專題08 反比例函數(shù)的實際應用-解析版

專題08反比例函數(shù)的實際應用★知識點1：圖形類反比例函數(shù)的應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．典例分析【例1】（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度（單位：）的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為的水中時，．

(1)求h關(guān)于的函數(shù)解析式．(2)當密度計懸浮在另一種液體中時，，求該液體的密度．【答案】(1)．(2)該液體的密度為．【分析】（1）由題意可得，設(shè)，把，代入解析式，求解即可；（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)h關(guān)于的函數(shù)解析式為，把，代入解析式，得．∴h關(guān)于的函數(shù)解析式為．（2）解：把代入，得．解得：．答：該液體的密度為．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活利用反比例函數(shù)的性質(zhì)進行求解．【例2】（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，根據(jù)小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當時，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．(2)變化蠟燭和小孔之前的距離，某一時刻像高為3cm，請回答蠟燭是怎樣移動的？【答案】(1)函數(shù)解析式為(2)蠟燭向小孔方向移動了【分析】（1）根據(jù)待定法求反比例函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)解析式代入數(shù)值解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)解析式為把，代入得：解得∴函數(shù)解析式為；（2）當像高為時，即將代入得：解得：，而∴蠟燭向小孔方向移動了．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．【即學即練】1.。（2023秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，將一長方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強與受力面積的關(guān)系如下表所示：桌面所受壓強P（Pa）40050080010001250受力面積S（）0.50.4a0.20.16(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出壓強P（Pa）關(guān)于受力面積S（）的函數(shù)表達式及a的值．(2)如圖2，將另一長，寬，高分別為60cm，20cm，10cm，且與原長方體相同重量的長方體放置于該水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大壓強為2000Pa，問：這種擺放方式是否安全？請判斷并說明理由．【答案】(1)，0.25(2)這種擺放方式不安全，理由見解析【分析】（1）觀察圖表得：壓強P與受力面積S的乘積不變，故壓強P是受力面積S的反比例函數(shù)，然后用待定系數(shù)法可得函數(shù)關(guān)系式，令P=800，可得a的值；（2）算出S，即可求出P，比較可得答案．【詳解】（1）解：觀察圖表得：壓強P與受力面積S的乘積不變，故壓強P是受力面積S的反比例函數(shù)，設(shè)壓強P（Pa）關(guān)于受力面積S（）的函數(shù)表達式為，把（400，0.5）代入得：，解得：k=200，∴壓強P（Pa）關(guān)于受力面積S（）的函數(shù)表達式為，當P=800時，，∴a=0.25；（2）解：這種擺放方式不安全，理由如下：由圖可知S=0.1×0.2=0.02（），∴將長方體放置于該水平玻璃桌面上的壓強為，∵10000>2000，∴這種擺放方式不安全．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能列出函數(shù)關(guān)系式．2．（2022·廣西欽州·校考一模）如圖，一塊磚的A，B，C三個面的面積比是．如果B面向下放在地上，地面所受壓強為，那么A面和C面分別向下放在地上時，地面所受壓強各是多少？【答案】，【分析】根據(jù)題意：設(shè)該磚的質(zhì)量為m，其為定值，且有P?S＝mg，即P與S成反比例關(guān)系，且B面向下放在地上時地面所受壓強為a帕，則把磚的A面向下放在地上，地面所受壓強P＝，把磚的C面向下放在地上P＝2a．【詳解】解：設(shè)該磚的質(zhì)量為m，則P?S＝mg，∵B面向下放在地上時地面所受壓強為a帕，A，B，C三個面的面積之比是4：2：1，∴把磚的A面向下放在地上，P＝，把磚的C面向下放在地上P＝，答：A面向下放在地上時，地面所受壓強是，C面向下放在地上時，地面所受壓強是．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．★知識點2：表格類解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題．典例分析【例1】（2022秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考階段練習）近視眼鏡是一種為了矯正視力，讓人們可以清晰看到遠距離物體的眼鏡．近視眼鏡的鏡片是凹透鏡，研究發(fā)現(xiàn)，近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）的關(guān)系式為y＝．(1)上述問題中，當x的值增大，y的值隨之_______（填“增大”“減小”或“不變”）；(2)根據(jù)y與x的關(guān)系式補全下表：焦距x/m0.10.2……度數(shù)y/度1000400……(3)小明原來佩戴400度近視眼鏡，經(jīng)過一段時間的矯正治療加之注意用眼健康，復查驗光時，所配鏡片焦距調(diào)整為0.4m，則小明的眼鏡度數(shù)下降了多少度？