專題19 函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)之十大考點（解析版）

專題19函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)之十大考點【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一函數(shù)的概念】 1【考點二用表格表示變量間的關(guān)系】 3【考點三用關(guān)系式表示變量間的關(guān)系】 5【考點四用圖象表示變量間的關(guān)系】 8【考點五動點問題的函數(shù)圖象】 11【考點六一次函數(shù)的識別】 13【考點七根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)】 14【考點八求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值】 16【考點九根據(jù)正比例函數(shù)的定義求函數(shù)的表達(dá)式】 17【考點十列一次函數(shù)解析式并求值】 19【過關(guān)檢測】 21【典型例題】【考點一函數(shù)的概念】例題：（23·24上·合肥·階段練習(xí)）下列各曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的概念即可解答．【詳解】解：由函數(shù)的定義：在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)．則只有D選項符合題意故選：D．【點睛】題主要考查了函數(shù)的概念，在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值，y都有唯一本的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)．1．（23·24上·蚌埠·階段練習(xí)）下列圖象中，表示y是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，由此即可判斷．【詳解】解：A、

表示y不是x的函數(shù)，該選項不符合題意的；B、

表示y是x的函數(shù)，該選項是符合題意的；C、

表示y不是x的函數(shù)，該選項不符合題意的；D、

表示y不是x的函數(shù)，該選項不符合題意的；故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的概念，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的定義．2．（22·23上·長沙·開學(xué)考試）下列曲線中不能表示y是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，在一個變化過程中有兩個變量與，對于的每一個確定的值，都有唯一的值與其對應(yīng)，判定即可．【詳解】解：∵A、C、D的圖象都滿足對于的每一個確定的值，都有唯一的值與其對應(yīng)，∴A、C、D的圖象能表示是的函數(shù)；故A、C、D選項不符合題意；B的函數(shù)圖象，對任意的一個值，y的對應(yīng)值都有兩個，不符合函數(shù)的定義，故此選項符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了函數(shù)的定義，掌握函數(shù)的定義的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【考點二用表格表示變量間的關(guān)系】例題：小穎在網(wǎng)上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度的關(guān)系的一些數(shù)據(jù)并制成如下表格，則下列說法錯誤的是：溫度聲速A．在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速B．在范圍內(nèi)，溫度越高，聲速越快C．溫度每開高，聲速提高D．當(dāng)空氣溫度為時，聲音在內(nèi)可傳傳【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的含義和表格中給出的規(guī)律逐項分析即可．【詳解】解：A、溫度的變化決定了聲速的變化，故正確，不符合題意；B、由表中的數(shù)據(jù)分析可知，在范圍內(nèi)，聲速隨著溫度的增加而加快，故正確，不符合題意；C、由表中的數(shù)據(jù)分析可知，溫度每升高10°C，聲速提高，故錯誤，符合題意；D、當(dāng)空氣溫度為時，聲音在內(nèi)可傳播，故正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的表示方法，正確分析表中各數(shù)據(jù)反映出的規(guī)律是解題關(guān)鍵．1．彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度y（）與所掛的物體的質(zhì)量x（）問有下面的關(guān)系：0123451010.51111.51212.5下列說法一定錯誤的是（

