七年級數(shù)學重點題型強化訓練07 規(guī)律探究專題（解析版）

七年級數(shù)學重點題型強化訓練07——規(guī)律探究專題題型一：符號化簡規(guī)律探究問題1．化簡下列各式的符號，并回答問題：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．(7)問：①當前面有2022個負號，化簡后結(jié)果是多少？②當前面有2023個負號，化簡后結(jié)果是多少？你能總結(jié)出什么規(guī)律？【答案】(1)2(2)(3)(4)(5)5(6)(7)①；②；總結(jié)規(guī)律：一個數(shù)的前面有奇數(shù)個負號，化簡的結(jié)果等于它的相反數(shù)，有偶數(shù)個負號，化簡的結(jié)果等于它本身．【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根據(jù)相反數(shù)的定義分別進行化簡即可；（7）根據(jù)前面的計算結(jié)果猜想即可得解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．（7）解：①當前面有2022個負號，化簡后結(jié)果是．②當前面有2023個負號，化簡后結(jié)果．總結(jié)規(guī)律：一個數(shù)的前面有奇數(shù)個負號，化簡的結(jié)果等于它的相反數(shù)，有偶數(shù)個負號，化簡的結(jié)果等于它本身．2．化簡下列各式的符號，并回答問題：________；_______；_______；________．（1）當前面有2022個負號時，化簡后的結(jié)果是多少？（2）當前面有2023個負號時，化簡后的結(jié)果是多少？你能總結(jié)出什么規(guī)律？【答案】，3.5，5，；（1）5；（2）5．【分析】根據(jù)規(guī)律：“若在一個數(shù)的前面有偶數(shù)個負號，則化簡后的結(jié)果是其本身；若在一個數(shù)的前面有奇數(shù)個負號，則化簡后的結(jié)果是這個數(shù)的相反數(shù)．”求解即可．【詳解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴．故答案為：；；5；．總結(jié)規(guī)律：若在一個數(shù)的前面有偶數(shù)個負號，則化簡后的結(jié)果是其本身；若在一個數(shù)的前面有奇數(shù)個負號，則化簡后的結(jié)果是這個數(shù)的相反數(shù)．（1）當前面有2022個負號時，化簡后的結(jié)果是5．（2）當前面有2023個負號時，化簡后的結(jié)果是5．題型二：代數(shù)式規(guī)律探究問題3．在學習了有理數(shù)的加減法之后，老師講解了例題的計算思路為：從左側(cè)開始將兩個加數(shù)組合在一起作為一組；其和為1，共有1009組，所以結(jié)果為．根據(jù)這個思路某同學改編了下列幾題：(1)計算：①______；②______．(2)螞蟻在數(shù)軸的原點處，第一次向右爬行1個單位，第二次向右爬行2個單位，第三次向左爬行3個單位，第四次向左爬行4個單位，第五次向右爬行5個單位，第六次向右爬行6個單位，第七次向左爬行7個單位……按照這個規(guī)律，求出第2023次爬行后螞蟻在數(shù)軸什么位置【答案】(1)①，②(2)第2023次爬行后螞蟻在數(shù)軸右邊距離原點1012個單位長度處【分析】（1）根據(jù)題目所給計算方法進行計算即可；（2）將向右爬行記為正，向左爬行記為負，列出算式進行計算即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得；①；②故答案為：，；（2）解：將向右爬行記為正，向左爬行記為負，，∴第2023次爬行后螞蟻在數(shù)軸右邊距離原點1012個單位長度處．4．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：……請解答下列問題：(1)按以上規(guī)律列出第個等式：；(2)用含有的式子表示第個等式：（為正整數(shù)）；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)上述等式，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，即可求出第五個等式；（2）根據(jù)（1）得到的規(guī)律，即可；（3）根據(jù)（1）得到的等式規(guī)律，得到，，，，然后根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則，計算，即可．【詳解】（1）∵第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：∴第個等式：∴第五個等式為：∴．（2）由（1）得，第個等式：∴．（3）∵……∴．5．觀察下列等式：；；；…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解答以下問題：(1)______；(2)若n為正整數(shù)，則______；(3)計算．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)給定的算式的計算方法進行計算即可；（2）根據(jù)給定的算式的計算方法進行計算即可；（3）根據(jù)給定的算式的計算方法進行計算即可．【詳解】（1）解：；故答案為：；（2）原式；（3）原式．6．觀察下列各式：，，（1）猜想：（2）你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：；（n為正整數(shù)）（3）用規(guī)律計算：.