第1章直角三角形

華章文化 習(xí)題word版第41頁（共41頁）第1章直角三角形1．1直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅰ)第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)和判定基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的兩個(gè)銳角互余1．(2017·邵陽邵東縣期中)在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于60°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(D)A．75° B．60° C．45° D．30°2．若直角三角形中的兩個(gè)銳角之差為22°，則較小的一個(gè)銳角的度數(shù)是(B)A．24° B．34° C．44° D．46°3．(2017·株洲)如圖，在Rt△ABC中，∠B的度數(shù)為25°．4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分線，則∠ADC＝65°．5．如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高．若∠A＝65°，∠BCE＝35°，則∠ABF的度數(shù)是25°，∠FBC的度數(shù)是30°.知識(shí)點(diǎn)2有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形6．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝20°，那么這個(gè)三角形是(B)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定7．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B.求證：△ABC是直角三角形．證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠1＋∠C＝90°.∵∠1＝∠B，∴∠B＋∠C＝90°.∴△ABC是直角三角形．知識(shí)點(diǎn)3直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半8．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線．若AB＝8，則CD的長是(C)A．6 B．5 C．4 D．39．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線．若∠A＝20°，則∠BDC＝(B)A．30° B．40° C．45° D．60°10．如圖，在Rt△ABC中，DC是斜邊AB上的中線，EF過點(diǎn)C且平行于AB.若∠BCF＝35°，求∠ACD的度數(shù)．解：∵EF∥AB，∴∠BCF＝∠B.∵∠BCF＝35°，∴∠B＝35°.∵△ABC為直角三角形，∴∠CAB＝90°－35°＝55°.∵DC是斜邊AB上的中線，∴AD＝BD＝CD.∴∠ACD＝∠A＝55°.易錯(cuò)點(diǎn)直角不確定導(dǎo)致漏解11．(2018·婁底漣源市期末)如圖，已知∠AON＝40°，OA＝6，點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AOP為直角三角形時(shí)，∠A＝50°或90°．中檔題12．如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于其他兩個(gè)內(nèi)角的差，那么這個(gè)三角形是(B)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)．若AD＝6，則CP的長為(A)A．3 B．3.5 C．4 D．4.514．如圖，BE，CF分別是△ABC的高，M為BC的中點(diǎn)，EF＝5，BC＝8，則△EFM的周長是13.15．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，AB＝8，求DE的長．解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.又∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE＝eq\f(1,2)AC.∵AB＝AC，AB＝8，∴AC＝8.∴DE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×8＝4.16．(2017·邵陽邵陽縣期中)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分線AD，BE交于點(diǎn)F，求∠AFB的度數(shù)．解：∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°.∵AD，BE分別平分∠CAB，∠CBA，∴∠FAB＋∠FBA＝45°.∴∠AFB＝135°.17．如圖，在△ACD與△ABC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中點(diǎn)．(1)求證：DE＝BE；(2)圖中有哪些等腰三角形，請(qǐng)寫出來．(不需要證明)解：(1)證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E為AC的中點(diǎn)，∴DE＝eq\f(1,2)AC，BE＝eq\f(1,2)AC.∴DE＝BE.(2)圖中的等腰三角形有△CDE，△DAE，△AEB，△BEC，△DEB.綜合題18．如圖，M是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，CD＝BM，DM與CB的延長線交于點(diǎn)E.求證：∠E＝eq\f(1,2)∠A.證明：∵CM是Rt△ABC斜邊AB上的中線，CD＝BM，∴CD＝CM＝BM＝AM.∴∠A＝∠DCM，∠CDM＝∠DMC.∵∠DCM＋∠CDM＋∠DMC＝180°，∴∠A＝180°－2∠CDM.又∵∠E＋∠CDM＝90°，∴∠A＝180°－2(90°－∠E)．∴∠A＝2∠E，即∠E＝eq\f(1,2)∠A.

