2022年福建省莆田市高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知橢圓與+二=15乂＞0）與直線2-：=1交于A,B兩點,焦點戶（0,-c）,其中C為半焦距，若AABf是直角

a-b2ab

三角形，則該橢圓的離心率為（）

AV5-1x/3-1出+1D亞+1

A.----BR.----

224,4

2.三棱錐S—ABC的各個頂點都在求。的表面上，且AABC是等邊三角形，底面ABC,幺=4,AB=6,

若點。在線段SA上，且AO=2SO,則過點。的平面截球。所得截面的最小面積為（）

A.34B.4TC.8〃D.13〃

3.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

24

A.-C.

33

9丫3

4.函數(shù)y=2邑二在［V司的圖像大致為

B.

5.已知向量萬，B滿足展1=1，區(qū)1=2,且少與石的夾角為120。，則3同=()

A.VTTB.737C.2MD.V43

6.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)-g(x)是偶函數(shù)B.[〃x)卜g(x)是奇函數(shù)

C./(x>|g(x)|是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)

7.第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎

牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務(wù)，要求每個人

都要被派出去提供服務(wù)，且每個場地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是()

2

8.雙曲線2-丁=](相>。的一條漸近線方程為“+23；=(),那么它的離心率為()

A.&B.75C.邁D.避

22

21"分nY

9.關(guān)于函數(shù)/(幻=—?+cos2x,下列說法正確的是()

1+tan*-x

A.函數(shù)/(x)的定義域為R

34TC

B.函數(shù)/W一個遞增區(qū)間為

OO

C.函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于直線x=g對稱

O

D.將函數(shù)y=V2sin2x圖像向左平移￡個單位可得函數(shù)y=/(%)的圖像

O

10.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是()

B.7月份的利潤最大

C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30D.這一年的總利潤超過400萬元

已知命題p:切>2,片-8〉0,那么為（

33

A.3x0>2,x0-8<0B.Vx>2,x-8<0

33

C.3x0<2,XO-8<0D.VX<2,X-8<0

12.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：an）,則該幾何體的體積（單位：c加3）為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺上開展2019年

全國青少年禁毒知識答題活動，活動期間進入答題專區(qū)，點擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動生成20道題.已知某校高

二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動中答對的題數(shù)分別是17,20,16,18,19,則這五位同學(xué)答對題數(shù)的方差

是.

14.一次考試后，某班全班50個人數(shù)學(xué)成績的平均分為正數(shù)M，若把M當(dāng)成一個同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來的50個分?jǐn)?shù)

一起，算出這51個分?jǐn)?shù)的平均值為N,則二=.

15.已知a>0,b>Q,c>4,且a+Z?=2,則竺+￡一二+五的最小值為.

bah2c-2

16.在棱長為6的正方體ABC?！?4C。中，M是3c的中點，點P是面。CGR,所在平面內(nèi)的動點，且滿足

ZAPD=ZMPC,則三棱錐P-BCD的體積的最大值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)〃x)=號±1,其中。>0,>>0.

(1)①求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

②若內(nèi),%2滿足聞>q(i

i=l,2),且玉+々>。,工2>0.求證：/(%)+2/(工2)

>T

(2)函數(shù)g(x)=g?%2-Inx.若西,毛,0,十J對任意，工產(chǎn)都有"(石)一/(￡)1>1g(M)-g(w)l，求〃一a

的最大值.

18.(12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶

降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：P)有關(guān).如

果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,

需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出y的

所有可能值，并估計y大于零的概率.

19.(12分)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，且點(〃,5“)(〃6”)在函數(shù)丫=2川一2的圖像上；

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足：4=0,bn+l+bn=an,求也｝的通項公式；

(3)在第(2)問的條件下，若對于任意的〃eN*,不等式包田恒成立，求實數(shù)2的取值范圍；

20.(12分)已知AABC中，BC=2,8=45。，。是A3上一點.

(1)若％8=1，求的長;

⑵若A=3。。，BD=3AD,求的值?

21.(12分)根據(jù)國家統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，1978年至2018年我國GZJP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實際增長了242

倍多，綜合國力大幅提升.

國內(nèi)生產(chǎn)總值-GDP（萬億）

將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替，并表示為/；）表示全國GO尸總量，表中

_15

Zj=Iny(i=1,2,3,4,5),z=工工z,.

