)。1.3階躍光纖中的線偏振模在弱導(dǎo)條件下：可以證明光纖中傳播的電磁波橫向電磁場占主導(dǎo)地位，縱向分量總是很小，而且一經(jīng)激勵起來偏振狀態(tài)保持不變，稱其為線性偏振模，簡寫為LP模（LinearPolarizedMode）比較TE，TM，EH，HE模的特征方程，可以發(fā)現(xiàn)它們具有相同的形式，這表示雖然模式不同，但具有相同模階數(shù)的模傳播常數(shù)是相同的，這類?？梢浴昂啿ⅰ保唇?jīng)過線性耦合形成新的特征模，即線性偏振模。LPmn模式序號物理意義m是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)，確定場量沿圓周方向的分布規(guī)律。在一個圓周上出現(xiàn)2m個極大點和2m個零點。n是m階貝塞爾函數(shù)的第n個根，表示沿半徑方向出現(xiàn)極值的個數(shù)。階躍光纖中基模的場分布線偏振模的特征方程和截至參數(shù)在弱導(dǎo)條件下特征方程為：遠(yuǎn)離截至狀態(tài)的特性（用Uf

表示遠(yuǎn)離截至狀態(tài)的U值）：說明此時對于確定的m值，纖芯內(nèi)場量的徑向歸一化相位常數(shù)趨于m階貝塞爾函數(shù)的根，即當(dāng)W0時導(dǎo)波模趨于截至，由K(W)的漸近式：（1.22）（1.23）截至狀態(tài)的特征方程：分兩種情況：當(dāng)m=0時，由于，截至狀態(tài)的特征方程為：即LP01模的歸一化截至參數(shù)為：當(dāng)m

1時，由于，所以不能取U=0，截至狀態(tài)的特征方程為：即LPmn模的歸一化截至參數(shù)為：LP01模的截至參數(shù)、遠(yuǎn)離截至狀態(tài)的特性、場分布與HE11模相同；LP11模的截至參數(shù)為Vc=2.405，與TE01、TM01、HE11模相同；（1.24）1.3多模光纖中的模式數(shù)量用b和V表示的特征方程：由色散曲線可知，當(dāng)波導(dǎo)參數(shù)V（歸一化頻率）確定后，波導(dǎo)參數(shù)V比截止頻率VC低的模式都可以傳播，因此截止頻率決定模式數(shù)量;多模截止?fàn)顟B(tài)下的特征方程為：注意到:當(dāng)W=0時，（N=0,1,2,---）在UC=V，且其值較大時，利用貝塞爾函數(shù)的漸近式：特征方程改寫成：上式中m,n為整數(shù)，即是截止模式的序號。以m和n為參數(shù)作圖：

m=0，n取最大值

n=1，m取最大值在圖示三角形區(qū)域內(nèi)具有整數(shù)坐標(biāo)的每一個點都代表一個導(dǎo)波模式，其結(jié)點數(shù)近似等于三角形面積：（1.25）考慮模之間的簡并，對于一對確定的m，n值，LPmn模一般是四重簡并，因而總的傳播模數(shù)量應(yīng)該是上述結(jié)果的四倍，即常用的估算公式：多模光纖中可傳播模的數(shù)量與歸一化頻率V的平方成正比，單模纖芯的半徑和相對折射率必須小。（1.26）（1.27）1.3階躍折射率光纖中的功率流電磁場在線芯與包層界面處不為零；在線芯內(nèi)呈現(xiàn)振蕩分布，在包層內(nèi)呈指數(shù)衰減分布；每一個導(dǎo)波模式的能量，一部分由線芯承載，另一部分由包層承載；遠(yuǎn)離截止頻率的模式承載的能量更集中于線芯，逼近截止頻率的模式，有更大比例的能量在包層中傳輸；截至狀態(tài)的模式成為完全的輻射模。對一個特定的模式，線芯內(nèi)和包層中的功率流差多少？沿光纖軸向單位橫截面中傳輸?shù)墓β剩篠z在纖芯和包層截面上積分，得到各模式在纖芯和包層中的傳輸功率：rar>a（1.28）光纖中傳輸?shù)目偣β蕿椋篖Pmn模在纖芯中傳輸?shù)墓β逝c總功率之比稱為功率因子：兩種極端狀態(tài)：遠(yuǎn)離截至狀態(tài)：即功率幾乎集中在纖芯傳輸；截至狀態(tài)：（1.29）對于m=0和1的模式，當(dāng)接近截至狀態(tài)時功率幾乎完全轉(zhuǎn)移到包層中，而對于m較大的高階模，即使接近截至狀態(tài)，功率仍有相當(dāng)一部分保留在纖芯中，m越大保留的功率越多。m=0，1m>21.4梯度折射率光纖的解析解法梯度光纖的折射率分布：對于任意的a值，用波動方程很難得到解析解，必須采用數(shù)值方法。常用的方法有：有限元方法有限數(shù)值差分法僅在a=2（拋物線型折射率分布）可用波動方程得到解析解。rar>a（1.30）拋物線型折射率分布的標(biāo)量近似解近似假設(shè)：波動方程：在直角坐標(biāo)系中，用分離變量法求得到沿z軸傳播的波：其中0