）A．x與y都是變量，且x是自變量，y是x的函數(shù)B．彈簧不掛重物時的長度為0C．物體質(zhì)量每增加1，彈簧長度y增加0.5D．所掛物體質(zhì)量為7時，彈簧長度為13.5【答案】B【分析】根據(jù)表格中的信息，對各選項進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，x與y都是變量，且x是自變量，y是x的函數(shù)，A正確，故不符合要求；彈簧不掛重物時的長度為10，B錯誤，故符合要求；物體質(zhì)量每增加1，彈簧長度y增加0.5，C正確，故不符合要求；所掛物體質(zhì)量為7時，彈簧長度為，D正確，故不符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了函數(shù)的變量，函數(shù)關(guān)系式．解題的關(guān)鍵在于從表格中獲取正確的信息．2．甲、乙兩地打電話需付的電話費y（元）隨通話時間t（分）的變化而變化，試根據(jù)下表列出的幾組數(shù)據(jù)回答下列問題：通話時間t（分）123456…電話費y（元）…(1)直接寫出電話費y（元）與通話時間t（分）之間的關(guān)系式；(2)若小明通話10分，則需付電話費多少元？(3)若小明某次通話后，需付電話費元，則小明通話多少分？【答案】(1)(2)需付電話費元(3)小明通話32分【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，通話時間t每增加1分鐘，電話費y增加元，進而可得到關(guān)系式；（2）當(dāng)時，求解y值即可；（3）當(dāng)時，求解t值即可．【詳解】（1）解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，通話時間t每增加1分鐘，電話費y增加元，則電話費y（元）與通話時間t（分）之間的關(guān)系式；（2）解：當(dāng)時，，答：若小明通話10分，則需付電話費元；（3）解：當(dāng)時，由得，答：小明通話32分．【點睛】本題考查用表格表示變量間的關(guān)系、求函數(shù)解析式、求自變量或函數(shù)值，理解題意，正確得到函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．【考點三用關(guān)系式表示變量間的關(guān)系】例題：（23·24八年級上·廣西崇左·階段練習(xí)）在一次實驗中，小明把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，下表是測得的彈簧的長度與所掛物體的質(zhì)量的幾組對應(yīng)值．所掛物體質(zhì)量kg彈簧長度/(1)上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？(2)當(dāng)所掛物體重量為時，彈簧的長度是多少？不掛重物呢？(3)直接寫出長度與所掛物體的質(zhì)量x的函數(shù)關(guān)系式；(4)當(dāng)彈簧的長度是時，所掛物體的質(zhì)量是多少？【答案】(1)變量y與x之間的關(guān)系，x是自變量，y是因變量(2)當(dāng)所掛物體重量為時，彈簧的長度是，不掛重物彈簧的長度是(3)(4)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義，即可求解．（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，即可求解．（3）根據(jù)每增加千克長度增加，結(jié)合（2）的結(jié)論，即可求解．（4）將代入（3）的關(guān)系式，即可求解．【詳解】（1）解：變量與之間的關(guān)系，是自變量，是因變量；（2）當(dāng)所掛物體重量為時，彈簧的長度是，不掛重物彈簧的長度是；（3）長度y與所掛物體的質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系式是：；（4）當(dāng)時，，．當(dāng)彈簧的長度是時，所掛物體的質(zhì)量是．【點睛】本題考查了函數(shù)的定義，列函數(shù)關(guān)系，求自變量的值，熟練掌握函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．1．（23·24八年級上·安徽合肥·期中）已知等腰三角形的周長為，若底邊長為，一腰長為．(1)寫出與的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫出自變量的取值范圍）(2)求出當(dāng)時的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）底邊長周長腰長，依此即可求解；（2）把代入計算即可求解．【詳解】（1）解：依題意有：；故與的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）當(dāng)時，．【點睛】此題主要考查列函數(shù)關(guān)系式，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)系．2．南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運往B市銷售，共有飛機、火車、汽車3種運輸方式，現(xiàn)只可選擇其中1種．這3種運輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示：運輸工具途中速度（千米/時）途中費用（元/千米）裝卸費用（元）裝卸時間（小時）飛機火車汽車若這批水果在運輸（包括裝卸）過程中的損耗為元/時，設(shè)A，B兩市間的距離為千米．(1)如果用分別表示使用飛機、火車、汽車運輸時的總支出費用（包括損耗），分別求出與x間的關(guān)系式．(2)當(dāng)千米時，采用哪種運輸方式能使運輸時的總支出費用最小？【答案】(1)；；(2)應(yīng)采用火車運輸，使總支出的費用最小．【分析】（1）每種運輸工具總支出費用=途中所需費用+損耗費用；（2）將代入，即可判斷哪種運輸方式合適．