清華大學(xué)靜力學(xué)(十一)

材料力學(xué)歡送學(xué)習(xí)張毅主編董桂花徐繼忠潘立常副主編2006年6月第1章靜力學(xué)根底第2章平面匯交力系第3章力矩平面力偶系第4章平面一般力系第6章材料力學(xué)根底第8章剪切第9章扭轉(zhuǎn)第5章空間力系重心第7章軸向拉伸和壓縮材料力學(xué)第10章截面的幾何性質(zhì)第11章彎曲內(nèi)力第12章彎曲應(yīng)力第13章彎曲變形第15章組合變形的強(qiáng)度計(jì)算第14章應(yīng)力狀態(tài)理論和強(qiáng)度準(zhǔn)那么第16章壓桿穩(wěn)定材料力學(xué)第11章彎曲內(nèi)力11.1梁的平面彎曲11.2梁的內(nèi)力11.3剪力方程和彎矩方程梁的內(nèi)力圖11.4彎矩、剪力與分布荷載集度三者之間的微分關(guān)系及其應(yīng)用11.5疊加法畫彎矩圖11.6小結(jié)本章學(xué)習(xí)要求理解彎曲變形及平面彎曲的概念。熟悉梁的根本形式。熟練掌握梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定及計(jì)算。熟練掌握梁的內(nèi)力圖繪制。特別是疊加法的應(yīng)用。11.1梁的平面彎曲桿件在垂直于軸線的外力作用下或在縱向平面內(nèi)受到外力偶作用(圖11.1)，使桿件的軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲變形。1.彎曲變形和平面彎曲圖11.1梁的彎曲變形如果作用在梁上的外力和外力偶(荷載和支座反力)均位于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，變形后的梁軸線將在此縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎曲。這種外力作用平面與梁的彎曲平面相重合的彎曲，稱為平面彎曲。最常用的梁有3種根本形式，即：圖11.2梁的類型2.梁的根本形式(1)簡支梁梁的一端為固定鉸支座，另一端為可動(dòng)鉸支座，如圖11.2(a)所示。(2)外伸梁一端或兩端伸出支座的簡支梁，如圖11.2(b)所示。(3)懸臂梁一端為固定端支座，另一端為自由端，如圖11.2(c)所示。計(jì)算內(nèi)力的方法仍然是截面法。梁橫截面上的內(nèi)力是剪力和彎矩圖11.3梁的內(nèi)力分析1.剪力和彎矩11.2梁的內(nèi)力當(dāng)橫截面上的剪力使所選取的脫離體產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢時(shí)為正；反之為負(fù)，如圖11.4所示。圖11.4剪力的正負(fù)號規(guī)定2.剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定(1)剪力的正負(fù)號(2)彎矩的正負(fù)號當(dāng)橫截面上的彎矩使所選取的脫離體產(chǎn)生下凸上凹(即下部受拉、上部受壓)的變形時(shí)為正；反之為負(fù)，如圖11.5所示。圖11.5彎矩的正負(fù)號規(guī)定用截面法計(jì)算指定截面上的剪力和彎矩的一般步驟為：3.用截面法計(jì)算指定截面上的剪力和彎矩(1)計(jì)算支座反力。圖11.6【例11.2】如圖11.6所示的外伸梁，試求指定截面上的內(nèi)力。(2)用假想的截面在所求內(nèi)力處截開，選取其中的任何一局部為研究對象，畫出其受力圖(剪力和彎矩全部假設(shè)為正值)。(3)根據(jù)平衡條件，建立平衡方程，求解未知內(nèi)力。解：(1)計(jì)算支座反力校核選AB梁為研究對象，所畫受力圖如圖11.6所示。由得由得故計(jì)算無誤。(2)計(jì)算內(nèi)力利用前面總結(jié)的規(guī)律計(jì)算內(nèi)力。以上兩式分別稱為剪力方程和彎矩方程。1.剪力方程和彎矩方程為了直觀地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，可根據(jù)剪力方程和彎矩方程分別繪制剪力圖和彎矩圖。它們的畫法與畫軸力圖和扭矩圖相似，首先建立剪力和彎矩與橫截面位置X的函數(shù)表達(dá)式，每一橫截面位置X都對應(yīng)著該截面的剪力和彎矩值。然后，畫一條基線平行于梁的軸線，用垂直于基線的短線表示相應(yīng)截面上剪力和彎矩的大小。一般地，正的剪力畫在基線的上方，負(fù)的剪力畫在基線的下方；彎矩圖畫在基線受拉的一側(cè)。11.3剪力方程和彎矩方程梁的內(nèi)力圖2.剪力圖和彎矩圖【例11.5】如圖11.7(a)所示，懸臂梁受集中力作用，試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。(2)畫剪力圖和彎矩圖解：(1)列剪力方程和彎矩方程方程右邊的括號說明了內(nèi)力方程的適用范圍。選梁的左端A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(圖11.7(a))，根據(jù)上一節(jié)總結(jié)的任一橫截面上剪力和彎矩的計(jì)算規(guī)律，距離A點(diǎn)為x截面處的剪力方程和彎矩方程可直接表達(dá)為剪力圖如圖11.7(b)所示彎矩圖，如圖11.7(c)所示圖11.711.4彎矩、剪力與分布荷載集度三者之間的微分關(guān)系及其應(yīng)用梁任一截面上的彎矩、剪力與分布荷載集度三者之間存在一定的微分關(guān)系，掌握這一關(guān)系，將更加有利于剪力圖和彎矩圖的繪制?！?