第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半1．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝10，則AB的長度為(D)A．2 B．3 C．4 D．52．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最短邊BC＝4cm，則最長邊AB的長是(D)A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm3．(2018·邵陽武岡市期末)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則CD＝(B)A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，其周長為3＋3eq\r(3)，AC＝3，求BC的長．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC.∵AB＋BC＋AC＝3eq\r(3)＋3，AC＝3，∴2BC＋BC＋3＝3eq\r(3)＋3，即3BC＝3eq\r(3).∴BC＝eq\r(3).知識(shí)點(diǎn)2含30°角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用5．如圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是(B)A.eq\f(8,3)eq\r(3)m B．4m C．4eq\r(3)m D．8m6．如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面4m處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵樹在折斷前的高度為12m.7．(教材P5例3變式)如圖，為了躲避海盜，一輪船一直由西向東航行，早上8點(diǎn)，在A處測(cè)得小島P的方向是北偏東75°，以15海里/h的速度繼續(xù)向東航行，10點(diǎn)到達(dá)B處，并測(cè)得小島P的方向是北偏東60°.若小島周圍25海里內(nèi)有暗礁，問該輪船是否能一直向東航行？解：過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D.∵∠PBD＝90°－60°＝30°，且∠PBD＝∠PAB＋∠APB，∠PAB＝90°－75°＝15°，∴∠PAB＝∠APB.∴BP＝AB＝15×2＝30(海里)．∵在Rt△BPD中，∠PBD＝30°，∴PD＝eq\f(1,2)BP＝15海里＜25海里．∴該輪船不能一直向東航行．中檔題8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP的長不可能是(D)A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．79．等腰三角形的頂角是一個(gè)底角的4倍，如果腰長為10cm，那么底邊上的高為(B)A．10cm B．5cm C．6cm D．8cm10．(教材P8習(xí)題T6變式)如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D，CE平分∠ACB.若BE＝2，則AE的長為(B)A.eq\r(3) B．1 C.eq\r(2) D．211．等腰三角形一腰上的高與腰之比為1∶2，則等腰三角形頂角的度數(shù)為(C)A．30° B．60°或120° C．30°或150° D．150°12．(教材P8習(xí)題T8變式)如圖，上午8時(shí)，一艘輪船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)海島B處，從A，B望燈塔C，測(cè)得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°，問以同樣的速度繼續(xù)前行，則上午11時(shí)輪船與燈塔C距離最近．13．(2017·常德)如圖，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是線段AE上的一動(dòng)點(diǎn)，過D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，則CD長度的取值范圍是0＜CD≤5．14．如圖，AB＝AC＝BC＝BD，E是AB的中點(diǎn)，求證：DC＝2CE.證明：∵AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形．∴∠ABC＝60°.∵E是AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB.∵BC＝BD，∴∠D＝∠BCD.又∵∠ABC＝∠D＋∠BCD＝60°，∴∠D＝30°.∴在Rt△DCE中，DC＝2CE.15．(2018·邵陽模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求EB∶EA的值．解：連接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝60°，AD⊥BC.∴∠B＝90°－60°＝30°.∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°－60°＝30°.設(shè)EA＝x，在Rt△ADE中，AD＝2EA＝2x，在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2·2x＝4x，∴EB＝AB－EA＝4x－x＝3x.∴EB∶EA＝3x∶x＝3.綜合題16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC，CD＝2，BD＝1，求∠C的度數(shù)．解：取CD的中點(diǎn)E，連接AE.∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°.∵E是CD的中點(diǎn)，CD＝2，∴AE＝eq\f(1,2)CD＝DE＝CE＝eq\f(1,2)×2＝1.∵BD＝1，∴BE＝CD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴AD＝AE＝1＝eq\f(1,2)CD.又∵∠CAD＝90°，∴∠C＝30°.

1.2直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅱ)第1課時(shí)勾股定理基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)勾股定理1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，則c的長為(C)A．26 B．18 C．20 D．212．已知一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1∶2∶1，則它的三條邊的比是(A)A．1∶eq\r(2)∶1 B．1∶2∶1 C．1∶eq\r(2)∶eq\r(3) D．1∶4∶13．如圖，長方形OABC的邊OA長為2，邊AB長為1，OA在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，對(duì)角線OB的長為半徑畫弧，交正半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是(D)A．2.5 B．2eq\r(2) C.eq\r(3) D.eq\r(5)4．(2018·婁底婁星區(qū)期末)如圖，字母M所代表的正方形的面積是(C)A．4 B．5 C．16 D．345．如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B都是格點(diǎn)，則線段AB的長度為(A)A．5 B．6 C．7 D．256．(2017·常德澧縣期中)如圖，有一張直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CE的長為(A)A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．(2017·岳陽君山區(qū)期末)Rt△ABC中，AB＝AC＝3，那么BC＝3eq\r(2)．8．(2018·邵陽武岡市期中改編)等腰三角形腰長為13，底邊長為10，則它底邊上的高為12．9．(教材P11練習(xí)變式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A，∠B，∠C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c.(1)已知c＝25，a＝20，求b；(2)已知a＝6eq\r(2)，b＝2eq\r(6)，求c；(3)已知a∶b＝1∶2，且c＝10，求a，b.解：(1)∵∠C＝90°，且c＝25，a＝20，∴b＝eq\r(c2－a2)＝15.(2)∵∠C＝90°，且a＝6eq\r(2)，b＝2eq\r(6)，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝4eq\r(6).(3)∵a∶b＝1∶2，∴設(shè)a＝x，則b＝2x.∵∠C＝90°，c＝10，∴a2＋b2＝c2，即x2＋(2x)2＝102.解得x＝2eq\r(5).∴a＝2eq\r(5)，b＝4eq\r(5).易錯(cuò)點(diǎn)直角邊不確定時(shí)漏解10．一直角三角形的兩邊長分別為5和12，則第三邊的長是13或eq\r(119)．中檔題11．(2017·貴港港南區(qū)期末)直角三角形斜邊上的中線長是6.5，一條直角邊是5，則另一直角邊長等于(B)A．13 B．12 C．10 D．512．如圖，將一個(gè)有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，則三角板的最大邊的長為(D)A．3cm B．6cm C．3eq\r(2)cm D．6eq\r(2)cm13．如圖，在直線l上依次擺放著三個(gè)正方形，已知中間斜放置的正方形的面積是6，則正放置的兩個(gè)正方形的面積之和為(A)A．6 B．5 C.eq\r(6) D．3614．(教材P16習(xí)題T3變式)如圖，∠B＝∠ACD＝90°，BC＝3，AB＝4，CD＝12，則AD＝13．15．(2018·邵陽模擬)如圖是“趙爽弦圖”，由4個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形．若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，設(shè)直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，則a＋b的值是5．提示：根據(jù)勾股定理可得a2＋b2＝13，四個(gè)直角三角形的面積是：eq\f(1,2)ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12.則(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25.所以a＋b＝5(負(fù)值舍去)．16．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的長．解：∵AC＝10，CD＝2，∴AD＝AC－CD＝10－2＝8.∴在Rt△ADB中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(102－82)＝6.在Rt△BDC中，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).綜合題17．為了向建國六十九周年獻(xiàn)禮，某校各班都在開展豐富多彩的慶祝活動(dòng)，八年級(jí)(1)班開展了手工制作競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品．陳莉同學(xué)制作手工作品的第一、二個(gè)步驟是：①先裁下了一張長BC＝20cm，寬AB＝16cm的長方形紙片ABCD；②將紙片沿著直線AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處．請(qǐng)你根據(jù)①②步驟：計(jì)算EC，F(xiàn)C的長．解：∵△ADE與△AFE關(guān)于AE對(duì)稱，∴△ADE≌△AFE.∴DE＝FE，AD＝AF.∵四邊形ABCD是長方形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠C＝90°.∵BC＝20cm，AB＝16cm，∴CD＝16cm，AD＝AF＝20cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝eq\r(AF2－AB2)＝12cm.∴CF＝20－12＝8(cm)．設(shè)CE＝xcm，則DE＝EF＝(16－x)cm.在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得x＝6.∴EC＝6cm.

