統(tǒng)計物理初步

大學物理II徐立副教授物理電子學院逸夫樓314lixu/p>

注意事項1.成績構成：平時10%,期中20%，期末40%，兩次平時考試30%；期中和期末考試的難度將加大。2.習題冊每本6元，9月19日（第三周周五）全天在文印中心以行政班為單位購買。3.從第四周最后一次課開始交作業(yè)，每次交三個練習。無特別通知則每周如此。物理學是探討客觀物質世界基本規(guī)律的一門學科,是其它各門自然科學和一切工程技術的基礎，知識：物理學就是一個研究問題的方法寶庫。方法：物理學是知識和方法并重的關于我的課程我會特別注重這部分內容的闡述物理學知識很容易淡忘，而對物理學研究方法的領悟則會讓你受益終生本學期的內容安排熱學電磁學量子力學靜電學靜磁學變化的電磁場（7次課左右）（6次課）熱學篇熱是人類最早發(fā)現(xiàn)的一種自然力，是地球上一切生命的源泉。

—恩格斯熱現(xiàn)象：凡是與溫度有關的物理性質的變化都叫稱為熱現(xiàn)象熱學就是研究熱現(xiàn)象規(guī)律及其應用的一門科學。熱力學與統(tǒng)計物理初步系統(tǒng)：熱學的研究對象熱運動熱運動有一個最大的特點，大量的微觀粒子中的個別粒子的運動是無規(guī)則的和隨機的，但在總體上，在一定的宏觀條件下卻遵循確定的統(tǒng)計性規(guī)律它是運用統(tǒng)計的方法把物體的宏觀性質作為微觀粒子熱運動的統(tǒng)計平均結果，找出宏觀量與微觀量之間的聯(lián)系統(tǒng)計物理宏觀層面微觀層面從微觀方面研究熱學的理論我們稱之為統(tǒng)計物理或分子物理學，熱學的宏觀理論它根據由觀察和實驗總結出來的熱力學定律，再用嚴密邏輯推理的方法來研究系統(tǒng)的熱性質熱力學兩種理論互有優(yōu)勢，相互補充統(tǒng)計物理

氣體動理論本章討論的氣體分子運動論是統(tǒng)計物理學最簡單最基本的內容。目的在于使我們了解一些氣體性質的微觀解釋，并學到一些統(tǒng)計物理的基本概念和方法第七章統(tǒng)計物理初步從上述物質分子運動論的基本觀點出發(fā)，研究和說明宏觀物體的各種現(xiàn)象和性能是統(tǒng)計物理學的任務