【答案】(1)減小(2)0.25；500(3)小明的眼鏡度數(shù)下降了150度【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)：，當k>0，x＞0時，y隨x的增大而減小，所以應填“減小”；（2）分別將x=0.2和y=400代入函數(shù)解析式計算即可；（3）將x=0.4代入函數(shù)解析式算出新的眼鏡度數(shù)，用原來的度數(shù)減去新的度數(shù)即可求出．【詳解】（1）∵y＝是反比例函數(shù)，系數(shù)k=100>0，函數(shù)圖像在第一、三象限，∴當x＞0時，函數(shù)值隨x的增大而減小，故答案為：減?。唬?）當x=0.2時，y＝=500；當y=400時，，所以補全表格如下：焦距0.10.20.25…度數(shù)y度1000500400…（3）將代入，得．度．答：小明的眼鏡度數(shù)下降了150度．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及已知自變量求函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023秋·山西大同·九年級大同市第二中學校校考期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．R/Ω345678910I/Aa97.2b5.144.54c(1)請寫出這個反比例函數(shù)解析式；(2)蓄電池的電壓是多少？(3)下表中的a、b、c的值分別是多少？(4)如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻應控制在什么范圍？【答案】(1)I=；(2)36；(3)a=12，b=6，c=3.6；(4)用電器可變電阻應控制在3.6歐以上的范圍內(nèi)．【分析】（1）先由電流I是電阻R的反比例函數(shù)，可設(shè)I=，將點（9，4），利用待定系數(shù)法即可求出這個反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)電壓=電流×電阻即可求解；（3）將R的值分別代入（1）中所求的函數(shù)解析式，即可求出對應的I值，從而完成圖表；（4）將I≤10代入（1）中所求的函數(shù)解析式即可確定電阻的取值范圍．【詳解】（1）解：電流I是電阻R的反比例函數(shù)，設(shè)I=，∵圖象經(jīng)過（9，4），∴k=4×9=36，∴I=；（2）解：蓄電池的電壓是4×9=36；（3）解：當R=3時，a==12，當R=6時，b==6，當R=10時，c==3.6，∴a=12，b=6，c=3.6；（4）解：∵I≤10，I=，∴≤10，∴R≥3.6，即用電器可變電阻應控制在3.6歐以上的范圍內(nèi)．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題．即學即練1．（2022春·八年級課時練習）如圖，在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，測出每一次加壓后汽缸內(nèi)氣體的體積和氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強．體積壓強(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出壓強關(guān)于體積的函數(shù)表達式．(2)當壓力表讀出的壓強為時，汽缸內(nèi)氣體的體積壓縮到多少毫升？【答案】(1)(2)當壓力表中讀出壓強為時，汽缸內(nèi)氣體的體積約為【分析】（1）先把表格中的數(shù)據(jù)在坐標系中描點，可以發(fā)現(xiàn)這些點近似在一個反比例函數(shù)圖象上，求出近似的反比例函數(shù)解析式即可；（2）把代入（1）所求解析式中進行求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可畫出p關(guān)于V的函數(shù)圖象．根據(jù)圖象的形狀，選擇反代例函數(shù)模型進行嘗試．設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為，選點的坐標代入，得．∴，∴．將點的坐標一一代入驗證：．可見相當精確地反映了在溫度不變時氣體體積和所產(chǎn)生的壓強之間的關(guān)系，也就是所求的函數(shù)關(guān)系式．（2）解：當從壓力表中讀出氣體的壓強為時，有，解得．答：當壓力表中讀出壓強為時，汽缸內(nèi)氣體的體積約為．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應用，正確求出反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）小明設(shè)計了杠桿平衡實驗：如圖，取一根長質(zhì)地均勻的木桿，用細繩綁在木桿的中點處并將其吊起來，在左側(cè)距離中點處掛一個重的物體，為了保持木桿水平（動力×動力臂=阻力×阻力臂），在中點右側(cè)用一個彈簧測力計豎直向下拉，改變彈簧測力計與中點的距離（單位：），看彈簧測力計的示數(shù)（單位：）有什么變化，小明在做此活動時，得到下表的數(shù)據(jù)．第組第組第組第組(1)表中第___________組數(shù)據(jù)是明顯錯誤的；(2)在已學過的函數(shù)中選擇合適的模型，求關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)若彈簧測力計的最大量程是，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）的值逐漸增大，逐漸減小，由此即可求解；（2）根據(jù)動力×動力臂=阻力×阻力臂，由此即可求解；（3）由（2）的函數(shù)解析式即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)趨勢可知，的值逐漸增大，逐漸減小，∴第組的數(shù)據(jù)錯誤，故答案為：．（2）解：根據(jù)杠桿原理知，∴F與L的函數(shù)解析式為．（3）解：當時，由得．由題意可知，∴根據(jù)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得，L的取值范圍為．