第2課時(shí)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1直接利用勾股定理求解1．(2017·貴港港南區(qū)期中)如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達(dá)到該建筑物的高度是(A)A．12米 B．13米 C．14米 D．15米2．兩只小鼴鼠在地下從同一處開始打洞，一只朝北面挖，每分鐘挖8cm，另一只朝東面挖，每分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距(A)A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm3．有一塊邊長為24m的正方形綠地，如圖所示，在綠地旁邊B處有健身器材，由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小明想在A處樹立一個(gè)標(biāo)牌“少走▇米，踏之何忍”．請(qǐng)你計(jì)算后幫小明在標(biāo)牌的“▇”填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字是(D)A．3 B．4 C．5 D．64．如圖，要從電線桿離地面的C處向地面A處拉一條長10m的電纜，測(cè)得∠CAB＝60°，則電線桿的高度BC是5eq\r(3)m.5．(2017·岳陽云溪區(qū)期中)如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，倒下樹尖部分與樹根距離為4m，這棵大樹原來的高度為8m.6．如圖，有兩棵樹，一棵高12m，另一棵高6m，兩樹相距8m．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行10m.7．(2018·湘潭)《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折高者幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的長．若設(shè)AC＝x，則可列方程為x2＋32＝(10－x)2．8．如圖，一輛小汽車在一條東西走向的城市公路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路邊的車速檢測(cè)儀的正前方30m處，過了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀的距離為50m，問這輛小汽車是否超速了？(中華人民共和國交通管理?xiàng)l例規(guī)定：小汽車在城市公路上行駛時(shí)的速度不得超過70km/h)解：小汽車超速了．理由：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，根據(jù)勾股定理得BC＝eq\r(AB2－AC2)＝40m.小汽車的速度是40÷2＝20(m/s)＝72(km/h)．而規(guī)定速度為70km/h，72>70，∴小汽車超速了．知識(shí)點(diǎn)2利用勾股定理列方程求解9．小明準(zhǔn)備測(cè)量一段河水的深度，他把一根竹竿豎直插到離岸邊1.5m遠(yuǎn)的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為(A)A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m10．(教材P12“動(dòng)腦筋”變式)如圖，一架2.5m長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，開始時(shí)點(diǎn)B到墻角C的距離為0.7m．若梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離相等，則下滑的距離是1.7m.11．如圖，在一棵樹的10m高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20m的池塘C，而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？解：設(shè)BD＝xm，則AD＝(10＋x)m，CD＝(30－x)m，由題意得(30－x)2－(x＋10)2＝202.解得x＝5.10＋x＝15.答：這棵樹高15m.中檔題12．(2018·長沙)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里＝500米，則該沙田的面積為(A)A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米13．(2017·紹興)如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左側(cè)墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7m，頂端距離地面2.4m．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2m，那么小巷的寬度為(C)A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m14．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬和高分別為25dm，3dm，3dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是eq\r(949)__dm．(結(jié)果保留根號(hào))15．為了豐富居民的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示AB所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校，所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，CA⊥AB于點(diǎn)A，DB⊥AB于點(diǎn)B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，試問：圖書室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？解：設(shè)AE＝xkm，則BE＝(25－x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2＝AE2＋AC2＝x2＋152.同理可得DE2＝(25－x)2＋102.∵CE＝DE，∴x2＋152＝(25－x)2＋102.解得x＝10.答：圖書室E應(yīng)該建在距A點(diǎn)10km處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等．16．如圖，小強(qiáng)在江南岸選定建筑物A，并在江北岸的B處觀察，此時(shí)，視線與江岸BE所成的夾角是30°，小強(qiáng)沿江岸BE向東走了500m到C處，再觀察A，此時(shí)視線AC與江岸所成的夾角∠ACE＝60°.根據(jù)小強(qiáng)提供的信息，你能測(cè)出江寬嗎？若能，寫出求解過程(結(jié)果可保留根號(hào))；若不能，請(qǐng)說明理由．解：能．過點(diǎn)A作BE的垂線，垂足為D.∵∠CBA＝30°，∠ECA＝60°，∴∠CAB＝30°.∴CA＝CB＝500m.在Rt△ACD中，∠ECA＝60°，∴∠CAD＝30°.∴CD＝eq\f(1,2)CA＝250m.由勾股定理，得AD2＋2502＝5002.解得AD＝250eq\r(3).答：江寬為250eq\r(3)m.綜合題17．(教材P13練習(xí)T1變式)(2017·婁底)“為了安全，請(qǐng)勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某直線路段MN限速60km/h，為了檢測(cè)車輛是否超速，在公路MN旁設(shè)立了觀測(cè)點(diǎn)C，從觀測(cè)點(diǎn)C測(cè)得一小車從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B行駛了5秒鐘，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200m，此車超速了嗎？請(qǐng)說明理由．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)解：此車沒有超速．理由：過點(diǎn)C作CH⊥MN，垂足為H.∵∠CBN＝60°，∴∠BCH＝30°.∴BH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×200＝100(m)．∴CH＝eq\r(BC2－BH2)＝eq\r(2002－1002)＝100eq\r(3)(m)．∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100eq\r(3)m.∴AB＝100eq\r(3)－100≈73(m)．eq\f(73,5)＝14.6(m/s)＝52.56(km/h)．∵60>52.56，∴此車沒有超速．

