2021年高考數(shù)學(xué)真題試題-新高考全國Ⅰ卷(答案+解析)

2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷(新高考I卷)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。(共8題；共40分)

1.設(shè)集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},貝!JAnB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,則(.=()

zG+t)

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()

V2

A.2B.2C.4D.4

V2V2

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin()單調(diào)遞增的區(qū)間是()

71

A.(0,)B.(,)C.()D.(,)

23T

--jr7r—z71

222

5.已知FI,F2是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則IMF1HMF2I的最大值為()

二+J

94

A.13B.12C.9D.6

6.若tan=-2,則.,=()

SinQ(1+SU12g)

o

sin□+cos§

A.B.C.D.

_6_226

5555

7.若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

8.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球，甲表示事件"第一次

取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件"第二次取出的球的數(shù)字是2",丙表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是

8”,丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則()

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。(共4題；共20分)

9.有一組樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,.,Xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yi,y2,...,yn,其中yi=Xi+c(i=l,2,.,n),c為非零

常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),P2(cos。，-sin0),P3(cos(a+B),sin(a+B)),A(l,0),則()

A.I—>=——>B._,=_.C-------------->=—?------(D-------------->―>-----)

0P1IIORIIAPIIIARIOA'Of%0P1-0P20A.OPi=O巨,OR

11.已知點(diǎn)P在圓+=16上，點(diǎn)A(4,0),B(0,2),則()

(x-5)2(y-5)2

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí),|PB|=3

V2

D.當(dāng)NPBA最大時(shí)，|PB|=3

V2

12.在正三棱柱ABC-中，AB=A，點(diǎn)P滿足一一—，，其中入日0,1],G[0,l],

4瓦4兒=1PB=ABC+nBB1g

則()

A.當(dāng)入=1時(shí)，△P的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)=1時(shí)，三棱錐P-AiBC的體積為定值

乩

C.當(dāng)入=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得

1AtP1BP

D.當(dāng)=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得B_L平面AP

H^

三、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分(共4題；共20分)

13.已知函數(shù)f(x)=是偶函數(shù)，則2=

%3(a-2X-2-X)

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸

v"=2DX(D>。)

上一點(diǎn)，且PQ_LOP,若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為

15.函數(shù)f(x)=|2x-l|-2lnx的最小值為

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)此紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折。規(guī)格為20dmxl2dm

的長(zhǎng)方形紙.對(duì)折1次共可以得到10dmx2dm、20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Si=240dm2,

對(duì)折2次共可以得5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2(1

以此類推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折n次，那么「

Sk

=dm.

四、解答題：本題共6小題，共70分。(共6題；共70分)

17.已知數(shù)列｛｝滿足=1

%%+1,n為奇教

+2,n為儡教

(1)記=，寫出,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

bn。2nb2｛bn)

(2)求的前20項(xiàng)和

18.某學(xué)校組織"一帶一路"知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問題?每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇類并從

中隨機(jī)抽4X一個(gè)問題問答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一

個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分:

B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得。分。

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為06且能正確回答問題的概率與

回答次序無關(guān)。

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列：

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由。

19.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a.,b.,c,已知=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsinZABC=asinC.

b2

(1)證明：BD=b：

(2)若AD=2DC.求coszABC.

20.如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD_L平面BCD,AB=AD.O為BD的中點(diǎn).

(1)證明：OA_LCD：

(2)若AOCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.點(diǎn)E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小為45。，求三棱

錐A-BCD的體積.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)(-,7,0),(.7,0),點(diǎn)M滿足|MFt|-|MF2|=2.記M的軌

64瑪近

跡為C.

(1)求c的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且|TA|-|TB|=|TP|“TQ|,

X=-1

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和

22.已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)

(1)討論f(x)的單調(diào)性

(2)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b證明:

2<1+-<

abe

2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷(新高考I卷)

、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。(共8題；共40分)

1.設(shè)集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},則AnB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

【答案】B

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】解：根據(jù)交集的定義易知ACB是求集合A與集合B的公共元素，即{2,3},

故答案為：B

【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.

