2022年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

2022年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共16分，每題2分）第L8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.（2分）下面幾何體中，是圓錐的為（B）

2.（2分）截至2021年12月31日，長(zhǎng)江干流六座梯級(jí)水電站全年累計(jì)發(fā)電量達(dá)2628.83

億千瓦時(shí)，相當(dāng)于減排二氧化碳約2.2億噸.將262883000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為

（B）

A.26.2883XIO10B.2.62883X1011

C.2.62883X1012D.0.262883X1012

3.（2分）如圖，利用工具測(cè)量角，則N1的大小為（A）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.（2分）實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（D）

ab

???i???A

-3-2-10123

A.a<-2B.C.a>bD.-a>b

5.（2分）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外兩個(gè)小球無(wú)其他差別.從中隨

機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，那么第一次摸到紅球、第二

次摸到綠球的概率是（A）

A.AB.Ac.AD.3

4324

6.（2分）若關(guān)于x的一元二次方程/+x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（C）

A.-4B.」C.AD.4

44

7.（2分）圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（D）

A.1B.2C.3D.5

8.（2分）下面的三個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：

①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時(shí)間x；

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時(shí)間X;

③用長(zhǎng)度一定的繩子圍成一個(gè)矩形，矩形的面積y與一邊長(zhǎng)x.

其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（A）

【解答】解：汽車從4地勻速行駛到B地，根據(jù)汽車的剩余路程y隨行駛時(shí)間x的增加

而減小，故①符合題意；將水箱中的水勻速放出，直至放完，根據(jù)水箱中的剩余水量y

隨放水時(shí)間x的增大而減小，故②符合題意；用長(zhǎng)度一定的繩子圍成一個(gè)矩形，周長(zhǎng)一

定時(shí)，矩形面積是長(zhǎng)x的二次函數(shù)，故③不符合題意；所以變量y與變量x之間的函數(shù)

關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是①②.故選：4

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）若5/藐在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是98.

10.（2分）分解因式：娟-x（y-1）（葉1）.

11.（2分）方程_2_=工的解為x=5.

x+5x

12.（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)A（2,y\）,B（5,y2）在反比例函數(shù)y=K（k

x

>0）的圖象上，則VI>V2（填"="或

13.（2分）某商場(chǎng)準(zhǔn)備進(jìn)400雙滑冰鞋，了解了某段時(shí)間內(nèi)銷售的40雙滑冰鞋的鞋號(hào)，數(shù)

據(jù)如下：

鞋號(hào)353637383940414243

銷售量/2455126321

雙

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該商場(chǎng)進(jìn)鞋號(hào)需求最多的滑冰鞋的數(shù)量為120雙.

14.（2分）如圖，在△ABC中，AO平分NBAC,DELAB.若AC=2,DE=l,則SAACD

=1

【解答】解：過(guò)。點(diǎn)作?！盻LAC于H,如圖，?.?AO平分NBAC,DELAB,DHLAC,

：.DE=DH=\,.?.SAACD=」X2X1=1.故答案為：1.

2

15.（2分）如圖，在矩形ABCC中，若AB=3,AC=5,更=上，則AE的長(zhǎng)為1

FC4

【解答】解：?.?四邊形ABC。是矩形，...NA2C=90°,AD//BC,,：AB=3,AC=5,

:政=,氏2-g2r52一呼:*'JAD//BC,：.ZEAF=ZBCF,NAEF=NCBF,

：./\EAF^/\BCF,?.?鯉=工，迪」，：.AE=1,故答案為：1.

FC4BCFC444

16.（2分）甲工廠將生產(chǎn)的I號(hào)、II號(hào)兩種產(chǎn)品共打包成5個(gè)不同的包裹，編號(hào)分別為A,

B,C,D,E,每個(gè)包裹的重量及包裹中I號(hào)、II號(hào)產(chǎn)品的重量如下：

包裹編號(hào)I號(hào)產(chǎn)品重量/[I號(hào)產(chǎn)品重量/包裹的重量/

噸噸噸

A516

B325

C235

D437

E358

甲工廠準(zhǔn)備用一輛載重不超過(guò)19.5噸的貨車將部分包裹一次運(yùn)送到乙工廠.