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）觀察題中規(guī)律得出答案即可（2）根據(jù)題中規(guī)律進行總結(jié)即可（3）根據(jù)（2）總結(jié)的式子將原式展開進行計算即可【詳解】（1）（2）（3）===7．實踐探究題（1）是不為1的有理數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，依此類推，的差倒數(shù)________．（2）觀察下列有規(guī)律的數(shù)：，，，，，…根據(jù)規(guī)律可知：①第10個數(shù)是________，是第________個數(shù)．②計算________．（直接寫出答案即可）（3）高斯函數(shù)[x]，也稱為取整函數(shù)，即[x]表示不超過x的最大整數(shù)．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.則下列結(jié)論：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③[2.5]＋[－2.5]＝－1；④[x＋1]＋[－x＋1]的值為2.其中正確的結(jié)論有________(填序號)．【答案】（1）（2）①，17；②；（3）①③.【詳解】試題分析：（1）按照所給差倒數(shù)的定義進行計算，直至找出結(jié)果所隱含的規(guī)律；（2）①觀察分母可知，每個分母都可以寫成兩個因數(shù)的積，即n(n+1);②采用裂項相消即可；(3)根據(jù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)解答即可.解：(1)∵，,,,……∴計算結(jié)果3個一循環(huán).∵2017÷3=672…1，∴⑵①∵，，，……∴第10個數(shù)是，設是第n個數(shù),由題意得n(n+1)=306，解之得n1=17,n2=-18（舍去）②原式=

⑶：①[－2.1]＋[1]＝-3+1=－2，故正確；②如x=1.5時，[x]＋[－x]＝[1.5]＋[－1.5]＝-1，故錯誤；③[2.5]＋[－2.5]＝2+（-3）=－1，故正確；④如x=1.5時，[x＋1]＋[－x＋1]=[1.5＋1]＋[－1.5＋1]=2+（-1）=1，故錯誤.∴①③正確.8．探索規(guī)律，觀察下面算式，解答問題．；；；；…(1)請猜想：；(2)請猜想：；(3)試計算：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）觀察數(shù)據(jù)可知，從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于首尾兩個奇數(shù)的和的一半的平方，然后計算即可得解；（2）觀察數(shù)據(jù)可知，從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于首尾兩個奇數(shù)的和的一半的平方，然后計算即可得解；（3）用從1開始到79的和減去從1開始到39的和，列式計算即可得解．【詳解】（1）解：；故答案為：100；（2）；故答案為：；（3）．9．觀察下列等式：……請你在探究規(guī)律后完成以下問題：(1)______________．(2)_____________（用含n的式子表示）(3)計算：【答案】(1)2045253(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進行求解即可；（2）分析所給的等式，不難得出結(jié)果為；（3）利用（2）的規(guī)律進行求解即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）．10．觀察算式：①；

②；③；④．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題：(1)寫出第10個算式：___________；(2)計算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）由前面四個等式可得等式左邊第一個數(shù)為一系列正整數(shù)，第二個數(shù)比第一個數(shù)大2，再加上1，等式右邊是左邊積中兩個因數(shù)和的一半的平方，從而可得答案；（2）先歸納總結(jié)第個等式，可得（為正整數(shù)），再確定運算式中積的符號，再利用（1）中的規(guī)律進行計算即可．【詳解】（1）解：∵①；

②；③；④；∴第10個算式為：故答案為：（2）由（1）歸納可得：（為正整數(shù)），11．已知有下列兩個代數(shù)式：（1）；（2）．(1)當，時，代數(shù)式（1）的值是___________；代數(shù)式（2）的值是___________；(2)當，時，代數(shù)式（1）的值是___________；代數(shù)式（2）的值是___________；(3)觀察（1）和（2）中代數(shù)式的值，你發(fā)現(xiàn)代數(shù)式和的關系為___________(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求的值．【答案】(1)40，40(2)，(3)(4)4043【分析】（1）分別把代入代數(shù)式①和代數(shù)式②計算即可；（2）分別把代入代數(shù)式①和代數(shù)式②計算即可；（3）根據(jù)（1）和（2）中代數(shù)式的值相等可得；（4）利用（3）中的規(guī)律進行計算即可．【詳解】（1）當，時，，，故答案為：40，40；（2）當，時，，，故答案為：，；（3）通過（1）（2）中代數(shù)式的值，可知，故答案為：；（4）根據(jù)（3）中的規(guī)律，可得題型三：大小比較規(guī)律探究問題12．你能比較和的大小嗎？為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學問題，寫出它的一般形式，即比較和的大?。╪為正整數(shù)），我們從…這些簡單的情況入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜出結(jié)論(1)通過計算，比較下列各組數(shù)字大?。孩賍_________；

