福建省福州市長樂區(qū)長樂高級中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

福建省福州市長樂區(qū)長樂高級中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的菱形，且，則原平面圖形的周長為（）A. B.C. D.82．函數(shù)的零點所在區(qū)間為：（）A. B.C. D.3．使得成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.4．設(shè)，則A. B.0C.1 D.5．函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同時擴大為原來的3倍，再將圖象向右平移3個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為A. B.C. D.6．對于實數(shù)a，b，c下列命題中的真命題是()A.若a＞b，則ac2＞bc2 B.若a＞b＞0，則C.若a＜b＜0，則 D.若a＞b，，則a＞0，b＜07．與-2022°終邊相同的最小正角是（）A.138° B.132°C.58° D.42°8．為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（）A. B.C.2 D.9．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）A. B.-C.2 D.10．已知函數(shù)則的值為（）A. B.C.0 D.111．函數(shù)的圖象大致為A. B.C. D.12．下列函數(shù)中，既在R上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知函數(shù)，且函數(shù)恰有兩個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.14．定義域為上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若，則a的取值范圍是______15．圓的半徑是,弧度數(shù)為3的圓心角所對扇形的面積等于___________16．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為______三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．定義在上的函數(shù)（且）為奇函數(shù)（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求使方程在有解的實數(shù)的取值范圍；（3）不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）確定函數(shù)的解析式；（2）用定義證明在上是增函數(shù).19．已知函數(shù)（1）求在上的增區(qū)間（2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值20．已知，，且.(1)求的值；(2)求β.21．如圖，在三棱錐中，底面，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：.22．已知角終邊經(jīng)過點，求

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、B【解析】利用斜二測畫法還原直觀圖即得.【詳解】由題可知，∴，還原直觀圖可得原平面圖形，如圖，則，∴，∴原平面圖形的周長為.故選：B.2、C【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理即得.【詳解】因為，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，∴函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：C.3、C【解析】由不等式、正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分、必要性的定義判斷選項條件與已知條件的關(guān)系.【詳解】A：不一定有不成立，而有成立，故為必要不充分條件；B：不一定成立，而也不一定有，故為既不充分也不必要條件；C：必有成立，當(dāng)不一定有成立，故為充分不必要條件；D：必有成立，同時必有，故為充要條件.故選：C.4、B【解析】詳解】故選5、D【解析】函數(shù)的圖像的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同時擴大為原來的3倍，所得圖像的解析式為，再向右平移3個單位長度，所得圖像的解析式為，選D.6、D【解析】逐一分析選項，得到正確答案.【詳解】A.當(dāng)時，，所以不正確；B.當(dāng)時，，所以不正確；C.，當(dāng)時，，，即，所以不正確；D.，，即，所以正確.故選D.【點睛】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，比較兩個數(shù)的大小，1.做差法比較；2.不等式性質(zhì)比較；3.函數(shù)單調(diào)性比較.7、A【解析】根據(jù)任意角的周期性，將-2022°化為，即可確定最小正角.【詳解】由-2022°，所以與-2022°終邊相同的最小正角是138°.故選：A8、A【解析】根據(jù)題意中給出的解密密鑰為，利用其加密、解密原理，求出的值，解方程即可求解.【詳解】由題可知加密密鑰為，由已知可得，當(dāng)時，，所以，解得，故，顯然令，即，解得，即故選：A.9、A【解析】如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角【詳解】解：如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角設(shè)，則，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：A【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角10、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式及指數(shù)對數(shù)的運算法則計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，故選：D11、A【解析】利用函數(shù)為奇函數(shù)及在時函數(shù)值正負(fù)，即可得答案.【詳解】由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且,所以函數(shù)的奇函數(shù),排除B,C選項；又因為,故排除D選項.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式選擇函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，求解時注意根據(jù)解析式發(fā)現(xiàn)函數(shù)為奇函數(shù)及特殊點函數(shù)值的正負(fù).12、B【解析】逐一判斷每個函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可.【詳解】是奇函數(shù)，但在R上不單調(diào)遞增，故A不滿足題意；既在R上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)，故B滿足題意；、不是奇函數(shù)，故C、D不滿足題意；故選：B二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】作出函數(shù)的圖象，把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點問題解決.【詳解】由得，即函數(shù)零點是直線與函數(shù)圖象交點橫坐標(biāo)，當(dāng)時，是增函數(shù)，函數(shù)值從1遞增到2(1不能取)，當(dāng)時，是增函數(shù)，函數(shù)值為一切實數(shù)，在坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時，直線與函數(shù)圖象有2個交點，即函數(shù)有2個零點，所以實數(shù)的取值范圍是：.故答案為：14、【解析】根據(jù)，可得函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，可設(shè)，根據(jù)，即可求解；【詳解】解：，的函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)關(guān)于y軸對稱，當(dāng)時，，那么時，，可得，由，得解得：；故答案為.【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及不等式的求解，屬于中檔題.15、【解析】根據(jù)扇形的面積公式，計算即可.【詳解】由扇形面積公式知，.【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，屬于容易題.16、；【解析】因為函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到,所以的最小值為三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）1（2）（3）答案見解析【解析】（1）根據(jù)題意可得，即可得解；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，可得函數(shù)經(jīng)過點，從而可求得，在求出函數(shù)在時的值域，即可得出答案；（3）原不等式成立即為，令，則，分和兩種情況討論，從而可得出答案.【小問1詳解】解：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，當(dāng)時，，此時，故當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)，所以；【小問2詳解】解：因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以函數(shù)經(jīng)過點，故，即，當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，故，為使方程有解，則，所以；【小問3詳解】解：原不等式成立即為，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，故只要即可，令，則，∵，∴，∴對恒成立，由得；由得∴；同理，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故只要即可，∴對恒成立，解得；綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解得的值，再根據(jù)，解得的值從而求得的解析式；（2）設(shè)，化簡可得，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性定義即可得到結(jié)果【詳解】解：（1）依題意得∴∴∴（2）證明：任取，∴∵，∴，，，由知，，∴.∴.∴在上單調(diào)遞增.19、（1），（2）最大值為，的最小值為【解析】（1）由正弦型函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用整體代入法有時單調(diào)遞增求增區(qū)間；（2）由已知區(qū)間確定的區(qū)間，進而求的最大值和最小值【小問1詳解】令，得，∴單調(diào)遞增區(qū)間為，由，可令得.令得，所以在上的增區(qū)間為，【小問2詳解】，.即在區(qū)間上的最大值為，最小值為.20、（1）；.【解析】（1）先根據(jù)，且，求出，再求；（2）先根據(jù)，，求出，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）因且，所以，所以.（2）因為，所以，又因為，所以，，所以.【點睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角21、（1）證