（1）如果裝運(yùn)的1號(hào)產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運(yùn)方案

A8C（或ABE或AD或ACQ或8。）（寫出要裝運(yùn)包裹的編號(hào)）；

（2）如果裝運(yùn)的I號(hào)產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時(shí)裝運(yùn)的n號(hào)產(chǎn)品最多，寫

出滿足條件的裝運(yùn)方案ACE（寫出要裝運(yùn)包裹的編號(hào)）.

【解答】解：（1）選擇ABC時(shí)，裝運(yùn)的/號(hào)產(chǎn)品重量為：5+3+2=10（噸），總重6+5+5

=16<19.5（噸6符合要求;

選擇ABE時(shí)，裝運(yùn)的/號(hào)產(chǎn)品重量為：5+3+3=11（噸），總重6+5+8=19<19.5（噸），

符合要求；選擇4。時(shí)，裝運(yùn)的1號(hào)產(chǎn)品重量為：5+4=9（噸），總重6+7=13<19.5（噸），

符合要求；選擇ACQ時(shí)，裝運(yùn)的/號(hào)產(chǎn)品重量為：5+2+4=11（噸），總重6+5+7=18<

19.5（噸），符合要求;選擇BC5時(shí),裝運(yùn)的1號(hào)產(chǎn)品重量為：3+2+4=9（噸），總重5+5+7

=17<19.5（噸），符合要求；選擇OCE時(shí)，裝運(yùn)的/號(hào)產(chǎn)品重量為：4+2+3=9（噸），

總重7+5+8=20>19.5（噸），不符合要求；選擇8OE■時(shí)，裝運(yùn)的/號(hào)產(chǎn)品重量為：3+4+3

=10（噸），總重5+7+8=20>19.5（噸），不符合要求；選擇ACE時(shí)，裝運(yùn)的/號(hào)產(chǎn)品

重量為5+3+3=11（噸），總重6+5+8=19（噸），符合要求，綜上，滿足條件的裝運(yùn)方案

有ABC或ABE或AO或ACQ或BCO或ACE.故答案為：ABC（或ABE或AO或AC。

或BCD或ACE）；（2）選擇ABC時(shí)，裝運(yùn)的H號(hào)產(chǎn)品重量為：1+2+3=6（噸）；選擇ABE

時(shí)，裝運(yùn)的I【號(hào)產(chǎn)品重量為：1+2+5=8（噸）；選擇A。時(shí)，裝運(yùn)的〃號(hào)產(chǎn)品重量為：1+3

=4（噸）；選擇AC￡>時(shí)，裝運(yùn)的〃號(hào)產(chǎn)品重量為：1+3+3=7（噸）；選擇BCD時(shí)，

裝運(yùn)的〃號(hào)產(chǎn)品重量為：2+3+3=8（噸）；選擇ACE時(shí)，I產(chǎn)品重量：5+2+3=10且9

W10W11：II產(chǎn)品重量：l+3+5=9,故答案為：ACE.

三、解答題(共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題,

每題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分)解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演

算步驟或證明過(guò)程._

17.(5分)計(jì)算：(IT-1)0+4sin45°-我+|-3|.

解：原式=1+4X近-2&+3=1+2&-2&+3=4.

2

2+x〉7-4x,

18.(5分)解不等式組：4+x

解：由2+x>7-4x,得：x>l,由x<生曳，得：x<4,則不等式組的解集為l<x<4.

2

19.(5分)已知/+2x-2=0,求代數(shù)式x(x+2)+(x+1)2的值.

解：x(x+2)+(JC+1)2=X2+2X+X2+2JC+1=2^+4x+1,

VX2+2X-2^0,.?.7+2X=2,

...當(dāng)/+2x=2時(shí)，原式=2(?+2x)+1=2X2+1=4+1=5.

20.(5分)下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成

證明.

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

已知：如圖，△ABC,求證：ZA+ZB+ZC=180°.

方法一方法二

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CO〃AB.