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與實際問題的綜合，理解題目中數(shù)量關(guān)系，掌握反比例函數(shù)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．★知識點3：幾何類反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點坐標的計算方法，函數(shù)之間相交的交點的計算方法。典例分析【例1】（2023春·浙江·八年級專題練習）某水果生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段表示恒溫系統(tǒng)開啟后階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)這個恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度為多少；(2)求全天的溫度與時間之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)若大棚內(nèi)的溫度低于不利于新品種水果的生長，問這天內(nèi)，相對有利于水果生長的時間共多少小時？【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)圖像設(shè)正比例函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像可知函數(shù)解析式。再利用待定系數(shù)法即可求出恒定溫度；(2)根據(jù)圖像可知整個圖像由三部分組成：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、恒溫，根據(jù)題意設(shè)函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；(3)根據(jù)各時間段的函數(shù)解析式算出時的值，用小時減去這些時間即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，根據(jù)題意，∴可得方程，∴，∴直線,∵當時，∴恒定溫度為：．（2）解：由(1)可知：正比例函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像可知：，設(shè)小時內(nèi)函數(shù)解析式為：，根據(jù)題意，可得方程：，∴，∴函數(shù)解析式為：，∴小時函數(shù)解析式為：，（3）解：∵當時，，∴，∵當時，，∴，∴在之間是氣溫是低于的，∴氣溫低于的總時間為：，∴氣溫高于的適宜溫度是：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和常函數(shù)解析式，解答時應注意臨界點的應用．【例2】（2023春·全國·八年級專題練習）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示(1)寫出這一函數(shù)表達式(2)當氣體體積為時，氣壓是多少？(3)當氣球內(nèi)的氣壓大于時，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩鹨姡瑲怏w的體積應不小于多少？【答案】(1)(2)氣壓是(3)為了安全起見，氣體的體積應不小于【分析】（1）設(shè)，將點代入，得，進行計算即可得；（2）當時，代入解析式即可求解；（3）當時，代入解析式即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，將點代入，得，，即這個函數(shù)的解析式為；（2）解：當時，，即當氣體體積為時，氣壓是；（3）解：當時，，所以為了安全起見，氣體的體積應不少于．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是掌握反比函數(shù)的圖像和性質(zhì)．即學即練1.（2023秋·河北邢臺·九年級校考期末）如圖，有一個人站在球臺（水平）上去打高爾夫球，球臺到軸的距離為米，與軸相交于點，彎道：與球臺交于點，且米，彎道末端垂直軸于，且米，從點E處飛出的紅色高爾夫球沿拋物線運動，落在彎道的處，且到軸的距離為米；(1)的值為______；點的坐標為______；______；(2)紅色球落在處后立即彈起，沿另外一條拋物線運動，若的最高點坐標為．①求的解析式，并說明小球能否落在彎道上？②在軸上有托盤，若小球恰好能被托盤接住，則把托盤向上平移的距離為，則的取值范圍是什么？(3)若在紅色球從處飛出的同時，一黃色球從點的正上方飛出，它所運行軌跡與拋物線形狀相同，且黃色球始終在紅色球的正上方，當紅色球到軸的距離為米，且黃球位于紅球正上方超過米的位置時，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，，(2)①，不能；②(3)【分析】（1）球臺到軸的距離為米，米，可知點的坐標，彎道：與球臺交于點，可求出反比例函數(shù)解析式，到軸的距離為米，且在反比例函數(shù)圖像上，可求出點的坐標，把點代入二次函數(shù)即可求解；（2）①的最高點坐標為，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式設(shè)二次函數(shù)的解析式，把點代入二次函數(shù)，即可求解的解析式，再計算與軸的交點，根據(jù)米，計算出點的坐標，兩者進行比較即可；②在軸上有托盤，小球恰好能被托盤接住，則托盤在函數(shù)的圖像上，由此即可求解；（3）根據(jù)題意求出一號球的軌跡函數(shù)，向上平移到經(jīng)過得二號球軌跡，可求出二號球的軌跡函數(shù)，當時，，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵球臺與軸距離為，，∴代入，解得，∴，∵到軸的距離為米，∴當時，，∴點，將點代入，解得，故答案為：，，．（2）解：①∵拋物線頂點，設(shè)拋物線解析式為，把代入，解得，∴G的表達式為，即，∵點在反比例函數(shù)，且米，∴點的坐標為，當時，，∴G與滑道FA不相交，∴小球不能落在滑道FA上．②當時，；當時，，即，解得，∴的取值范圍是．（3）解：一號球的軌跡為，向上平移到經(jīng)過得二號球軌跡，∴二號球拋物線表達式為，且，當時，，即，解得，∴的取值范圍是．