專題14 因式分解重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（13大題型）（解析版）

專題14因式分解重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（13大題型）【題型目錄】題型一判斷是否是因式分解題型二已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)題型三公因式題型四提公因式法分解因式題型五判斷能否用公式法分解因式題型六運(yùn)用平方差公式分解因式題型七運(yùn)用完全平方公式分解因式題型八綜合運(yùn)用公式法分解因式題型九綜合提公因式和公式法分解因式題型十因式分解在有理數(shù)簡(jiǎn)算中的應(yīng)用題型十一十字相乘法題型十二分組分解法題型十三因式分解的應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.知識(shí)點(diǎn)二、提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.知識(shí)點(diǎn)三、公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.知識(shí)點(diǎn)四、公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.知識(shí)點(diǎn)五、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則特別說明：（1）在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，則同號(hào)(若，則異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定的符號(hào)（2）若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.知識(shí)點(diǎn)六、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.知識(shí)點(diǎn)七、分組分解法對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點(diǎn)分組分解法四項(xiàng)二項(xiàng)、二項(xiàng)①按字母分組②按系數(shù)分組

③符合公式的兩項(xiàng)分組三項(xiàng)、一項(xiàng)先完全平方公式后平方差公式五項(xiàng)三項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式六項(xiàng)三項(xiàng)、三項(xiàng)

二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)可化為二次三項(xiàng)式知識(shí)點(diǎn)八：添、拆項(xiàng)法把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形.添、拆項(xiàng)法分解因式需要一定的技巧性，在仔細(xì)觀察題目后可先嘗試進(jìn)行添、拆項(xiàng)，在反復(fù)嘗試中熟練掌握技巧和方法.知識(shí)點(diǎn)九：因式分解的解題步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項(xiàng)法等.特別說明：落實(shí)好方法的綜合運(yùn)用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項(xiàng)平方或立方，三項(xiàng)完全或十字；四項(xiàng)以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.【經(jīng)典例題一判斷是否是因式分解】1．（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)海南華僑中學(xué)?？计谥校┫铝幸蚴椒纸?，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解．熟練掌握提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：，錯(cuò)誤，故A不符合要求；，正確，故B符合要求；，錯(cuò)誤，故C不符合要求；，錯(cuò)誤，故D不符合要求；故選：B．2．（2023下·陜西寶雞·七年級(jí)校聯(lián)考期末）下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)符合題意；B、，沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式（含有分式），不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，這類問題的關(guān)鍵在于能否正確應(yīng)用分解因式的定義來判斷．3．（2023下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列等式中，從左到右的變形屬于因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義和因式分解的方法逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：、，從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；、，等式的左邊不是多項(xiàng)式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；、，等式右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；、，從左到右的變形屬于因式分解且分解徹底，故本選項(xiàng)符合題意．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的定義和因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是正確理解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解．4．（2023下·寧夏銀川·八年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇綇淖蟮接业淖冃沃?，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的概念逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故不符合題意；B．右邊是最簡(jiǎn)整式的乘積形式，故符合題意；C．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故不符合題意；D．分解錯(cuò)誤，故不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式．5．（2023下·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義依次進(jìn)行計(jì)算判斷即可．【詳解】、，等號(hào)的右側(cè)不是積的形式，不是因式分解，不符合題意，排除；、，是整式的乘法，不符合題意，排除；、，是整式的乘法，不合題意，排除；、，符合因式分解的定義，符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．【經(jīng)典例題二已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】1．（2023下·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式可以分解為，則x的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題可根據(jù)題中條件，多項(xiàng)式分解為單項(xiàng)式，用分解出來的單項(xiàng)式進(jìn)行相乘后，即可求出x的值．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的基本知識(shí)，學(xué)生需掌握因式分解的基本知識(shí)，做此題就不難．2．（2021下·甘肅蘭州·八年級(jí)?？计谥校┤羰嵌囗?xiàng)式因式分解的結(jié)果，則的值為（