3/=i

tyz

/=1/=1/=1

326.4741.90310209.7614.05

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表，判斷.。=勿+4與亍=，6"'（其中6=2.718--為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為全國

G。產(chǎn)總量y關(guān)于，的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出）'關(guān)于，的回歸方程.

（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計2020年的全國GOP總量.

線性回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:

af（七一可（/一歹）

2二上一---------，a^y-bx.

Z（—）2

i=l

參考數(shù)據(jù):

n45678

e"的近似值5514840310972981

22.（10分）已知頂點是坐標(biāo)原點的拋物線r的焦點F在）’軸正半軸上，圓心在直線y=gx上的圓E與X軸相切,

且E,尸關(guān)于點M（—l，0）對稱.

（1）求E和「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點M的直線/與E交于A,B,與r交于C,D,求證：|8|>a|4同.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A,B兩點，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于。*,c的關(guān)系式，解方程求解即可.

【詳解】

'->2

_y__j___^31Iz-

x=Ox——b

聯(lián)立方程〃"，解方程可得或八，

yX_[y=a[y=O

------------二1

ab

不妨設(shè)A(O,a),B(?b,0),由題意可知，BA-BF=0，

因為麗=(伍a),BF=(b,-c),

由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得，hh-ac=O,

因為從=/一。2,所以aW。,

2

兩邊同時除以/可得，e+e-l=0.

解得6=叵1或一百(舍去)，

22

所以該橢圓的離心率為叵L

2

故選：A

【點睛】

本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示；考查運算求解能力和知識遷移能力；利用平

面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于。，瓦c的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.

2.A

【解析】

由題意畫出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到O的距離，利用勾股定理求得過點。的

平面截球。所得截面圓的最小半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖，設(shè)三角形A5C外接圓的圓心為G,貝！|外接圓半徑4G=|X36=26,

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為0,則外接球的半徑R=J(2可+2?=4

取SA中點E,由SA=4,AD=3SD,得OE=1,

所以0D=42可+:=V13.

則過點D的平面截球0所得截面圓的最小半徑為"呵=6

所以過點D的平面截球。所得截面的最小面積為萬.(有『=3萬

故選：A

【點睛】

本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.

3.A

【解析】

由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，

且兩直角邊分別為1和2,所以底面面積為S='xlx2=l

2

高為％=2的三棱錐，所以三棱錐的體積為V=；1S〃=1：xlx2=7：,故選A.

333

4.B

【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由/(4)的近似值即可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)y=/(X)=—V—,則/(-%)=2(-工)3=__"二=-/(x),所以/(X)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點成中心對稱,

-八2X+2~X2-X+2V2”+2r

7X437X63

排除選項C.又/(4)=彳土?>0,排除選項D；八6)=；［7,排除選項A,故選B.

LILLIL

【點睛】

本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇.本題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基

本計算能力的考查.

5.D

【解析】

先計算￡石，然后將歸-3可進行平方,，可得結(jié)果.

【詳解】

由題意可得：

a-^=|a||^|cosl20=lx2xf-^---1

^a-3b^=a-6a-b+9b=1+6+36=43

則卜=0^.

故選：D.

【點睛】

本題考查的是向量的數(shù)量積的運算和模的計算，屬基礎(chǔ)題。

6.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：???/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

f(-x)=-/(X),g(-x)=g(x),

/(-x)?g(-x)=-/(x)?g(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤，

|/(-x)卜g(-x)=|/(x)卜g(x)為偶函數(shù)，故3錯誤，

/(-x)dg(-x)|=—f(x)4g(x)I是奇函數(shù)，故C正確.

|/(-X).g(-X)|=|f(x)?g(x)|為偶函數(shù)，故。錯誤，

故選：c.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

7.A

【解析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.

【詳解】

五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，

所有可能的分組共有C；=1（）種，

甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場地?zé)o關(guān)，

故甲和乙恰好在同一組的概率是

故選：A.

【點睛】

本題考查組合的應(yīng)用和概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

2

根據(jù)雙曲線\—y2=i（加〉。的一條漸近線方程為x+2y=0,列出方程，求出”的值即可.