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)，反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點坐標的計算方法，函數(shù)之間相交的交點的計算方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北邢臺·九年級?？茧A段練習）當功一定時，功率是做功的時間的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示．(1)寫出用表示的函數(shù)表達式．(2)當時，求功率．(3)當功率時，求做功所用的時間．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）功率與時間的反比例函數(shù)，且圖像過點，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）將代入反比例函數(shù)即可求解；（3）將功率代入反比例函數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：由題意設(shè)功率與時間的反比例函數(shù)為，∵點在反比例函數(shù)圖像上，∴．∴．故此函數(shù)表達式為．（2）解：當時，．（3）解：當時，．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，代入求值的計算方法是解題的關(guān)鍵．★知識點4探究類反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．還能利用圖像直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問題的一種常用方法．典例分析【例1】（2023春·江蘇·八年級專題練習）小明探究下列問題：商場將單價不同的甲、乙兩種糖果混合成什錦糖售賣．若該商場采用以下兩種不同方式混合：方式1：將質(zhì)量相等的甲、乙糖果進行混合；方式2：將總價相等的甲、乙糖果進行混合．哪種混合方式的什錦糖的單價更低？(1)小明設(shè)甲、乙糖果的單價分別為、，用含、的代數(shù)式分別表示兩種混合方式的什錦糖的單價．請你寫出他的解答過程；(2)為解決問題，小明查閱了資料，發(fā)現(xiàn)以下正確結(jié)論：結(jié)論1：若，則；若，則；若，則；結(jié)論2：反比例函數(shù)的圖像上的點的橫坐標與縱坐標互為倒數(shù)；結(jié)論3：若的坐標為，的坐標為，則線段的中點坐標為．小明利用上述結(jié)論順利解決此問題，請你按照他的思路寫出解答過程：①利用結(jié)論1求解；②利用結(jié)論2、結(jié)論3求解．【答案】(1)，，過程見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)單價的公式即可得到兩種不同方式的單價；（2）①讓兩種不同方式的單價作差法比較即可；②設(shè)A、B是反比例函數(shù)（）的圖像上兩點，是線段的中點，由結(jié)論2，得點A、B的橫坐標分別為、，由結(jié)論3，得點C的坐標為，由結(jié)論2，得點E的坐標為，可得，即可得答案．【詳解】（1）解：采用方式1混合的什錦糖的單價為，采用方式2混合的什錦糖的單價為；（2）①∵，，，∴，，∴，由結(jié)論1，得，∴采用方式2混合的什錦糖的單價更低；②如圖，設(shè)A、B是反比例函數(shù)（）的圖像上兩點，是線段的中點，令點A、B的縱坐標分別為a、b，不妨設(shè)，過點C作軸，垂足為D，CD與此函數(shù)圖像交于點E，由結(jié)論2，得點A、B的橫坐標分別為、，由結(jié)論3，得點C的坐標為，∵點C與點E的橫坐標相等，∴點E的橫坐標為，由結(jié)論2，得點E的坐標為，∵E是線段CD上一點，∴，∴，∴采用方式2混合的什錦糖的單價更低．【點睛】本題考查了代數(shù)式的大小比較,反比例函數(shù)的實際應用,中點坐標公式等知識,解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．【例2】（2022春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）建模：某班開端午聯(lián)歡會，生活委員彤彤先購買了2個裝飾掛件，共計3元，又購買了單價為2元的粽形香囊個，設(shè)所有裝飾掛件和粽形香囊的平均價格為元，則與的關(guān)系式為_______（不要求寫的范圍）【探究】根據(jù)函數(shù)的概念，彤彤發(fā)現(xiàn)：是的函數(shù)，結(jié)合自己學習函數(shù)的經(jīng)驗，為了更好地研究這個函數(shù)，彤彤打算先脫離實際背景，對該函數(shù)的完整圖像與性質(zhì)展開探究，請根據(jù)所給信息，將彤彤的探究過程補充完整．（1）列表：…－4－3－1012……41…填空：______，______．（2）在如圖所示的平面直角坐標系中描點、連線，畫出該函數(shù)的圖像．（3）觀察函數(shù)圖像，判斷下列描述錯誤的一項是（

）A．該函數(shù)圖像是中心對稱圖形B．該函數(shù)值不可能等于2C．當時，隨的增大而增大D.當時，隨的增大而減小應用：（4）根據(jù)上述探究，結(jié)合實際經(jīng)驗，彤彤得到結(jié)論：粽形香囊越多，所購買物品的平均價格越______（填“高”或“低”），但不會突破______元．【答案】建模：；探究：（1）3；0；（2）見解析；（3）D；應用：（4）高；2【分析】建模：依據(jù)平均數(shù)的算法，可得y與x的關(guān)系式；探究：（1）利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)自變量x的值，即可得到因變量y的值；（2）依據(jù)坐標，進行描點、連線，即可得到函數(shù)圖像；（3）由圖可得，對稱中心的坐標；依據(jù)函數(shù)圖像與直線y=2無限接近，即可得出該函數(shù)值y不可能等于2；依據(jù)函數(shù)圖像的增減性，即可得出y隨x的增大而增大．據(jù)此判斷即可；應用：（4）依據(jù)函數(shù)圖像的增減性，即可得到y(tǒng)隨x的增大而增大，函數(shù)值y與2無限接近．【詳解】解：建?！