②__________；

③__________；④__________；

⑤__________；

⑥__________…(2)將第（1）題的結(jié)果進行歸納，你能得出什么結(jié)論？(3)根據(jù)上面的歸納猜想得到的結(jié)論，試比較兩個數(shù)的大?。篲_________（填或）．【答案】(1)①；②；③；④；⑤；⑥(2)當時，；當時，(3)【分析】（1）分別計算后比大小，然后作答即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，歸納后作答即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論作答即可．【詳解】（1）解：①；②；③；④；⑤；⑥；故答案為：①；②；③；④；⑤；⑥；（2）解：把第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納得出：當時，；當時，．（3）解：∵，∴，故答案為：．13．問題：你能比較和的大小嗎？為了解決這個問題，我們可以先作簡化處理，從簡單情況入手，試圖從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論.(1)通過計算，比較下列各組數(shù)字大?。孩?；②；③；④；⑤…(2)根據(jù)上面的結(jié)果，猜想和的大?。唬o需說明理由）(3)若a為正整數(shù)，根據(jù)以上結(jié)論，試比較和的大小.【答案】(1)①<；②<；③>；④>；⑤>；(2)(3)當時，；當且a是整數(shù)時，．【分析】（1）分別求出每組的各個數(shù)的乘方之后，判斷大小即可；（2）需要根據(jù)第一問中的每組數(shù)中的大小關系，觀察n的不同取值范圍，每組數(shù)中的兩個數(shù)的大小關系有什么規(guī)律，進而確定，由此得到答案；（3）當時，；當且a是整數(shù)時，．【詳解】（1）解：①，，則；②，則；③，則；④，則；⑤，則；故答案為：①<；②<；③>；④>；⑤>；（2）由（1）可推斷：當時，；∴，（3）當時，；當且a是整數(shù)時，．題型四：乘方計算規(guī)律探究問題14．求出下列各組中兩個算式的值，找出兩個算式之間的關系．（1）與； （2）與；（3）與； （4）與．利用所得規(guī)律計算：．【答案】見解析【分析】先分別求出各個式子，再根據(jù)結(jié)果即可總結(jié)出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：（1）．（2），，．（3），．（4），．由上述可得，兩個數(shù)的相同次冪的積等于這兩個數(shù)乘積的相同次冪，即(m為正整數(shù))．∴．15．閱讀探究：；；；；…(1)根據(jù)上述規(guī)律，求的值；(2)你能用一個含有（為正整數(shù)）的算式表示這個規(guī)律嗎？請直接寫出這個算式（不計算）；(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算下面算式的值：．【答案】(1)55(2)(3)780【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法計算即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）原式利用得出的規(guī)律計算即可求出值．【詳解】（1）；（2）；（3）．16．發(fā)現(xiàn)：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536（1）觀察上面運算結(jié)果的個位數(shù)字，寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）依據(jù)（1）中的規(guī)律，通過計算判斷3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的結(jié)果的個位數(shù)字是多少，【答案】（1）當4的指數(shù)是奇數(shù)時，運算結(jié)果的個位數(shù)字是4；當4的指數(shù)是偶數(shù)時，運算結(jié)果的個位數(shù)字是6；（2）個位數(shù)字是6．【分析】（1）注意4的指數(shù)的奇偶性與個位數(shù)字的關系；（2）利用平方差公式進行計算，然后利用（1）中的規(guī)律解答．【詳解】解：（1）41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536觀察上面運算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當4的指數(shù)是奇數(shù)時，運算結(jié)果的個位數(shù)字是4；當4的指數(shù)是偶數(shù)時，運算結(jié)果的個位數(shù)字是6；（2）3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1＝（4﹣1）×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1＝（42﹣1）×（42+1）（44+1）…（432+1）+1＝（44﹣1）（44+1）…（432+1）+1＝464．