2023屆福建省永安市高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)向量;7,方滿足同=2,忖=1,k內(nèi)=60,則卜+4的取值范圍是

2.如圖，在棱長為4的正方體A3C。一中，E,F,G分別為棱AB,BC,CG的中點(diǎn)，M為棱AO的中點(diǎn),

設(shè)尸，。為底面A8CZ）內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AP//平面E尸G,°。=J萬，則PM+PQ的最小值為（)

A.372-1B.372-2C.275-1D.2石一2

3.已知直線y=x—2/是曲線y=lnx-a的切線，則4=（）

-111

A.-2或1B.-1或2C.一1或一D.——或1

22

4.已知尸為圓C：(x—5『+y2=36上任意一點(diǎn)，A(-5,0),若線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)。，則。點(diǎn)

的軌跡方程為（）

fJ/r22

A.-------1--------=1B.——乙=1

916916

3=1(%<0)

D.亡=1(x〉0)

916916

5.集合A={-2,-1,1},8={4,6,8},M={x\x=a+b,b^B,x^B}，則集合M的真子集的個(gè)數(shù)是

A.1個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.7個(gè)

6.M是拋物線V=4x上一點(diǎn)，N是圓（x—iy+（y—2）2=1關(guān)于直線x-y-l=O的對(duì)稱圓上的一點(diǎn)，貝!）］也叫最

小值是（）

A.乎-1B.>/3-1C.2&一1D.1

7.正方形ABCD的邊長為2,E是正方形內(nèi)部（不包括正方形的邊）一點(diǎn)，且AE-AC=2,貝”AE+AC『的最小

值為（）

232：

A.—B.12C.一D.13

22

8.等比數(shù)列{〃〃},若。3=4,%5=9則=（）

13

A.±6B.6C.-6D.—

2

9.已知拋物線y2=2px（p>0）上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)尸的距離比點(diǎn)M到N軸的距離大;，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y1=8x

10.設(shè)a,6,c分別是AA8C中NA,QB,NC所對(duì)邊的邊長，則直線sinA-x-t（y-c=O與bx+siny+sinC=0

的位置關(guān)系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

5

11.已知COS（2019萬+。）=--—>貝！|sin（］-2a）=（）

7557

A.-B.-C.一一D.

9999

12.函數(shù)/（尤）=2x3-0?+［在（o,+。）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知正數(shù)a,6滿足a+b=L則的最小值等于,此時(shí)a=.

14.若奇函數(shù)/(x)滿足〃x+2)=-/(x),g(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)xeR都有g(shù)[g(x)—2'+2]=l,

當(dāng)XG[0,1]時(shí),〃x)=g(x),則/。幅12)=_______,

15.已知復(fù)數(shù)z=(17>(a+i)(i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)”的值為

16.某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本，則

抽取學(xué)生的人數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：

.6

X=-2H----1

2

psin20=2acos/a>0）.過點(diǎn)P（—2,-4）的直線/:a為參數(shù))與曲線C相交于N兩點(diǎn).

V=-4d---1

2

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程;

⑵若\扁MN=\扁|P,N求|實(shí)數(shù)a的值.

18.（12分）若">0*>0,且！+,=而

ab

(1)求/+3的最小值;

(2)是否存在。力，使得2a+3h=6?并說明理由.

19.(12分)已知函數(shù)"￡)=必'+%2+公+》，曲線y=在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為4x—2y—3=0

(1)求a,力的值；

(2)證明:/(x)>lnx.

20.(12分)如圖，在四棱錐M—ABC。中，ABVAD,AB=AM=AD=2,MB=MD=2-42.

(D證明：A〃_L平面A8CQ；

(2)若CD"AB,2CD=AB,E為線段BM上一點(diǎn)，且BE=2EM,求直線EC與平面BDW所成角的正弦值.

21.(12分)如圖，已知三棱柱A6C-4耳J中，ABC與d8C是全等的等邊三角形.

(D求證：BC1AB.；

(2)若cosNB]BA=：,求二面角3——A的余弦值.

22.(10分)如圖，在直三棱柱—中，CA=CB,點(diǎn)P,。分別為4月，CG的中點(diǎn).求證:

(1)P。//平面ABC；

(2)平面

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由模長公式求解即可.

【詳解】

卜+力|=J(a+%)2=4a^+2a-bt+t2b2=44+2，+產(chǎn)=，/+1)2+32省,

當(dāng)f=T時(shí)取等號(hào)，所以本題答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

把截面EFG畫完整，可得P在AC上，由萬知。在以O(shè)為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對(duì)稱性可得

PM+PQ的最小值.

