復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（原創(chuàng)）

3.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

我們引入這樣一個(gè)數(shù)i

，把i

叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：

i2

1；

形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).

全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示.復(fù)習(xí)：實(shí)部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母

z

表示，即虛部其中稱為虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)集C和實(shí)數(shù)集R之間有什么關(guān)系？討論？復(fù)數(shù)a+bi

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．特別地，a+bi=0

.a=b=0必要不充分條件問(wèn)題：a=0是z=a+bi(a、b

R)為純虛數(shù)的

注意:一般地,兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等,而不能比較大小.思考:對(duì)于任意的兩個(gè)復(fù)數(shù)到底能否比較大小?答案:當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí),才能比較大小.例題選講1.復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則：運(yùn)算法則:設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,

那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;

z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減).點(diǎn)評(píng):（1）復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算法則是一種規(guī)定。當(dāng)b=0，d=0時(shí)與實(shí)數(shù)加法法則保持一致

（2）很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。對(duì)于復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形。證：設(shè)Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)則Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i顯然

Z1+Z2=Z2+Z1同理可得(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)點(diǎn)評(píng)：實(shí)數(shù)加法運(yùn)算的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集C中依然成立。運(yùn)算律探究?復(fù)數(shù)的加法滿足交換律，結(jié)合律嗎？Z1+Z2=Z2+Z1(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任意Z1∈C，Z2∈C，Z3∈C(2)復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).練習(xí)：計(jì)算(1)(２＋３i)+(-3+7i)=(2)-4+(-2+6i)+(-1-0.9i)=(3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是純虛數(shù)，則有（）A.a-c=0且b-d≠0B.a-c=0且b+d≠0C.a+c=0且b-d≠0D.a+c=0且b+d≠0例1.計(jì)算解:例2：設(shè)z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i∴(3+x)+(2-y)i=5-6i∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i3+x=5,2-y=-6.∴x=2y=8∴2.復(fù)數(shù)的乘法(1)復(fù)數(shù)乘法的法則

復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的,但必須在所得的結(jié)果中把i2換成-1,并且把實(shí)部合并.即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算定理

復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律.即對(duì)任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2