2023年中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題特訓(xùn)《解直角三角形的應(yīng)用》含答案解析

解直角三角形的應(yīng)用

二疆代候建

解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

(1)坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度1的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜

坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=l：m的形式.

(2)把坡面與水平面的夾角a叫做坡角，坡度i與坡角a之間的關(guān)系為：i=h/l=tana.

(3)在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度

實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題.

應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等.

解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

(1)概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角.

(2)解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與己知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖

形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式

給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.

解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題

(1)在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù).

(2)在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的

方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化

為所需要的角.

匡）今妻導(dǎo)航

題型一仰角與俯角問題................................................................3

題型二方向角問題...................................................................32

題型三坡度坡角問題.................................................................61

題型四其他問題......................................................................84

3合裊債依

題型一仰角與俯角問題

團月支出珠

1.A點有一個無人機，一個人在B點觀測，離B點45m處C點有一棟建筑物高156m,無人機水平向右以

5m/s的速度飛行.

飛行方向

2

、

口

口

目

口

口

BC

（1）無人機的高度為.

（2）無人機離開視線的時間為.

（參考數(shù)據(jù)：tan75o=2+G,tanl5o=2-G）

【解答】解：（1）如圖，過點A作A"_L8c于點H,過點。作于點E,則E”=CO=15Gm,DE=HC,

受氏飛、方向

根據(jù)題意得：N8=75。,4OE=45。,

回VAOE是等腰直角三角形，

團AE=DE,

設(shè)AE=OE=C”=jnn,則A"=(156+x)m,BH=BC-CH=(45-x)mf

AH

在RtZ\AB〃中，tanB=——，

BH

回156+X=2+5解得：x=30,

45-x

EM〃=(156+30)m,

答：無人機的高度為(15g+30)m；

故答案為：(15/+30)m

(2)如圖，延長5。交直線AF于點凡過點B作8GLA尸于點G,則當無人機到達點尸時，無人機離開

視線，

由(1)得：BG=A"=(15g+3O)m,AG=BH^BC-CH15m,

ElBC=45m,CD=15^m,

0tanZCB￡)=—=—,

BC3

0ZCfiD=30°,

^AF//BC,

0ZBFG=ZCfiD=30°,

GF=130=(45+30^)m

T

0AF=FG-AG=(3O^+3O)m,

回無人機水平向右以5m/s的速度飛行，

回所需時間為3”+30=+6卜，

即無人機離開視線的時間為（66+6卜.

故答案為：（6>/3+6）s

2.無人機是利用無線電遙控設(shè)備和自備的程序控制裝置操縱的不載人飛機，在跟蹤、定位、遙測、數(shù)據(jù)傳

輸?shù)确矫姘l(fā)揮著重要作用，在如圖所示的某次測量中，無人機在小山上方的A處，測得小山兩端B,C的俯

角分別是45。和30。，此時無人機距直線6c的垂直距離是200米，則小山兩端B,C之間的直線距離是

米（結(jié)果保留準確值）.

【解答】解：如圖，作AO18C于

則43=200米，

0ZE4B=45°,/E4c=30°,

0ZZMB=45°,ZDAC=60°,

回比HMMan45°=200x1=200米，

CD=AD-tan600=200x百=2006米,

回8C=BO+C￡>=(200+200百)米，

故答案為：(200+200。).

3.如圖所示，體育場內(nèi)一看臺與地面所成夾角為30。，看臺最低點A到最高點8的距離AB=106米，A,

B兩點正前方有垂直于地面的旗桿OE,在A,B兩點處用儀器測量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15。.

⑴求AE的長；

⑵求旗桿。E的高.

【解答】（1）解：^BG//AC,

EING54=NB4C=30°.

又NGBE=15。,

*A3E=45°.

0ZE4￡)=6O°,

0ZSAE=9O°.

0ZAEB=45°.

^ZAEB=ZABE=45°.

EIA8=AE=10百米.

故AE的長為10G米；

(2)解：在RtZXAOE中，

DF

團sinZEAD=—

AE

0=AEsin60°=1073x—=15(米)

2

答：旗桿的高度OE為15米.

4.2022年8月21日，重慶市北暗區(qū)縉云山突發(fā)山火，山火無情，人間有愛，各地消防迅速出動，沖鋒在

前，共抗險情.消防員在縉云山山腳A觀測到一處著火點。的仰角為30。，然后沿著坡比為5:12的斜坡前

進104米到達B處平臺，繼續(xù)前進到達C,測得斜坡CD的坡角為37。，沿斜坡CD前行800米到達著火點

D.