）．A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】先計(jì)算，由即可求得的值．【詳解】解：，由題意得，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解的定義，熟練掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的二次三項(xiàng)式可分解為，則的值為．【答案】9【分析】把展開，求出、的值，計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法和因式分解，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式乘法法則進(jìn)行計(jì)算．4．（2023下·全國·八年級(jí)期中）若關(guān)于的二次三項(xiàng)式的因式是和，則的值是．【答案】2【分析】先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再利用多項(xiàng)式相等的條件求出的值即可．【詳解】解：由題意得：，．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，因式分解的意義，以及多項(xiàng)式相等的條件，熟練掌握因式分解的意義是解本題的關(guān)鍵．5．（2023上·湖南懷化·八年級(jí)校考開學(xué)考試）【例題講解】因式分解：．為三次二項(xiàng)式，若能因式分解，則可以分解成一個(gè)一次二項(xiàng)式和一個(gè)二次多項(xiàng)式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，展開等式右邊得：，恒成立．等式兩邊多項(xiàng)式的同類項(xiàng)的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，即，解得，．【方法歸納】設(shè)某一多項(xiàng)式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)，利用當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式為恒等式時(shí)，同類項(xiàng)系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù)，從而得到待求的值，這種方法叫待定系數(shù)法．【學(xué)以致用】(1)若，則________；(2)若有一個(gè)因式是，求的值及另一個(gè)因式．【答案】(1)(2)，【分析】（1）將展開，再根據(jù)題干的方法即可求解；（2）設(shè)多項(xiàng)式另一個(gè)因式為，利用題干給出的待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，故答案為：；（2）設(shè)多項(xiàng)式另一個(gè)因式為，則，，，，，，即另一個(gè)式子為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的乘法，因式分解等知識(shí)，掌握題干給出的待定系數(shù)法，是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三公因式】1．（2022上·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）多項(xiàng)式的公因式是，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)公因式是各項(xiàng)中都含有的因式，可得答案．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式，確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次冪．2．（2023下·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各組多項(xiàng)式中，沒有公因式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】先對(duì)各多項(xiàng)式分解因式，然后利用公因式的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】、與，沒有公因式，此選項(xiàng)符合題意；、，，有公因式，此選項(xiàng)不符合題意，排除；、與有公因數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意，排除；、，，有公因式，此選項(xiàng)不符合題意，排除；故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了公因式，解題的關(guān)鍵是先確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，再確定各項(xiàng)的相同字母因式(或相同多項(xiàng)式因式)，然后確定各項(xiàng)相同字母因式(或相同多項(xiàng)式因式)的指數(shù)的最低次冪．3．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）把多項(xiàng)式因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)找公因式的方法：系數(shù)取最大公約數(shù)，相同字母取最低次冪，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、找公因式的方法，熟練掌握確定公因式的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2021下·浙江·七年級(jí)期中）單項(xiàng)式與的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公因式的定義，分別找出系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低指數(shù)次冪，乘積就是公因式；【詳解】與的公因式是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式：多項(xiàng)式ma+mb+mc中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m，因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．5．（2023上·河南周口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各式中，沒有公因式的是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】B【分析】根據(jù)公因式的定義逐一分析即可．【詳解】解：A、，與有公因式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、與沒有公因式，故本選項(xiàng)符合題意；C、與有公因式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、與有公因式，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的含義，熟記公因式的定義與公因式的確定是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四提公因式法分解因式】1．（2023下·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先提取公因式，再對(duì)余下的項(xiàng)進(jìn)行合并，整理，然后觀察，如果能夠分解的一定要分解徹底，如果不能分解，就是最后的結(jié)果．【詳解】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查用提公因式法進(jìn)行因式分解的能力，難點(diǎn)在于把看作一個(gè)整體．2．（2023下·浙江·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若多項(xiàng)式，則是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】提取公因式后剩下的各項(xiàng)的和就是所要求的的值．【詳解】解：，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法分解因式的解答過程，要靈活運(yùn)用符號(hào)的變換．3．（2023上·遼寧沈陽·九年級(jí)東北育才雙語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知，，則．【答案】【分析】將因式分解，再將，代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法和步驟．4．（2022上·河北邢臺(tái)·八年級(jí)邢臺(tái)三中校考開學(xué)考試）如圖，長(zhǎng)和寬分別為，的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，面積為，則的值為；