第3課時(shí)勾股定理的逆定理基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理1．下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是(B)A．3，4，5 B．4，5，6 C．15，20，25 D．7，24，252．(2018·邵陽期末)下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長，其中不能構(gòu)成直角三角形的是(D)A．5，12，13 B．3，4，5 C．6，8，10 D．2，3，43．已知三角形的三邊長之比為1∶1∶eq\r(2)，則此三角形一定是(D)A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．如圖，正方形小方格邊長為1，則網(wǎng)格中的△ABC是(A)A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上答案都不對(duì)5．三角形三邊長分別為4，8，4eq\r(3)，則該三角形最小邊對(duì)應(yīng)的角與最大邊對(duì)應(yīng)的角依次是(B)A．30°，60° B．30°，90° C．60°，90° D．45°，90°6．(2017·益陽)如圖，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB邊上的中線，則CD＝6.5．7．已知一個(gè)三角形的三邊長分別為12，16，20，則這個(gè)三角形的面積是96．8．已知一個(gè)三角形的三邊長分別為n＋1，n＋2，n＋3，則當(dāng)n＝2時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形．9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個(gè)角是直角？(1)a＝10，b＝26，c＝24；(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝2，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(7).解：(1)∵a＝10，b＝26，c＝24，∴a2＝100，b2＝676，c2＝576.∵100＋576＝676，即a2＋c2＝b2，∴此三角形是直角三角形，∠B是直角．(2)∵a＝5，b＝7，c＝9，∴a2＝25，b2＝49，c2＝81.∵25＋49＝74≠81，∴此三角形不是直角三角形．(3)∵a＝2，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(7)，∴a2＝4，b2＝3，c2＝7.∵4＋3＝7，即a2＋b2＝c2，∴此三角形是直角三角形，∠C是直角．10．(2018·邵陽武岡市期中)若a，b，c為△ABC的三邊長，且a，b，c滿足等式(a－5)2＋(b－12)2＋|c－13|＝0，求△ABC的面積．解：∵(a－5)2＋(b－12)2＋|c－13|＝0，∴a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0.∴a＝5，b＝12，c＝13.∵52＋122＝132，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝eq\f(1,2)×5×12＝30.11．如圖所示是一個(gè)零件的形狀示意圖．按規(guī)定這個(gè)零件中的AD與CD必須互相垂直，工人師傅通過測(cè)量得到A到C的距離是10cm，AD＝8cm，CD＝6cm.問這個(gè)零件是否合格？解：合格．連接AC.∵AD2＋CD2＝82＋62＝102＝AC2，根據(jù)勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°，∴零件合格．中檔題12．如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，EF D．GH，AB，CD13．如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，則∠ABC的度數(shù)為(C)A．90° B．60° C．45° D．30°14．已知兩條線段的長為3cm和2cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長為eq\r(5)或eq\r(13)cm時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形．15．一根30m長的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7m，比較長邊短1m，試判斷這個(gè)三角形的形狀．解：設(shè)中間長的邊長為xm，較長邊為(x＋1)m，較短邊為(x－7)m.由題意，得x＋x＋1＋x－7＝30.解得x＝12.則x＋1＝13，x－7＝5.∵52＋122＝132，∴這個(gè)三角形為直角三角形．16．(教材P15例4變式)如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周長；(2)判斷△ABC是否是直角三角形，并說明理由．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2.∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴C△ABC＝AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.(2)△ABC不是直角三角形．理由：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，∴AB2＋AC2≠BC2.∴△ABC不是直角三角形．17．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝3，AB＝4，AD＝12，CD＝13.求四邊形ABCD的面積．解：連接AC.∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AB＝4，∴AC＝eq\r(BC2＋AB2)＝eq\r(32＋42)＝5.在△ACD中，∵AC2＋AD2＝52＋122＝132＝CD2，∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝36.綜合題18．如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，把△ABD繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△CBE，若AD＝4，BD＝3，CD＝5.(1)判斷△DEC的形狀，并說明理由；(2)求∠ADB的度數(shù)．解：(1)△DEC是直角三角形．理由：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AD＝EC＝4，BD＝BE＝3，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝60°，∠ADB＝∠BEC.∴△ABC和△DBE均為等邊三角形．∴DE＝BD＝3.∵CD＝5，∴DE2＋EC2＝32＋42＝52＝CD2.故△DEC為直角三角形．(2)由(1)知，△DEC為直角三角形，且∠DEC＝90°.又∵△BDE為等邊三角形，∴∠BED＝60°.∴∠BEC＝90°＋60°＝150°.∴∠ADB＝150°.

