新教材高中數(shù)第6章平面向量及其應(yīng)用635平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示訓(xùn)練含解析新人教A版必修第二冊(cè)

6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.已知向量a=(0,-23),b=(1,3),則向量a在b方向上的投影為()A.3 B.3 C.-3 D.-3解析向量a在b方向上的投影為a·b|答案D2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b與a共線,則a·b的值為()A.1 B.2 C.3 D.4解析a+b=(3,k+2),由a+b與a共線,可得3k-(k+2)=0,解得k=1,則a=(1,1),從而a·b=1×2+1×2=4.答案D3.已知向量a=(3,1),b是不平行于x軸的單位向量,且a·b=3,則b=()A.32,12 B.12,解析設(shè)b=(x,y),其中y≠0,則a·b=3x+y=3.由x2+y2=1,3答案B4.已知向量a=(4,3),2a+b=(3,18),則a,b夾角的余弦值等于()A.865 B.-865 C.1665 D解析設(shè)b=(x,y),則2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以8+x=3,6+y=18,解得x=-5,y=12,故答案C5.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,則實(shí)數(shù)k的值為()A.-92 B.0 C.3 D.解析∵2a-3b=(2k-3,-6).又(2a-3b)⊥c,∴(2a-3b)·c=0,即(2k-3)×2+(-6)=0,解得k=3.答案C6.已知A,B,C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角,向量p=(sinA,1),q=(1,-cosB),則p與q的夾角是()A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.不確定解析因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以A+B>π2,即A>π2又因函數(shù)y=sinx在-π2,π2上單調(diào)遞增,所以sinA>sinπ2-B=cosB,所以p·q=sinA-cosB>0,又因?yàn)閜與q答案A7.設(shè)向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,則|a|=,|c|=.

答案28.若向量a=(2,3),b=(-1,2),則|a-2b|=.

解析∵a=(2,3),b=(-1,2),∴a-2b=(4,-1),∴|a-2b|=42答案179.已知a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c與d的夾角為π4,則實(shí)數(shù)k的值為.解析c=a+kb=(2-k,1-k),d=a+b=(1,0),由題意,得(2解得k=32答案310.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解(1)∵a⊥b,∴a·b=0,即1×(2x+3)+x×(-x)=0,解得x=-1或x=3.(2)∵a∥b,∴1×(-x)-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.當(dāng)x=0時(shí),a=(1,0),b=(3,0),∴a-b=(-2,0),∴|a-b|=2.當(dāng)x=-2時(shí),a=(1,-2),b=(-1,2),∴a-b=(2,-4),∴|a-b|=25.綜上所述,|a-b|=2或25.11.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a與b的夾角α為鈍角,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解∵a=(1,-1),b=(λ,1),∴|a|=2,|b|=1+λ2,a·b=λ-∵a,b的夾角α為鈍角,∴λ∴λ<1且λ≠-1.∴λ的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,1).能力提升1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x軸上有一點(diǎn)P,使AP·BP有最小值,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)解析設(shè)P(x,0),則AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),∴AP·BP=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+故當(dāng)x=3時(shí),AP·BP最小,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為答案C2.已知a=(1,1),b=(0,-2),且ka-b與a+b的夾角為120°,則k=()A.-1+3 B.-2 C.-1±3 D.1解析∵|ka-b|=k2+(k+2)2,|a+b|=12+(-1)2=2,(ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·∴cos120°=(ka即-12化簡(jiǎn)并整理,得k2+2k-2=0,解得k=-1±3.答案C3.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=(-2,1),OB=(0,2)且AC∥OB,BC⊥AB,A.(2,6) B.(-2,-6) C.(2,-6) D.(-2,6)解析設(shè)C(x,y),則AC=(x+2,y-1),BC=(x,y-2),AB=(2,1).∵AC∥OB,∴2(x+2)=0.∵BC⊥AB,∴2x+y-2=0,由①②可得x=-2,y=6答案D4.角α頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,點(diǎn)P在α的終邊上,點(diǎn)Q(-3,-4),且tanα=-2,則OP與OQ夾角的余弦值為(A.-55 B.C.55或-55 D.115解析∵tanα=-2,∴可設(shè)P(x,-2x),cos<OP,OQ>=當(dāng)x>0時(shí),cos<OP,OQ>=當(dāng)x<0時(shí),cos<OP,OQ>=-答案C5.設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.

解析方法一:a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2.∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.方法二:由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.答案-26.設(shè)m=(a,b),n=(c,d),規(guī)定兩向量m,n之間的一個(gè)運(yùn)算“?”為m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),則q的坐標(biāo)為.

解析設(shè)q=(x,y),則p?q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).∴x答案(-2,1)7.設(shè)平面向量a=(cosα,sinα)(0≤α<2π),b=-12,32,且a與b(1)求證:向量a+b與a-b垂直;(2)若兩個(gè)向量3a+b與a-3b的模相等,求角α.(1)證明由題意知,a+b=cosα-12,sinα+32,a-b=cosα+12,sinα-32.∵(a+b)·(a-b)=cos2α-14+sin2α-34∴向量a+b與a-b垂直.(2)解|a|=1,|b|=1,由題意知,(3a+b)2=(a-3b)2,化簡(jiǎn)得a·b=0,∴-12cosα+32sinα∴tanα=33又0≤α<2π,∴α=π6或α=78.已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求證:AB⊥AD;(2)若點(diǎn)C使四邊形ABCD為矩形,求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD的兩對(duì)角線所成的銳角的余弦值.(1)證明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴AB=(1,1),AD=(-3,3).又AB·AD=1×(-3)+1×3∴AB⊥AD,即AB⊥(2)解∵AB⊥AD,四邊形ABCD∴