【答案】【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)和面積的公式得到，，再將因式分解等于，再代入求值即可．【詳解】解：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，代數(shù)式求值，掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）小雅同學(xué)計(jì)算一道整式除法：，由于她把除號(hào)錯(cuò)寫成了乘號(hào)，得到的結(jié)果為(1)直接寫出a、b的值：，．(2)這道除法計(jì)算的正確結(jié)果是；(3)若，，計(jì)算（2）中代數(shù)式的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了整式的乘法和除法以、因式分級(jí)以及代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是關(guān)鍵．（1）按題意將除法運(yùn)算改成乘法，計(jì)算，將乘積與對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，即可求出答案；（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可；（3）先將提公因式，再將，代入即可．【詳解】（1）解：由題意，，∴，解得，，故答案為：；（2）由題意，得，故答案為：；（3）∴原式．【經(jīng)典例題五判斷能否用公式法分解因式】1．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式不能進(jìn)行因式分解的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的方法，注意判斷，即可解答．【詳解】解：利用完全平方公式，可得，故A不符合題意；無法因式分解，故B符合題意；利用完全平方公式，可得，故C不符合題意；利用平方差公式，可得，故D不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解題的關(guān)鍵．2．（2022下·七年級(jí)單元測(cè)試）下列各式中，不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用提公因式法和公式法逐一進(jìn)行因式分解，即可得到答案．【詳解】解：A、，能分解因式，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，不能分解因式，符合題意，選項(xiàng)正確；C、，能分解因式，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，能分解因式，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，平方差公式，完全平方公式，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．3．（2022下·江蘇淮安·七年級(jí)?？计谥校┫铝卸囗?xiàng)式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（

）A．a(chǎn)2﹣b B．a(chǎn)2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式判斷即可；【詳解】A．不能運(yùn)用平方差公式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．不能運(yùn)用平方差公式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．能運(yùn)用平方差公式分解，故此選項(xiàng)正確；D．不能運(yùn)用平方差公式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法分解因式，熟記平方差公式是解題關(guān)鍵．4．（2021下·湖南張家界·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)判斷即可；【詳解】不能用完全平方公式，故A不符合題意；不能用完全平方公式，故B不符合題意；，能用完全平方公式，故C符合題意；不能用完全平方公式，故D不符合題意；故答案選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解公式法的判斷，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·河南周口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式特點(diǎn)，即可判斷出答案．【詳解】解：A．可明顯看出只有兩項(xiàng)，不能用完全平方公式分解因式，所以A不符合題意；B．有三項(xiàng)，并且有兩項(xiàng)是平方項(xiàng)，中間項(xiàng)符合倍乘積，能用完全平方公式分解因式，所以B符合題意；C．有三項(xiàng)，并且兩個(gè)平方項(xiàng)都是正的，但是中間項(xiàng)不符合倍乘積，不能用完全平方公式分解因式，所以C不符合題意；D．有三項(xiàng)，并且兩個(gè)平方項(xiàng)是正的，中間項(xiàng)不符合倍乘積，不能用完全平方公式分解因式，所以D選項(xiàng)不符合題意．故答案選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，做這樣的題目首先看一下多項(xiàng)式是否有三項(xiàng)，然后找到兩個(gè)平方項(xiàng)并確保符號(hào)都是正的，最后驗(yàn)證最后一項(xiàng)是否符合倍乘積即可．【經(jīng)典例題六運(yùn)用平方差公式分解因式】5．（2023下·湖南永州·七年級(jí)?？计谥校┫铝卸囗?xiàng)式中能用平方差公式進(jìn)行分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：A、，不能用平方差公式進(jìn)行分解因式，不符合題意；B、，不能用平方差公式進(jìn)行分解因式，不符合題意；C、，不能用平方差公式進(jìn)行分解因式，不符合題意；D、，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握平方差公式是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023下·湖南永州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知可以被10到20之間的某兩個(gè)整數(shù)整除，則這兩個(gè)數(shù)是（）A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17【答案】D【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之間的哪兩個(gè)整數(shù)整除.【詳解】∴可以被10至20之間的17和15兩個(gè)整數(shù)整除.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵.3．（2023下·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】先根據(jù)平方差公式分解因式，再整體代入，即可求出答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和求代數(shù)式的值，能夠整體代入是解此題的關(guān)鍵．