可知464的個位數(shù)字是6，故3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的結(jié)果的個位數(shù)字是6．17．觀察下列運算過程：，；，…(1)填空：______；______；(2)仿照（1）中的規(guī)律，判斷與的大小關系；(3)求的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所給的求解方式進行求解即可；（2）把相應的數(shù)進行運算，最后比較即可；（3）利用（2）中的規(guī)律進行求解即可．【詳解】（1）解：；；（2）解：∵，，∴；（3）解：原式．題型五：絕對值規(guī)律探究問題18．【觀察】，，，．【體驗】(1)根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不要計算出結(jié)果）：①___________．②___________．③___________．【應用】(2)計算．【答案】(1)①．②．③(2)【分析】（1）①②③利用題干中的方法與絕對值的意義解答即可；（2）利用題干中的方法與絕對值的意義解答利用規(guī)律化簡運算即可；【詳解】（1）解：①．②．③．（2）原式．19．觀察下列各式的特征：；；；，根據(jù)規(guī)律，解決相關問題：(1)根據(jù)上面的規(guī)律，將下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不能寫出計算結(jié)果）：①_________；②_________；(2)當時，_________；當時，_________．(3)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．(4)合理的方法計算：．【答案】(1)①；②(2)；(3)C(4)【分析】絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值等于它本身；負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；0的絕對值是0，然后根據(jù)有理數(shù)的運算法則判斷式子的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)正確化簡．（1）先比較有理數(shù)的大小，然后結(jié)合絕對值的性質(zhì)即可化簡；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；（3）由數(shù)軸可知，，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；（4）根據(jù)絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)運算，化簡絕對值并進行加減運算，即可獲得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題目中的規(guī)律，可得①∵，∴；②∵，∴．故答案為：①；②；（2）當時，；當時，．故答案為：；；（3）由數(shù)軸可知，，∴．故選：C；（4）．20．觀察下列各式的特征：；；；．根據(jù)規(guī)律，解決相關問題：(1)把下列各式寫成去年絕對值符號的形式（不能寫出計算結(jié)果）：①；②．(2)當時，；當時，．(3)計算：【答案】(1)①，②(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)正數(shù)的絕對值的它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即可解答；（2）根據(jù)正數(shù)的絕對值的它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即可解答；（3）先將絕對值化簡，再進行計算即可．【詳解】（1）解：①，②，故答案為：，；（2）解：當時，；當時，；故答案為：，；（3）解：．21．我們知道，可以理解為，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義進一步地，數(shù)軸上的兩個點A，，分別用數(shù)，表示，那么，兩點之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離．(1)利用此結(jié)論，回答以下問題：①數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是______．②數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是______，如果，那么為______．(2)探索規(guī)律：①當有最小值是______．②當有最小值是______．③當有最小值是______．(3)規(guī)律應用工廠加工車間工作流水線上依次間隔米排著個工作臺A、、、、、、、、，一只配件箱應該放在工作臺______處，能使工作臺上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程是______米(4)知識遷移最大值是______，最小值是______．