2.已知z=2-i,則(-=()

zG+i)

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解:

z(z+i)=(2-1)(2+2i)=4+41-21-2i2=6+2i

故答案為：C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合共甄復(fù)數(shù)的定義求解即可.

3.已知圓錐的底面半徑為其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()

A.2B.2C.4D.4

V2V2

【答案】B

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái))

【解析】【解答】解：根據(jù)底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖弧長(zhǎng)，設(shè)母線為I,底面半徑為r，則有

27Tr=^-x2Kl

解得

Z=2r=2V2

故答案為：B

【分析】根據(jù)底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖弧長(zhǎng)，結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式與扇形的弧長(zhǎng)公式求解即可.

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin()單調(diào)遞增的區(qū)間是()

A.(0,)B.(,)C.(,)D.()

7r7r一一

27T37T2K

I￡兀71TT

【答案】A

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】解：由得，kGZ,當(dāng)k=0

--+2k兀<x--<—+2k?！?2k7l<x<—+2k兀

26233

時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)增區(qū)間，顯然

卜？T](。,小卜，高

故答案為：A

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

5.已知FI,F2是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，貝”MFI||MF2|的最大值為

立+片=1

94

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，橢圓的定義

【解析】【解答]解:由橢圓的定義可知a2=9,b2=4,|MFi|+|MF2|=2a=6,

則由基本不等式可得|MFi||MF2K_,

|MF1||MF2|<(*叫；FJ=9

當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：C

【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合基本不等式求解即可.

6.若tan=-2,則.=()

sm§(l+sin2g)

0~:7------------

sina+cosa

A.B.C.D.

_6_226

5555

【答案】c

【考點(diǎn)】二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

【解析】【解答】解：原式

sin6(sin6+88夕產(chǎn)

=sin0(sin0+cos0)

sin6+cos6sind+cosfi

sin20+co32^tan20+15

故答案為：C

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合二倍角公式求解即可.

7.若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD,0<b<ea

【答案】D

【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【解析】【解答】解：由題意易知，當(dāng)x趨近于-8時(shí)，切線為x=0,當(dāng)x趨近于+8時(shí)，切線為y=+8,因

此切線的交點(diǎn)必位于第一象限，且在曲線y=ex的下方.

故答案為：D

【分析】利用極限，結(jié)合圖象求解即可.

8.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球，甲表示事件"第一次

取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件"第二次取出的球的數(shù)字是2",丙表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是

8”,丁表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是7",則()

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【答案】B

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率計(jì)算公式

【解析】【解答】解：設(shè)甲乙丙丁事件發(fā)生的概率分別為P(A),P(B),P(C),P(D),

則，

P(A)=P(B)=P?=—=—rP(D)=—=-

''''6''6X636''6X66

對(duì)于A,P(AC)=O；

對(duì)于B,；

P(AD)=-=-

對(duì)于c,；

''6X636

對(duì)于D,P(CD)=O.

若兩事件X,Y相互獨(dú)立，則P(XY)=P(X)P(Y),

故B正確.

故答案為：B

【分析】根據(jù)古典概型，以及獨(dú)立事件的概率求解即可

二、選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。(共4題；共20分)

9.有一組樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,.,Xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yi,y2,...,yn,其中yi=Xi+c(i=l,2,.,n),c為非零

常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】C,D

【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【解析】【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)镃HO,

——Xj+*2+…力+力—+外—勺+4+…+x,._-.

X-，y?c―人L

nnn

所以__,故A錯(cuò)誤;

x*y

對(duì)于B,若X1,X2,……,Xn的中位數(shù)為Xk,因?yàn)閥i=Xi+C,因?yàn)?0,所以yizy2,……Nn的中位數(shù)為yk=Xk+CHXk,

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,yi,V2,，,yn的標(biāo)準(zhǔn)差為

222

Sy=；VOi-y)+^2-y)+-(yn-y)=

222

+c)-(5+c)]+[(x2+c)-(x+c)]+???[(xn+c)-(x+c)]

,故c正確;

=；J(X、一y)2+(2一y)2+…(%n—y)2=Sx

對(duì)于D,設(shè)樣本數(shù)據(jù)X1,X2,......,Xn中的最大為Xn,最小為Xl,因?yàn)閥i=Xi+C,所以丫1,丫2,......Rn中的最大為Yn,

最小為yi,

極差為yn-yi=(Xn+C)-(Xl+C)=Xn-Xl,故D正確.