4．（2023下·貴州黔西·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【答案】【分析】先利用完全平方公式進(jìn)行配方，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可.【詳解】解：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握用公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解技巧：若，則.5．（2020上·上海浦東新·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式因式分解，掌握是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七運(yùn)用完全平方公式分解因式】1．（2023上·山東東營·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，則代數(shù)式的值是（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)代數(shù)式的形式，構(gòu)造出完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，都是有理數(shù)，且，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用完全平方公式變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出與的值，然后代入所求式子進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵∴∴∴，解得：，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·河南周口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，且滿足兩個(gè)等式，則的值為．【答案】4【分析】由等量代換可得，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴∴∴∴∵則∴則∴故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，掌握“提公因式與利用完全平方公式分解因式”是解本題的關(guān)鍵．4．（2023上·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】由題意得到，，，再把要求的代數(shù)式用完全平方公式進(jìn)行因式分解，整體代入即可得到答案．【詳解】∵，，，∴，，，∴，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·四川資陽·八年級(jí)四川省樂至中學(xué)?？计谥校┯^察下列分解因式的過程：解：原式像這種通過增減項(xiàng)把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成完全平方形式的方法稱為配方法．(1)請(qǐng)你運(yùn)用上述配方法分解因式：；(2)已知的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，且滿足，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)13【分析】（1）原式利用完全平方公式變形后分解，再利用平方差公式分解即可；（2）運(yùn)用配方法，求出a、b，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出c即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，，的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，，周長(zhǎng)的最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八綜合運(yùn)用公式法分解因式】1．（2022上·八年級(jí)單元測(cè)試）將分解因式，所得結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將看作一個(gè)整體，然后對(duì)原式變形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．【詳解】解：．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，靈活運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022上·天津東麗·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列分解因式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式的乘積形式，且每一個(gè)整式不能再分解．根據(jù)提公因式法、公式法分解因式，即可獲得答案．【詳解】解：A.，正確，符合題意；B.，故該選項(xiàng)因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；C.，不能再分解，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.，故該選項(xiàng)因式分解錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的知識(shí)，熟練掌握因式分解的常用方法是解題關(guān)鍵．3．（2022上·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)校考期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．【答案】【分析】先在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)提公因式得：，然后利用配方法以及平方差公式將括號(hào)里的進(jìn)行因式分解變形得出答案【詳解】=====故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的基本方法，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵．4．（2022上·上海楊浦·八年級(jí)?？计谥校┰趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式．【答案】【分析】將化成一個(gè)完全平方式與另一個(gè)數(shù)的差，再運(yùn)用平方差公式分解因式．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的運(yùn)用．5．（2023上·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)將下列式子進(jìn)行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查提公因式法及公式法因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．（1）將原式提公因式后利用平方差公式因式分解即可；（2）利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可．【詳解】（1）原式（2）原式【經(jīng)典例題九綜合提公因式和公式法分解因式】1．（2023上·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式不是因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】題目主要考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，將原式分解因式，判斷即可．【詳解】解：原式．∴，，是原多項(xiàng)式的因式，不是的因式，故選A．2．（2023·浙江寧波·九年級(jí)效實(shí)中學(xué)校聯(lián)考自主招生）已知，的值有（）A．1個(gè) B．2個(gè)C．大于2個(gè)但有限 D．