咄荣徺I了2個裝飾掛件共計3元，又購買了單價為2元的粽形香囊x個，y（元）是所有裝飾掛件和粽形香囊的平均價格，∴y與x的關(guān)系式為，故答案為：；探究：（1）當x=-3時，y=3，即m=3；當x=-時，y=0，即n=0；故答案為：3；0；（2）描點、連線，該函數(shù)的圖像如圖所示：（3）A、該函數(shù)圖像是中心對稱圖形，該說法正確；B、函數(shù)圖像與直線y=2無限接近，故該函數(shù)值y不可能等于2，該說法正確；C、當x＞-2時，函數(shù)圖像從左往右上升，即y隨x的增大而增大，該說法正確；D、當x<-2時，函數(shù)圖像從左往右上升，即y隨x的增大而增大，原說法錯誤；故選：D；應用：（4）由圖可得，當x≥0時，函數(shù)圖像從左往右上升，與直線y=2無限接近，即y隨x的增大而增大，函數(shù)值y與2無限接近，故粽形香囊越多，所購買物品的平均價格越高，但不會突破2元．故答案為：高；2．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．還能利用圖像直接比較函數(shù)值或是自變量的大小．將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問題的一種常用方法．即學即練1．（2022春·北京朝陽·八年級和平街第一中學校考期中）有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究下面是小東的探究過程，請補充完整：(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是(2)下表是y與x的幾組對應值x…－3－2－112345…y…93m…則m的值為；(3)如下圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象．(4)根據(jù)函數(shù)圖像，可以得出當時，y隨x的增大而．(5)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)其它的一條性質(zhì)：．【答案】(1)；(2)；(3)答案見詳解；(4)減?。?5)當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小．【分析】（1）分母不為0，即可求解；（2）當時，．即可求解；（3）描點畫出函數(shù)圖象即可；（4）當時，隨的增大而減小；（5）根據(jù)函數(shù)圖像，寫出一條函數(shù)的性質(zhì)即可．【詳解】（1）分母不為0，即：，故答案是：x≠0；（2）當時，．，故答案是：；（3）該函數(shù)的圖象如下圖所示．（4）當時，隨的增大而減小，故答案是：減?。唬?）當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小．【點睛】本題考查的是函數(shù)圖象，通過描點畫出函數(shù)圖象，從圖象讀取相關(guān)的數(shù)據(jù)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.（2021·河南開封·統(tǒng)考二模）某種型號的溫控水箱的工作過程是：接通電源后，在初始溫度20℃下加熱水箱中的水；當水溫達到設(shè)定溫度80℃時，加熱停止；此后水箱中的水溫開始逐漸下降，當下降到20℃時，再次自動加熱水箱中的水至80℃時，加熱停止：當水箱中的水溫下降到20℃時，再次自動加熱，…，按照以上方式不斷循環(huán)．小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對該型號溫控水箱中的水溫隨時間變化的規(guī)律進行了探究，發(fā)現(xiàn)水溫y是時間x的函數(shù)，其中y（單位：℃）表示水箱中水的溫度，x（單位：min）表示接通電源后的時間．下面是小明的探究過程，請補充完整：（1）下表記錄了16min內(nèi)9個時間點的溫控水箱中水的溫度y隨時間x的變化情況：接通電源后的時間（單位：min）01234581016…水箱中水的溫度（單位：）2035658064403220…m的值為__________．（2）①當時，寫出一個符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式__________；當時，寫出一符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式__________．②如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了上表中部分數(shù)據(jù)對應的點，根據(jù)描出的點，畫出當時，溫度y隨時間x變化的函數(shù)圖象；（3）如果水溫y隨時間x的變化規(guī)律不變，預測水溫第8次達到40℃時，距離接通電源__________min．【答案】（1）50；（2）①，；②見解析；（3）56【分析】（1）觀察表格，可得每分鐘上升多少溫度，由此即可解決問題；（2）①觀察表格，可知當時，函數(shù)是一次函數(shù)，由此利用待定系數(shù)法解決問題；觀察表格可知當時，函數(shù)為反比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可解決；②根據(jù)表格，利用描點法畫出圖像即可；（3）利用圖像尋找規(guī)律即可．【詳解】解：（1）由題意可知每分鐘溫度上升了15℃，∴，故答案為：50；（2）①時，設(shè)函數(shù)解析式為：，代入兩點得，解得：，所以函數(shù)解析式為；當時，設(shè)函數(shù)解析式為，帶入一點得：，解得：，所以函數(shù)解析式為：故答案為：，；②畫出的函數(shù)圖象如解圖所示．（3）觀察圖像可知16分鐘一個周期，每個周期內(nèi)會出現(xiàn)兩次40℃，∴第8次達到40℃時，距離接通電源56min，故答案為：56．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用、反比例函數(shù)的應用等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用圖像解決實際問題．