周測(cè)(1.1～1.2)(時(shí)間：40分鐘滿分：100分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，CD是AB邊上的中線，則CD的長是(B)A．1 B．2 C．4 D．82．下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長度的是(B)A．3，5，6 B．1，1，eq\r(2) C．5，8，11 D．5，12，153．如圖，直線l1∥l2，等腰Rt△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別落在直線l1，l2上，∠ACB＝90°.若∠1＝15°，則∠2的度數(shù)是(B)A．35° B．30° C．25° D．20°4．若△ABC的兩邊長為4和5，則能使△ABC是直角三角形的第三邊的平方是(D)A．9 B．41 C．3 D．9或415．如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且AB＝6，則EC的長為(C)A．3 B．4.5 C．1.5 D．7.56．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CM分別是斜邊上的高和中線，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(D)A．∠ACD＝∠B B．∠ACM＝∠BCD C．∠ACD＝∠BCM D．∠MCD＝∠ACD7．如圖所示的是一扇高為2m，寬為1.5m的長方形門框，光頭強(qiáng)有一些薄木板要通過門框搬進(jìn)屋內(nèi)，在不能破壞門框，也不能鋸短木板的情況下，能通過門框的木板最大的寬度為(C)A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m8．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD.若BD＝1，則AC的長是(A)A．2eq\r(3) B．2 C．4eq\r(3) D．49．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm.現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于(B)A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm10．自動(dòng)門開啟的聯(lián)動(dòng)裝置如圖所示，∠AOB為直角，滑竿AB為定長100cm，端點(diǎn)A，B可分別在OA，OB上滑動(dòng)，當(dāng)滑竿AB的位置如圖所示時(shí)，OA＝80cm.若端點(diǎn)A向上滑動(dòng)10cm，則端點(diǎn)B滑動(dòng)的距離(A)A．大于10cm B．等于10cm C．小于10cm D．不能確定二、填空題(每小題4分，共24分)11．如果一個(gè)三角形的三邊長分別為3，4，5，那么其面積為6．12．如圖，AC⊥BC于點(diǎn)C，DE⊥BE于點(diǎn)E，BC平分∠ABE，∠BDE＝58°，則∠CAB＝58°．13．若直角三角形的兩個(gè)銳角的比是2∶1，斜邊長為8，則最短的直角邊長為4．14．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AD＝6，DE＝5，則線段BD的長等于8．15．將一根24cm的筷子置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是7≤h≤16．16．如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，過E作EF∥BC交∠ACD的平分線于點(diǎn)F，EF交AC于M.若CM＝5，則CE2＋CF2＝100．三、解答題(共46分)17．(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，將△ADC沿AC邊所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，得四邊形ABCE.求證：EC∥AB.證明：∵CD是AB邊上的中線，且∠ACB＝90°，∴CD＝AD.∴∠CAD＝∠ACD.又∵△AEC是由△ADC沿AC邊所在的直線折疊而成的，∴∠ECA＝∠ACD.∴∠ECA＝∠CAD.∴EC∥AB.18．(8分)如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm.求：(1)∠DAC的度數(shù)；(2)BC的長．解：(1)∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°.∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°.∴∠DAC＝120°－90°＝30°.(2)∵AD＝4cm，∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝8cm.∵∠DAC＝30°＝∠C，∴DC＝AD＝4cm.∴BC＝BD＋DC＝12cm.19．(8分)在如圖所示的4×4的方格中，每個(gè)小方格的邊長都為1.試在三個(gè)方格中，分別畫出滿足下列條件的三個(gè)直角三角形，使各頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)上．(1)三邊都是整數(shù)；(2)斜邊為eq\r(10)；(3)直角邊為eq\r(5)的等腰直角三角形．解：(1)如圖1.(2)如圖2.(3)如圖3.20．(10分)如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B50m，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10m，該河的寬度BC為多少米？解：根據(jù)題意可知AB＝50m，AC＝(BC＋10)m.設(shè)BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(x＋10)2＝502＋x2.解得x＝120.答：該河的寬度BC為120m.21．(12分)在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，老師設(shè)計(jì)如下數(shù)表：n23456…a22－132－142－152－162－1…b4681012…c22＋132＋142＋152＋162＋1…(1)用含自然數(shù)n(n＞1)的代數(shù)式表示a，b，c，則a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1；(2)猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形？證明你的結(jié)論．解：以a，b，c為邊的三角形是直角三角形．證明：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝(n2＋1)2＝c2，∴以a，b，c為邊的三角形是直角三角形．