氣體動理論的基本假設1，宏觀物體是由大量微粒--分子（或原子）組成的。2，物體中的分子處于永不停息的無規(guī)則運動中其激烈程度與溫度有關。3，分子之間存在著相互作用力。一熱力學系統(tǒng)的平衡態(tài)一個系統(tǒng)在不受外界影響的條件下，如果它的一切宏觀性質不再隨時間變化，并且體系的各個部分也不發(fā)生任何宏觀變化我們就說這個系統(tǒng)處于熱力學平衡態(tài)。比如一個封閉容器被隔板分成兩個部分，一部分為真空一部分中有空氣。第一節(jié)：熱力學系統(tǒng)與平衡態(tài)熱力學系統(tǒng)的平衡態(tài)說明1：不受外界影響是從作能量角度來說的，既外界既不作功也不熱傳遞。說明2：平衡是動態(tài)的平衡說明3：不受外界影響的系統(tǒng)是不存在的,是個理想模型說明4：平衡態(tài)不同于系統(tǒng)受恒定外界影響所達到的穩(wěn)定狀態(tài)100oc0oc金屬桿有外界影響的穩(wěn)定狀態(tài)不是平衡態(tài)二狀態(tài)參量1宏觀量和微觀量通常我們把描述單個粒子運動狀態(tài)的物理量稱為微觀量，如粒子的質量、位置、速度、動量、能量等；描述系統(tǒng)宏觀屬性的物理量稱為宏觀量，如溫度、壓強、體積、熱容狀態(tài)參量：是描述氣體性質的宏觀量如果在所研究的問題中既不涉及電磁性質又無須考慮與化學成分有關的性質，系統(tǒng)中又不發(fā)生化學反應，則不必引入電磁參量和化學參量。非平衡態(tài)：沒有確定的溫度和壓強一般指的就是這三個三理想氣體——實際氣體的理想模型理想氣體（宏觀模型）：實驗指出：在通常的溫度和壓強下一切氣體都近似遵守玻馬定律、查理定律、蓋-呂薩克定律和阿伏伽德羅定律。理想氣體嚴格遵守上述實驗定律不同的氣體所表現(xiàn)出的這一性質絕非偶然理想氣體（微觀模型）：不計大小質點：不計相互作用自由質點：理想氣體分子彈性質點：彈性碰撞自由彈性質點什么叫理想模型？理想模型：抓住問題的主要因素忽略次要因素，把實際情況理想化、模型化的一種簡化問題的研究方法理想模型—物理學最重要、最基本的研究問題方法舉例：質點實際物體都有大小和形狀，但大小和形狀對我們研究問題影響不大時，我們就忽略物體的大小和形狀，把該物體看成一個有質量的點，即質點。主要因素：質量什么是理想模型次要因素：大小和形狀這樣質點就是實際物體的理想模型(7-1)

單位:SI

壓強p:Pa帕斯卡(帕斯卡)。

1atm=76cmHg=1.013×105Pa(atmosphere)

體積V：m3;1L=10-3m3

溫度T：K(T=273+tC

)M:氣體質量(kg);Mmol

:摩爾質量(kg.mol-1)。普適氣體恒量:R=8.31(J.mol-1.K-1)四、理想氣體狀態(tài)方程20玻耳茲曼常量k=R/No=1.38×10-23(J.K-1)R=8.31(J.mol-1.K-1)于是理想氣體狀態(tài)方程又可寫為式中：n=N/V—單位體積的分子數密度。m

分子質量,N

氣體分子數(7-1)或

(7-2)例7-1一籃球在室溫為00C時打入空氣到1.5個大氣壓，假設球的體積不變，試計算：（1）在賽球時,籃球溫度升高到300C，問這時球內的壓力有多大？（2）在賽球過程中,球被劃破一個洞開始漏氣，把籃球拿回室溫的條件下，最終漏掉的空氣是原來空氣的百分之幾？解：（1）解：（2）原來的質量后來的質量23

例題7-2估算在標準狀態(tài)下，每立方厘米的空氣中有多少個氣體分子。

解由公式：p=nkT，標準狀態(tài):p=1atm=1.013×105Pa,T=273K=2.7×1025(個/m3)=2.7×1019(個/cm3)

例題7-3一氧氣瓶的容積V=32l,瓶中氧氣壓強p1=130atm。規(guī)定瓶內氧氣的壓強降到p2=10atm時就得充氣,以免混入其他氣體而需洗瓶。一車間每天需用pd=1atm的氧氣Vd=400l,問一瓶氧氣能用幾天?

解抓?。悍肿觽€數的變化，用pV=NkT求解。使用后瓶中氧氣的分子個數:(設使用中溫度保持不變)每天用的氧氣分子個數:能用天數：未使用前瓶中氧氣的分子個數:

例題7-4一長金屬管下斷封閉,上端開口,置于壓強為po的大氣中。今在封閉端加熱達T1=1000K,而另一端則達到T2=200K，設溫度沿管長均勻變化。現(xiàn)封閉開口端，并使管子冷卻到TE=100K。計算此時管內氣體的壓強(不計金屬管的膨脹)。