⑴求著火點。距離山腳的垂直高度；

(2)已知消防員在平地的平均速度為4m/s,求消防員通過平臺2C的時間.(保留一位小數(shù))

3

(參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan37°?-,6=1.732)

【解答】(1)解：如圖所示

過點bC,。分別作水平線的垂線，垂足分別為瓦F,G,延長交AG于點”，則四邊形8CFE,由/GE是

矩形，則BE=HG,

依題意，tanZBAE=,AB=\04,4DCH=370,CD=800

BE5

在RlAASE中，—,設(shè)BE=5k,則AE=12A:,

AE12

團AB=13人,

12AB=104,

0％=8,

0B￡=5x8=40,^E=12x8=96,

在RtADC"中，8=800,DH=DC-sinADCH=800x0.6=480

SDG=DH+HG=DH+BE=480+40=520（米），

即著火點。距離山腳的垂直高度為520米；

（2）解：依題意，ZDAG=3O°,

EIAG=6￡>G=52OG，

0RtADCH中，CH=cos37°xCD=0.8x800=640,

又AE=96,

!3fiC=EF=AG-AE-FG=520>/3-96-640=520V3-736（米），

回消防員在平地的平均速度為4m/s,

團消防員通過平臺BC的時間為當史受。41.2（秒）.

4

5.小偉和爸爸一起去野外放風箏，不慎，兩個風箏在空中P處纏繞在一起，如圖，小偉在地面上的A處測

得點P的仰角為30。，爸爸在距地面2米高的C處（即8c=2米）測得點尸的仰角為60°,已知A、B、。在

一條直線上，PDYAD,CB1AD,A8=160米，求此時風箏戶處距地面的高度PD.（結(jié)果保留根號）

^PDYAD,CB1AD,CELPD,

0ZZ)=NCBD=Z.CED=90°.

回四邊形8c即為矩形.

回OE=3C=2米，CE=BD.

設(shè)3O=CE=x米，則AD=M+3O=(160+x)米.

在RtZ\PCE中，

PF

0tan/PCE=—,

CE

團PE=CEtan60°=小米.

團尸>￡=PE+DE=(Gx+2)米.

在RtARW中，

PDpi

團tanA=tan300=---=="，

AD3

0160+X=5/3（yfix+2j,

解得X=80-5

0PD=V3x（8O-V3）+2=（8Ox/3-l）（米）.

即此時風箏P處距地面的高度9為（806-1）米.

6.小明想利用所學(xué)知識來測量大雁塔的高度，測量方案如下：如圖，小明通過調(diào)整測角儀的位置，在塔周

圍的點C處用測角儀測得塔頂部A的仰角4C4為63.5°（測角儀的高度忽略不計）.接著，在陽光下，小

明從C處沿著8C方向向前走66米，到達塔在太陽光下的影子末端。處，在。處豎立一2米長的標桿DE,

此時標桿OE在太陽光下的影長。尸為3米.已知8、C、。、F四點在同一直線上，ABVBF,DELBF,

請結(jié)合以上數(shù)據(jù)求大雁塔的高度A3.（參考數(shù)據(jù)：sin63.5。a（）.89,cos63.5。~0.45,tan63.5°?2.（X））

【解答】解：設(shè)該塔的高度A8為x米.

NAC8=63.5°,

^AB±BF,DELBF

0ZABD=ZEDF=9O°.

回太陽光線是平行光線，

⑦NEFD=ZADB,

團EDFsABD,

DEAB

團---=---，

DFBD

2_x

團廠二，

2

解得：x—66.

答：該塔的高度AB為66米.

7.重慶有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北區(qū)塔子山的文峰塔被稱為是重慶的“航標".小宇與小航準

備測量塔子山文峰塔的高度，如圖，小宇在點A處觀測到文峰塔最高點P的仰角為45。，再沿正對文經(jīng)塔的

方向前進8m至B處測得最高點P的仰角為60。，小航先在點C處豎立長為2.6m標桿FC,再后退至其眼睛

所在位置點。、標桿頂下、最高點P在一條直線上，此時測得最高點P的仰角為30。，己知兩人身高均為1.6m

（頭頂?shù)窖劬Φ木嚯x忽略不計）.

