函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性2018.09.22函數(shù)的基本性質(zhì)

觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

1、觀察這三個(gè)圖象，你能說出圖象的特征嗎？2、隨x的增大，y的值有什么變化？1、從左至右圖象上升還是下降

? f(x)=xf(x)=x2x…-4-3-2-101234……16941014916…OxyOxyOxyOxyOxy1、從左至右圖象上升還是下降

? f(x)=x3、在區(qū)間

_____上，f(x)的值隨著x的增大而

_____．

f(x)=x22、在區(qū)間

________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著

______．一.有關(guān)概念：如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的自變量的任意稱函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。(如圖(1))2.如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的自變量的任意稱函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。(如圖(2))一般地，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)：Oxy圖(1)Oxy圖(2)1.增函數(shù)與減函數(shù)2、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

3、對(duì)單調(diào)性概念的幾點(diǎn)理解：

1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2.必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2),則分別是增函數(shù)和減函數(shù).例1

下圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間,以及在每一區(qū)間上,是增函數(shù)還是減函數(shù).-212345-23-3-4-5-1-112O解：根據(jù)函數(shù)圖象可知在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù)。函數(shù)單調(diào)區(qū)間有[-5，-2),[-2，1),[1,3),[3，5],其中在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)，注意：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，不存在單調(diào)性問題。請(qǐng)結(jié)合圖象說出一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)yox當(dāng)k<0時(shí),yox當(dāng)k>0時(shí),yox當(dāng)a<0時(shí),yox當(dāng)a>0時(shí),例2：證明：函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù)．證：在R上任意取兩個(gè)值，且，

∵∴

∴

即∴在R上是單調(diào)減函數(shù)．取值作差變形定號(hào)判斷則1、任取x1，x2∈D，且x1<x2；2、作差f(x1)－f(x2)，變形;3、定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；4、下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

二、利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：OxyOxyOxy21yOx[例3].根據(jù)函數(shù)的圖象說出函數(shù)的單調(diào)性

例3、物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.思考？思考：畫出反比例函數(shù)的圖象．

1、這個(gè)函數(shù)的定義域I是什么？

2、它在定義域I上的單調(diào)性怎樣？證明你的結(jié)論．

三.課堂小結(jié)：

3.函數(shù)的單調(diào)性的證明方法—定義法（四步）。

2.函數(shù)的單調(diào)性的找法—作圖，根據(jù)圖象找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。1.函數(shù)單調(diào)性的定義【練習(xí)】：

1、判斷函數(shù)f(x)=1/x在(－∞，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論.【想一想】：能否說函數(shù)f(x)=1/x在(－∞，+∞)

上是減函數(shù)？答：不能.