解初態(tài)(加熱時)是定態(tài),但不是平衡態(tài)。末態(tài)是平衡態(tài)。關鍵是求出管內氣體的質量。.......圖7-1x,L

管長

對x處的氣體元(dx,dM)可視為平衡態(tài):dxxdM.......圖7-1xdxx,S

管橫截面積.......圖7-1xdxx末態(tài):封閉開口端,并使管子冷卻到TE=100K。=0.2po最后得：理想氣體微觀模型：不計大小質點：不計相互作用自由質點：理想氣體分子彈性質點：彈性碰撞第二節(jié)理想氣體壓強和溫度的統(tǒng)計意義一統(tǒng)計性假設（平衡態(tài)下）1分子處于容器內任一位置處的概率相同（均勻分布）分子數密度2分子沿各方向運動的概率相同任一時刻向各方向運動的分子數相同3分子速率在各個方向分量的各種平均值相同續(xù)：統(tǒng)計假設二：推導建立宏觀量(P)與微觀量的聯(lián)系

氣體壓強是大量分子不斷碰撞容器壁的結果壓強是怎么產生的？

壓強等于器壁單位面積上所受的平均壓力推導壓強公式壓強等于器壁單位面積上所受的平均壓力體積為v的長方體容器中有一定質量的同種理想氣體，每個分子質量為m,總分子數為N，處于平衡態(tài),分子數密度為n。在垂直于x軸的器壁上任取一小面積dS,計算其所受的平均壓力續(xù)：推導壓強這個問題很難辦考慮速度為vi的一個分子一次碰撞的動量變化大小是多少？利用理想氣體分子微觀模型，考慮速度為vi的一個分子對器壁的一次碰撞而產生的動量變化彈性碰撞：速度為vi的一個分子一次碰撞的動量變化大小是：續(xù)：推導壓強所有速度為的vi的分子在dt時間內與dS相碰的分子總動量變化是多少？速度為vi的一個分子一次碰撞的動量變化大小是：所有速度為vi的分子中在dt時間內與dS相碰的分子數即為：以dS為底以vixdt為高的斜柱體內的分子數續(xù)：推導壓強這個dt時間內速度為為vi的分子的動量變化之和為：設速度為vi的分子數密度為ni注意：

vix<0的分子不與dS碰撞。所有分子在dt時間內碰器壁dS所導致的總動量變化為：續(xù)：推導壓強得理想氣體壓強公式：續(xù)：推導壓強為分子平均平動動能（簡稱平均平動能）平均平動能說明：1此式子給出了一個宏觀量壓強和一個微觀量的統(tǒng)計平均值之間的關系，就是我們要找的公式。（體現(xiàn)了統(tǒng)計物理研究問題的基本特點）2是大量分子的統(tǒng)計平均結果，是統(tǒng)計規(guī)律。是把宏觀壓強表示為單位面積器壁上受到分子平均沖力這一思想的結果。離開“大量”和“平均”壓強p失去意義宏觀量(P)與微觀量的聯(lián)系3，結果表明：4如果容器中不是同種分子，結果如何？道爾頓分壓定律：總壓強等于各種氣體單獨充滿容器時壓強之和宏觀量(P)與微觀量的聯(lián)系4、混合氣體內的壓強道爾頓分壓定律

設容器內有多種氣體，n=n1+n2+…+ni…+nn

,其中ni是第i種氣體的分子數密度,由壓強公式有(只與溫度有關)于是有

p=p1+p2+……+pn

這就是說，總壓強等于各氣體分壓強之和，這就是道爾頓分壓定律。三理想氣體溫度公式理想氣體狀態(tài)方程玻爾茲曼常數1理想氣體溫度T是分子平均平動動能的量度，是分子熱運動劇烈程度的標志（給出了溫度的實質）2溫度是大量分子熱運動的集體表現(xiàn)，是統(tǒng)計性概念，對個別分子無溫度可言溫度的統(tǒng)計意義熱力學認為絕對零度只能逼近，不能達到溫度的統(tǒng)計意義3分子平均平動動能和溫度的關系式對任何種類的氣體都是不變的