無數(shù)個(gè)【答案】B【分析】先把已知等式的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右側(cè)得①，然后求得②，再把①②相加，進(jìn)行分解因式，再利用平方數(shù)的非負(fù)性進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵，∴①，∵②，得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，綜上可知：的值有2個(gè)，為或2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，差的立方公式，立方和公式，完全平方公式，實(shí)數(shù)的非負(fù)性，熟練掌握掌握公式，靈活分解因式，活用非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考階段練習(xí)）把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是．【答案】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解即可；【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】該題主要考查了分解因式，解題的關(guān)鍵是掌握分解因式的方法，分解因式的主要方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法．4．（2023上·上海長(zhǎng)寧·七年級(jí)上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)校考期中）由多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則可以得到：即：，我們把這個(gè)公式叫做立方和公式，同理：，我們把這個(gè)公式叫做立方差公式，請(qǐng)利用以上公式分解因式：【答案】【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，再運(yùn)用立方差公式即可求解．【詳解】解：，故答案為：．5．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？计谥校┮阎螅?1)的值；(2)的值．【答案】(1)37(2)150【分析】（1）利用完全平方式的變形進(jìn)行求解即可；（2）先對(duì)所求的代數(shù)式分解因式為，然后根據(jù)已知進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，則（2）【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，分解因式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式．【經(jīng)典例題十因式分解在有理數(shù)簡(jiǎn)算中的應(yīng)用】1．（2023上·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】原式各括號(hào)利用平方差公式變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】原式，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平方差公式，掌握運(yùn)算法則和平方差公式是解題關(guān)鍵．2．（2020上·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則的值是（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【分析】先對(duì)進(jìn)行變形，可以解出a，b的關(guān)系，然后在對(duì)進(jìn)行因式分解即可．【詳解】∵，∴，，，∴，，∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，在解題時(shí)要注意符號(hào)變換，同時(shí)掌握正確的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)廣州市天河區(qū)匯景實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┯?jì)算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一個(gè)算式因式分解，再進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于利用公式進(jìn)行計(jì)算．4．（2023下·遼寧本溪·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，，則計(jì)算的結(jié)果為．【答案】2022.5【分析】先提公因式，再用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】．故答案為：2022.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方差公式因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）利用因式分解計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，熟知完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十一十字相乘法】1．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果多項(xiàng)式能被整除，那么的值是（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】由于，而多項(xiàng)式能被整除，則能被整除．運(yùn)用待定系數(shù)法，可設(shè)商是A，則，則和時(shí)，，分別代入，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進(jìn)而得到的值.【詳解】解：∵，∴能被整除，設(shè)商是A．則，則和時(shí)，右邊都等于0，所以左邊也等于0．當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②，得，∴，∴．∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用．在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．本題關(guān)鍵是能夠通過分析得出和時(shí)，原多項(xiàng)式的值均為0，從而求出a、b的值．本題屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．2．（2023上·河北保定·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）若分解因式則的值為（

）A． B．5 C． D．2【答案】D【分析】已知等式右邊利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再利用多項(xiàng)式相等的條件求出的值即可．【詳解】解：已知等式整理得：，可得，，解得：，，故答案為：D．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解十字相乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．3．（2020上·上海閔行·七年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校┮蚴椒纸猓海敬鸢浮俊痉治觥坷谩笆窒喑朔ā边M(jìn)行因式分解即可得出答案．【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查因式分解，熟練掌握“十字相乘法”是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）甲、乙兩人在對(duì)進(jìn)行因式分解時(shí)，甲看錯(cuò)了a，得到的結(jié)果為；乙看錯(cuò)了b，得到的結(jié)果為，則因式分解的正確結(jié)果為．【答案】【分析】根據(jù)因式分解的恒等性，根據(jù)確定b的值，根據(jù)題意，，確定正確的a值，后重新因式分解即可．