故答案為：CD

【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的定義求解即可.

10.己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),p2(cosB，-sinB),P3(cos(a+B),sin(a+B)),A(l,0),則()

A-I—?=——>B._(,C------------->=—>-----?D-------------?—?-----?

OPIIIORIIAPIIIARIOA'O內(nèi)OR，OROA.om=O巨,OR

【答案】A,C

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，兩角和與差的余弦公式，兩角

和與差的正弦公式

【解析】【解答】解：，故A正確；

22cos2+2

\OP11=vcosa+sina=1,|OP2\=7^sinj?=1

因?yàn)?，故B

T____________________________T___________________

|=7(cosa—I)2+sin2a=V2-2cosa,|月丹|=^/(cosj?-I)2+sin2^?=J2-2cos0

錯(cuò)誤；

因?yàn)?/p>

—T

OA-0P2=1xcos(a+6)+0Xsin(a+6)=cos(a+j?)

0Pt?0P2=COSQCOS.一sinasin^?=cos(a+夕)

所以

大1.血=0又?0元

故C正確；

因?yàn)?/p>

TT

0A-OP、=1xcosa+0xsina=cosa

0P2-0P3=(cos.,-sin/?)?(cos(a+￡),sin(a+￡))=cos.xcos(a+6)+(-sin0)xsin(a+夕)=

cos(a+2￡)

所以D錯(cuò)誤

故答案為：AC.

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積，及向量的求模直接求解即可.

11.已知點(diǎn)P在圓,+,=16上，點(diǎn)A(4,0),B(0,2),貝I」()

(x-5)2(y-5)2

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí),|PB|=3

V2

D.當(dāng)NPBA最大時(shí),|PB|=3

V2

【答案】A,C,D

【考點(diǎn)】直線的截距式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：直線AB為：，即x+2y-4=0,

42

設(shè)點(diǎn)P(5+4cos9,5+4sin0),則點(diǎn)P到直線AB的距離為，則

,_|5+4COS0+2(5+4sin0)-4|_侍+a)

a==再

所以A正確B錯(cuò)誤；

又圓心。為(5,5),半徑為4,則,_________________,

\0B\=V(5-0)2+(5-2)2=V34

所以當(dāng)直線PB與圓相切時(shí)，NPBA取得最值，此時(shí)，,________________

\PB\=y]\0B\2-r2=V34-16=30

所以CD正確

故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)直線的截距式，利用點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線與圓的位置關(guān)系求解即可.

.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足一一―，，其中入

12ABC-AB=AP00,1],G[0,l],

4為GAi=1PB=ABC+ftBB1g

則()

A.當(dāng)入=1時(shí)，△P的周長(zhǎng)為定值

ABt

B.當(dāng)=1時(shí)，三棱錐P-AiBC的體積為定值

C.當(dāng)入=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得

1兒P1BP

D.當(dāng)=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得BJ■平面AP

【答案】B,D

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】解：由點(diǎn)P滿足一一—，可知點(diǎn)P在正方形BCCiBi內(nèi),

PB=ABC+"BB、

對(duì)于A,當(dāng)人=1時(shí)，可知點(diǎn)P在CJ（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，AABiP中，

爐,（

ABZ=>/2,AP=Ji+B1P=Jl+1-a'

因此周長(zhǎng)L=AB+AP+BiP不為定值，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,當(dāng)n=l時(shí)，可知點(diǎn)P在BiCi（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示,

易知BiCi〃平面AiBC,即點(diǎn)P到平面AiBC的距離處處相等，

△AiBC的面積是定值，所以三棱錐P-AiBC的體積為定值，故B正確；

B

對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，分別取線段BB1,CC1的中點(diǎn)M,N,可知點(diǎn)P在線段DD1（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如

A=-

下圖所示,

B

很顯然若點(diǎn)P與D,Di重合，均滿足題意，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，分別取線段BBi,CCi的中點(diǎn)D,Di,可知點(diǎn)P在線段DDi（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng),

如下圖所示,

此時(shí)，有且只有點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，滿足題意，故D正確.