【詳解】

如圖，分別取GA，R4，AA的中點(diǎn)H,/，，連接易證E,居共面，即平面EEG為截面

EFGH1J,連接AA，"C,AC,由中位線定理可得AC//￡R,ACz平面EFG,EFu平面EFG,則AC7/平

面EFG,同理可得AD|//平面EFG,由ACIA。=A可得平面ARC//平面EFG,又平面E尸G,P在

平面ABCZ)上，，尸￡AC.

正方體中DR_L平面ABC。，從而有:.DQ=JDQ-DD：=1,Q在以。為圓心1為半徑的四

分之一圓(圓在正方形ABC。內(nèi)的部分)上，

顯然M關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為E，

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2逐一1，當(dāng)且僅當(dāng)E,P,。共線時(shí)取等號(hào)，

.??所求最小值為2逐-1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間距離的最小值問題，解題時(shí)作出正方體的完整截面求出P點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn)，第二個(gè)難點(diǎn)是求出。點(diǎn)

軌跡，第三個(gè)難點(diǎn)是利用對(duì)稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.

3.D

【解析】

求得直線y=x-2/的斜率，利用曲線y=lnx-a的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，求得。的值.

【詳解】

直線y=的斜率為1,

對(duì)于y=lnx-a,令?=J=1,解得x=l,故切點(diǎn)為（1,一。），代入直線方程得—a=1—2/,解得。=一;或L

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

如圖所示：連接QA,根據(jù)垂直平分線知QA=QP,||。。|-|。山|=6<10,故軌跡為雙曲線，計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：連接QA,根據(jù)垂直平分線知QA=QP,

故||QC|一|例|=|依1-1。4|=1尸1=6<10,故軌跡為雙曲線，

22

2a=6,a=3,c=5,故b=4,故軌跡方程為——=1.

916

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.

5.B

【解析】

由題意，結(jié)合集合A3,求得集合“，得到集合“中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，集合A={-2,-1,1}乃={4,6,8},xeA,

貝！IM-{x\x=a+b,xA,b&B,x&B}=[4,6],

所以集合M的真子集的個(gè)數(shù)為22-1=3個(gè)，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合M，再由真子集個(gè)數(shù)

的公式2"-1作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

6.C

【解析】

求出點(diǎn)（1,2）關(guān)于直線x-y-l=O的對(duì)稱點(diǎn)。的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓（x—1丫+（y—2）2=1關(guān)于直線x-y-l=O的

對(duì)稱圓C的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出|困的最小值，由此可得出|M^|m,n=|MC|m.n-1,即可得解.

【詳解】

如下圖所示:

設(shè)點(diǎn)(1,2)關(guān)于直線x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C(a,b),

〃+1b+2

1=0

2a—b—3=0。=3/、

則,整理得＜解得L八，即點(diǎn)C(3,0),

b-2。+。-3=0b=0

、。一1

所以，圓(x—iy+(y—2)2=l關(guān)于直線x-yT=0的對(duì)稱圓C的方程為(x—3p+y2=i,

設(shè)點(diǎn)M,則=—3+/=

當(dāng)丁=±2時(shí)，|困取最小值2夜，因此，|“V|“加=四。/一1=2正一1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算，同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對(duì)稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等

題.

【解析】

分別以直線為％軸，直線AD為丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(x,y),根據(jù)AE-AC=2,可求x+y=l,而

UllUUUIU

(AE+AC)2=(X+2)2+(y+2)2,化簡求解.

【詳解】

解：建立以A為原點(diǎn)，以直線A3為％軸，直線A。為＞軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)￡(x,y),xe(0,2),ye(0,2),則

AE=(x,y),AC=(2,2),由AE-AC=2，即2x+2y=2,得x+y=l.所以

ULIUuuui

(AE+AC)2=(x+2)2+(y+2)2=x2+/+4(x+y)+8

1c251uuuuuti25

=2x2-2x+13=2(x--)2+y,所以當(dāng)x=5時(shí)，(AE+ACf的最小值為百.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)確定值即可.

【詳解】

由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，a3-ai5=a^,

所以q=±屈?小=±^36=±6,

而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以為=6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的簡單應(yīng)用，注意項(xiàng)的符號(hào)特征，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p,即可得到拋物線方程.

【詳解】

由拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大g,根據(jù)拋物線的定義可得

???"=1,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=2x.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

試題分析：由已知直線sin4x—ay—c=0的斜率為"d,直線bx+sinBy+sinC=O的斜率為,又由正

asinB

弦定理得電/上?=吧不熱三后，故吧sinw4*穆??*?sinf*—二海|=A_兒兩直線垂直

翎；演aV：如拷。：?t.：沏鄴J

考點(diǎn)：直線與直線的位置關(guān)系

11.C

【解析】

TT

利用誘導(dǎo)公式得cos（2019萬+a）=-cosa,sin（--2a）=cos2a,再利用倍角公式，即可得答案.

2

【詳解】

由cos（2019萬+a）=可得cos（乃+a）=??cosa=，

:.sin（----2df）—cos2a=2cos-a-1=2x—1=—.

