年重點(diǎn)高中自主招生數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)

------------20１5年重點(diǎn)中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題一答題時注意:1、試卷滿分1５0分;考試時間:１2０分鐘.2、試卷共三大題，計(jì)１６道題?？荚嚱Y(jié)束后,將本卷及演算的草稿紙一并上交。一、選擇題(共5小題，每題６分，共30分.以下每小題均給出了代號為A,B,C,D的四個選項(xiàng),其中有且只有一個選項(xiàng)是正確的.請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號內(nèi).不填、多填或錯填均不得分)1、如果關(guān)于x的方程至少有一個正根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(）Ａ、B、C、D、２、如圖,已知：點(diǎn)、分別是正方形的邊的中點(diǎn),分別交于點(diǎn),若正方形的面積是２4０，則四邊形的面積等于……()A、2６B、28C、24Ｄ、3０３、設(shè)是兩兩不等的實(shí)數(shù),且滿足下列等式：,則代數(shù)式的值是…(）A、0B、1C、3 4、如圖,四邊形內(nèi)接于以為直徑的⊙,已知：，則線段的長是…(）Ａ、B、7C、4＋3D、３+45、某學(xué)校共有312５名學(xué)生,一次活動中全體學(xué)生被排成一個排的等腰梯形陣，且這排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排多一人的規(guī)律排列，則當(dāng)取到最大值時,排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù)是…（）A、２96B、221C、2２5D、二、填空題：（共5小題,每題6分,共3０分）6、已知：實(shí)常數(shù)同時滿足下列兩個等式：⑴；⑵(其中為任意銳角),則之間的關(guān)系式是:。7、函數(shù)的最小值是。8、已知一個三角形的周長和面積分別是84、２1０，一個單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無摩擦地滾動一周后回到原來的位置（如圖），則這個三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是。９、已知：，則可用含的有理系數(shù)三次多項(xiàng)式來表示為:=。1０、設(shè)p、q、r為素?cái)?shù),則方程的所有可能的解p、ｑ、ｒ組成的三元數(shù)組(p，q,ｒ)是。三、解答題(共6題，共90分)１1、(本題滿分１2分）趙巖,徐婷婷,韓磊不但是同班同學(xué),而且是非常要好的朋友，三個人的學(xué)習(xí)成績不相伯仲，且在整個年級中都遙遙領(lǐng)先,高中畢業(yè)后三個人都如愿的考入自己心慕以久的大學(xué).后來三個人應(yīng)母校邀請給全校學(xué)生作一次報(bào)告.報(bào)告后三個人還出了一道數(shù)學(xué)題:有一種密碼把英文按字母分解，英文中的個字母(不論大小寫）依次用這26個自然數(shù)表示,并給出如下一個變換公式:；已知對于任意的實(shí)數(shù)，記號[]表示不超過的最大整數(shù)；將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼,如,即，再如,即。他們給出下列一組密碼：,把它翻譯出來就是一句很好的臨別贈言?，F(xiàn)在就請你把它翻譯出來，并簡單地寫出翻譯過程。12、（本題滿分1５分)如果有理數(shù)可以表示成（其中是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱為“世博數(shù)”。個“世博數(shù)”之積也是“世博數(shù)”嗎？為什么?證明：兩個“世博數(shù)”(）之商也是“世博數(shù)”。1３、(本題滿分15分）如圖,在四邊形中,已知△、△、△的面積之比是3∶1∶4,點(diǎn)在邊上，交于,設(shè)。⑴求的值；⑵若點(diǎn)分線段成的兩段，且，試用含的代數(shù)式表示△三邊長的平方和。14、(本題滿分16分）觀察下列各個等式：。⑴你能從中推導(dǎo)出計(jì)算的公式嗎?請寫出你的推導(dǎo)過程；⑵請你用⑴中推導(dǎo)出的公式來解決下列問題：已知：如圖，拋物線與、軸的正半軸分別交于點(diǎn)，將線段等分，分點(diǎn)從左到右依次為,分別過這個點(diǎn)作軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)，設(shè)△、△、△、△、…、△的面積依次為。