⑴求文峰塔PQ的高度.（結(jié)果保留整數(shù)）；

⑵測量結(jié)束時小宇站在點E處（點￡在點3的正下方），小航站在點C處，則小宇與小航相距多遠？（結(jié)

果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：6=1.732）

【解答】（1）解：如圖，設(shè)PQ，A￡＞交于點G,

解：設(shè)8G=x米，

在RtABGP中NPBG=60°,ZBGP=90°,

E)tanZPBG=—=>/3,

BG

I2PG=3，

在RtPAG中，Z4=45。，NPGA=90。，

I3AG=PG=JIr，

又EIA5=8米,

0Gx-x=8,

解得：x=46+4,

團尸G=6（4+4A/5）=（12+4月）米,

又ElGQ=BE=1.6米，

EIPQ=PG+GQ=12+4石+1.6=21（米），

答：文峰塔尸。的高度約為21米.

（2）解：如圖，設(shè)CF,AD交于點H,

解：在RtZ\PG￡>中，ZPGD=90°,ZD=30°,PG=（12+45/5）米,

tanZDW=B,

DG3

E]GO=>/5PG=（12百+12）米,

13FC=2.6米,

回修=2.6-1.6=1米,

0HD=6HF=也米,

El￡C=B/7=BG+GW=4^+4+12>/3+12->/3=15^+16?42

答：小宇與小航相距42米.

8.2022年11月29日，搭載神舟十五號載人飛船的運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射.運載火箭從發(fā)

射點0處發(fā)射，當火箭到達4處時、在地面雷達站C處測得點A的仰角為30。，在地面雷達站B處測得點A

的仰角為45。.已知AC=20km,0、B、C三點在同一條直線上，求B、C兩個雷達站之間的距離（結(jié)果精

確到0.01km,參考數(shù)據(jù)&=1.732）.

【解答】解：在RtAOC中，NAOC=90。，AC=20km,ZC=30°,

0A（9=-AC=lOkm,OC=AC.cosC=20x—=10^,

22

在Rt_40C中，/AOC=90。，ZABO=45°,

回80=AO=l（）km,

13BC=OC-BO=10V3-10=10xl.732-10=7.32（km）,

即B、C兩個雷達站之間的距離為7.32km.

9.2022年我國航天事業(yè)捷報頻傳，神舟十五號于2022年"月29日23時08分成功發(fā)射，震撼人心，屆

時6名航天員將同住空間站，見證中國空間站的正式建成，是我國航天史上首次在軌輪換，也是我國航天

史上里程碑的一刻，彰顯了中國航天的先進性，對人類發(fā)現(xiàn)大自然神秘面紗具有不可估量的意義.當神舟

十五號從地面到達點A處時，在P處測得A點的仰角NDPA為30。且A與P兩點的距離為8千米，它沿鉛

垂線上升6秒后到達B處，此時在P處測得B點的仰角NDPB為45。，求神舟十五號從4處到B處的平均

速度.（結(jié)果精確到lm/s,取6=1.732,72=1.414）

【解答】解：由題意可得：ZAPD=30°,ABPD=45°,AP=8千米，ZBDP=90°,

在Rt中，

回AO=：4P=4（千米），ro=PAcos30°=8x^=4>/3（千米），

在RtABPD中，

BZ）=PDtan45°=4>/3（千米），

故AB=BO-AO=46-4=2.928（千米）=2928米，

則神舟十五號從4處到8處的平均速度約為：2928+6=488（米/秒），

答：神舟十五號從A處到B處的平均速度約為488米/秒.

10.為了測量學(xué)校旗桿（垂直于地面）的高度，班里一個興趣小組設(shè)計了如下的測量方案如圖：在測量中,

線段AB表示旗桿的高

度，線段C。、EF表示測角儀的高度，點A、B、C、D、E、F在同一豎直平面內(nèi)，CE表示兩次測角儀擺

放位置之間的距離，測

角儀測得旗桿頂端A的仰角。=53。，/=45。，C￡>=EF=1.5米，CE=14米，請你利用測量的數(shù)據(jù)計算旗

桿A8的高度.

4

（參考數(shù)據(jù)：tan53°?-）

【解答】解：連接。尸交A8于點G,

由題意，可知：EFLCE,CDLCE,加CE,

SEF//CD//BG,

?EF=CD,

回四邊形8正為矩形，

13OF=CE=14米，DF//CE,

ISFDIAG,

團四邊形8Goe為矩形,

E18G=8=1.5米，

在RtAAGF中，tan?=tan53°=?—

FG3

3

團/G=-AG；

4

AG

在RtAGD中，tan尸=tan45°=---=1,

DG

0DG=AG；

3

^DF=FG+DG=-AG+AG=14,

4

團AG=8米,

回AS=AG+8G=9.5米.