【詳解】（1）（2）當(dāng)時，元；元；元．∵∴即：應(yīng)采用火車運輸，使總支出的費用最?。军c睛】本題考查了列函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)值，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式．【考點四用圖象表示變量間的關(guān)系】例題：以下四種情境分別描述了兩個變量之間的關(guān)系：甲：運動員推鉛球時，鉛球的高度與水平距離的關(guān)系；乙：食堂需購買一批餐具，支付費用與購餐具的數(shù)量的關(guān)系；丙：一長方形水池里原有部分水，再勻速往里注水，水池中水面的高度與注水時間的關(guān)系；?。盒∶髦苣╇x家去看電影，結(jié)束后，原速度原路返回，小明離家的距離與時間的關(guān)系．用下面的圖象刻畫上述情境，排序正確的是（

）A．③①④② B．④③①② C．④①③② D．③①②④【答案】C【分析】根據(jù)四種變化中兩個變量間的關(guān)系，可分別判斷每種變化對應(yīng)的圖象．【詳解】解：∵運動員推鉛球時，鉛球的高度與水平距離成拋物線狀，∴該變化對應(yīng)圖象④；∵食堂需購買一批餐具，支付費用與購餐具的數(shù)量成正比例關(guān)系，∴該變化對應(yīng)圖象①；∵一長方形水池里原有部分水，再勻速往里注水，水池中水面的高度與注水時間成一次函數(shù)關(guān)系，∴該變化對應(yīng)圖象③；∵小明周末離家去看電影，結(jié)束后，原速度原路返回，小明離家的距離與時間的關(guān)系，∴該變化對應(yīng)圖象②；故選C．【點睛】此題考查運用圖象獲取信息的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解相關(guān)知識與讀圖．1．某車間的甲、乙兩名工人分別同時生產(chǎn)同一種零件，他們一天生產(chǎn)零件的個數(shù)與生產(chǎn)時間的關(guān)系如圖所示．

(1)根據(jù)圖象填空：甲、乙兩人中，先完成一天的生產(chǎn)任務(wù)在生產(chǎn)過程中，因機器故障停止生產(chǎn)小時當(dāng)時，甲、乙生產(chǎn)的零件個數(shù)相等(2)誰在哪一段時間內(nèi)的生產(chǎn)速度最快，求該段時間內(nèi)，他每小時生產(chǎn)零件的個數(shù)．【答案】(1)甲；甲；；或(2)【分析】（1）根據(jù)圖象直接填寫即可；根據(jù)圖象中兩函數(shù)圖象交點即為甲、乙生產(chǎn)的零件個數(shù)相等時的信息．（2）根據(jù)圖象即可得到生產(chǎn)速度最快的時間段，再根據(jù)題意即可求出最快的速度．【詳解】（1）由圖象可知，甲先完成一天的生產(chǎn)任務(wù)在生產(chǎn)過程中，甲因機器故障停止生產(chǎn)小時由圖象可知，當(dāng)或時，兩函數(shù)圖象相交，即為甲、乙生產(chǎn)的零件個數(shù)相等故為3或5.5時，甲、乙生產(chǎn)的零件個數(shù)相等．（2）由圖象可知甲在時內(nèi)傾斜角度最大，生產(chǎn)速度快；此時甲每小時生產(chǎn)零件的個數(shù)為（個）．【點睛】本題考查了從圖象中獲取信息，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到相關(guān)的信息．2．風(fēng)是地球上的一種空氣流動現(xiàn)象，一般是由太陽輻射熱引起的．風(fēng)的測量多用電接風(fēng)向風(fēng)速計、輕便風(fēng)速表、達(dá)因式風(fēng)向風(fēng)速計，以及用于測量農(nóng)田中微風(fēng)的熱球微風(fēng)儀等儀器進行．小力同學(xué)使用輕便風(fēng)速表觀測了某天連續(xù)12個小時風(fēng)力變化的情況，并繪制下圖(1)上圖反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？自變量是什么？因變量是什么？(2)A，B兩點表示什么？(3)什么時間范圍內(nèi)風(fēng)力最大？此時風(fēng)力為多少？(4)簡要描述8—12時風(fēng)力變化的情況．【答案】(1)反映了風(fēng)力隨時間的變化而變化的關(guān)系，自變量是時間，因變量是風(fēng)力(2)A點表示8時風(fēng)力為2級，B點表示17時風(fēng)力為5級(3)14—15時風(fēng)力最大，此時風(fēng)力為7級(4)8—9時風(fēng)力不斷增大；9—10時風(fēng)力保持不變；10—11時風(fēng)力不斷增大；11—12時風(fēng)力逐漸減小【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義解答即可；（2）直接根據(jù)圖象信息回答即可；（3）直接根據(jù)圖象信息回答即可；（4）根據(jù)圖象信息回答即可．【詳解】（1）上圖反映了風(fēng)力隨時間的變化而變化的關(guān)系，自變量是時間，因變量是風(fēng)力；（2）由圖象可知，點表示8時的風(fēng)力為2級；點表示17時的風(fēng)力為5級；（3）由圖象可知，14時至15時風(fēng)力最大，此時風(fēng)力為7級；（4）由圖象可知，8時至9時風(fēng)力不斷增大，9時至10時風(fēng)力保持不變，10時至11時風(fēng)力不斷增大，11時至12時風(fēng)力逐漸減?。军c睛】本題考查了函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是正確根據(jù)圖象上的點的意義和數(shù)據(jù)進行分析，得到實際的意義．【考點五動點問題的函數(shù)圖象】例題：（22·23下·宜春·期末）如圖1，四邊形中，，，．動點Ｐ從點Ｂ出發(fā)沿折線方向以單位秒的速度勻速運動，在整個運動過程中，的面積與運動時間（秒）的函數(shù)圖象如圖所示，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖1和圖2得當(dāng)時，點到達(dá)處，即，當(dāng)時，點到達(dá)點處，即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，點到達(dá)處，即；過點作交于點，如圖所示：