VZBAD+ZBAC+ZCAE=\SO°,AZB+ZBAC+ZC=180°；

方法二：?：CD//AB,：.ZA=ZACD,NB+NBCD=180°,

...NB+N4CB+NA=180°.

21.(6分)如圖，在口A8CD中，AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在AC上，AE^CF.

(1)求證：四邊形仍尸。是平行四邊形；

(2)若/B4C=ND4C,求證：四邊形E8FD是菱形.

【解答】證明：(1)在。ABC。中，OA=OC,OB=OD,'：AE=CF.：.OE=OF,

四邊形EBFD是平行四邊形；

(2)I?四邊形A8CD是平行四邊形，

VZBAC=ADAC,：.ZDCA=ZDAC,：.DA=DC,"：OA=OC,

：.DB±EF,.?.平行四邊形EBFD是菱形.

22.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)》=丘+6（20）的圖象過(guò)點(diǎn)（4,3）,（-2,0）,

且與y軸交于點(diǎn)A.

（1）求該函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=x+〃的值大于函數(shù)（k#0）的值，

直接寫出〃的取值范圍.

【解答】解：（1）把（4,3）,（-2,0）分別代入〉=丘+匕得14k+卜=3,

I-2k+b=0

1

解得，2，，函數(shù)解析式為y=L+l，當(dāng)x=0時(shí)，y=L+l=l,點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）；

99

b=l

（2）當(dāng)〃21時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=x+〃的值大于函數(shù)、=履+6

W0）的值.

23.（6分）某校舉辦“歌唱祖國(guó)”演唱比賽，十位評(píng)委對(duì)每位同學(xué)的演唱進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)打分，

對(duì)參加比賽的甲、乙、丙三位同學(xué)得分的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分

信息.

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同學(xué)得分的平均數(shù):

同學(xué)甲乙丙

平均數(shù)8.68.6m

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題:

（1）求表中m的值；

（2）在參加比賽的同學(xué)中，如果某同學(xué)得分的10個(gè)數(shù)據(jù)的方差越小，則認(rèn)為評(píng)委對(duì)該

同學(xué)演唱的評(píng)價(jià)越一致.據(jù)此推斷：在甲、乙兩位同學(xué)中，評(píng)委對(duì)甲的評(píng)價(jià)更一致

（填“甲”或“乙”）；

（3）如果每位同學(xué)的最后得分為去掉十位評(píng)委打分中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后的平

均分，最后得分越高，則認(rèn)為該同學(xué)表現(xiàn)越優(yōu)秀.據(jù)此推斷：在甲、乙、丙三位同學(xué)中，

表現(xiàn)最優(yōu)秀的是丙（填“甲”“乙”或“丙

【解答】解：(1)w=-X_X(10+10+10+9+9+8+3+9+8+10)=8.6；

10

(2)甲同學(xué)的方差s2rp=_l_X[2義(7-8.6)2+2X(8-8.6)2+4X(9-8.6)2+2X(10

-8.6)2]=1.04,

乙同學(xué)的方差52乙=2*14乂(7-8.6)2+2X(9-8.6)2+4X(10-8.6)2]=1.84,

10

?；S2甲＜S2乙，...評(píng)委對(duì)甲同學(xué)演唱的評(píng)價(jià)更一致.故答案為：甲;

(3)甲同學(xué)的最后得分為上X(7+8X2+9X4+10)=8.625；

8

乙同學(xué)的最后得分為上x(3X7+9X2+10X3)=8.625；

8

丙同學(xué)的最后得分為上X(8X2+9X3+10X3)=9.125,

8

...在甲、乙、丙三位同學(xué)中，表現(xiàn)最優(yōu)秀的是丙.

故答案為：丙.

24.(6分)如圖，AB是OO的直徑，CZ)是。。的一條弦，連接AC,OD.

(1)求證：ZBOD=2ZA；

(2)連接08,過(guò)點(diǎn)C作CELOB,交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F.若

產(chǎn)為AC的中點(diǎn)，求證：直線CE為OO的切線.