例題7-6一容器體積V=1m3,有N1=1×1025個氧分子，N2=4×1025氮分子，混合氣體的壓強p=2.76×105pa,求分子的平均平動動能及混合氣體的的溫度。解由壓強公式所以=8.26×10-21J又混合氣體的的溫度：=400K

例題7-7兩瓶不同種類的氣體，溫度、壓強相同，但體積不同，則

(1)它們單位體積中的分子數相同。

(2)它們單位體積中的氣體質量不相同。

(3)它們單位體積中的分子平動動能的總和(p=nkT)(

=mn)(Ek=nEt)相同。溫度為30℃時1摩爾氧氣的能量按理想模型計算：實際為：氣體的能量問題理想氣體模型在解釋壓強和溫度時是成功的但是在研究氣體能量時卻出現(xiàn)了困難理論的評價理想氣體模型在解釋壓強和溫度時是成功的但是在研究氣體能量時卻出現(xiàn)了困難一個理論都存在一個應用范圍問題，超出了范圍就是錯的，所以評價一個理論不宜用簡單的對和錯加以衡量理想氣體模型錯了么？理想氣體微觀模型在解釋能量問題時的缺欠不計大小質點：不計相互作用自由質點：理想氣體分子彈性質點：彈性碰撞一理想氣體模型的改進討論能量問題：考慮分子內部結構—質點組分子熱運動能量：1平動動能2轉動動能3分子內原子間振動動能和勢能第三節(jié)能量按自由度均分定律二自由度確定一個物體的空間位置所需的獨立坐標數總自由度數=平動自由度+轉動自由度+振動自由度1質點的自由度受限制時自由度減少輪船t=2火車t=1飛機t=3

只有平動最多三個自由度決定質心位置t=3過質心轉軸方向剛體相對于軸的方位轉動共計r=32剛體的自由度如何確定轉動的位置呢？剛體的任何轉動都可以看成繞通過質心的軸（方向可變）的轉動請大家記住決定質心位置t=3過質心轉軸方位剛體相對于軸的方位r=3最多6個自由度:i=t+r=6定軸剛體:i=r=1

剛體的自由度自由細桿t=3,r=2,i=53）氣體分子的自由度單原子分子—自由質點雙原子分子—輕彈簧聯(lián)系的兩個質點i=t=3質心位置t=3剛性雙原子分子,相當于自由細桿雙原子分子的自由度非剛性雙原子分子,相當于輕彈簧連接兩質點多原子分子（原子數n)最多可能自由度i=3n平動t=3轉動r=3振動s=3n-6剛性多原子分子t=3r=3s=0i=6在上節(jié)中我們已得到分子的平均平動動能可見，分子的平均平動動能是均勻地分配在3個自由度上的，即每個平動自由度上的平均平動動能都相等，都為

三能量按自由度均分定律分子的平均總動能:統(tǒng)計表明：在溫度T的平衡態(tài)下，物質（固，液，氣）分子的每一個可能的自由度都有相同的平均動能kT/2平均能量按自由度均勻分配平均平動動能平均轉動動能平均振動動能分子的平均總動能:

能量按自由度均分定律1，是平均值，不是指單個分子的2，由于氣體分子運動是無規(guī)則的，在平衡態(tài)下，氣體分子相互碰撞的結果是任何一種運動都不比另一種運動優(yōu)越，因此平均來說氣體分子的每一個自由度包括振動、轉動都具有相同的動能所有分子內原子振動勢能之和：所有分子的總動能之和1實際氣體內能的定義：（分子數N）四氣體的內能所有分子間相互作用的勢能之和：三部分之和為內能理想氣體內能E：（分子數N）理想氣體分子間無相互作用~無分子相互作用勢能微振動：假設為簡諧振動所有分子的總動能之和：所有分子內原子振動勢能之和：平均總能量注意這個處理問題的方式溫度為T平衡態(tài)下，分子數為N的理想氣體的內能為：對1mol理想氣體：單原子分子剛性雙原子分子剛性多原子分子溫度T的單值函數理想氣體內能：討論：(1)理想氣體的內能只取決于分子運動的自由度