團旗桿A8的高度為9.5米.

11.萬科廣場已成為人們周末休閑娛樂的重要場所，從一樓到二樓有一自動扶梯（如圖1）,圖2是側(cè)面示

意圖，已知自動扶梯AC的坡度（或坡比）i=1:2,AC=6x/^米，8E是二樓樓頂，EF〃MN，煎B在EF

上且在自動扶梯頂端C的正上方，若BCLEF,在自動扶梯底端A處測得8點仰角為40。，求二樓的層高

BC.（精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：sin4()0之0.64,cos4()°?0.77,tan40°?0.84)

圖1

【解答】解：如圖所示，延長BC交MN于D,

0EF〃MN,BCLEF,

◎BDLMN,即NADB=90°,

回自動扶梯AC的坡度（或坡比）z=l：2,

EICDAD=i:2,

0CD=-AD,

2

在RLADC中，由勾股定理得：AC2=CD-+AD2,

皿6旬2=(；+AD2,

回AD=12米(負值舍去)，

回8=6米，

在RtZVlBO中，ZADB=90°,NBA。=40。,

團8￡>=/W?tanN3A￡>=1().1米，

0BC=8D-CD=4.1米，

回二樓的層高3c約為4.1米.

12.如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30。，從甲樓頂部8處測得乙樓頂部C處的俯角是45。,

已知兩樓之間的距離AD=30m,求這兩幢樓的高度（結(jié)果保留根號）.

□

45°y□

□

□甲

□樓

□

乙口□

樓I口3心':“

DA

【解答】解：如圖，過點C作CE1AB,交AB于點E.

在RtAC￡>中，tan3（r=空=@,

AD3

0CD=IO^(m).

^CEIAB,

EINCE4=NCE8=90°,CE=AO=30(m),A￡=CD=10^3(m).

BE

在RtZ\8CE中，tan45°=—=1,

團BE=30(m).

EIAB=BE+AE=30+l()6(m).

答：甲樓的高度為(30+10g)m,乙樓的高度為lOgm.

13.教育部頒布的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》要求每位學(xué)生每學(xué)年都要參加社會實踐活動，某學(xué)校組織了

一次測量探究活動.如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CO,小明與同學(xué)們在山坡的坡腳A處測得廣告牌

底部D的仰角為53。，沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45。，已知山坡48的坡度

4

i=l:2.4,AB=13米，AE=29米.(測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)sin53。,

34

cos53°,tan53°w—)

53

⑴求點8距水平地面AE的高度；

(2)若市政規(guī)定廣告牌的高度不得大于7米，請問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由.

【解答】(1)解：過點B作于點M,

由題意可知，，=1:2.4=工=器,

12AM

設(shè)3M=5x米，AM=12x米，

則AB=J(5X)2+(I2X)2=]3x米

013x=13,解得x=\,

回8M=5米，AM=12米，

即點B距水平地面AE的高度為5米.

(2)解：作BNLCE于點N,

^1BM±AE,CELAE,

回四邊形BMNE是矩形.

EINE=BM=5米，8V=ME=12+29=41米.

在必8CN中，ZCBN=45°,

EICV=3N=41米，CE=41+5=46米，

在RjADE中，ZDAE=53°,AE=29米，

0D￡=AE-tan53°?29x-=—X

33

SCD=CE-DE=46--=—^

33

22r

回一＞7,

3

團該公司的廣告牌不符合要求.

14.數(shù)學(xué)課外實踐活動小組要測量某路燈尸-m-N的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角儀進行測量,

測量結(jié)果如下：

測量項目測量數(shù)據(jù)

從A處測得路燈頂部P的仰角aa=58。

從D處測得路燈頂部P的仰角B夕=30。

測角儀到地面的距離AB=DC=1.6m

兩次測量時測角儀之間的水平距離BC=2m

計算路燈頂部到地面的距離PE約為多少米？(參考數(shù)據(jù)：sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60,

后=1.73,結(jié)果精確到0.1米.)

【解答】解：如圖：延長D4交PE于點F,由題意得

DF±PE,AD=BC=2m,AB=CD=EF=1.6m,

設(shè)=在RtZXPEA中，NPA尸=58。,

Y

^DF=AF+AD=——+2,

1.60

在Rtm'中，ZPDF=30°,

?DF=6PF=KX,

0—+2=>/3x

1.60

1.82,

I2PE=PF+EF=1.82+I.6?3.4（m）,

路燈頂部到地面的距離PE約為3.4米.