【答案】(1)①；②；或(2)①②③(3)；(4)；【分析】（1）由數(shù)軸上兩點間的距離公式可直接得出答案；先由數(shù)軸上兩點間的距離公式得，進而得，據(jù)此解出即可；（2）根據(jù)的幾何意義及“兩點之間，線段最短”得：當表示數(shù)的點在數(shù)軸上表示數(shù)，兩點構(gòu)成的線段上時，為最小，最小值為數(shù)軸上表示數(shù)，兩點之間的距離；根據(jù)的幾何意義及“兩點之間，線段最短”得：當數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示的點重合時，為最小，最小值為數(shù)軸上表示數(shù)，兩點之間的距離；根據(jù)的幾何意義及“兩點之間，線段最短”得：當表示數(shù)的點在數(shù)軸上表示數(shù)，兩點構(gòu)成的線段上時，的值為最小值，最小值為數(shù)軸上表示數(shù)，兩點之間的距離與數(shù)軸上表示數(shù)，兩點之間的距離之和；（3）由（2）可知：當配件箱放在流水線的中點處，共作人員所走的路程最短，進而再求出最短路程即可；（4）根據(jù)的幾何意義意義分三種情況進行討論：當在數(shù)軸上表示數(shù)的點在表示數(shù)點的左側(cè)時，即，可得；當在數(shù)軸上表示數(shù)的點在表示數(shù)，兩點之間時，即，可得，當在數(shù)軸上表示數(shù)的點在表示數(shù)點的右側(cè)時，即，可得，綜上所述可得出，據(jù)此可得出答案．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是：；數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是：，故答案為：；．數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是：，當，則，或，由解得：，由解得：，的值為：或，故答案為：；或．（2）解：①∵的幾何意義是：在數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離；的幾何意義是：在數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離；∴的幾何意義是：在數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離與數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離之和，根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知：當表示數(shù)的點在數(shù)軸上表示數(shù)，兩點構(gòu)成的線段上時，為最小，最小值為數(shù)軸上表示數(shù)，兩點之間的距離，即為，即有最小值是．故答案為：．②∵的幾何意義是：在數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離、數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離、數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離之和，根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知：當數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示的點重合時，為最小，最小值為數(shù)軸上表示數(shù)，兩點之間的距離，即為，即有最小值是，③∵的幾何意義是：在數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離、數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離、數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離、數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離之和，根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知：當表示數(shù)的點在數(shù)軸上表示數(shù)，兩點構(gòu)成的線段上時，的值為最小值，最小值為數(shù)軸上表示數(shù)，兩點之間的距離與數(shù)軸上表示數(shù)，兩點之間的距離之和，即為，即有最小值是．故答案為：．（3）解：由（2）可知：當配件箱放在工作臺處時，能使工作臺上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程為：（米）．故答案為：；．（4）解：∵表示的幾何意義是：在數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離與數(shù)軸上表示數(shù)、兩點間的距離之差，當在數(shù)軸上表示數(shù)的點在表示數(shù)點的左側(cè)時，即，則，，，，；當在數(shù)軸上表示數(shù)的點在表示數(shù)，兩點之間時，即，則，，，，，當在數(shù)軸上表示數(shù)的點在表示數(shù)點的右側(cè)時，即，則，，，，，，的最大值是，的最小值是．故答案為：；．題型六：圖形規(guī)律探究問題22．觀察下面的點陣圖形和與之相對應的等式探究其中的規(guī)律．；；；；．(1)請在和后面的橫線上分別寫出相應的等式；(2)猜想第（是正整數(shù)）個圖形相對應的等式，并證明．【答案】(1)，；(2)，證明見解析．