①當(dāng)時，求的值;②試探究：當(dāng)取到無窮無盡時，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么?15、（本題滿分16分)有如圖所示的五種塑料薄板（厚度不計(jì)):①兩直角邊分別為3、4的直角三角形；②腰長為4、頂角為的等腰三角形;③腰長為５、頂角為的等腰三角形;④兩對角線和一邊長都是4且另三邊長相等的凸四邊形;⑤長為４且寬(小于長)與長的比是黃金分割比的黃金矩形。它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過一個內(nèi)、外徑分別為2．4、2.７的鐵圓環(huán)。我們規(guī)定:如果塑料板能穿過鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板“可操作”；否則，便稱為“不可操作”。⑴證明：第④種塑料板“可操作”;⑵求:從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率。16、（本題滿分16分)定義：和三角形一邊和另兩邊的延長線同時相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓。如圖所示，已知：⊙是△的邊上的旁切圓，分別是切點(diǎn)，于點(diǎn)。⑴試探究:三點(diǎn)是否同在一條直線上？證明你的結(jié)論。⑵設(shè)如果△和△的面積之比等于，,試作出分別以為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為6的一個一元二次方程。201５年重點(diǎn)中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題一參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(共5小題,每題6分,共3０分．以下每小題均給出了代號為Ａ,B,C，D的四個選項(xiàng),其中有且只有一個選項(xiàng)是正確的．請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號內(nèi).不填、多填或錯填均不得分)１、如果關(guān)于x的方程至少有一個正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)Ａ、B、C、Ｄ、2、如圖，已知:點(diǎn)、分別是正方形的邊的中點(diǎn),分別交于點(diǎn)，若正方形的面積是２４０，則四邊形的面積等于……（Ｂ)A、２6B、28C、24D、3０3、設(shè)是兩兩不等的實(shí)數(shù),且滿足下列等式：,則代數(shù)式的值是…(A)A、0Ｂ、1C?４、如圖,四邊形內(nèi)接于以為直徑的⊙,已知:,則線段的長是…（D)A、Ｂ、7C、4＋3D、3+45、某學(xué)校共有31２５名學(xué)生,一次活動中全體學(xué)生被排成一個排的等腰梯形陣，且這排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排多一人的規(guī)律排列,則當(dāng)取到最大值時,排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù)是…(Ｂ）Ａ、２96B、２２1C、22５D、６41二、填空題：（共5小題，每題6分，共３0分。不設(shè)中間分）6、已知：實(shí)常數(shù)同時滿足下列兩個等式:⑴；⑵（其中為任意銳角)，則之間的關(guān)系式是：。7、函數(shù)的最小值是8。8、已知一個三角形的周長和面積分別是８４、２10，一個單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無摩擦地滾動一周后回到原來的位置（如圖）,則這個三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是84—。9、已知：，則可用含的有理系數(shù)三次多項(xiàng)式來表示為:=。１０、設(shè)ｐ、q、r為素?cái)?shù),則方程的所有可能的解p、q、r組成的三元數(shù)組（p,q，r)是。三、解答題（共6題，共90分。學(xué)生若有其它解法，也按標(biāo)準(zhǔn)給分)11、(本題滿分１2分)趙巖，徐婷婷,韓磊不但是同班同學(xué)，而且是非常要好的朋友，三個人的學(xué)習(xí)成績不相伯仲,且在整個年級中都遙遙領(lǐng)先,高中畢業(yè)后三個人都如愿的考入自己心慕以久的大學(xué)，后來三個人應(yīng)母校邀請給全校學(xué)生作一次報(bào)告。報(bào)告后三個人還出了一道數(shù)學(xué)題：有一種密碼把英文按字母分解,英文中的個字母(不論大小寫)依次用這２6個自然數(shù)表示，并給出如下一個變換公式:;已知對于任意的實(shí)數(shù)，記號[]表示不超過的最大整數(shù)。將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼,如，即，再如,即。