15.如圖，為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組，根據(jù)光的反射定律可知，

ZCOD=ZAOB,利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進行測量：把鏡子放在點。處，然后觀測

者沿著水平直線BO后退到點D,這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A,此時測得觀測者觀看鏡子的俯角

a=60°,觀測者眼睛與地面距離8=1.7%，BD=\\m,求旗桿A8的高度.（結(jié)果取整數(shù)，6比1.7）

A

【解答】解：由題意知NCOD=NAOB=60。，NCQO=NAfiO=90。,

0CD=1.7m,

八八CD1.7,

團OD=---------=—}=alm,

tan60°G

□OB=ll-l=10m,

團..6W)OB.

CDOD1.71

回m一=-，BHPn一=—,

ABOBAB10

0/AB=17m,

答：旗桿AB的高度約為17m.

16.如圖，修筑鐵路時需打通小山修一條隧道MN.測繪時用一架無人機沿直線/飛行，飛行高度為1200米,

在A處測得隧道一端M處的俯角為37。,飛行2800米后到達B處測得隧道另一端N處的俯角為76。，已知A,

B,M,N四點在同一平面內(nèi)，且/〃MN,求隧道MN的長.(參考數(shù)據(jù)：sin370?0.6(),tan37°~0.75,

sin760?0.97,tan76°?4.0)

【解答］解：作"CJJ,NDLI,垂足分別為C,D,如圖所示:

MC=ND=nOOf

在.AA/C中，tan37o=也，則AC%些=1600,

AC0.75

/.BC=2800-1600=1200（米），

在“BND中,tan76o=器，貝I」8力々■^=300,

.-.W=CD=CB+BD=1200+300=1500（:米），

答：隧道MN的長約為1500米.

17.無人機愛好者小新嘗試利用無人機測量他家所住的樓房AB的高度.小新站在距離樓房60米的O處，

他操作的無人機在離地面高度306米的P處，無人機測得此時小新所處位置。的俯角為60。，樓頂4處的

俯角為30。.（。，P,A,8在同一平面內(nèi)）

p飛勺里.

不fy莎

?、、

；'、、A

/1°

/□

/□

/口

/□

/°

，口

.，□

OB

⑴求樓房A8的高度；

⑵在（1）的條件下，若無人機保持現(xiàn)有高度且以4米/秒的速度沿平行于。8的方向繼續(xù)勻速向前飛行，請

問：經(jīng)過多少秒，無人機剛好離開小新的視線？

【解答】（1）解：作尸Q2A8,交08于Q,ACVPQ,交PQ于C,

p飛行方向一

/I、

月

/ch'□

/?□

口

□

□

口

口

口

由題意可知，ZPC>B=60o,03=60米，PQ=306米,

則。。=PQ=30米,

tan60°

團。8=。8-。。=30米,

0AC1P0,PQ1AB,易知四邊形ACQ8為矩形，AC與飛行方向平行,

回AB=C。，4C=Q8=30米，ZPAC=30°,

回PC=AC-tan30°=10百米，

^AB=CQ=PQ-PC=206米；

(2)延長04與飛行方向相交于。，

OOB

由（1）知A5=20G米，08=6。米,

AB_20G_6

團tanNAOB

~OB~60

團NAO8=30。，

團N/W=NAQ3=30°,"OD="OB—ZAOB=3V,

30

團PD=PO=OQ=60米,

cosZPOBcos6()0

團無人機保持現(xiàn)有高度且以4米/秒的速度沿平行于。8的方向繼續(xù)勻速向前飛行,

回無人機剛好離開小新的視線的時間為：60+4=15秒,

即：經(jīng)過15秒，無人機剛好離開小新的視線.

18.如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的“五項管理"做成宣傳牌（CD）,放置在教

學(xué)樓A棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部。的仰角為6（）。，沿芙

蓉小學(xué)圍墻邊坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°.已知山坡A8的坡度為i=1:3,

AB=2-/lOm,AE=8m.

⑴求點B距水平面AE的高度BH.

⑵求宣傳牌8的高度.（結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：6kl.414,1.732）

【解答】（1）解：在RtZSAB”中，BH：AH=1:3,

團設(shè)=則AH=3a,

13A8=2而，

由勾股定理得法/=2,

答：點8距水平面AE的高度3”是2米；

（2）解：在中，BH=2,

0AH=6,

DE

在Rt/\ADE中，tan/DAE=——,

AE

即D￡=tan60°gAE=8>/3,

如圖，過點8作BPLCE,垂足為F,

:.BF=AH+AE=6+8=14,

DF=DE-EF=DE-BH=86-2,

在向8c尸中，NC=NCBF=45°,

回。F=3尸=14,

回8=CF-￡>F=14-（8力-2）=16-8百a2.1

答：廣告牌CD的高度約為2.1米.