299

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)

注意三角函數(shù)的符號(hào).

12.A

【解析】

求出/。）=6/-2依，對(duì)。分類討論，求出（0,+8）單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.

【詳解】

若a<0,xe(0,+oo),J"(x)>0,

/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，且/(0)=1〉0,

/(X)在((),+8)不存在零點(diǎn)；

若a>0,xe(0,?!),/(x)<0,xe(0,+oo),f'(x)>0,

/(x)=2x3-ar2+1在(0,+。)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

=——a5+1=0,.'.a=3.

27

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.3—

2

【解析】

根據(jù)題意，分析可得2+,=2+乎=夕+/+1,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值，進(jìn)而分析基本不等式成立的條

ababab

件可得a的值，即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，正數(shù)a、b滿足=

m,ib1ba+bba.一

abababNab

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時(shí)，等號(hào)成立，

2

故2+工的最小值為3,此時(shí)a=」.

ab2

故答案為：3；—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.

1

14.—

3

【解析】

根據(jù)〃x+2)=-/(力可得，函數(shù)”X)是以4為周期的函數(shù)，令g(x)-2'+2=h可求g(x)=2*-l,從而可得

/(X)=g(x)=2'-1,/(log,12)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【詳解】

令g(x)-2、+2=3則g(x)=Z+2,-2,

由g[g(x)-2*+2]=1,則g(A)=l,

所以g㈤=%+2*-2=1,解得％=1,

所以g(x)=2T,

由xw[0,l]時(shí)，/(x)=g(x),

所以XG[0,1]時(shí)，/(x)=2'-l；

由/(x+2)=-/W,所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是以4為周期的函數(shù)，

/(log?12)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

所以“l(fā)og?12)=-〃2-log?3)=-[22-'^3-l]=-1.

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.-1

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解？再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.

【詳解】

解：復(fù)數(shù)z=(l-i>(a+i)=a+l+(l-a)i為純虛數(shù)，

a+1=0,1-a#0,

解得a=T.

故答案為：T.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.

16.1

【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.

【詳解】

分層抽樣的抽取比例為其=—，，抽取學(xué)生的人數(shù)為600X—=1.

16002020

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的計(jì)算，屬于簡單題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y2=2ax(a>0),x-y-2=0；(2)a=\.

【解析】

%=-2°+——V2t

2

(1)將x=pcose,y=psin。代入「sin2e=2acos。求解，由<廠(/為參數(shù))消去，即可.

y=-4+1

-2+烏

2。為參數(shù)）與V=2必聯(lián)立得產(chǎn)一2血（4+a），+8（4+a）=0,設(shè)M,N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)

(2)將<

y=-4+—t

2

\MN\\PN\,,,

局=渦'BPIM12=\PM\H\PN\,利用韋達(dá)定理求

為4,t2,則4+L=2夜（4+a）,不2=8（4+。），再根據(jù)

【詳解】

X=OCOS0。

（1）把《代入psin20=2acos。,

y=psin0

得V=2ax(^a>0),

x=-2-\---1

2

由<「。為參數(shù)),

廣-4+g

-2

消去/得X-y-2=0,

曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程分別是7=2ax（a>0）,x—y—2=0.

X=-2°H--V-21

2

（2）將〈（/為參數(shù)）代入丁=2奴得產(chǎn)—20（4+a）t+8（4+a）=O,

/及

y=-4+1

設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為八，t2,則a+q=2&（4+a）,42=8（4+“）,

MM\PN\,,,,,

由局=禍得用科1=2歸根歸科

所以（G_?2）2=小2，即（4+22）2=5印2，

所以8(4+a)-=5x8(4+a),而a>(),

解得a=l.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線參數(shù)方程的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于

中檔題.

18.(1)4&；(2)不存在.

【解析】

(1)由已知L+'=J茄，利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求必22,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為由不

ab

等式的傳遞性，可求/+3的最小值；(2)由基本不等式可求2。+3》的最小值為4百，而46〉6,故不存在.

【詳解】

(1)由而=：+"之痂，得ab22,且當(dāng)“=b=亞時(shí)取等號(hào).

故片+//22yla'b'>4^2,且當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào)?

所以/+獷的最小值為40；

(2)由(1)知，2a+3b>2yf6>/ab>4y/3.

由于4g>6,從而不存在。乃，使得2"+3人=6成立.

【考點(diǎn)定位】

基本不等式.

3

19.(1)a=l,b=—；(2)見解析

2

【解析】

分析：第一問結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)在切線上也在函數(shù)圖像上，從而建立關(guān)于?？诘牡攘筷P(guān)系式，從而求得結(jié)

果；第二問可以有兩種方法，一是將不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，從而求得結(jié)果，二是利用

中間量來完成，這樣利用不等式的傳遞性來完成，再者這種方法可以簡化運(yùn)算.