★知識點5:利潤類典例分析【例1】（2018·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）隨著龍蝦節(jié)的火熱舉辦，某龍蝦養(yǎng)殖大戶為了發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢，一次性收購了10000kg小龍蝦，計劃養(yǎng)殖一段時間后再出售．已知每天養(yǎng)殖龍蝦的成本相同，放養(yǎng)10天的總成本為166000，放養(yǎng)30天的總成本為178000元．設(shè)這批小龍蝦放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為akg，銷售單價為y元/kg，根據(jù)往年的行情預測，a與t的函數(shù)關(guān)系為a=，y與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）設(shè)每天的養(yǎng)殖成本為m元，收購成本為n元，求m與n的值；（2）求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果將這批小龍蝦放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤為W元．問該龍蝦養(yǎng)殖大戶將這批小龍蝦放養(yǎng)多少天后一次性出售所得利潤最大？最大利潤是多少？（總成本=放養(yǎng)總費用+收購成本；利潤=銷售總額﹣總成本）【答案】（1）m=600，n=160000；（2）；（3）該龍蝦養(yǎng)殖大戶將這批小龍蝦放養(yǎng)25天后一次性出售所得利潤最大，最大利潤是108500元.【詳解】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出方程組的解得到m與n的值即可；（2）根據(jù)圖象，分類討論利用待定系數(shù)法求出y與P的解析式即可；（3）根據(jù)W=ya﹣mt﹣n，表示出W與t的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出所求即可．【詳解】（1）依題意得，解得：；（2）當0≤t≤20時，設(shè)y=k1t+b1，由圖象得：，解得：∴y=t+16；當20＜t≤50時，設(shè)y=k2t+b2，由圖象得：，解得：，∴y=﹣t+32，綜上，；（3）W=ya﹣mt﹣n，當0≤t≤20時，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，∵5400＞0，∴當t=20時，W最大=5400×20=108000，當20＜t≤50時，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，∵﹣20＜0，拋物線開口向下，∴當t=25，W最大=108500，∵108500＞108000，∴當t=25時，W取得最大值，該最大值為108500元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，具體考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2021秋·全國·九年級專題練習）某商店以每件5元的價格購進一種文具，由試銷知，該文具每天的銷售量m（件）與單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．（1）寫出商店每天銷售這種文具的利潤y（元）與單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式？（2）商店要想每天獲得利潤21元，單價應定為多少元？（3）商店要想每天獲得最大利潤，單價應定為多少元？最大利潤為多少？【答案】（1）；（2）單價應定為元或元；（3）單價應定為每件元，最大利潤為元．【分析】（1）根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷售量”可得函數(shù)解析式；（2）把代入（1）中函數(shù)解析式，可得一元二次方程，解方程可得答案；（3）將（1）中所得函數(shù)解析式配方成頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意知：

（2）當時，即商店要想每天獲得利潤21元，單價應定為每件元或元．（3）∵∴當時，y取得最大值，最大值為，答：商店要想每天獲得最大利潤，單價應定為每件元，最大利潤為元．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的應用，列二次函數(shù)關(guān)系式，一元二次方程的解法，二次函數(shù)的最值，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．即學即練1．（2020秋·九年級課時練習）2015年9月19日第九屆合肥文博會開幕．開幕前夕，我市某工藝廠設(shè)計了一款成本為10元/件的工藝品投放市場進行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：銷售單價x（元/件）…2030405060…每天銷售量（y件）…500400300200100…（1）把上表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在下面的平面直角坐標系中描出相應的點，猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（3）開幕后，合肥市物價部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過38元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）一次函數(shù)，y=-10x+700；(2)銷售單價定為40元∕件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大．最大利潤是9000元；(3)銷售單價定為38元∕件時，工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤最大．最大利潤是8960元．