【詳解】∵甲看錯(cuò)了a，得到的結(jié)果為；乙看錯(cuò)了b，得到的結(jié)果為，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的看錯(cuò)項(xiàng)問題，熟練掌握因式分解的意義是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校╅喿x理解：在松松與南南學(xué)習(xí)到分解因式的知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)年級(jí)上教材第頁有一種因式分解的方法叫十字相乘法，即，則可按此多項(xiàng)式乘法計(jì)算逆向思考，將二次三項(xiàng)式因式分解成，松松沒有看明白書中的方法，請(qǐng)南南幫助他，南南告訴他：“要把二次三項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)分成兩個(gè)整數(shù)的積，且這兩個(gè)整數(shù)的和等于才可以，即，，則口算就可以得到，或，，然后在將與的值代入式子中即可得到；(1)松松按照南南教他的方法將二次三項(xiàng)式分解成，那么松松應(yīng)該將二次三項(xiàng)式如何分解呢？______；(2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一個(gè)變式問題，可是松松想了想沒有好辦法，請(qǐng)你幫松松完成這個(gè)因式分解的題目吧：；(3)在松松南南的齊心努力下，終于學(xué)會(huì)了因式分解的十字相乘法，但是老師卻給他出了一個(gè)思考題，大家?guī)椭伤赡夏弦黄鹜瓿蛇@個(gè)因式分解的題吧：．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）根據(jù)題意中十字相乘的方法即可求解；（）先提“”，再用十字相乘的方法即可求解；（）用十字相乘的方法即可求解；此題考查了利用十字相乘法因式分解，解題的關(guān)鍵是正確理解和掌握十字相乘法因式分解的應(yīng)用．【詳解】（1）二次三項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)分成兩個(gè)整數(shù)的積，且這兩個(gè)整數(shù)的和等于才可以，即，，則口算就可以得到，或，，然后在將與的值代入式子中即可得到，故答案為：（2），；（3），，，，．【經(jīng)典例題十二分組分解法】1．（2023下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知a，b為正整數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．28 B．43 C．76 D．78【答案】C【分析】將利用分組分解法化為，再根據(jù)a，b為正整數(shù)，分類討論即可得到答案．【詳解】解：∵，∴∴∴，∵a，b為正整數(shù)，要使最大，則b的值應(yīng)比a大，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴的最大值為76，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了分組分解法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于把等號(hào)左邊的式子化為乘積的形式．2．（2022上·八年級(jí)單元測(cè)試）已知有一個(gè)因式，把它分解因式后的結(jié)果是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知可以得，之后進(jìn)行整式乘法計(jì)算即可求解本題．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，解得，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是整式乘法和因式分解，這里掌握它們互為逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西吉安·統(tǒng)考三模）分解因式：=．【答案】【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法因式分解即可求解．【詳解】．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022上·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式【答案】【分析】原式先提取x，再分組，利用因式分解，代入數(shù)值即可求解．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握分組分解法以及提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列文字與例題，并解答：將一個(gè)多項(xiàng)式分組進(jìn)行因式分解后，可用提公因式法或公式法繼續(xù)分解的方法稱作分組分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．原式(1)試用“分組分解法”因式分解：(2)已知四個(gè)實(shí)數(shù)，，，，滿足，，并且，，，，同時(shí)成立．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，用含的代數(shù)式分別表示、、（直接寫出答案即可）．【答案】(1)(2)①；②，【分析】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是關(guān)鍵．（1）根據(jù)因式分解分組分解法分解即可；（2）根據(jù)因式分解分組分解法和提公因式法分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：①當(dāng)時(shí)，得，，，；②當(dāng)時(shí)，，，，，，即，，，，，由得，得，，，即，，，，，又由，，得，即，，即，或，，或，又，則，，．【經(jīng)典例題十三因式分解的應(yīng)用】1．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若將多項(xiàng)式因式分解為，則的值為（）A．0 B． C．1 D．1或【答案】B【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算，求出的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用．熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，求出求出的值，是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·四川達(dá)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若，，，則多項(xiàng)式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)，，，可以得到，，的值，然后將所求式子變形，然后將，，的值代入變形后的式子計(jì)算即可．【詳解】，，，，，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵時(shí)明確題意，利用完全平方公式解答．3．（2023下·浙江寧波·七年級(jí)?？计谥校┫铝姓f法正確的是．①在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②無論k取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式總能分解成兩個(gè)一次因式積的形式；③已知二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則a的值是0.5；④若，，則．【答案】①③【分析】利用平行公理對(duì)①判斷；利用平方差公式的特點(diǎn)對(duì)②分析；③解方程組求得x、y的值，代入即可求得a的值；④利用冪的乘方，完全平方公式即可求解．【詳解】解：①按照平行公理可判斷在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)正確；②當(dāng)k為負(fù)值時(shí)，多項(xiàng)式不能分解成兩個(gè)一次因式積的形式，故本選項(xiàng)不正確；③解方程組，得，把代入得：，解得：，故本選項(xiàng)正確；④∵，∴，∴，故本選項(xiàng)不正確；綜上正確的說法是①③．