1．3直角三角形全等的判定基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1直角三角形全等的判定1．(2017·岳陽云溪區(qū)六校聯(lián)考期中)如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，且PD＝PE，則△APD≌△APE的理由是(D)A．SAS B．AAS C．SSS D．HL2．(2017·常德澧縣期中)不能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是(D)A．一條直角邊及其對(duì)角對(duì)應(yīng)相等 B．斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等C．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等 D．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等3．如圖，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列結(jié)論中不成立的是(C)A．∠DAE＝∠CBE B．CE＝DE C．△DAE與△CBE不一定全等 D．∠1＝∠24．(2017·婁底)如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，請(qǐng)你添加一個(gè)條件(不添加字母和輔助線)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是答案不唯一，如：AB＝D C．5．如圖，AB＝CD，AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F.若BE＝CF，則△ABE≌△DCF，其依據(jù)是HL.6．(教材P20例1變式)如圖，BE，CD為△ABC的高，且BE＝CD，BE，CD交于點(diǎn)P.若BD＝2，則CE＝2．7．如圖，AB＝CD，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，且DE＝BF，∠D＝60°，則∠A＝30°．8．(2018·婁底漣源市改編)如圖，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，求∠2的度數(shù)．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝CD，,AC＝AC，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)．∴∠2＝∠ACB＝90°－∠1＝50°.9．如圖，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AD＝BE，∠1＝∠2.求證：△ADE≌△BEC.證明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE.∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°.∴△ADE和△BEC是直角三角形．在Rt△ADE和Rt△BEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BE，,DE＝CE，))∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)．知識(shí)點(diǎn)2作直角三角形10．已知一條斜邊和一條直角邊，求作直角三角形，作圖的依據(jù)是HL.11．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，請(qǐng)利用直角三角形全等的判定方法HL，求作Rt△DEF，使Rt△DEF≌Rt△ABC.解：作法：(1)作∠MFN＝90°；(2)在FM上截取FD，使FD＝CA；(3)以點(diǎn)D為圓心，以AB的長為半徑畫弧，交FN于點(diǎn)E，連接DE.則△DEF為所求作的直角三角形．中檔題12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE⊥BC，AC＝6，EC＝6，∠ACB＝60°，則∠ACD的度數(shù)為(B)A．45° B．30° C．20° D．15°13．如圖，MN∥PQ，AB⊥PQ，點(diǎn)A，D，B，C分別在直線MN與PQ上，點(diǎn)E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，則AB＝7．14．如圖，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，點(diǎn)P和點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，分別在線段AC和射線AX上運(yùn)動(dòng)，且AB＝PQ，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AP＝5或10時(shí)，△ABC與△APQ全等．15．用尺規(guī)作一個(gè)直角三角形，使其中一條邊長為a，這條邊所對(duì)的角為30°.解：已知：線段a，求作：Rt△ABC，使BC＝a，∠ACB＝90°，∠A＝30°.作法：(1)作∠MCN＝90°；(2)在CN上截取CB，使CB＝a；(3)以B為圓心，以2a為半徑畫弧，交CM于點(diǎn)A，連接AB.則△ABC為所求作的直角三角形．16．如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF.(1)求證：BE＝BF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度數(shù)．解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,AE＝CF，))∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．∴BE＝BF.(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°.∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝45°－30°＝15°.∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BAE＝∠BCF＝15°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠BCA＝15°＋45°＝60°.綜合題17．(教材P21習(xí)題T6變式)如圖，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別是E，F(xiàn)，那么CE＝DF嗎？解：CE＝DF.理由：在Rt△ABC和Rt△BAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝AD，,AB＝BA，))∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA.在△ACE和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAB＝∠DBA，,∠AEC＝∠BFD，,AC＝BD，))∴△ACE≌△BDF(AAS)．∴CE＝DF.