他們給出下列一組密碼：，把它翻譯出來就是一句很好的臨別贈言?，F(xiàn)在就請你把它翻譯出來，并簡單地寫出翻譯過程。略解:由題意,密碼對應(yīng)的英語單詞是iｎtｅｒest,對應(yīng)的英語單詞是is,對應(yīng)的英語單詞是besｔ，對應(yīng)的英語單詞是teacher.(９分)所以,翻譯出來的一句英語是Ｉｎterestisｂestteａchｅr,意思是“興趣是最好的老師”。（３分）1２、（本題滿分１５分)如果有理數(shù)可以表示成（其中是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱為“世博數(shù)”。個“世博數(shù)”之積也是“世博數(shù)”嗎？為什么？證明：兩個“世博數(shù)”（）之商也是“世博數(shù)”。略解：=,其中是有理數(shù)，“世博數(shù)”（其中是任意有理數(shù))，只須即可。（3分)對于任意的兩個兩個“世博數(shù)”，不妨設(shè)其中ｊ、k、ｒ、ｓ為任意給定的有理數(shù)，（3分）則是“世博數(shù)”；(3分)＝也是“世博數(shù)”。（3分）13、(本題滿分15分)如圖，在四邊形中，已知△、△、△的面積之比是3∶1∶4,點(diǎn)在邊上,交于,設(shè)。⑴求的值;⑵若點(diǎn)分線段成的兩段，且,試用含的代數(shù)式表示△三邊長的平方和。略解：⑴不妨設(shè)△、△、△的面積分別為3、１、4,∵,∴△的面積是6,△的面積是，△的面積是,△的面積為，△的面積是。（3分）由此可得：+=,即,∴(3分)∴=3(1分）⑵由⑴知:分別為的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)分線段成的兩段,∴點(diǎn)是△的重心。（2分)而當(dāng)延長到,使得，連結(jié)后便得到平行四邊形,再利用“平行四邊形的四邊平方和等于兩對角線的平方和”就可得:,類似地有，其中點(diǎn)為邊的中點(diǎn)?！?。（３分）∵,,∴,∴。（3分）１４、(本題滿分16分)觀察下列各個等式：。⑴你能從中推導(dǎo)出計(jì)算的公式嗎?請寫出你的推導(dǎo)過程;⑵請你用⑴中推導(dǎo)出的公式來解決下列問題:已知：如圖，拋物線與、軸的正半軸分別交于點(diǎn)，將線段n等分，分點(diǎn)從左到右依次為,分別過這個點(diǎn)作軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)，設(shè)△、△、△、△、…、△的面積依次為。①當(dāng)時,求的值；②試探究:當(dāng)取到無窮無盡時,題中所有三角形的面積和將是什么值?為什么?略解：⑴∵,∴當(dāng)式中的從1、2、３、…依次取到時，就可得下列個等式：(2分)，將這個等式的左右兩邊分別相加得:(2分)即=。（３分)⑵先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為。(３分）∴∴＝。(3分）∴①當(dāng)時,=；②∵∴當(dāng)取到無窮無盡時,上式的值等于，即所有三角形的面積和等于。（3分)15、（本題滿分１6分）有如圖所示的五種塑料薄板(厚度不計(jì)）:①兩直角邊分別為3、4的直角三角形；②腰長為4、頂角為的等腰三角形;③腰長為5、頂角為的等腰三角形;④兩對角線和一邊長都是4且另三邊長相等的凸四邊形；⑤長為4且寬（小于長）與長的比是黃金分割比的黃金矩形。它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過一個內(nèi)、外直徑分別為2.4、２.7的鐵圓環(huán)。我們規(guī)定：如果塑料板能穿過鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板“可操作”；否則,便稱為“不可操作”。⑴證明：第④種塑料板“可操作”；⑵求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率。略解：⑴由題意可知四邊形必然是等腰梯形,(2分）不妨設(shè)=，分別過點(diǎn)作的垂線,垂足為，則由△∽△得到,即,解得?！?lt;2．4,∴第④種塑料板“可操作”。（5分）⑵如上圖所示,分別作直角三角形斜邊上的高、等腰三角形的腰上的高、等腰三角形底邊上的高，易求得：=２．４，=2.5.（2分)又由⑴可得等腰梯形的銳角底角是，△≌△,∴=.而黃金矩形的寬等于＞２.４，（4分)∴第①②④三種塑料板“可操作”；而第③⑤兩種塑料板“不可操作”?！鄰倪@五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率。(３分）１６、（本題滿分1６分）定義:和三角形一邊和另兩邊的延長線同時相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓。如圖所示，已知：⊙是△的邊上的旁切圓,分別是切點(diǎn),于點(diǎn)。⑴試探