【分析】（）結(jié)合圖形，根據(jù)所給的等式即可繼續(xù)寫出等式；（）在計算（）的過程中，發(fā)現(xiàn)：第個圖中，等式的左邊是個，再加上，右邊是個減去．【詳解】（1）∵；；；∴，，故答案為：，；（2）由；；；；；；∴第個圖形：，右邊，∴左邊右邊，即．23．如下圖，通過觀察，小麗同學發(fā)現(xiàn)可以用這樣的方法確定每個圖形中黑色和白色小正方形的總個數(shù)：圖（1）中共有1個黑色小正方形，圖（2）中共有個黑白小正方形，圖（3）中共有個黑白小正方形，圖（4）中共有個黑白小正方形，回答下列問題(1)根據(jù)規(guī)律，第90個圖比第89個圖多___________個小正方形(2)根據(jù)前四個圖中計算黑白小正方形的總個數(shù)的方法和規(guī)律，則第（5）個圖中計算小正方形個數(shù)的等式是：___________(3)根據(jù)每個圖中計算黑白小正方形總個數(shù)的方法和規(guī)律，計算：【答案】(1)179(2)(3)250000【分析】觀察已知圖形可知第個圖形比第個圖形多個小正方形，第個圖形比第個圖形多個小正方形，第個圖形比第個圖形多個小正方形，可歸納得第個圖形比第個圖形多個小正方形，由此可解；根據(jù)形寫出式子即可求解;根據(jù)總結(jié)規(guī)律，然后利用規(guī)律進行計算即可求解.【詳解】（1）觀察已知圖形可知第個圖形比第個圖形多個小正方形，第個圖形比第個圖形多個小正方形，第個圖形比第個圖形多個小正方形，第個圖形比第個圖形多個小正方形，∴第90個圖比第89個圖多個小正方形故答案為:179；（2）圖中共有個小正方形，圖中共有個小正方形，按圖示方式繼續(xù)拼下去，圖中(未畫出)共有個小正方形；故答案為：；（3）因此圖中(未畫出)共有個小正方形,，∴.24．動腦筋、找規(guī)律．邱老師給小明出了下面的一道題，如圖，請根據(jù)數(shù)字排列的規(guī)律，探索下列問題：

(1)在A處的數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)？(2)負數(shù)排在A，B，C，D中的什么位置？(3)第2020個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)？排在對應于A，B，C，D中的什么位置？【答案】(1)A處的數(shù)是正數(shù)(2)B和D的位置是負數(shù)(3)第2020個數(shù)排在A的位置，是正數(shù)【分析】（1）根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)向上箭頭對應的數(shù)是正數(shù)，從而可以得到在A處的數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)；（2）根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)向右箭頭對應的數(shù)是負數(shù)，從而可以得到負數(shù)排在，，，中的位置；（3）根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)4的整數(shù)倍都在A的位置，從而可以得到第個數(shù)排在對應于，，，中的位置．【詳解】（1）解：是向上箭頭的上方對應的數(shù)，與的符號相同，所以在A處的數(shù)是正數(shù)．（2）觀察不難發(fā)現(xiàn)，向下箭頭的上方是負數(shù)，下方是正數(shù)，向上箭頭的下方是負數(shù)，上方是正數(shù)，所以和的位置是負數(shù)．（3）∵．∴第個數(shù)排在的位置，是正數(shù)．25．某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．【觀察思考】當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）：(1)當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有________塊（如圖3）；(2)以此類推，人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加________塊；(3)【規(guī)律總結(jié)】若一條這樣的人行道一共有（為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為________（用含的代數(shù)式表示）．(4)【問題解決】現(xiàn)有2022塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，則需要正方形地磚多少塊？【答案】(1)8(2)2(3)(4)1009【分析】（1）根據(jù)圖形進行求解即可；（2）觀察圖形1可知：中間的每個正方形都對應了兩個等腰直角三角形，即可得出答案；（3）觀察圖形2可知：中間一個正方形的左上、左邊、左下共有3個等腰直角三角形，它右上和右下各對應了一個等腰直角三角形，右邊還有1個等腰直角三角形，即6＝3＋2×1＋1＝4＋2×1；圖3和圖1中間正方形右上和右下都對應了兩個等腰直角三角形，均有圖2一樣的規(guī)律，圖3：8＝3＋2×2＋1＝4＋2×2；圖n：4＋2n（即2n＋4）；（4）根據(jù)現(xiàn)有2022塊等腰直角三角形地磚，可得：2n＋4＝2022，即可求得答案．