1.4角平分線的性質(zhì)第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)與判定基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)1．(2018·婁底漣源市期末)如圖所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC.若CD＝6，則點(diǎn)D到AB的距離是(D)A．9 B．8 C．7 D．62．如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(B)A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD3．如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D.若BC＝5cm，BD＝3cm，則點(diǎn)D到AB的距離為(C)A．5cm B．3cm C．2cm D．不能確定4．(2017·邵陽期中)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D.如果AE＋DE＝3cm，那么AC＝3__cm．5．(2017·常德澧縣期中)如圖，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝28，則DE＝4．6．如圖，已知CE⊥AB于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D，BD，CE交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC.求證：OB＝OC.證明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D，∴OE＝OD.在△OBE和△OCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EOB＝∠DOC，,OE＝OD，,∠BEO＝∠CDO，))∴△OBE≌△OCD(ASA)．∴OB＝OC.知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定7．如圖，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，∠BAD＝25°，則∠CAD＝(B)A．20° B．25° C．30° D．50°8．如圖，在CD上找一點(diǎn)P，使它到OA，OB的距離相等，則P點(diǎn)是(D)A．線段CD的中點(diǎn) B．OA與OB的中垂線的交點(diǎn)C．OA與CD的中垂線的交點(diǎn) D．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)9．如圖是一個(gè)風(fēng)箏骨架．為使風(fēng)箏平衡，須使∠AOP＝∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD應(yīng)滿足PC＝PD，才能保證OP為∠AOB的平分線．10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DF⊥AB，垂足為F，DE＝BD，CE＝FB.求證：點(diǎn)D在∠CAB的平分線上．證明：∵∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠C＝∠DFB＝90°.在Rt△CED和Rt△FBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝DB，,CE＝FB，))∴Rt△CED≌Rt△FBD(HL)．∴DC＝DF.又∵DF⊥AB，DC⊥AC，∴點(diǎn)D在∠CAB的平分線上．中檔題11．(2018·常德)如圖，已知BD是△ABC的角平分線，ED是BC的垂直平分線，∠BAC＝90°，AD＝3，則CE的長為(D)A．6 B．5 C．4 D．3eq\r(3)12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，BD是∠ABC的平分線，設(shè)△ABD，△BCD的面積分別為S1，S2，則S1∶S2等于(A)A．2∶1 B.eq\r(2)∶1 C．3∶2 D．2∶eq\r(3)13．如圖，已知△ABC的周長是21，BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，則△ABC的面積是42．14．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，對(duì)角線BD⊥CD，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD.若∠ADB＝∠C，則PD長的最小值為8．15．如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，CP∥OB，交OA于點(diǎn)C，PD⊥OB，垂足為D，且PD＝2，求PC的長．解：過點(diǎn)P作PE⊥AO，垂足為E.∵OP是∠AOB的平分線，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝2.∵CP∥OB，∠AOB＝30°，∴∠ECP＝∠AOB＝30°.在Rt△ECP中，PC＝2PE＝2×2＝4.16．(教材P24練習(xí)T2變式)如圖，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)分別為垂足，則當(dāng)D移動(dòng)到什么位置時(shí)，AD恰好平分∠BAC，請(qǐng)說明理由．解：當(dāng)D移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，AD恰好平分∠BAC.理由：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.又∵∠B＝∠C，∴△DEB≌△DFC(AAS)．∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.綜合題17．如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論．解：BF＝CG.證明：連接EB，EC.∵AE是∠BAC的平分線，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.∵ED⊥BC于D，D是BC的中點(diǎn)，∴EB＝EC.∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)．∴BF＝CG.

第2課時(shí)角平分線的性質(zhì)與判定的運(yùn)用基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)角平分線的性質(zhì)與判定的運(yùn)用1．如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到AB，AC，BC的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在(D)A．△ABC的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn) D．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)2．如圖，P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)(不與O重合)，過P分別向角的兩邊作垂線PD，PE，垂足是D，E，連接DE，那么圖中全等的直角三角形共有(A)A．3對(duì) B．2對(duì) C．1對(duì) D．沒有3．如圖，若AB∥CD，AP，CP分別平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE＝3cm，則AB與CD之間的距離為(B)A．3cm B．6cm C．9cm D．無法確定4．如圖，已知BD是∠ABC的平分線，CD是∠ACB的外角平分線，過點(diǎn)D作BC，AC和AB的垂線DE，DF和DG，垂足分別為E，F(xiàn)，G，則DE，DF，DG的關(guān)系是DE＝DF＝DG.5．如圖，AC⊥OD，AE⊥OF，BD⊥OD，BF⊥OF，AC＝AE，求證：BD＝BF.證明：∵AC⊥OD，AE⊥OF，AC＝AE，∴OA平分∠DOF.∵BD⊥OD，BF⊥OF，∴BD＝BF.6．如圖，在△ABC中，若AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．求證：AD⊥EF.證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.∵∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°，∠FAD＋∠AFD＋∠ADF＝180°，∴∠EDA＝∠FDA.又∵DG＝DG，∴△EGD≌△FGD(SAS)．∴∠EGD＝∠FGD.又∵∠EGD＋∠FGD＝180°，∴∠EGD＝∠FGD＝90°.∴AD⊥EF.7．如圖，BD是∠ABC的平分線，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分別是垂足，求證：PM＝PN.證明：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABD＝∠CBD，,BD＝BD，))∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB＝∠CDB.∴∠ADP＝∠CDP.∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.中檔題8．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延長線交于點(diǎn)E.若點(diǎn)P使得S△PAB＝S△PCD，則滿足此條件的點(diǎn)P(D)A．有且只有1個(gè) B．有且只有2個(gè)C．組成∠E的平分線 D．組成∠E的平分線所在的直線(E點(diǎn)除外)9．如圖，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個(gè)結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中(B)A．全部正確 B．僅①和②正確 C．僅①正確 D．僅①和③正確10．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD.若AB＝15，AD＝7，BC＝5，則CE的長是(B)A．4 B．3 C.eq\r(3) D.eq\r(7)11．(2018·張家界慈利縣期中)如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有(D)A．1處 B．2處 C．3處 D．4處12．已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊的距離相等，∠A＝50°，則∠BOC＝115°．13．如圖，某校八年級(jí)學(xué)生分別在M，N兩處參加植樹勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路AB，AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)P，使P到兩條道路的距離相等，且使PM＝PN，請(qǐng)你找出點(diǎn)P.解：作法：(1)作出∠BAC的平分線AD；(2)連接MN，作MN的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)P.∴點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)．14．如圖所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：DE＝DF.證明：連接AD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD.∴AD是∠EAF的平分線．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.綜合題15．(2017·常德澧縣期中)如圖，四邊形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且OA平分∠BAC.求證：(1)OC平分∠ACD；(2)OA⊥OC；(3)AB＋CD＝AC.證明：(1)過點(diǎn)O作OE⊥AC于E.∵∠B＝90°，OA平分∠BAC，∴OB＝OE.∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD.∴OE＝OD.∴OC平分∠ACD.(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝AO，,OB＝OE，))∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．∴∠AOB＝∠AOE.同理，∠COD＝∠COE.∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∴OA⊥OC.(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE.同理，CD＝CE.∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.