故答案為：BD

【分析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，棱錐的體積的求法，利用特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷AB即可，根據(jù)線線垂直及線面垂直

的判定定理，利用特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷CD即可.

三、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分(共4題；共20分)

13.已知函數(shù)f(x)=,是偶函數(shù)，則2=

x3(a-2X-2-X)

【答案】1

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)，、，則題意可知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，則8(0曰-2。-2』-1=0,

g(x)=a2X-2-x

故a=l

故答案為：1

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的判定，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:.的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸

V'=2DX(D＞。)

上一點(diǎn)，且PQ_LOP,若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為

【答案】

x=-2

【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程，拋物線的定義

【解析】【解答】解：由題意可設(shè)，則，

P&P)Kop=2,Kqp=一：

因此直線PQ的方程為：

令y=o,得

5

%=-p

因此

|FQ|=”-：=2P=6

則p=3

因此拋物線C的準(zhǔn)線方程為:

【分析】根據(jù)拋物線的定義及幾何性質(zhì)，結(jié)合直線的方程求解即可.

15.函數(shù)f(x)=|2x-l|-2lnx的最小值為

【答案】1

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】解：①當(dāng)時(shí)，f(x)=2x-l-2lnx,則，

廣(x)=2-紅手

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以

x>lf'(x)>0,f'(x)<0,f(x)min=f(1)=1；

;<X<1

②當(dāng)時(shí)，f(x)=l-2x-2lnx,則，

0<x<；f'(x)=-2--=-^^<0

此時(shí)函數(shù)f(x)=l?2x-2lnx在上為減函數(shù)，則f(x)min=

(0卞r(1)=21n2>l

綜上，f(x)rnin=l

故答案為：1

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，并比較即可求解

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)此紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折。規(guī)格為20dmx12dm

的長(zhǎng)方形紙,對(duì)折1次共可以得到10dmx2dm、20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Si=240dm2,

對(duì)折2次共可以得5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2。

以此類推?則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為.；如果對(duì)折n次，那么

￡憶1

:dm.

【答案】5；

720-240.嘿

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，類比推理

【解析】【解答】解：對(duì)折3次有2.5x12,6x5,3x10,20x1.5共4種，面積和為S3=4x30=120dm2;

對(duì)折次有共種，面積和為2

41.25x12,2.5x6,3x5,1.5x10,20x0.755S4=5xl5=75dm;

對(duì)折n次有n+1中類型，，

S"=券(兀+1)

因此

宓=240.像+a+?“+等)，含&=240.償+/+器)

上式相減，得

-S5k=240.（14-^+^+-+^-*）=240（-一嘿）

\22232n211*1/\2a。一“

則n

矗=240（3-崇）=720-240.詈

故答案為：5,

720-240-

【分析】根據(jù)類比推理可求對(duì)折4次及對(duì)折n次的圖形種數(shù)，運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求

四、解答題：本題共6小題，共70分。（共6題；共70分）

17.已知數(shù)列{}滿足=1,

%“&an+l^n為奇教

冊(cè)+'1+2,兀為碘

dn

（1）記=，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

bna2nd!b2{bn}

（2）求的前20項(xiàng)和

{4}

【答案】（1）為偶數(shù)，

2n

則，，

a2n+i=a2n+2a2n-t-2=a2n+i+1

，即，且

:.a2n+2=a2n+3+3b1=a2=at+l=2

是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列,

???也）2

：?b、=2&2=5bn=3n—1

（2）當(dāng)為n奇數(shù)時(shí)，a

n~an+i-1

的前項(xiàng)和為

???（An）20

+口2++Q?0

a

=（5+的+…+a19）+（a2+4+…+2o）

=［（。2-1）+（。4-1）■1---（。20-1）］+（&+。4+…+。20）

=2（Q2++…+。20）-1°

由（1）可知,

+++^-20=%+方2+,,,+瓦0=2X10+,°X9x3=1S5

-2

的前20項(xiàng)和為

；?{%}2x155-10=300

【考點(diǎn)】等差數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和

【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即可求解;

（2）運(yùn)用分組求和法，結(jié)合項(xiàng)之間的關(guān)系即可求解.