【詳解】

r2

???雙曲線二一9=1（相＞c）的一條漸近線方程為x+2y=0,

11

可得了1=5，，6=4,

...雙曲線的離心率e=￡=好.

a2

故選：D.

【點睛】

本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

化簡到/(幻=及sin[2x+?J,根據(jù)定義域排除ACO,計算單調(diào)性知3正確，得到答案.

【詳解】

/(x)=.2tan*?os2x=sin2x+cos2x=\/2sin|2x+—

1+tanxv4J

71

故函數(shù)的定義域為xxw三+&肛,故A錯誤；

[2J

當(dāng)XG---時，2x+—€,函數(shù)單調(diào)遞增，故8正確；

L88J4[_22」

當(dāng)*=-生，關(guān)于X=g的對稱的直線為X=g不在定義域內(nèi)，故C錯誤.

482

平移得到的函數(shù)定義域為R,故不可能為y=/(x),。錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

10.D

【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

由圖可知月收入的極差為90—30=6(),故選項A正確；

1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高，故選項B正確;

易求得總利潤為380萬元，眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確，選項D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

11.B

【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.

【詳解】

已知命題。:玉'o>？，￡-8>0,那么T7是VX>2,X3_840.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.

【詳解】

如圖，該幾何體為正方體去掉三棱錐g-AGE,

AB

1172

所以該幾何體的體積為：V=V；BCD.Ae|C|D1-VVAC1￡=2x2x2--x-x2x2xl=—,

故選：D

【點睛】

本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

由這五位同學(xué)答對的題數(shù)分別是17,20,16,18,19,得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)7="+20+1；+18+19=]8,則方差

■2=-x[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=—=2.

55

14.1

【解析】

根據(jù)均值的定義計算.

【詳解】

5QM+M

由題意N==M,?竺

51''N

故答案為：1.

【點睛】

本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題.

5亞

15.

2

【解析】

由2=把史，先將，+變形為樹上工，運用基本不等式可得最小值，再求

2bab24ab

1

2++1］的最小值，運用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.

冬十號儂c-2

【詳解】

解：因為。>0,h>0,c>4,且Q+/?=2,

acfaJ__j_

所以一+—C

bah2c-2、bah2

c(2a2^2-ab)石

---------------------------1----------

2abc-2

2/+…i”

因為2=("+與-，所以2/+2-

2

2

2ab2ah

5a2+b2245ab小

---------N-----------，

4ab4ab2

當(dāng)且僅當(dāng)6=石。時，取等號,

所以竺+￡，+正a11

c—+--------

hab2c-2\bab2

c(2a2-\-2-ab)石

---------------------------1----------

2ahc-2

哆+書

石[*-2)+1

+1]

c-2

1

令「=?！??22),則6g(。―2)++l]=y[5(—t—F1)，

c-22t

1111

令%)=.+*),則/

所以函數(shù)/⑺在［2,+8)上單調(diào)遞增,

所以/d2)=gx2+g+iq

所以&[，(c-2)+——+1]=A/5(—Z+-+1)>>/5x—=^^-

2c—22t22

則所求最小值為工叵

2

故答案為：正

2

【點睛】

此題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡

和運算能力，屬于中檔題.

16.12百

【解析】

根據(jù)放AAOP與用AMCP相似，PD=2PC,過。作POJ_CD于。，利用體積公式求解OP最值，根據(jù)勾股定理

得出3〃2=—3%2+48%一144，0<x<6,利用函數(shù)單調(diào)性判斷求解即可.

【詳解】

V在棱長為6的正方體ABCD-A4GA中，

"是的中點，點P是面。CG2所在平面內(nèi)的動點，

且滿足NAP￡)=NMPC,又NAOP=NMCP=9(r，

MAA。P與MAMCP相似

.??然噗=2,即P0=2PC,

過P作PO_LCD于。，設(shè)ZX?=x,PO=h,

\/x2+h2=2^(6—x)2+h2，化簡得：

3/I2=-3X2+48X-144,0<X<6,

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷，x=6時，342取得最大值36,f1nm=2日

在正方體中PO_L平面ABCD.