，，，，則四邊形為長方形，，，，，，當(dāng)時，點到達(dá)點處，則，則，由勾股定理得，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了動點問題，勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得出，是解題的關(guān)鍵．1．（22·23上·榆林·期中）如圖1，在矩形中，動點從點出發(fā)，沿方向運動至點處停止．設(shè)點運動的路程為，的面積為，如果關(guān)于的函數(shù)圖像如圖2所示，則矩形的面積是（

）

A．35 B．24 C．60 D．84【答案】A【分析】由函數(shù)圖像可知，，即可獲得答案．【詳解】解：由題意可知，，，∴矩形的面積是．故選：A．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖像的知識，解題的關(guān)鍵在于從函數(shù)圖像中獲取正確的信息．2．（23·24上·崇左·階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，P為正方形邊上一動點，運動路線是，設(shè)P點經(jīng)過的路程為x，以點A、P、B為頂點的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】當(dāng)點在上時，的面積為0，利用排除法就可以求解了．【詳解】解：當(dāng)點在路線運動時，、、三點在一條線段上，的面積為0，此時，只有選項C符合這個情況．故選：C．【點睛】本題考查的是函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵要利用數(shù)形結(jié)合的思想通過特殊位置求解．【考點六一次函數(shù)的識別】例題：（23·24八年級上·貴州貴陽·期中）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義條件是：k、b為常數(shù)，，自變量次數(shù)為1，據(jù)此解答即可．【詳解】解：A.，自變量的指數(shù)是2，不是一次函數(shù)，故選項A不符合題意；B.屬于一次函數(shù)，故選項B符合題意；C..不是整式方程，不是一次函數(shù)，故選項C不符合題意；D.不是整式方程，不是一次函數(shù)，故選項C不符合題意；1．（23·24八年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤（為常數(shù)），其中一次函數(shù)的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義逐項判斷即可．【詳解】解：①是一次函數(shù)；②不是一次函數(shù)；③是一次函數(shù)；④不是一次函數(shù)；⑤（為常數(shù)），不一定是一次函數(shù)．綜上可知一次函數(shù)的個數(shù)是2個．故選A．【點睛】本題考查識別一次函數(shù)．掌握形如（，且為常數(shù)）的函數(shù)叫一次函數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（23·24八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)①；②；③；④；⑤．是一次函數(shù)的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義：形如是常數(shù)的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，解答即可．【詳解】①，當(dāng)時，不是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；②，④，是一次函數(shù)，故此選項符合題意；③，⑤，不是一次函數(shù)，故選：B．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【考點七根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)】例題：（23·24上·寶雞·期中）要使是關(guān)于x的一次函數(shù)，n，m應(yīng)滿足，【答案】【分析】此題主要考查了一次函數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是理解一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項可以為任意實數(shù)．【詳解】解：由題意得：，，解得：，．故答案為：，．1．（22·23下·咸寧·階段練習(xí)）若為一次函數(shù)，則．【答案】0【分析】利用一次函數(shù)的定義可得，求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：或（舍去），，故答案為：0．