18.某學(xué)校組織“一帶一路"知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問題?每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇類并從

中隨機(jī)抽U又一個(gè)問題問答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一

個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得。分:

B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得。分。

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6.且能正確回答問題的概率與

回答次序無關(guān)。

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列：

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由。

【答案】（1）的取值可能為，

X020100

P(X=0)=1-0.8=0.2

P(X=20)=0.8x(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8x0.6=0.48'

的分布列為

...X

X020100

p0.20.320.48

(2)假設(shè)先答類題，得分為

BY

則可能為0,80,100,

Y

P(y=0)=1-0.6=0.4'

P(Y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12

P(Y=100)=0.6x0.8=0.48'

的分布列為

???Y

080100

P0.40.120.48

E（r）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6'

由（1）可知

E（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4

:.E(r)>E(X)

應(yīng)先答B(yǎng)類題.

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差

【解析】【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件的概率，并列出X的分布列即可；

(2)根據(jù)獨(dú)立事件的概率，并列出丫的分布列，根據(jù)期望公式求得E(X),E(Y)并比較即可判斷.

19.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a.,b.,c,已知=ac,點(diǎn)D在邊AC上，BDsinZABC=asinC.

b2

(1)證明：BD=b：

(2)若AD=2DC.求cos/ABC.

【答案】(1)在中，

AABC

sin^ABCsine

vBDsin^ABC=asinC

???=---②

sinesin^ABC

聯(lián)立?得，即

（pg；更=竺ac=b-BD

BD~a

vb2=ac

??BD=b

(2)若

AD=2DC

中,

△ABC

2ab

中

△BCD'

V?=④

(a2+爐-c2)=3[a2+(§2-b2]

整理得

a2+b2-c2=3a2+--3b2

3

2Q2-+c2=0

3

f

vb2=ac

”C，即或

2

???6a2—llac+3c=0“u_—￡—

3

若時(shí)，，

Q=：b2=ac=—

33

【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理求解即可；

(2)根據(jù)余弦定理，結(jié)合方程思想和分類討論思想求解即可.

20.如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD_L平面BCD,AB=AD.O為BD的中點(diǎn).

(1)證明：0Al.cD：

(2)若△0CD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.點(diǎn)E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小為45。，求三棱

錐A-BCD的體積.

【答案】(1)為中點(diǎn),

???AB=AD0BD

：.A01BD

???AOu面ABD

面面且面面

ABD1BCDABDoBCD=BD

9面

BCD

AO1CD

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸，垂直且過的直線為軸,

OAzOD0x

4(0,0,771)

C心￡0)D(0,l,0)B(0,-l,0)E（。，；，刎）

?.?麗=(0,一；，—刎)就=小,；,0)

設(shè)一為面法向量，

幾1=(XpYj.Zi)EBC

請(qǐng).武=一；%-jniZ]=0

[記石=￥%+：%=0

￡4

2yl+mz1=0'

“9+國'=0

=1.z---￡'%i=-V3，

▲E

?%4=(-V3zlz一力

面法向量為—>，

BCD0A=(OOm)

一一歷，解得

cos(云,?；?|—'|=-m=1

m、l-2

???OA=1

SJBD=；xBDxOA=：x2xl=l

^A-BCD=3,SybD，l%cl='

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，平面與平面垂直的性質(zhì)，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，用空間向

量求平面間的夾角

【解析】【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)利用向量法，結(jié)合二面角的平面角求得m=l,再根據(jù)棱錐的體積公式直接求解即可.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)(-,7,0),(,7,0),點(diǎn)M滿足|MFt|-|MF2|=2.記M的軌

A△F271

跡為c.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且|TA|-|TB|=|TP|“TQ|,

1

X=-

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和

【答案】(1)

7\MF1\-\MF2\=2

軌跡為雙曲線右半支，

Cc2=172a=2

a2=1b2=16

x2一片=l(x>0)

(2)設(shè)

n)

4

y-n=k1(x-^)

聯(lián)立