章末復(fù)習(xí)(一)直角三角形分點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)和判定1．(2017·邵陽期中)下列說法正確的有(D)①如果∠A＋∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是直角三角形；③如果三角形的三邊長分別為4，4，6，那么這個(gè)三角形不是直角三角形；④有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開．若測(cè)得AM的長為1.2km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為(D)A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km3．(2017·邵陽邵東縣期中)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝a，則BC等于(A)A.eq\f(a,2) B.eq\f(a,3) C.eq\f(a,4) D．以上結(jié)果都不對(duì)知識(shí)點(diǎn)2勾股定理及其逆定理4．(2017·邵陽期中)以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是(A)A.eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5) B.eq\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5) C．32，42，52 D．1，2，35．若等腰三角形的腰長為10，底邊長為16，則此三角形的面積是(D)A．160 B．80 C．96 D．486．如圖，學(xué)校B前面有一條筆直的公路，學(xué)生放學(xué)后走AB，BC兩條路可到達(dá)公路，經(jīng)測(cè)量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，現(xiàn)需修建一條公路從學(xué)校B到公路，則學(xué)校B到公路的最短距離為4.8km.知識(shí)點(diǎn)3直角三角形全等的判定7．如圖，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依據(jù)是“HL”．8．(2017·邵陽邵東縣期中)如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC與BD相交于點(diǎn)O.(1)求證：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何種三角形，證明你的結(jié)論．解：(1)證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,BC＝CB，))∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．(2)△OBC是等腰三角形．證明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．知識(shí)點(diǎn)4角平分線的性質(zhì)和判定9．(2018·郴州)如圖，∠AOB＝60°，以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧交OA，OB于C，D兩點(diǎn)；分別以C，D為圓心，以大于eq\f(1,2)CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，在射線OP上截取線段OM＝6，則M點(diǎn)到OB的距離為(C)A．6 B．2 C．3 D．3eq\r(3)10．如圖，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，且DE＝DF.若∠DBC＝50°，則∠ABC＝100°．11．如圖，∠ABC＝60°，點(diǎn)D在AC上，BD＝16，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF，求：(1)∠CBD的度數(shù)；(2)DF的長度．解：(1)∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF，∴BD平分∠ABC.∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°.(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.∵BD＝16，∴DF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×16＝8.易錯(cuò)題集訓(xùn)12．在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，則BC的長為(C)A．5 B.eq\r(7) C．5或eq\r(7) D．413．一直角三角形的三邊分別為2，3，x，那么以x為邊長的正方形的面積為(D)A．13 B．5 C．4 D．13或514．在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq\r(10)，BC邊上的高AD＝6，則BC等于(C)A．10 B．8 C．6或10 D．8或1015．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面積為10，則BC＝2eq\r(5)或4eq\r(5)．?？碱}型演練16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BDC＝30°，AD＝2BC，則∠A的度數(shù)是(A)A．15° B．20° C．16° D．18°17．如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，AC＝10，BD＝8，則MN為(A)A．3 B．4 C．5 D．618．如圖，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，EP∥OA，交OB于點(diǎn)E，且EP＝6.若點(diǎn)F是OP的中點(diǎn)，則CF的長是(D)A．6 B．3eq\r(2) C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)19．(2017·常德澧縣期中)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.(1)求證：△ACD≌△AED；(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的長．解：(1)證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°.在Rt△ACD和Rt△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,CD＝ED，))∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．(2)∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∵∠B＝30°，DC＝DE＝1，∴BD＝2DE＝2.20．已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，點(diǎn)B，D分別在AN，AM上．(1)如圖1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，請(qǐng)你探索線段AD，AB，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(2)如圖2，若∠ABC＋∠ADC＝180°，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．解：(1)AD，AB，AC之間的數(shù)量關(guān)系是AD＋AB＝AC.證明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAD＝∠CAB＝60°.又∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝30°.∴AD＝AB＝eq\f(1,2)AC.∴AD＋AB＝AC.(2)仍成立．證明：過點(diǎn)C分別作AM，AN的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC.又∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB(AAS)．∴ED＝FB.∴AD＋AB＝AE－ED＋AF＋FB＝AE＋AF.由(1)知AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC.

單元測(cè)試(一)直角三角形(時(shí)間：40分鐘滿分：100分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．在下列選項(xiàng)中，以線段a，b，c的長為邊，能構(gòu)成直角三角形的是(D)A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝6 B．a(chǎn)＝5，b＝6，c＝7C．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝9 D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝252．如圖，∠BAC＝90°，AD⊥BC，則圖中與∠ABD互余的角有(A)A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成的兩個(gè)三角形的關(guān)系是(C)A．形狀相同 B．周長相等 C．面積相等 D．全等4．如圖，若要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則還需補(bǔ)充條件是(B)A．∠B