【分析】（1）利用表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在坐標系中描出即可，再根據(jù)點的分布得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出即可；（2）根據(jù)利潤=銷售總價-成本總價，由（1）中函數(shù)關(guān)系式得出W=（x-10）（-10x+700），進而利用二次函數(shù)最值求法得出即可；（3）利用二次函數(shù)的增減性，結(jié)合對稱軸即可得出答案．【詳解】（1）畫圖：由圖可知，這幾個點在一條直線上，所以猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系．設(shè)這個一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0），∵這個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（20，500）、（30，400）這兩點，∴，解得：，∴此函數(shù)關(guān)系式是y=-10x+700．（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得：W=（x-10）(-10x+700）=-10x2+800x-7000=-10（x-40）2+9000，∴當x=40時，W有最大值9000．答：銷售單價定為40元∕件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大．最大利潤是9000元．（3）對于函數(shù)W=-10（x-40）2+9000，當x≤38時，W的值隨著x值的增大而增大，∴當x=38時，最大=-10×（38-40）2+9000=8960，答：銷售單價定為38元∕件時，工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤最大．最大利潤是8960元．2．（2023春·山東泰安·九年級校考期末）某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元），設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？【答案】（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式為；x的取值范圍為，且x為正整數(shù)；（2）每件商品的售價定為55元或56元時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2400元.【分析】（1）先求出每件商品的售價上漲x元后的月銷量，再根據(jù)“月利潤=每件利潤月銷量”列出等式即可；根據(jù)x為正整數(shù)，和每件售價不能高于65元寫成x的取值范圍；（2）根據(jù)題（1）的結(jié)論，利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）設(shè)每件商品的售價上漲x元，則商品的售價為元，月銷量為件由題意得：整理得：由每件售價不能高于65元得：，即又因x為正整數(shù)則x的取值范圍為：，且x為正整數(shù)綜上，y與x的函數(shù)關(guān)系式為；x的取值范圍為，且x為正整數(shù)；（2）的對稱軸為：則當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小因x為正整數(shù)，則當時，，y取得最大值；當時，，y取得最大值，比較這兩個最大值即可得出最大利潤將代入得：，此時售價為將代入得：，此時售價為答：每件商品的售價定為55元或56元時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2400元.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，依據(jù)題意建立等式是解題關(guān)鍵.需要注意的是，在根據(jù)函數(shù)的增減性求最大利潤時，要考慮對稱軸的兩側(cè)，避免漏解.1．（2023春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）五一假期，小王一家從杭州到溫州自駕游，已知杭州到溫州市區(qū)A處的路程為300千米，小王家的車油箱的容積為55升，小王把油箱加滿后駕駛汽車從杭州出發(fā)．

(1)求汽車行駛的總路程s（單位：千米）與平均耗油量b（單位：升/千米）的函數(shù)表達式．(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度駕駛汽車到達溫州市區(qū)A處，休整后沿圖示路線繼續(xù)出發(fā)，先到雁蕩山B處，再到楠溪江C處，最后到洞頭D處．由于下雨，從A處開始直到D處小王降低了車速，此時平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始終以此速度行駛，不需加油能否到達洞頭D處？如果不能，至少還需加多少油？【答案】(1)(2)不加油不能到達洞頭D處，還需加油升以上【分析】（1）利用公式：路程總?cè)莘e平均耗油量，即可得的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出到達溫州市區(qū)A處所需油量與從A處到達洞頭D處所需油量之和，再和55升比較即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：；（2）從杭州到溫州A處，一共耗油升，從處：，一共耗油升，∴不加油不能到達洞頭D處，還需：升答：不加油不能到達洞頭D處，還需加油5升以上．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解平均耗油量與行駛路程的關(guān)系．2．（2023春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）某醫(yī)藥研究所研制了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：成人按規(guī)定劑量服用后，檢測到從第10分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.3微克，第100分鐘達到最高，接著開始衰退．血液中含藥量y（微克）與時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖，并發(fā)現(xiàn)衰退時y與x成反比例函數(shù)關(guān)系．