i

和熱力學溫度T。(2)對于一定量的某種理想氣體，內能的改變只與初、末態(tài)的溫度有關,即：(3)物體的內能不同于機械能，機械能可以等于零，而它的內能永遠不會等于零。但物體的內能和機械能之間可以互相轉換。公式小結平衡態(tài)下，分子每個自由度上的平均動能平衡態(tài)下，分子的平均平動能平衡態(tài)下，1mol理想氣體內能例7-8指出下列各量的物理意義例7-9

求在溫度為30℃時氧氣分子的平均平動能，平均總動能，平均總能量以及32.010-3kg的氧氣的內能，（常溫下，可以認為分子是剛性分子，不計振動）。解:氧分子是剛性雙原子分子，平動自由度t=3，轉動自由度r=2，平均平動能平均總動能平均總能量內能平均總能量例7-10

兩個容器中分別貯有氦氣和氧氣（剛性），已知氦氣的壓強是氧氣壓強的1/2，氦氣的容積是氧氣的2倍。試問氦氣的內能是氧氣內能的多少倍？下標1，2分別表示氦和氧的有關各量下標1，2分別表示氦和氧的有關各量即氦氣的內能是氧氣內能的五分之三倍。71思考1：有兩種理想氣體，T相同，則它們的

一定相同。（A）內能；（B）分子的平均總動能；（C）分子的平均平動動能。思考2：一容器盛有雙原子理想氣體，測其壓強為p，則該氣體的單位體積內的內能E＝

。解：思考3：同溫度下，1mol氫氣和氦氣的內能之比為

。解：思考4：如圖，試比較1mol理想氣體在四個狀態(tài)下的內能關系

。解：思考5：如圖，正確結論是

。

例7-11容器內有co2和o2兩種混合氣體，混合氣體的熱力學溫度T=290K,總的內能E=9.64×105J,總質量M=5.4kg，求兩種氣體的質量。解

設co2的質量為M1，o2的質量為M2，則

M1+M2=M解得：M1=2.2kg,M2=3.2kg。

剛性分子總的內能：

例7-12如左下圖示，容器兩邊是同種氣體，左邊的壓強、溫度、體積分別是p1、T1、V，右邊的壓強、溫度、體積分別是p2、T2、V；抽去中間的隔板，讓兩邊的氣體混合(設混合過程中氣體與外界無能量交換)，求平衡時的壓強和溫度。

解

因混合過程中氣體與外界無能量交換，所以混合前后氣體的內能不變：又p1V=v1RT1,p2V=v2RT2p(2V)=(v1+v2)RT解得P1T1

VP2T2

V......1分子處于容器內任一位置處的概率相同（均勻分布）分子數密度2分子沿各方向運動的概率相同任一時刻向各方向運動的分子數相同3分子速率在各個方向分量的各種平均值相同分子熱運動的統(tǒng)計規(guī)律小結：4，在平衡態(tài)下，速率平方的平均值為常數方均根速率：在平衡態(tài)下，速率的平均值為常數么？分子無規(guī)則熱運動的統(tǒng)計規(guī)律還有那些呢？分子熱運動的統(tǒng)計規(guī)律小結：第四節(jié)麥克斯韋氣體分子速率分布