【解答】證明：(I)如圖，連接

是。。的直徑，AB1CD,：.BC=BD>.".ZCAB^ZBAD,'：BAD,

：.ZBOD=2ZA；

(2)如圖，連接OC,

為AC的中點(diǎn)，J.DFVAC,：.AD=CD,：.ZADF=ZCDF,VBC=BD>

：.ZCAB^ZDAB,'：OA=OD,：.ZOAD^ZODA,:.NCDF=NCAB,

\'OC=OD,:"CDF=NOCD,:.NOCD=/CAB,VBC=BC，

：.ZCAB=ZCDE,：.ZCDE=ZOCD,VZ￡=90°,AZCDE+ZDCE=90°,

：.ZOCD+ZDCE=90°,即OC_LCE,：OC為半徑，.?.直線CE為。0的切線.

25.(5分)單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái).運(yùn)

動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y(單位：相)與水平距離x(單位：加)近

似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x-h)2+k(a<0).

某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練.

(1)第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離x與豎直高度)，的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離02581114

x/m

豎直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40

y/m

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x

-h)2+k(a<0)；

(2)第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.04

(x-9)2+23.24.記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為力，第二次訓(xùn)練的著陸

點(diǎn)的水平距離為公，則diVd)(填”或

【解答】解：(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(8,23.20),

：.h=3,J1=23.20,

即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為23.20/〃，

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=20.00,代入y=a(x-8)2+23.20W：

20.00=a(0-8)2+23.20,解得:a=-0.05,

.?.函數(shù)關(guān)系式為：y=-0.05(x-8)2+23.20；

(2)設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3則第一次訓(xùn)練時(shí)，1=-0.05(x-8)2+23.20,

解得：X=8+V20(23.20-t)或X=8-V20(23.20-t)，

...根據(jù)圖象可知，第一次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離^1=8+720(23.20-t).

第二次訓(xùn)練時(shí)，f=-0.04(X-9)2+23.24,

解得：X=9+425(23.24-t)或X=9-425(23.24-t)，

根據(jù)圖象可知，第二次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)滴水平距離4=9+在"&3.24-t)，

V20(23.20-/)<25(23.24-：.^20(23.20-t)<V25(23.24-t)):.d\〈d2,

故答案為：<.

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xO了中，點(diǎn)(1,Z7J),(3,n)在拋物線(a>0)

上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=f.

(1)當(dāng)c=2,機(jī)="時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及f的值；

(2)點(diǎn)(x(),機(jī))(xo^l)在拋物線上.若/求，的取值范圍及x()的取值范圍.

【解答】解：(1)將點(diǎn)(1,機(jī))，N(3,〃)代入拋物線解析式，

Jm=a+b+c

**m—n,.?.a+/?+c=9a+3/2+c,整理得，b=-4a,

ln=9a+3b+c

二拋物線的對(duì)稱軸為直線尸-旦=-二絲=2；；“=2,?.Z=2,

2a2a

???拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）.

（2）?：tn<n〈c,a+b+c<9a+3b+c<c,解得-4a<b<-3a,

：.3a<-h<4a,.?.竺<一旦<生，即旦<f<2.當(dāng)f=2?時(shí)，xo=2；

2a2a2a22

當(dāng)t=2時(shí)，xo=3....xo的取值范圍2<xo<3.

27.（7分）在△ABC中，NACB=90°,。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接80,DC,延長(zhǎng)。C到

點(diǎn)、E,使得CE=OC.

（1）如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)尸，使得CF=8C,連接AF,EF.若AF_LEF,求證：BD±

AF；

（2）連接AE,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，連接C”，依題意補(bǔ)全圖2.若人小二4/+電）2,

用等式表示線段C。與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【解答】（1）證明：在△8C。和中，

'BC=CF

BCD=NFCE，???△BCD也△尸CE（SAS）,：.NDBC=NEFC,

CD=CE

：.BD//EF,"."AFLEF,：.BD±AF；

（2）解：由題意補(bǔ)全圖形如下：

CD=CH.

證明：延長(zhǎng)BC到尸，使C尸=8C,連接AF,EF,'：AC±BF,BC=CF,

：.AB=AF,由（1）可知BO〃E凡BD=EF,"：AB2=AE2+BD2,

：.AF2=AE1+EF2,：.ZA￡F=90°,：.AE±EF,：.