【詳解】（1）解：由圖形3可知，等腰直角三角形地磚有8塊，故答案為：8；（2）觀察圖1可知：中間的每個正方形都對應了兩個等腰直角三角形，所以每增加一塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚就增加2塊；故答案為：2；（3）觀察圖形2可知：中間一個正方形的左上、左邊、左下共有3個等腰直角三角形，它右上和右下各對應了一個等腰直角三角形，右邊還有1個等腰直角三角形，即6＝3＋2×1＋1＝4＋2×1，圖3和圖1中間正方形右上和右下都對應了兩個等腰直角三角形，均有圖2一樣的規(guī)律，圖3：8＝3＋2×2＋1＝4＋2×2，歸納得：4＋2n（即2n＋4），∴若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（2n＋4）塊，故答案為：；（4）由規(guī)律知：等腰直角三角形地磚塊數(shù)2n＋4，是偶數(shù)，由題意得：2n＋4＝2022，解得：n＝1009，∴這條人行道正方形地磚有1009塊．26．為了提高動手操作能力，安徽某學校九年級學生利用課后服務時間進行拼圖大賽，他們用邊長相同的正方形和正三角形進行拼接，賽后整理發(fā)現(xiàn)一組有規(guī)律的圖案，如圖所示．【觀察思考】第1個圖案有4個正三角形，第2個圖案有7個正三角形，第3個圖案有10個正三角形，…依此類推【規(guī)律總結(jié)】(1)第5個圖案有______個正三角形(2)第個圖案中有______個正三角形，（用含的代數(shù)式表示）【問題解決】(3)現(xiàn)有2023個正三角形，若按此規(guī)律拼第個圖案，要求正三角形一次用完，則該圖案需要正方形多少個？【答案】(1)16(2)(3)該圖案需要正方形674個【分析】（1）利用正三角形的數(shù)量依次增加3的規(guī)律即可求解．（2）根據(jù)第1個圖案有4個正三角形，正三角形的數(shù)量依次增加3，即可求解．（3）先求出n的值，再確定正方形的個數(shù)．【詳解】（1）解：第1個圖案有4個正三角形，第2個圖案有7個正三角形，第3個圖案有10個正三角形，…依此類推，發(fā)現(xiàn)正三角形的數(shù)量依次增加3，∴第5個圖案有16個正三角形．（2）依據(jù)第1個圖案有4個正三角形，正三角形的數(shù)量依次增加3，可得第個圖案中有個正三角形．（3）令，解得，由圖形可以發(fā)現(xiàn)第n個圖形中有n個正方形，∴該圖案需要正方形674個．27．觀察下面的點陣圖和相應的等式，探究其中的規(guī)律：(1)在④后面的橫線上寫出相應的等式；①；②；③；④；(2)請猜想；(3)試用含有n的式子表示這一規(guī)律：；（n為正整數(shù)）(4)請用上述規(guī)律計算：①②【答案】(1)(2)(3)(4)①2500；②1875【分析】（1）觀察圖形的變化情況即可填空；（2）根據(jù)圖示和數(shù)據(jù)可知規(guī)律是：等式左邊是連續(xù)的奇數(shù)和，等式右邊是等式左邊的首數(shù)與末數(shù)的平均數(shù)的平方，據(jù)此可得；（3）利用（2）中的規(guī)律可得；（4）①根據(jù)（1）中式子的特點，可以計算出所求式子的特點；②將原式變形為，再利用所得規(guī)律計算．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知：④，故答案為：；（2），，，，猜想：，故答案為：；（3），故答案為：；（4）①；②．28．《莊子?天下》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”意思是說：一尺長的木棍，每天截掉一半，永遠也截不完．我國智慧的古代入在兩千多年前就有了數(shù)學極限思想，今天我們運用此數(shù)學思想研究下列問題．（規(guī)律探索）（1）如圖1所示的是邊長為1的正方形，將它剪掉一半，則；如圖2，在圖1的基礎上，將陰影部分再裁剪掉一半，則；依此類推，如圖3，；如圖4，；…；(規(guī)律應用)（2）規(guī)律應用：計算的值．【答案】（1）；；；（2）【分析】（1）根據(jù)題意中得到的規(guī)律進行有理數(shù)的混合運算即可求解；（2）根據(jù)題意中得到的規(guī)律進行有理數(shù)的混合運算即可求解．【詳解】解：（1）如圖3，；如圖4，；…；故答案為：；；；（2）∵，∴．29．用長方形

和三角形按圖示排列規(guī)律組成一連串平面圖形．(1)當某個圖形中長方形個數(shù)為5時，三角形個數(shù)為________；(2)設某個圖形中長方形個數(shù)為，三角形個數(shù)為．請你寫出用表示的關系式；(3)某個圖形中長方形個數(shù)與三角形個數(shù)之和可能為123個嗎？若可能，請分別求出長方形個數(shù)與三角形個數(shù)；若不可能，請說明理由．【答案】(1)8(2)(3)不可能，理由見解析【分析】（1）由圖可知，長方形每增加1時，三角形個數(shù)增加2，由此可解；（2）分析長方形個數(shù)與三角形個數(shù)的數(shù)量關系即可；（3）列一元一次方程，判斷求出的長方形個數(shù)是否是整數(shù)即可．【詳解】（1）解：由圖可知，長方形個數(shù)為2，三角形個數(shù)為2，，長方形個數(shù)為3，三角形個數(shù)為4，，長方形個數(shù)為4，三角形個數(shù)為6，，因此長方形個數(shù)為5時，三角形個數(shù)為，故答案為：8；（2）解：長方形個數(shù)為，三角形個數(shù)為時，與的數(shù)量關系為；（3）解：不可能．理由如下：由題意，得．解得．故某個圖形中長方形個數(shù)與三角形個數(shù)之和不可能為123個．題型七：一元一次方程規(guī)律探究問題30．如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定規(guī)律排列的一列方程：序號方程方程的解①②③______④_____………(1)將上表補充完整，(2)按上述方程所包含的某種規(guī)律寫出方程⑤及其解；(3)寫出表內(nèi)這列方程中的第n（n為正整數(shù)）個方程和它的解．