理想氣體,平衡態(tài)下各分子不停運動且頻繁碰撞對大量分子整體而言，氣體分子按速率分布具有確定規(guī)律。一，分子速率分布函數對大量分子整體而言，氣體分子按速率分布具有確定規(guī)律。續(xù)；分子速率分布函數分子速率在

v

附近單位速率區(qū)間的分子數占總分子數的比率定義分子速率分布函數：一般將上式寫成續(xù)；分子速率分布函數麥克斯韋

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋 （JamesClerkMaxwell1831--1879) 19世紀偉大的英國物理學家、數學家。 主要從事電磁理論、分子物理學、統(tǒng)計物理學、光學、力學、彈性理論方面的研究。尤其是他建立的電磁場理論，將電學、磁學、光學統(tǒng)一起來，是19世紀物理學發(fā)展的最光輝的成果，完成了物理學的又一次大綜合。他預言了電磁波的存在。這一理論自然科學的成果，奠定了現(xiàn)代的電力工業(yè)、電子工業(yè)和無線電工業(yè)的基礎。 在熱力學與統(tǒng)計物理學方面麥克斯韋也作出了重要貢獻，他是氣體動理論的創(chuàng)始人之一。分布函數：分子速率在

v

附近單位速率區(qū)間的概率續(xù)；分子速率分布函數討論(1)曲線下的面積的物理意義分子速率在v-v+dv區(qū)間內的概率總面積為多少？歸一化條件討論(2)最概然速率1,氣體分子速率可取的一切值，但速率很小和速率很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。若將分為相等的速率間隔，則在包含的間隔中的分子數最多。討論：(2)最概然速率m一定,

討論3,分布曲線隨m,T

變化曲線峰值右移總面積不變因而會：曲線變平坦

T一定,曲線峰值左移，總面積不變曲線變尖銳討論3,分布曲線隨m,T

變化三.分子速率的三種統(tǒng)計平均值1）方均根速率該速度分子數占總數的比率2）算術平均速率3）最概然速率（最可幾速率)該速度分子數占總數的比率三者的大小比較：例1

已知f(v)是速率分布函數，說明以下各式的物理意義（1）f(v)dv；（2）nf(v)dv，其中n是分子數密度；（3）（vp是最概然速率）答：（1）f(v)dv表示某分子的速率在間隔內的幾率（2）nf(v)dv表示單位體積內，分子速率在間隔內的分子數。（3）表示速率小于或等于vp的分子占總分子數的幾率。例2解一：解二：4.實驗驗證1934年葛正權實驗O：銀蒸汽源C：繞中心軸轉動的圓筒內貼玻片C不同v分子到達p所用時間不等,沉淀于玻片上不同位置,用光學方法測玻片上銀厚度分布可推知分子速率分布。實驗結果驗證了麥氏分子速率分布定律C實驗驗證*第五節(jié)玻耳茲曼分布一，玻耳茲曼分布定律沒有考慮有外力場時的情形：考慮有外力場時：在外力場（特別是重力場）中的氣體分子分布氣體分子的玻耳茲曼分布氣體分子的玻耳茲曼分布續(xù)：氣體分子的玻耳茲曼分布二，重力場中粒子數密度按高度分布例1,不考慮溫度變化的影響,在300K下求海拔8848米高度處的分子數密度及壓強?？諝夥肿拥馁|量取勢能表達式為：1分子處于容器內任一位置處的概率相同（均勻分布）分子數密度2分子沿各方向運動的概率相同任一時刻向各方向運動的分子數相同3分子速率在各個方向分量的各種平均值相同分子熱運動的統(tǒng)計規(guī)律小結：4，在平衡態(tài)下，速率和速率平方的平均值為常數分子無規(guī)則熱運動的統(tǒng)計規(guī)律小結：5，分子按速度和位置分布規(guī)律統(tǒng)計性規(guī)律還有那些呢？分子無規(guī)則熱運動的統(tǒng)計規(guī)律小結：討論氣體分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律只能求統(tǒng)計平均值，尋求其統(tǒng)計規(guī)律。分子速率分布平均動能按自由度分布都是依賴分子間頻繁碰撞實現(xiàn)的每個分子1