三棱錐P—BCD體積的最大值為工xLx6x6x26=126

32

【點睛】

本題考查三角形相似，幾何體體積以及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，難度一般.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)①單調(diào)遞增區(qū)間［-^，田］，單調(diào)遞減區(qū)間［-4，^］;②詳見解析；(2)

\VClJCly\\CI\Cl/16

【解析】

⑴①求導(dǎo)可得/'(司=惠?,8/0,再分別求解/'(x)>o與/'(x)<o的解集，結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即

可.

②根據(jù)(1)中的結(jié)論，求出/(%)+2/(占)的表達(dá)式，再分玉<0與玉>0兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析

〃百)+2/(為)的范圍即可.

(2)求導(dǎo)分析g(x)=|ar2-lnx的單調(diào)性,再結(jié)合/(x)單調(diào)性，設(shè)玉<和去絕對值化簡可得

/(%)-8(百)一"(々)—g(±)］>0,再構(gòu)造函數(shù)M(x)=/(x)-g(x),x根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問

k7a)

、2b

題可知卜一尸N0，再換元表達(dá)匕-a求解最大值即可.

7a

【詳解】

ax2-1

解：(i)ra)=，工wO,

2bx2

11

由/'(x)>0可得x>或X<-昉

『,/、11

由f(%)V。可得

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間-00--7=-7=,+°0，單調(diào)遞減區(qū)間

7a)Wa

②?.?％+x2>0,x2>0,

，%>0或』vo,

若X|>0,因為|xj>7=，故,|-t2|>-^=,

由①知/'（X）在（[=,+8上單調(diào)遞增,/（X]）+2/（巧）>3/[j=）=

..11

若玉<0,由㈤>正可得玉<--j=xt,

因為%+x2>0,x2>0,

所以x?>-X]>廠,

7a

（I、

由①/1（X）在方=,+8上單調(diào)遞增，

7a>

/（%）+2/（^2）>/（%）+2f（-xJ=f（F）>g

綜上〃%）+2/（工2）>^^?

⑵0<x<-j==ax--=———^<O,g（x）在

上單調(diào)遞減,

不妨設(shè)用<々，

由⑴/(x)在(0,9]上單調(diào)遞減，

由|〃3)一/(々)|>k(5)一g(w)|,

可得/&)-/(%)>g(%)-g(W)，

所以/⑷―g(K)-"(動七①)]/，

令A(yù)f(x)=/(尤)-g(x),XJo,,

Ivay

可得M(x)單調(diào)遞減，

所以")=嚷?_"+[(加？:削wo在(0，/上恒成立，

,2b

即1-2歷120在上恒成立，即卜〒NO,

7a

所以b,b-aW^-_a=—(品---+—<—，

22I4j1616

所以6a的最大值上.

16

【點睛】

本題主要考查了分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式以及構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的最

值解決恒成立的問題.需要根據(jù)題意結(jié)合定義域與單調(diào)性分析函數(shù)的取值范圍與最值等.屬于難題.

34

18.(1)—.(2)一.

55

【解析】

(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間［20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出

六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.

(2)當(dāng)溫度大于等于250c時，需求量為500,求出￥=900元；當(dāng)溫度在［20,25)℃時，需求量為300,求出卜=

300元；當(dāng)溫度低于20c時，需求量為200,求出卜=-100元，從而當(dāng)溫度大于等于20時，丫>0,由此能估計估

計y大于零的概率.

【詳解】

解：(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，

得到最高氣溫位于區(qū)間120,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36=54,

根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：。C)有關(guān).

如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶，

如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶，

如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶，

.??六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p=.=：.

(2)當(dāng)溫度大于等于25C時，需求量為500,

y=450x2=900元，

當(dāng)溫度在［20,25)'C時，需求量為300,

y=300x2-(450-300)x2=300元，

當(dāng)溫度低于20℃時，需求量為200,

y=400-(450-200)X2=-100元，

當(dāng)溫度大于等于20時，y>o,

由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得當(dāng)溫度大于等于20C的天數(shù)有:

90-(2+16)=72,

724

估計Y大于零的概率P=—

【點睛】

本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運

算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

19.(1)a.=2"(〃eN*)(2)當(dāng)”為偶數(shù)時，^=—+-;當(dāng)”為奇數(shù)時，b=---.(3)(L+s)

''n3333

【解析】

(1)根據(jù)%=S“一，討論〃=1與2兩種情況,即可求得數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)由(1)利用遞推公式及累加法，即可求得當(dāng)“為奇數(shù)或偶數(shù)時抄“｝的通項公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法，先猜想出通

項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

b

(3)分類討論，當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時，分別求得廣的最大值，即可求得4的取值范圍.