r<（1.31）當(dāng)m=0，n=0，稱為線性偏振模LP00，場量沿半徑方向按高斯函數(shù)分布；S稱為模斑半徑，因在r=s處，光強下降為光纖軸中心的1/e;模場半徑w的定義：場量的振幅下降為光纖軸中心的1/e；模場半徑與模斑半徑的關(guān)系：對于m、n不等于零的高階模，場量在圓周方向和半徑方向都具有振蕩特性。漸變折射率光纖中的場分布漸變折射率光纖中LP模的場分布相位常數(shù)波在z向的相位常數(shù)：傳播條件：截止條件：即歸一化截止頻率：可傳輸?shù)哪Ｊ娇偭浚海?.32）（1.33）1.5波導(dǎo)的橫向耦合理想波導(dǎo)認(rèn)為各模式之間滿足正交關(guān)系，模式之間沒有能量耦合。實際上由于波導(dǎo)損耗、變形、結(jié)構(gòu)障礙等都會引起模式之間的耦合。橫向耦合：如當(dāng)兩個波導(dǎo)靠得很近時，由于消逝波的作用會發(fā)生兩波導(dǎo)之間的能量耦合。兩個波導(dǎo)模的橫向耦合：嚴(yán)格解應(yīng)該是將兩個波導(dǎo)作為一個統(tǒng)一的耦合波導(dǎo)系統(tǒng)求解，但一般來說沒有解析解。當(dāng)兩個波導(dǎo)之間的耦合比較弱時，可以認(rèn)為耦合波導(dǎo)系統(tǒng)是原來兩個波導(dǎo)單獨存在時的一個組合。12耦合模方程考慮耦合場在z向傳播：總的光波場不是原來兩個場的簡單疊加，而是相互影響，疊加后的場將隨傳播距離z變化。設(shè)：則有：式中：稱為組合系數(shù)，表示波導(dǎo)中模式場E1、E2的幅度隨傳播距離變化。（1.34a）（1.34b）利用麥克斯韋方程和矢量公式可以推導(dǎo)出耦合波方程：定義為耦合系數(shù)，它們決定波導(dǎo)之間的相互影響，且可以證明：如果兩個波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)和介質(zhì)參數(shù)都一樣，則耦合系數(shù)都是實數(shù)，因而：將代入耦合波方程有：（1.35a）（1.35b）（1.36a）（1.36b）對1.36b式積分，有：表明波導(dǎo)2中即使原始沒有光波，經(jīng)過傳播距離后能建立起光波場；當(dāng)是一個高速振蕩因子，在積分距離內(nèi)不可能得到一個有效大小的值，只有波導(dǎo)1與波導(dǎo)2之間相位常數(shù)接近或者同一模式之間才能產(chǎn)生有效耦合。對于兩根相同的單模光纖，其主模之間必然有：因而有：

在條件下，對1.36a式求導(dǎo)，并代入1.36b式得到：上式的解是：

式中此解再次代入1.36a式，得到：組合系數(shù)式（1.34a-b）改寫成：由初始條件決定待定常數(shù)，設(shè)則：并令：（1.37a）（1.37b）組合系數(shù)式（1.37）成為：可見由于兩根波導(dǎo)之間的相互影響，波導(dǎo)中的光波場都分裂為兩個波，其相位常數(shù)分別是原相位常數(shù)受到耦合系數(shù)的微擾。前提是兩根光纖相位匹配，；若初始條件：，即波導(dǎo)2中的光場為零，則（1.38）式簡化為：（1.38a）（1.38b）（1.39a）（1.39b）弱耦合條件下的功率交換一般情況下耦合后總光波場為：在弱耦合條件下，可認(rèn)為：當(dāng)，波導(dǎo)1和波導(dǎo)2中的傳播功率分別為：說明光功率在兩波導(dǎo)之間周期性交換;（1.40a）（1.40b）根據(jù)能量守恒，如果，說明光功率已經(jīng)全部耦合到波導(dǎo)2中；滿足的耦合長度是：若波導(dǎo)1和波導(dǎo)2中的初始狀態(tài)光場均不是零，則更精確的波導(dǎo)1中的傳播功率為：其中雖計算較復(fù)雜，在波導(dǎo)各自模式的解是確定的情況下，可以通過計算得到嚴(yán)格的耦合系數(shù)K值。相反方向的耦合在相位匹配條件下有：在z=0處定義反射率：只要微擾區(qū)足夠長，反射率接近與1；相位失配導(dǎo)致反射率下降。應(yīng)用方向：周期性波導(dǎo)。1.6棱鏡耦合器用于光束與薄模波導(dǎo)的耦合；高折射率棱鏡與薄模表面之間有一很窄的間隙（納米量級），輸入光束在棱鏡底面的入射角大于臨界角進(jìn)入全反射，在間隙中產(chǎn)生消逝場，滲透到薄膜波導(dǎo)中，激發(fā)出平板波導(dǎo)中的導(dǎo)模；薄膜波導(dǎo)中的導(dǎo)膜也會在間隙中產(chǎn)生消逝場，滲透到棱鏡中，構(gòu)成光束的輸出。實現(xiàn)耦合的條件相位匹配條件：在光波沿薄膜傳輸?shù)膠方向上，棱鏡中光波矢量的z分量等于薄膜波導(dǎo)中的傳播常數(shù)

：能量交換條件：耦合長度應(yīng)該滿足：設(shè)光束的寬度為2t，則長度為：耦合系數(shù)值應(yīng)為：調(diào)節(jié)間隙厚度使耦合系數(shù)滿足上式。由棱鏡入射的光波如何在薄膜中激發(fā)出導(dǎo)模？設(shè)棱鏡中的光波為A3波，薄膜中的導(dǎo)模為A1波；A1波是由A3波在薄膜中激發(fā)的各子波的合成，但必須滿足互相加強、即同相位條件；如考察2點處，A1波是A3波在2’激發(fā)的“直接