19.如圖，某建筑物樓頂掛有廣告牌8C,小華準備利用所學(xué)的在角函數(shù)知識估測該建筑的高度.由于場地

有限，不便測量，所以小華從點A處滑坡度為，=1:6的斜坡步行30米到達點P處，測得廣告牌底部C的

仰角為45。，廣告牌頂部B的仰角為53。，小華的身高忽略不計，已知廣告牌BC=12米.（參考數(shù)據(jù)：

sin53°=s0.8,cos53°?0.6,tan53°?1.3）

⑴求P處距離水平地面的高度；

（2）求建筑物80的高度.

【解答】（1）過點P作P”_LA。于H,

n

回AP=’（后x）2+（3x）2=2②,

回從點A處滑坡度為i=1:6的斜坡步行30米到達點P處,

13Ap=30,

團x=-------m，

3

團P〃=15m.

(2)解：過點P作PGLOC于G,

⑦NPGO=/O=NPHO=90。,

團四邊形PGOH為矩形，

^PH=OG=15mf

0ZCPG=45°,

團NCPG=NGCP=45。，

?PG=CG,

設(shè)PG=CG=y,

團BG=y+12,

在RtZ\BPG中，tanZBPG=—,ZBPG=53°,

PG

0tan53°=史113.,

y

團y=40m,即PG=CG=40m,

團BO=CG+OG+BC=40+15+12=67m.

20.如圖，坡A8的坡度為1:2.4,坡面長26米，BC±AC,現(xiàn)計劃在斜坡中點。處挖去部分坡體（用陰影

表示）修建一個平行于水平線C4的平臺。石和一條新的斜坡把（請將下面兩小題的結(jié)果都精確到0.1米，參

CAG

⑴若修建的斜坡BE的坡角（即ZBEF）恰為45。，則此時平臺￡>E的長為多少米？

⑵坡前有一建筑物GH，小明在。點測得建筑物頂部H的仰角為30。，在坡底4點測得建筑物頂部H的仰

角為60。，點8、C、A、G、”在同一平面內(nèi)，點C、A、G在同一條水平直線上，問建筑物GH高為多少米？

【解答】（1）解：回坡A8的坡度為1:2.4,坡面長26米，。為AB的中點，

回BC:AC=1:2.4,AD=BD=13,

回BC2+（2.4BC）2=AB2=262,

E1BC=1O,AC=24,

B1DF//AC,

cBFBD

0-----=------而NBEF=45°,

FCAD

SBF=CF=EF=-BC=5,DF=-AC=\2,

22

DE=DF-EF=12-5=7（米）；

則平臺DE的長為7米；

（2）過點。作。PJ_AC,垂足為P.

在RtADP中，DP=CF=5,

同理可得：PA=-AC=\2,

2

在矩形DPGM中，MG=DP=5,DM=PG=i2+AG,

在Rt_E）MH中，=DM.tan30°=y-（12+AG）.

團GH=HM+GM=5+學(xué)12+4G）,

0Z/MG=6O°,

,n6（T=幽J+Z（12+AG）,

AGAG

解得：AG=§4.+6,

2

E）HG=GAG="+66=17.9（米），

2

答：建筑物GH高約為17.9米.

21.如圖，一樓房A3后有一假由，其坡度為"1:6，山坡坡面上E點處有一休息亭，測得假山坡腳C與

樓房水平距離3C=25米，與亭子距離CE=20米，小麗從樓房頂A處測得E點的俯角為45。.

⑴求休息亭所處的高度（即點E到水平地面的距離）；

（2）求樓房48的高.（注：結(jié)果保留根號）

【解答】（1）解：過點E作E尸1BC的延長線于尸，如圖所示:

0Z￡CF=30°,

團EF=：CE=1x20=10米，即休息亭所處的高度是10米;

22

（2）解：過E作于點”，如圖所示:

.?.四邊形BEE”是矩形，

?BH=EF,HE=BF,

由（1）知所=10米，NEC尸=30°,

12在RtACEF中，CF=CE-cos4ECF=20cos30°=20x—=lOx/3X.