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．2．（22·23八年級下·上海浦東新·期末）當(dāng)時，函數(shù)是一次函數(shù)，且不是正比例函數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的解析式為：，則；根據(jù)題意，，則，即可．【詳解】∵函數(shù)是一次函數(shù)，且不是正比例函數(shù)，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的定義．【考點八求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值】例題：（23·24上·合肥·階段練習(xí)）若點，在一次函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】根據(jù)點，在一次函數(shù)的圖象上，可以得到，然后將所求式子變形，再將的值代入計算即可，熟練求解代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點，在一次函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，故答案為：．1．（23·24上·揭陽·期中）點在直線上，則．【答案】【分析】將點坐標(biāo)直接代入到解析式，求解參數(shù)即可．【詳解】∵點在直線上，∴．故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，理解在直線上的點，其坐標(biāo)滿足一次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．2．（22·23八年級下·江蘇鹽城·開學(xué)考試）已知點在一次函數(shù)的圖像上，則．【答案】0【分析】由點在一次函數(shù)的圖像，可得，然后求解即可．【詳解】解：∵點在一次函數(shù)的圖像，∴，∴，故答案為：0．【點睛】本題考查了一次函數(shù)自變量或函數(shù)值，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．【考點九根據(jù)正比例函數(shù)的定義求函數(shù)的表達(dá)式】例題：（2023春·甘肅慶陽·八年級?？茧A段練習(xí)）已知與成正比例，且當(dāng)時，．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若點在這個函數(shù)圖象上，求．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）將代入解析式，進行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)，∵當(dāng)時，，∴，∴，∴；（2）解：∵點在這個函數(shù)圖象上，∴，∴．【點睛】本題考查正比例函數(shù)的定義，求一次函數(shù)的解析式，以及求自變量的值．解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽淮北·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知與成正比例，當(dāng)時，．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)時，求y的值．【答案】(1)(2)19【分析】（1）設(shè)（為常數(shù)，），把，代入求出即可；（2）把代入，即可求出答案．【詳解】（1）解：與成正比例，設(shè)（為常數(shù)，），把，代入得：，解得：，即，與之間的函數(shù)關(guān)系式是；（2）當(dāng)時，．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函圖象上點的坐標(biāo)特征和用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識點，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．2．（2023春·吉林松原·八年級統(tǒng)考期末）已知與成正比，當(dāng)時，．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）設(shè)，將，代入求出k的值，即可解答；（2）將代入函數(shù)關(guān)系式求解即可．【詳解】（1）設(shè)∵當(dāng)時，∴，解得∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）當(dāng)時，．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的定義，求函數(shù)值，正確把握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【考點十列一次函數(shù)解析式并求值】例題：（22·23八年級上·廣東·單元測試）某公交公司的16路公交車每月的支出費用為4000元，每月的乘車人數(shù)（人與這趟公交車每月的利潤（利潤收入費用支出費用）（元的變化關(guān)系如表所示（每位乘客乘一次公交的票價是固定不變的）（人50010001500200025003000（元010002000請回答下列問題：(1)自變量為，因變量為；(2)與之間的關(guān)系式是；(3)當(dāng)每月乘車人數(shù)為4000人時，每月利潤為多少元？