(1)______；(2)分別求出當和時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果每毫升血液中含藥量不低于12微克時是有效的，求一次服藥后的有效時間是多少分鐘？【答案】(1)27(2)當時，解析式為；當時，函數(shù)的解析式為(3)175分鐘【分析】（1）根據(jù)“從第10分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.3微克”即可求解；（2）利用待定系數(shù)法即可求解；（3）分別令，即可求解．【詳解】（1）解：∵從第10分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.3微克∴（2）解：當時，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為∵經(jīng)過點∴解得：，∴解析式為；

當時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為∵經(jīng)過點∴解得：，∴函數(shù)的解析式為；（3）解：令解得：，令，解得：∴分鐘，∴服藥后能持續(xù)175分鐘.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、利用函數(shù)圖象解決實際問題等．將實際問題與函數(shù)建立正確聯(lián)系是解題關(guān)鍵．3．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考一模）生理學家發(fā)現(xiàn)每個人有一條腿邁出的步子比另一條腿邁出的步子長的特點，這就導致每個人在蒙上眼睛行走時，雖然主觀上沿某一方向直線前進，但實際上走出的是一個大圓圈！這就是有趣的“嗐轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象．經(jīng)研究，某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑y(tǒng)（米）是其兩腿邁出的步長之差x（厘米）的反比例函數(shù)，y與x之間有如表關(guān)系，x（厘米）1235y（米）7請根據(jù)表中的信息解決下列問題：(1)求出y與x之間的函數(shù)解析式；(2)若某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為35米，則其兩腿邁出的步長之差是多少厘米？【答案】(1)y與x之間的函數(shù)解析式為(2)某人走出的大圓圈的半徑為35米，其兩腿邁出的步長之差是厘米【分析】（1）將代入函數(shù)解析式為，運用待定系數(shù)法解答即可；（2）令，求得x的值即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為，

將代入得，

∴，∴y與x之間的函數(shù)解析式為；（2）當時，即，

解得

∴某人走出的大圓圈的半徑為35米，其兩腿邁出的步長之差是厘米【點睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與實際的綜合應用等知識點，理解反比例函數(shù)的定義及圖象的特點是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期中）如圖，長，寬，深的長方體水池被隔成底面分別是和的甲，乙兩池（設(shè)隔墻厚度忽略不計），兩池隔墻下方有閥門相連．

(1)當兩池間的閥門關(guān)閉時，設(shè)進水管每小時注入甲池放得水量是a立方米，注滿甲池的時間為，與a之間的函數(shù)關(guān)系式是___________；(2)注滿甲池后，進水管自動關(guān)閉，同時兩池間的閥門開啟，設(shè)甲池的水每小時流入乙池的水量也是a立方米，后水流停止，與a之間的函數(shù)關(guān)系式是___________；(3)如果要在內(nèi)能依次完成第（1），（2）題中所述的過程，那么進水管和兩池間的閥門每小時至少要通過多少水量？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求得甲池的總水量，再根據(jù)總水量等于注滿水的時間乘以注水速度可求解；（2）先求得甲池和乙池水面齊平時的水的深度，進而求得流入乙池的總水量，進而可求解；（3）根據(jù)題意得，即，解方程即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，則，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，當甲池和乙池水面齊平時水流停止，這時水的深度為，則乙池總水量為，由得，故答案為：；（3）解：由題意，，即，解得，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，答：進水管和兩池間的閥門每小時至少要通過水量．【點睛】本題考查求反比例函數(shù)的實際應用、分式方程的應用，理解題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．5．（2016·安徽·九年級專題練習）保護生態(tài)環(huán)境，建設(shè)環(huán)境友好型社會已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆樱沂心称髽I(yè)由于排污超標，于2010年2月起適當限產(chǎn)，并投入資金進行治污改造，5月底治污改造工程順利完工．已知該企業(yè)2010年1月的利潤為200萬元，設(shè)第x個月的利潤為y萬元（2010年1月為第1個月）．當1≤x≤5時，y與x成反比例；當x＞5時，該企業(yè)每月的利潤比前一個月增加20萬元．（1）分別求1≤x≤5和x＞5時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）治污改造工程完工后經(jīng)過幾個月，該企業(yè)月利潤才能達到2010年1月的水平？（3）當月利潤少于100萬元時為該企業(yè)資金緊張期，問該企業(yè)資金緊張期共有幾個月？【答案】（1）當1≤≤5時，；當＞5時，；（2）經(jīng)過8個月后，該企業(yè)利潤達到200萬元．（3）資金緊張的時間為：3，4，5，6，7月份，共5個月.