2

回8〃=￡F=10米，/=BC+CF=（25+10G）米，

團小麗從樓房頂A處測得E點的俯角為45°,

EINH4E=45°,

0ZAHE=90°,@AHEA=45°=AHAE,

E）A〃="E=（25+10@米，

0AB=AW+B//=25+10^+10=（35+10x/3）JK，即樓房AB的高為（35+106）米.

22.如圖，AB,8為兩個建筑物，建筑物AB的高度為15米，從建筑物A8的頂部A點測得建筑物CD的

頂部C點的俯角NE4C為30。，測得建筑物CO的底部D點的俯角NE4D為45。.

B

⑴求兩建筑物兩底部之間的水平距離的長度；

（2）求建筑物C。的高度（結(jié)果保留根號）.

【解答】（1）解：根據(jù)題意得NAT）8=/E43=45。,

在RtA/WD中，

SZBAD=ZADB=45°,

^\BD=AB=\5（米）

答：兩建筑物兩底部之間的水平距離2。的長度為15米；

（2）延長。C交4E于點F,根據(jù)題意可知四邊形他。尸是正方形,

SAF=BD=DF^\5,

在RtZ^FC中，0ZMC=30°,

^CF=AFtanACAF=15tan30°=5也,

I3DF-15,

13CD=15-5^.

答：建筑物CD的高度為（15-5石）米.

23.如圖是重慶歡樂谷的一個大型娛樂設(shè)施一一"重慶之眼"摩天輪，它是全球第六、西南最高的觀光摩天

輪.如圖2,小嘉從摩天輪最低處8出發(fā)先沿水平方向向左行走48米到達點C,再經(jīng)過一段坡度為i=1:2.4,

坡長為13米的斜坡CO到達點。，然后再沿水平方向向左行走40米到達點E.在￡處小嘉操作一架無人勘

測機，當無人勘測機飛行至點E的正上方點F時，測得點。處的俯角為58,摩天輪最高處A的仰角為

24.AB所在的直線垂直于地面，垂足為。，點A、B、C、D、E、F、。在同一平面內(nèi)，求的高

度.（結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù)：sin58*0.85,cos58?0.53,tan58"60,sin24=0.40,cos24=0.91,

tan24?0.45）

【解答】過CCM，。。于“，過尸作于N,如圖所示，則FN=OE,ON=EF,OM=BC=4S,

BO=CM,FN//OE,

團NEDF=ZDFN=58°,

Hl斜坡CO的坡度為，=1:2.4,CD=13,

國BO=CM=5,DM=12,

回。石二40,

團RV=EO=￡>E+DW+MO=40+12+48=110,

在RtADEF中，

EF

tanZEDF=——=tan58°?1.60,

DE

0EF?1.60DE=l.60x40=64,

團QN=EFnM,

⑦BN=ON—OB=64—5=59,

在RtZ\AFN中，

AN

團tan乙AFN=——=tan24°?0.45,

FN

團ANb0.45FN=0.45xll0=49.5,

團A5=7W+5N=49.5+59nl()9,

團A3的高度約為109米.

24.一架無人機沿水平直線飛行進行測繪工作，在點P處測得正前方水平地面上某建筑物A3的頂端A的

的俯角為3()。.面向方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端8的俯角為45。,已知建筑物AB的高為3

米，求無人機飛行的高度，(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,73?1.73)

PQ

B

【解答】解：過A作ACLPQ,交PQ的延長線于C,如圖所示:

PQ

''<30°'Z45°

B

設(shè)AC=x米，

由題意得：PQ=5米，ZAPC=30°,ZBQC=45°,

在RtAPC中，tanZAPC=—=tan30°=—,

PC3

PC=>/3AC=y/3x（米），

在RtBCQ中，tanZ.BQC==tan45°=1,

QC

{?]QC-BC-AC+AB=（x+3）米，

團尸C—QC=PQ=5米，

回-（x+3）=5，

解得：X=4（G+1）,

回8c=4（6+1）+3=46+7214（米），

答：無人機飛行的高度約為14米.