【答案】(1)每月的乘車人數(shù)，公交車每月的利潤(2)(3)當(dāng)每月乘車人數(shù)為4000人時，每月利潤為4000元【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)量變化可得答案；（2）根據(jù)乘坐人數(shù)與每月的利潤的變化關(guān)系可求出每位乘客坐一次車需要的錢數(shù)，進而得出函數(shù)關(guān)系式；（3）把x=4000代入函數(shù)關(guān)系式求出y的值即可．【詳解】（1）解：由題意可知：自變量是：每月的乘車人數(shù)，因變量是：公交車每月的利潤．故答案為∶每月的乘車人數(shù)，公交車每月的利潤．（2）解：從表格中數(shù)據(jù)變化可知，每月乘車人數(shù)每增加500人，其每月的利潤就增加1000元，每位乘客坐一次車需要（元，即函數(shù)關(guān)系式為：．（3）解：當(dāng)時，（元．答：當(dāng)每月乘車人數(shù)為4000人時，每月利潤為4000元．【點睛】本題考查常量與變量，函數(shù)關(guān)系式，理解表格中兩個變量的變化關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．1．（21·22八年級·全國·假期作業(yè)）“五一”假期，小明一家將隨團到某風(fēng)景區(qū)旅游，集體門票的收費標(biāo)準(zhǔn)是：25人以內(nèi)（含25人），每人30元；超過25人時，超過部分每人20元．(1)寫出應(yīng)收門票費y（元）與游覽人數(shù)x（人）之間的關(guān)系式；(2)若小明一家所在的旅游團購門票花了1250元，則該旅游團共有多少人．【答案】(1)（x為整數(shù)）(2)旅游團共有50人【分析】（1）當(dāng)時，票價是每人30元，則，當(dāng)時，超過部分每人20元，則此時的門票費為：；（2）根據(jù)花費為元，，據(jù)此可以判斷人數(shù)超過25人，即可得到，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：（1）由題意得：當(dāng)時，票價是每人30元∴；當(dāng)時，超過部分每人20元，∴，∴綜上所述：（x為整數(shù)）；（2）解：∵小明一家所在的旅游團購門票花了1250元，∴，∴旅游團購門票的張數(shù)超過25張，∴，解得，∴該旅游團共有50人．答：該旅游團共有50人．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．2．（21·22八年級上·全國·課時練習(xí)）如圖，甲、乙兩地相距，現(xiàn)有一列火車從乙地出發(fā)，以的速度向丙地行駛．設(shè)表示火車行駛的時間，表示火車與甲地的距離．（1）寫出與之間的關(guān)系式，并判斷是否為的一次函數(shù)；（2）當(dāng)時，求的值．【答案】（1），是的一次函數(shù)；（2）140【分析】（1）根據(jù)題意，首先計算得出y與x之間的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，將x=0.5代入到一次函數(shù)并計算，即可得到答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，火車與乙地的距離表示為：80x（km）∵甲、乙兩地相距100km∴火車與甲地的距離表示為：（100+80x）km∴y=100+80x∴y是x的一次函數(shù)；（2）當(dāng)時，得：y=100+80×0.5=140．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（23·24八年級上·甘肅白銀·期中）下列函數(shù)中是一次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義，分別進行判斷即可．【詳解】解：是二次函數(shù)，故不符合題意；是一次函數(shù)，故符合題意；中x的次數(shù)不為1，故不是一次函數(shù)，不符合題意；中沒有自變量，故不是一次函數(shù)，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查一次函數(shù)的定義，能夠熟練掌握一次函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（22·23七年級下·四川達(dá)州·期末）在關(guān)系式中，當(dāng)因變量時，自變量x的值為(

)A． B．－4 C．－12 D．12【答案】D【分析】代入解析式，得一元一次方程，求解即可．【詳解】解：時，，解得；故選：D．【點睛】本題考查函數(shù)解析式與方程的聯(lián)系，一元一次方程求解，理解函數(shù)解析式與方程的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．3．（23·24八年級上·安徽合肥·期中）下列表示的圖象，y是x的函數(shù)的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義識別函數(shù)的圖象的方法即可求解．【詳解】解：A、y不是x的函數(shù)的圖象，故不符合題意；B、y不是x的函數(shù)的圖象，故不符合題意；C、y不是x的函數(shù)的圖象，故不符合題意；D、y是x的函數(shù)的圖象，故符合題意；故選D．【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象，熟練掌握根據(jù)定義識別函數(shù)的圖象的方法是解題的關(guān)鍵．4．（22·23七年級下·福建寧德·期中）某施工隊修一段長度為360米的公路，工程進度如下表所示．施工時間/天1234567…累計完成施工量/米306090120150180210…若施工隊每天完成的施工量都相同，則下列說法錯誤的是（