【詳解】

(1)由題意可知,S“=2向—2.

當(dāng)〃N2時，6=S"-=2"J2-(2"-2)=2",

當(dāng)〃=1時，卬=S=2|+,-2=2也滿足上式.

所以a,,=2"(〃eN*).

(2)解法一：由(1)可知心＞勿=2"(”eN)

即的+%=2?(%€N)

當(dāng)A=1時,優(yōu)+優(yōu)=2',①

當(dāng)后=2時,4+偽=2?,所以一么一偽=-22，②

當(dāng)左=3時,仇+a=23,③

當(dāng)左=4時也+=24，所以一打一優(yōu)=-24，④

當(dāng)人=〃一1時,〃為偶數(shù)包+/??_,=2"

當(dāng)％=〃時,〃為偶數(shù)所以一切-=一2"7

以上〃-1個式子相加，得

/??+/?!=2-22+23-24+---+2"-'=2]一(-2)"[=二+、.

1-(-2)33

2"2

又4=0,所以當(dāng)〃為偶數(shù)時血,=上+女.

33

同理，當(dāng)〃為奇數(shù)時，

勿+4=2—2?+2?—2"+…一2"|=20—(-2尸]=2-22,

1-(-2)3

所以，當(dāng)〃為奇數(shù)時,勿=2土"-女2.

33

解法二:

猜測：當(dāng)”為奇數(shù)時,

2

3

猜測：當(dāng)〃為偶數(shù)時,

2

b=2'-'-2'-2+----22+2

n3

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:

n=1,命題成立；

假設(shè)當(dāng)n-k時，命題成立;

k

當(dāng)n為奇數(shù)時,bk=2-'-2=+…+2之一2,

當(dāng)〃=Z+1時,”為偶數(shù)，由bk+]+bk=2*(4eN*)得

k

bk+i=2/-bk=2-+2b2+…一2?+2

故,〃=%+1時,命題也成立.

2"2

綜上可知，當(dāng)〃為奇數(shù)時打

33

同理，當(dāng)n為偶數(shù)時,命題仍成立.

日+|(〃為偶數(shù))

(3)由(2)可知a=<

2”

-為奇數(shù))

13

-2"1_2

ba&2"+213

①當(dāng)”為偶數(shù)時,亡"^^二=--1---i---，

E22"+'+2

33

?b.b

所以廣隨〃的增大而減小從而當(dāng)〃為偶數(shù)時,廣的最大值是

%卜

2"2

b332"-2]_3

②當(dāng)〃為奇數(shù)時,六=-n+,

如-2n+11-2~2"+,+222'+2

33

bh212叫32<K

所以廣隨〃的增大而增大，且廣二

%加+1

btl

綜上，音的最大值是1.

%

因此，若對于任意的〃eN”,不等式b?<Abll+［恒成立，只需4>I,

故實數(shù)4的取值范圍是(1,+8).

【點睛】

本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應(yīng)用，分類討論奇偶項的通項公式及求和方法，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的

單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍，屬于難題.

20.(1)CD=y[2⑵旦

6

【解析】

(1)運用三角形面積公式求出BO的長度，然后再運用余弦定理求出CD的長.

(2)運用正弦定理分別表示出sin/AC。和sin/DCB,結(jié)合已知條件計算出結(jié)果.

【詳解】

(1)由S&BCD=-BCBDsin450=—BD=\=>BD=yf2

22

在ABDC中，由余弦定理可得

CD2=BC2+BD2-2BCB￡>cos45°=4+2-4=2=>CD=^

(2)由已知得8。=34)

CDAD...sinA-ADAD

在△AOC中，由正弦定理可知一；二=-----------=>sinZACD=-----------=------

sinAsinZACDCD2CD

BD.sinBBDMBD

在△5￡>C中，由正弦定理可知烏=------------=sin/BCD==

sinBsinZBCD------------------CD--------2CD

AD

,sinZACD2CDAQ10

聯(lián)sinNBC。OBD丘B(yǎng)D3V26

2CD

【點睛】

本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結(jié)合三角形熟