25.如圖，在那大鎮(zhèn)中興大道的路邊有一塊宣傳"社會主義核心價值觀"豎直標語牌￡>廠.有工作人員在馬路

的對面的一處平臺A點測得標語牌頂端。處的仰角為42。，測得平臺在地面的底端5處的俯角為30°

（8,F,D在同一條直線上），平臺的斜坡A3=10m,標語牌底端尸到地面的距離B/=6.5m,求標語牌。尸

的長（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin42°?0.67,cos42°?0.74,tan42°?0.9（）,621.73

【解答】解：作于點E,如圖所示:

在RtAEB中，ZAEB=90°,ZE4B=30°,A8=10m,

ElBE=gAB=5m,AE=5>/3m>

DE

在RtZXADE中，ZE4￡）=42°,tanZEAD=—,

AE

DE=AE-tan42°?5>^x0.90s7.79m,

0BD=DE+BE=5+7.79=12.79m

^CD=BD-BC=l2.79-6.5?6.3m（精確到0.1米），

答：標語牌。尸的長約為6.3米.

題型二方向角問題

,月魚種林

1.如圖，琪琪開車從A地出發(fā)，沿著北偏東6()。的方向行駛，到達。地后沿著南偏西40。的方向行駛來到8

地，且8地恰好位于A地正東方向上，則下列說法止確的是()

北

A.。地在8地的北偏東50。方可上B.ZAOB=30°

C.A地在。地的南偏西60。方向上D.sinZBAO=—

2

【解答】解：過。作于C,過8作MBJ.AC,

北

二4co=90。，

ZBOC=40°,

/.ZOBC=50°,

，ZMBO=90°-50°=40°,

二。地在B地的北偏東40。方向上，故A不符合題意;

ZtMB=9O°-6O°=3O°,

,Z4OC=60°,

403=60。-40。=2()。，故B不符合題意；

二A地在。地的南偏西60°方向上，C符合題意；

■:ZBAO=30°,

AsinZBAO=~,故D不符合題意;

故選：C.

2.如圖所示，某施工方計劃把一座山的C,。兩點用隧道打通，并利用北斗衛(wèi)星定位技術(shù)確定A,C,D

三點在東西方向的同一條直線上.在隧道沒有打通之前，技術(shù)監(jiān)督員李工每天需要駕車先從隧道口C點向

正西行駛1km到達A點，然后再沿南偏東60°方向行駛4km到達8點，接著再沿北偏東45。方向行駛一段路

程才能到達隧道口。，則隧道的長度為km.

【解答】解：如圖，過點B作交于點E,貝ijZA￡B=ZPEB=90°,

由題意，得：=90°-60°-30°,ZEBD=45°,AC=1km,A8=4km,

在RtAEB,BE=ABsinA=4x—=2km,AE=AB-cosA=4x—=2A/5km.

22

在RtZxDEB,DE=BE-tanZEBD=2x1=2km,

AD=AE+BE^（2+2>/3）km,

CD=AD-AC=2+2>^-l=（2>/3+l）km；

故答案為：（2^3+1）.

3.如圖，點P,A,B,C在同一平面內(nèi)，點A,B,C在同一直線上，且PCL4C,在點A處測得點P在

北偏東60°方向上，在點3處測得點P在北偏東30。方向上，若AP=12千米，貝IJA,B兩點的距離為

千米.（結(jié)果保留根號）

【解答】解：；PC_LAC,在點4處測得點P在北偏東60°方向上，

AZPC4=90°,ZPAC=30°,

,/AP=12千米，

，PC=6千米，4C=ARcos30°=12x且=66千米，

2

???在點B處測得點尸在北偏東30。方向上，

，ZPBC=60°,

???BC=^*=26千米，

AB=AC-BC=6>/3-2>/3=4y/3千米，

故答案為：4百.

4.如圖，小南家A位于一條東西走向的筆直馬路上，超市8在A地的正東方.午休時間，小南從家A出

發(fā)沿北偏東60。方向步行600米至菜鳥驛站C取快遞.下午第一節(jié)網(wǎng)課是美術(shù)課，此時距離上課時間只有7

分鐘，他決定先沿西南方向步行至超市B購買素描畫紙，再沿正西方向回到家上網(wǎng)課.（參考數(shù)據(jù)：

V2?1.414,6z1.732）

（1）求菜鳥驛站C與超市B的距離（精確到個位）；

（2）若小南的步行速度為80米/分鐘，那么他上美術(shù)網(wǎng)課會遲到嗎？請說明理由.（忽略小南買素描畫紙的

時間）

【解答】（1）過點C作交A8的延長線于點。，

北

東

由題意知，AC=6(X),ZBCZ)=45°,ZC4B=30°,

在RtADC中，ZADC=90°,

：.CD=AC-sinZCAB=600x-=300.

2

在Rt_8OC中，/8。。=90。,/88=45。，

NCBD=/BCD=45°,

：.CD=BD.

BC=\lBD2+CD2=300夜?424.2?424.

答：菜鳥驛站C