）A．隨著施工時間的逐漸增大，累計完成施工量也逐漸增大B．若累計完成施工量為330米，則施工時間為10天C．當(dāng)施工時間為9天時，累計完成施工量為270米D．施工時間每增加1天，累完成施工量就增加30米【答案】B【分析】根據(jù)表格依次進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)表格可知，隨著施工時間的逐漸增大，累計完成施工量也逐漸增大，故A正確；根據(jù)表格可知，計算可得若累計完成施工量為330米，則施工時間為天，故B錯誤；根據(jù)表格可知，當(dāng)施工時間為9天時，累計完成施工量為米，故C正確；根據(jù)表格可知，施工時間每增加1天，累完成施工量就增加30米，故D正確，故選：B．【點睛】本題考查了函數(shù)的表示方法，理解表格上數(shù)據(jù)的含義是解題的關(guān)鍵．5．（21·22下·荊州·期末）若點在函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值等于（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的定義得到，則，再把整體代入所求式子求解即可．【詳解】解：點在函數(shù)的圖象上，，∴，．故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，熟知一次函數(shù)圖象上的點滿足一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．6．（23·24八年級上·廣東深圳·期中）小強所在學(xué)校離家距離為千米，某天他放學(xué)后騎自行車回家，先騎了分鐘后，因故停留分鐘，再繼續(xù)騎了分鐘到家，下面哪一個圖象能大致描述他回家過程中離家的距離(千米)與所用時間(分)之間的關(guān)系()A．B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得：他回家過程中離家的距離(千米)與所用時間(分)之間的關(guān)系有個階段，即可判斷．【詳解】解：根據(jù)題意分析可得：他回家過程中離家的距離(千米)與所用時間(分)之間的關(guān)系有個階段，第一階段：騎了分鐘后，距離家更近，因此路程在減少，第二階段：因故停留分鐘，此時路程保持不變，第三階段：繼續(xù)騎了分鐘到家，此時路程變?yōu)?．所以A選項符合題意。故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象，正確理解函數(shù)圖象與實際問題的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題7．（22·23下·嘉定·開學(xué)考試）如果點在正比例函數(shù)圖象上，那么．【答案】【分析】把點的坐標(biāo)代入解析式計算即可．【詳解】解：把點代入得：，故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)上點的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程求出未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（22·23八年級下·湖北十堰·期末）若點在一次函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】把代入中得到，再把整體代入所求式子中求解即可．【詳解】解：∵點在一次函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，代數(shù)式求值，熟知一次函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標(biāo)一定滿足對應(yīng)的一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．9．（23·24上·西安·期中）已知，y是x的正比例函數(shù)，則，．【答案】2【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義條件是：為常數(shù)且，自變量次數(shù)為1，即可求解．【詳解】解；由正比例函數(shù)的定義可得：，，，解得；，．故答案為：，2【點睛】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義，掌握正比例函數(shù)的定義條件是：為常數(shù)且，自變量次數(shù)為1是解決問題得關(guān)鍵．10．（23·24八年級上·廣東深圳·期中）小明想了解一根彈簧的長度是如何隨所掛物體質(zhì)量的變化而變化的，他把這根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，如表是小明測得的彈簧的長度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）的幾組對應(yīng)值．所掛物體質(zhì)量012345彈簧長度151821242730請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式為．（不需要考慮自變量x的取值范圍）【答案】【分析】根據(jù)表格中，彈簧的起始長度為，所掛物體質(zhì)量每增加，彈簧長度增加，即可求出與的關(guān)系式．