〕無荷載分布的梁段，即，因此，是常數(shù)，即剪力圖是一條平行于基線的水平線。又因＝常數(shù)，說明該梁段彎矩圖上各點(diǎn)切線的斜率為常數(shù)，因此，彎矩圖是一條斜線。規(guī)律：〔2〕均布荷載作用的梁段，即=常數(shù)，說明該梁段的剪力圖上各點(diǎn)切線的斜率為常數(shù)，即剪力圖是一條斜直線；又，說明該梁段彎矩圖為一條二次拋物線。假設(shè)q(x)＞0，那么彎矩圖為上凸的拋物線；假設(shè)q(x)＜0，那么彎矩圖為下凸的拋物線?！?〕在的截面處，彎矩存在極值，即剪力等于零的截面處彎矩具有極大值或極小值。【例11.9】如圖11.8(a)所示，試畫出簡支梁的剪力圖和彎矩圖。圖11.8解：(1) 求支座反力由梁的平衡方程得(2)畫剪力圖如圖11.8(b)所示畫彎矩圖如圖11.8(c)所示圖11.9疊加原理分析圖11.5疊加法畫彎矩圖1.疊加原理疊加原理即由n個(gè)荷載共同作用時(shí)所引起的某一參數(shù)值(支座反力、內(nèi)力、應(yīng)力、變形)等于各個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)所引起的同一參數(shù)值的代數(shù)和。根據(jù)疊加原理繪制內(nèi)力圖的方法稱為疊加法。彎矩圖是一條斜線，只要計(jì)算出控制這條斜線的兩個(gè)端截面的彎矩值，即可畫出該梁段的彎矩圖，因此，對于無荷載作用的區(qū)段，一般無需使用疊加法。2.疊加法畫彎矩圖【例11.11】如圖11.10所示，簡支梁受集中力偶m及均布荷載q作用。試用疊加法畫梁的彎矩圖。解：(1)計(jì)算支座反力由簡支梁的平衡條件，可得(2)畫彎矩圖畫彎矩圖，如圖11.10所示圖11.10本章主要研究平面彎曲時(shí)梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩。熟練掌握剪力和彎矩的計(jì)算及剪力圖和彎矩圖的繪制是對梁進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計(jì)算的前提，同時(shí)，也為后繼課程的學(xué)習(xí)打下良好的根底。11.6小結(jié)1.平面彎曲時(shí)，梁橫截面上的內(nèi)力是剪力和彎矩。計(jì)算剪力和彎矩的方法是截面法。剪力和彎矩正負(fù)號規(guī)定如下。剪力：梁橫截面上的剪力使所選取的脫離體有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢時(shí)為正；有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢時(shí)為負(fù)。彎矩：梁橫截面上的彎矩使所選取的脫離體產(chǎn)生下凸上凹變形時(shí)為正；產(chǎn)生下凹上凸變形時(shí)為負(fù)。2.用前面總結(jié)出的計(jì)算任一橫截面上的剪力和彎矩的規(guī)律來計(jì)算剪力和彎矩是非常方便的，即：梁任意截面上的剪力，等于截面一側(cè)所有的外力(荷載和支座反力)在剪力方向上投影的代數(shù)和。即對于左邊局部，向上的外力產(chǎn)生正的剪力，向下的外力產(chǎn)生負(fù)的剪力；對于右邊局部，向上的外力產(chǎn)生負(fù)的剪力，向下的外力產(chǎn)生正的剪力。也就是說，在等號的右側(cè)，但凡與假設(shè)正的剪力方向相反的外力取正值；反之，取負(fù)值。梁任意截面上的彎矩，等于截面一側(cè)所有的外力(荷載和支座反力、外力偶)對截面中心取力矩的代數(shù)和。即對于左邊局部，向上的外力及順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶，產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力及逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶，產(chǎn)生負(fù)的彎矩；對于右邊局部，向上的外力及逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶，產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力及順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶，產(chǎn)生負(fù)的彎矩。也就是說，在等號的右側(cè)，但凡與假設(shè)正的彎矩方向相反的外力及外力偶取正值；反之，取負(fù)值。注意：必須假設(shè)任一橫截面上的剪力和彎矩均為正值。3.畫剪力圖和彎矩圖的3種方法。(1)用列剪力方程和彎矩方程的方法畫剪力圖和彎矩圖。這種方法是畫剪力圖和彎矩圖的根本方法，但當(dāng)分段較多時(shí)，比較繁瑣。(2)用彎矩、剪力與荷載集度三者之間的微分關(guān)系畫剪力圖和彎矩圖。(1)分段原那么：無論用哪一種方法畫內(nèi)力圖都要進(jìn)行分段，即集中力、集中力偶的作用點(diǎn)及均布荷載起止點(diǎn)都應(yīng)作為分段點(diǎn)。(3)用疊加法畫剪力圖和彎矩圖。這是一種簡便而有效的方法，因此，這種方法用得最多。