尸(0)=1+。=2

詳解：⑴解：/'(x)=(x+l)e*+2x+a,由題意有

〃/0、)=以己3，解得a=1,0=——2

a

x2x2

(2)證明：(方法一)由(1)知，/(%)=XC+X+X—5?設(shè)&(力=xe+x+x-lnx

3

則只需證明/7(x)>/

"(x)=(x+l)e^+2x+l——=(x+l)f^-v+2--j,設(shè)g(x)=ev4-2--

X\XJx

則g，(x)=e，+5>0,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增

-g(；)-e^+2-4<0,g(；)=e^+2-3>0

使得g(「0

〈43；x0

且當(dāng)X€(0,%)時(shí)，g(x)<o,當(dāng)X€(Xo，”)時(shí)，g(x)>。

，當(dāng)xe(O,不)時(shí)，〃'(x)<0,網(wǎng)力單調(diào)遞減

當(dāng)xe(毛,+。。)時(shí)，〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增

???MHmin=〃(Xo)=/2跖+/+%-成0，由*+2—J=0,得"—2,

A0X。

IXJQQQ

/./(0)=)-----2+X+x0-lnx0=X-x0+1-lax0,

\xo)

設(shè)—x+l—lnx,xef—,^z(x)=2x-l-—二(2x+l)(xQ

[43)xx

當(dāng)x時(shí)，”(x)<0,0(x)在單調(diào)遞減,

(]、|—；+；〉|,因此

?■?〃(毛)=。(%)>。-fllTn()=(+ln3

75

33

(方法二)先證當(dāng)x?0時(shí)，f(x)=xex+x2+x-->2x--,即證xe'+d—xzo

設(shè)8(%)=比*+*2一%,x20則g'(x)=(x+l)e*+2x-l,且g'(O)=O

g〈x)=(x+2)e*+2>0,.?.g〈x)在[0,+co)單調(diào)遞增，g,(x)>g,(O)=O

...g'(x)在[0,+8)單調(diào)遞增，則當(dāng)x?0時(shí)，g(x)=^*+x2_xNg(O)=O

33

(也可直接分析加+/+%-二22%-二=xex+x2-x>0Oe'+x-120顯然成立)

22

3

再證2x——>Inx

2

設(shè)=2x-g-1nx，則力'(x)=J,令〃'(x)=0,得光=；

且當(dāng)時(shí)，//(x)<0,〃(力單調(diào)遞減；

當(dāng)X￡(g,+8]時(shí)，//(%)>0,"(X)單調(diào)遞增.

,、3<1A13

〃(x)=2x-]-lnx2J=-]+ln2>0,即2x_]>hix

33

又/(x)—xc'+x~+x——>2x-~f(x)>Inx

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題，在求解的過程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有關(guān)

切線的問題，還有就是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可以構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題來解決，也可以借用不等式的傳遞性,

借助中間量來完成.

20.(1)證明見解析

⑵返

53

【解析】

(1)利用線段長度得到AM與AB，AT)間的垂直關(guān)系，再根據(jù)線面垂直的判定定理完成證明；

(2)以AD、40、A3為x軸、)'軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦

值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值，計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

(1)VAB=AM=AD=2,MB=MD=26，

???AM2+AD2^MD2，AM2+AB2=MB2

AMLAD,AMLAB

VABr\AD=A,ADu平面ABC。，

二AM_L平面A8CO

(2)由(1)知ABLA。，AMLAD.AMLAB

又A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A。、AM、AB為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,M（0,2,0）,￡>（2,0,0）,B（0,0,2）,C（2,0,l）,BD=（2,0-2）,DM=（-2,2,0）,

，?,麗=2麗'.,?《og'l)歐=12導(dǎo)一目

設(shè)〃=(x,y,z)是平面BDM的一個(gè)法向量

r

n-BD=Qr_)7—n

則即3+2；=。'取戶】得〃二(】」」)

n-DM=Q

\n-CE\_-2+3~1_>A59

\n\-\CE\~

^xV53

直線EC與平面BDM所成的正弦值為'叵

53

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的證明以及用向量法求解線面角的正弦，難度一般.用向量方法求解線面角的正弦值時(shí)，注意直線方

向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值.

21.(1)證明見解析；(2)好.

5

【解析】

(D取3c的中點(diǎn)0,則與。_L8C,由ABC是等邊三角形，得從而得到3CJ_平面8小。，由此能

證明BC±AB}

(2)以Q4,0B,。片所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結(jié)

果.

【詳解】

(1)取8C的中點(diǎn)0,連接AO,BQ,

由于ABC與B/C是等邊三角形，所以有AOLBC,B,01BC,

且AOBQ=O,

所以8C_L平面&A。，4片匚