故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了平行公理、因式分解、二元一次方程組的解以及冪的乘方等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·福建廈門·八年級(jí)?？计谀?duì)于二次三項(xiàng)式（為常數(shù)），有下列結(jié)論：①若，且，則；②若，則；③若，則無論為何值，；④若，且，其中為整數(shù)，則可能的取值有8個(gè)．其中正確的是．（只填寫序號(hào)）【答案】②④/④②【分析】根據(jù)完全平方公式以及十字相乘法因式分解以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)而判斷得出答案即可．【詳解】解：①若，且，則有，∴，故說法①錯(cuò)誤；②若，∴，∴，∴，故說法②正確；③若，則，則，∵，∴，故說法③錯(cuò)誤；④若，且，則，∴，∵為整數(shù)，∴或或或或或或或，∴或或或或或或或共種，故說法④正確，故答案為：②④．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，十字相乘法因式分解等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則以及乘法公式是解本題的關(guān)鍵．5．（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小明同學(xué)將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，如圖，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m、寬為n的相同小長(zhǎng)方形，且．

(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為(2)小明想要拼一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形，則需要邊長(zhǎng)為m的大正方形個(gè)，邊長(zhǎng)為n的小正方形個(gè)，長(zhǎng)為m、寬為n的小長(zhǎng)方形個(gè)；(3)動(dòng)手操作：數(shù)學(xué)活動(dòng)小組準(zhǔn)備了足夠數(shù)量的與小明裁剪出的邊長(zhǎng)為m的大正方形、邊長(zhǎng)為n的小正方形、長(zhǎng)為m、寬為n的小長(zhǎng)方形相同的圖片若干，請(qǐng)你也利用這些圖片拼圖分解因式：．（畫出拼圖的示意圖，并在圖中標(biāo)出適量的與m，n有關(guān)的信息，完成因式分解）(4)拓展：若每塊小長(zhǎng)方形的面積為12，三個(gè)大正方形和三個(gè)小正方形的面積和為75，試求的值．【答案】(1)(2)1，2，3(3)圖見解析；(4)【分析】本題考查了因式分解與完全平方公式的變形在圖形面積中的應(yīng)用，（1）根據(jù)大矩形面積可以表示為，也可以表示為即可求解；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將展開為，進(jìn)而求解即可；（3）根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而因式分解即可；（4）根據(jù)題意得到，，然后利用完全平方公式的變形求解即可．熟練運(yùn)用完全平方公式和數(shù)形結(jié)合思想通過兩種方法表示紙板面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，大矩形面積可以表示為，也可以表示為，∴∴代數(shù)式可以因式分解為；（2）根據(jù)題意可得，∴需要邊長(zhǎng)為m的大正方形1個(gè)，邊長(zhǎng)為n的小正方形2個(gè)，長(zhǎng)為m、寬為n的小長(zhǎng)方形3個(gè)；（3）依據(jù)拼圖，

∴；（4）由題意得：，

∴∴，∴∴又∵，∴．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023上·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式不是因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】題目主要考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，將原式分解因式，判斷即可．【詳解】解：原式．∴，，是原多項(xiàng)式的因式，不是的因式，故選A．2．（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)海南華僑中學(xué)?？计谥校┫铝幸蚴椒纸?，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解．熟練掌握提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：，錯(cuò)誤，故A不符合要求；，正確，故B符合要求；，錯(cuò)誤，故C不符合要求；，錯(cuò)誤，故D不符合要求；故選：B．3．（2023上·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫铝懈魇綇淖蟮接业淖冃沃校蚴椒纸庹_的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別對(duì)各項(xiàng)因式分解，再逐一判斷即可．【詳解】解：A.，不符合題意；B.，原來分解錯(cuò)誤，不符合題意；C.，不符合題意；D.，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若將多項(xiàng)式因式分解為，則的值為（）A．0 B． C．1 D．1或【答案】B【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算，求出的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用．熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，求出求出的值，是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果多項(xiàng)式能被整除，那么的值是（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】由于，而多項(xiàng)式能被整除，則能被整除．運(yùn)用待定系數(shù)法，可設(shè)商是A，則，則和時(shí)，，分別代入，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進(jìn)而得到的值.【詳解】解：∵，∴能被整除，設(shè)商是A．則，則和時(shí)，右邊都等于0，所以左邊也等于0．當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②，得，∴，∴．∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用．在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．本題關(guān)鍵是能夠通過分析得出和時(shí)，原多項(xiàng)式的值均為0，從而求出a、b的值．本題屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．6．（2023上·山東東營·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則代數(shù)式的值是（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)代數(shù)式的形式，構(gòu)造出完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)校考期中）分解因式：．【答案】【分析】先提取公因數(shù)m，然后再運(yùn)用平方差公式因式分解即可；靈活運(yùn)用提取公因式法和公式法因式分解成為解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：．故答案為．8．