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）求解方程③和④可得解；（2）按照方程根的規(guī)律列出方程即可；（3）先按照規(guī)律列出方程的第個方程，再求解并檢驗．【詳解】（1）解：第個方程，，∴，第個方程，，∴，故答案為：，（2）解：方程①，其解為；方程②，其解為；方程③，其解為；方程④，其解為；∴方程⑤為，其解為；（3）由上表可得每個方程的左邊是項的差，第一項是，第項是，右邊是，方程的解為，∴第（為正整數(shù)）個方程為，方程的解為．題型八：數(shù)軸動點規(guī)律探究問題31．平移和翻折是初中數(shù)學兩種重要的圖形變換．(1)平移運動①把筆尖放在數(shù)軸的原點處，先向負方向移動4個單位長度，再向正方向移動1個單位長度，這時筆尖的位置表示什么數(shù)？用算式表示以上過程及結(jié)果是______．A．

B．

C．

D．②一機器人從原點O開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單位，第4次向右跳4個單位，…，依此規(guī)律跳，當它跳2023次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是______．(2)翻折變換①若折疊紙條，表示的點與表示3的點重合，則表示2023的點與表示______的點重合；②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為2023（A在B的左側(cè)，且折痕與①折痕相同），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，則A點表示的數(shù)是______，B點表示的數(shù)是______；③一條數(shù)軸上有點A、B、C，其中點A、B表示的數(shù)分別是、8，現(xiàn)以點C為折點，將數(shù)軸向右對折，若點A對應的點落在點B的右邊，并且，求點C表示的數(shù)．【答案】(1)①D，②(2)①；②，；③點C表示的數(shù)【分析】（1）①以原點為標準，向左移動為負數(shù)，向右移動為正數(shù)，即可得出答案；②根據(jù)前邊幾次跳動得出規(guī)律計算可得；（2）①根據(jù)表示的點與表示3的點重合，可得出翻折的點在1處，根據(jù)此規(guī)律即可求出答案；②根據(jù)折痕處的點為對折后重合兩端點的中點，由中點到兩端點的距離相等可計算求解；③通過來推出對應的數(shù)，再結(jié)合翻折點的規(guī)律即可求出答案．【詳解】（1）解：①根據(jù)移動過程可得：，故選：D．②如果向左為“”，向右為“”，機器人跳動過程可以用算式表示為：，當機器人跳次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是；故答案為：；（2）解：①表示的點與表示的點重合，折痕處的點表示的數(shù)為，設表示2023的點與表示x的點重合，則，解得：，表示的點與表示；故答案為：；②數(shù)軸上、兩點之間的距離為，、兩點到折痕1處的距離都是，點表示數(shù)為，點表示的數(shù)為；故答案為：，；③根據(jù)題意可知點表示的數(shù)為，點、表示的數(shù)分別是、，點為折點，點表示的數(shù)：．32．【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：數(shù)軸上A點、B點表示的數(shù)為a、b，則A，B兩點之間的距離，若，則可簡化為；線段的中點M表示的數(shù)為．【問題情境】已知數(shù)軸上有A、B兩點，分別表示的數(shù)為，8，點A以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點B以每秒2個單位向左勻速運動，設運動時間為t秒（）．【綜合運用】(1)運動開始前，A，B兩點的距離為______；線段的中點M所表示的數(shù)為______．(2)點A運動t秒后所在位置的點表示的數(shù)為______；點B運動t秒后所在位置的點表示的數(shù)為______；（用含t的式子表示）(3)它們按上述方式運動，A，B兩點經(jīng)過多少秒會相距4個單位長度？(4)若A，B按上述方式繼續(xù)運動下去，線段的中點M能否與原點重合？若能，求出運動時間，并直接寫出中點M的運動方向和運動速度；若不能，請說明理由．（當A，B兩點重合，則中點M也與A，B兩點重合）．【答案】(1)18；(2)；(3)秒或秒(4)能，運動時間為2秒，運動方向向右，運動速度為每秒個單位長度【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的基本概念，由題意可得與兩點之間的距離以及線段的中點表示的數(shù)；（2）由題意可得，點運動秒后所在位置的點表示的數(shù)等于運動開始前點表示的數(shù)加上點運動的路程，即，點運動秒后所在位置的點表示的數(shù)等于運動開始前點表示的數(shù)減去點運動的路程，即．（3）設它們按上述方式運動，、兩點經(jīng)過秒會相距4個單位長度，根據(jù)題意列方程求解即可．（4）設，按上述方式繼續(xù)運動秒線段的中點能與原點重合，根據(jù)題意列方程，解得值，再由運動開始前點的位置及秒后所到的位置得出點的運動方向向右及速度．【詳解】（1）解：、兩點的距離為：；線段的中點所表示的數(shù)為．故答案為：18；；（2）由題意可得點運動秒后所在位置的點表示的數(shù)為；點運動秒后所在位置的點表示的數(shù)為