【詳解】解：根據(jù)表格可知，物體質(zhì)量每增加，長度增加了，，故答案為：．【點睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，理解給定表格中各組數(shù)據(jù)的含義是解題的關(guān)鍵．11．（22·23八年級下·安徽馬鞍山·期末）新定義：函數(shù)圖象上任意一點，稱為該點的“坐標(biāo)差”，函數(shù)圖像上所有點的“坐標(biāo)差”的最大值稱為該函數(shù)的“特征值”，一次函數(shù)（）的“特征值”是．【答案】4【分析】由題意知，一次函數(shù)的“特征值”為，當(dāng)時，最大，代入求解即可．【詳解】解：由題意知，一次函數(shù)的“特征值”為，當(dāng)時，，∴一次函數(shù)的“特征值”為4，故答案為：4．【點睛】本題考查了新定義，一次函數(shù)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的運算．12．（19·20七年級下·全國·課時練習(xí)）水池有兩個進水口，一個出水口，一個水口在單位時間內(nèi)的進、出水量如圖（a）、（b）所示，某天從0點到6點，該水池的蓄水量如圖（c）所示，給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點一定不進水不出水．則正確的論斷是．（填上所有正確論斷的序號）【答案】①【分析】先由圖（a）、（b）可得進水速度和出水速度，再對圖（c）的三個時間段結(jié)合圖象逐一判斷即可．【詳解】解：由圖（a）、（b）可知，進水速度為1，出水速度為2，①0點到3點時，蓄水量增加速度為，說明開放兩個進水口，關(guān)閉出水口，即只進水，所以①正確；②3點到4點時，蓄水量減少速度為，說明開放一個進水口，一個出水口，所以②錯誤；③4點到6點時，蓄水量持平，可能不進水不出水，也可能開放兩個進水口，一個出水口，所以③錯誤．故答案為：①．【點睛】本題考查了利用圖象表示變量之間的關(guān)系，屬于?？碱}型，正確理解圖象橫縱坐標(biāo)的意義、讀懂圖象提供的信息是解題關(guān)鍵．三、解答題13．（20·21八年級下·廣東東莞·期中）已知函數(shù)．(1)若該函數(shù)是一次函數(shù)，求k的取值范圍．(2)若該函數(shù)是正比例函數(shù)，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義，即可進行解答；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的定義，即可進行解答．【詳解】（1）解：∵函數(shù)是一次函數(shù)，∴，解得：；（2）解：∵函數(shù)是正比例函數(shù)，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般形如的是一次函數(shù)（k，b是常數(shù)，），其中x是自變量，y是因變量．形如的是正比例函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量．14．（23·24八年級上·廣西崇左·階段練習(xí)）已知與成正比例，且時，(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；(2)點在該函數(shù)圖象上，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點M的坐標(biāo)為【分析】（1）利用正比例函數(shù)的定義，設(shè)，然后把已知的對應(yīng)值代入求出即可；（2）把代入（1）中的解析式得到關(guān)于的方程，然后解方程即可．【詳解】（1）設(shè)與的表達(dá)式為，把時，代入得，解得，∴與的關(guān)系式為，即；（2）∵點在該函數(shù)圖象上，∴，解得，∴點的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：一次函數(shù)，則需要兩組的值．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．15．（22·23六年級下·山東威?！て谀┠耻囬g的甲、乙兩名工人分別同時生產(chǎn)同一種零件，他們一天生產(chǎn)零件的個數(shù)y與生產(chǎn)時間t(時)的關(guān)系如圖所示．

(1)根據(jù)圖象填空：①甲、乙兩人中，先完成一天的生產(chǎn)任務(wù)；在生產(chǎn)過程中，因機器故障停止生產(chǎn)小時；②當(dāng)時，甲、乙生產(chǎn)的零件個數(shù)相等；(2)試求出甲在時內(nèi)每小時生產(chǎn)零件的個數(shù)．【答案】(1)①甲，甲，2；②3或5.5(2)甲在時內(nèi)每小時生產(chǎn)零件的個數(shù)為10個【分析】（1）①根據(jù)圖象可直接得出的結(jié)論；②根據(jù)圖象的交點可以得解；（2）根據(jù)圖象可知時內(nèi)的工作量，從而得解．【詳解】（1）解：由題意得：①甲、乙兩人中，甲先完成一天的生產(chǎn)任務(wù)；在生產(chǎn)過程中，甲因機器故障停止生產(chǎn)：(小時)；②由圖象可得，當(dāng)或5.5時，甲、乙生產(chǎn)的零件個數(shù)相等．（2）解：(個/時)，即甲在時內(nèi)每小時生產(chǎn)零件的個數(shù)為10個．【點睛】本題主要考查了用圖象表達(dá)變量之間的關(guān)系，解答時理解清楚圖象的意義是解答此題的關(guān)鍵．16．（22·23七年級下·山