（2022上·山東淄博·八年級(jí)淄博市張店區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方形的面積是，則正方形的邊長(zhǎng)是．【答案】【分析】首先利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可得到正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：∵，，∴正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，從而得到正方形的邊長(zhǎng)．9．（2023上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若為自然數(shù)，且與都是一個(gè)自然數(shù)的平方，則的值為．【答案】或【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)為和，列出代數(shù)式并進(jìn)行因式分解，求出和的值，最后代入或中，即可求出的值．【詳解】解：設(shè)，∴，∵，∴，∵和都是自然數(shù)，∴，解得：∴∴或，故答案為：或．10．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)廣州市天河區(qū)匯景實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）計(jì)算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一個(gè)算式因式分解，再進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于利用公式進(jìn)行計(jì)算．11．（2022下·浙江杭州·七年級(jí)?？计谀┑娜呴L(zhǎng)a、b、c滿足，，則的周長(zhǎng)等于．【答案】14【分析】首先利用c表示出b，代入已知的第二個(gè)式子中，整理后配方，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出a與c的值，進(jìn)而求出b的值，得到三角形的周長(zhǎng)．【詳解】解：，，把代入得：，整理得：，配方得：，即且，解得：，，，則的周長(zhǎng)等于；故答案為：14．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，此題的技巧性比較強(qiáng)，熟練掌握完全平方公式的特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．12．（2023上·上海長(zhǎng)寧·七年級(jí)上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)?？计谥校┯啥囗?xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則可以得到：即：，我們把這個(gè)公式叫做立方和公式，同理：，我們把這個(gè)公式叫做立方差公式，請(qǐng)利用以上公式分解因式：【答案】【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，再運(yùn)用立方差公式即可求解．【詳解】解：，故答案為：．13．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接提取公因式分解即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．14．（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)校考期中）因式分解(1)(2)利用因式分解計(jì)算.已知:，，求的值．【答案】(1)(2)36【分析】（1）直接提取公因式即可解答；（2）先根據(jù)平方差公式、完全平方公式進(jìn)行因式分解，然后再將，代入計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：．（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了提取公因式因式分解、公因式法因式分解的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小明同學(xué)將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，如圖，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m、寬為n的相同小長(zhǎng)方形，且．

(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為(2)小明想要拼一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形，則需要邊長(zhǎng)為m的大正方形個(gè)，邊長(zhǎng)為n的小正方形個(gè)，長(zhǎng)為m、寬為n的小長(zhǎng)方形個(gè)；(3)動(dòng)手操作：數(shù)學(xué)活動(dòng)小組準(zhǔn)備了足夠數(shù)量的與小明裁剪出的邊長(zhǎng)為m的大正方形、邊長(zhǎng)為n的小正方形、長(zhǎng)為m、寬為n的小長(zhǎng)方形相同的圖片若干，請(qǐng)你也利用這些圖片拼圖分解因式：．（畫出拼圖的示意圖，并在圖中標(biāo)出適量的與m，n有關(guān)的信息，完成因式分解）(4)拓展：若每塊小長(zhǎng)方形的面積為12，三個(gè)大正方形和三個(gè)小正方形的面積和為75，試求的值．【答案】(1)(2)1，2，3(3)圖見解析；(4)【分析】本題考查了因式分解與完全平方公式的變形在圖形面積中的應(yīng)用，（1）根據(jù)大矩形面積可以表示為，也可以表示為即可求解；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將展開為，進(jìn)而求解即可；（3）根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而因式分解即可；（4）根據(jù)題意得到，，然后利用完全平方公式的變形求解即可．熟練運(yùn)用完全平方公式和數(shù)形結(jié)合思想通過兩種方法表示紙板面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，大矩形面積可以表示為，也可以表示為，∴∴代數(shù)式可以因式分解為；（2）根據(jù)題意可得，∴需要邊長(zhǎng)為m的大正方形1個(gè)，邊長(zhǎng)為n的小正方形2個(gè)，長(zhǎng)為m、寬為n的小長(zhǎng)方形3個(gè)；（3）依據(jù)拼圖，

∴；（4）由題意得：，

∴∴，∴∴又∵，∴．16．（2023上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐某數(shù)學(xué)興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)發(fā)現(xiàn)：特值法是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用方法，即通過取題中某個(gè)未知量為特殊值，從而通過簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得出最終答案的一種方法．例如，已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求m的值．小安的求解過程如下：解：由題意設(shè)（A為整式），由于上式為恒等式，為了方便計(jì)算，取，則，解得：①________．(1)補(bǔ)全小安求解過程中①所缺的內(nèi)容；(2)若，求的值；(3)若多項(xiàng)式有因式和，求m，n的值．【答案】(1)24(2)(3)，【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，利用等式的性質(zhì)，和特殊值法進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）解方程即可；（2）取，和，兩個(gè)特殊值進(jìn)行計(jì)算即可；（3）設(shè)，分別取和，得到的二元一次方程組，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）∵解得：24；故