第二章 分?jǐn)?shù)（壓軸題專練）（解析版）

第二章分?jǐn)?shù)（壓軸題專練）壓軸題1分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)例題1一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的乘積是500，將它化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是，則原分?jǐn)?shù)為．【答案】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵一個(gè)分?jǐn)?shù)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是設(shè)分子和分母的最大公因數(shù)為x∴分子為：4x，分母為：5x結(jié)合題意得：∴∴分子為：20，分母為：25∴原分?jǐn)?shù)為故答案為：．壓軸題2分?jǐn)?shù)的大小比較例題2我們可以用下面的方法比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小（交叉相乘法）：（1）分別用每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子去乘另一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母，哪個(gè)分子乘得的積大．這個(gè)分?jǐn)?shù)就大．比如：比較與的大?。?yàn)?，所以．?qǐng)用這種方法比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小：____________；____________．（2）一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母相差3．如果分子、分母同時(shí)加上13后可化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，求原分?jǐn)?shù)．【答案】（1）>，>；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，用交叉相乘法計(jì)算，即可得到答案；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)和最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）∵∴∵∴故答案為：>，>；（2）設(shè)分子為x，則分母為x+3結(jié)合題意得：∴∴∴原分?jǐn)?shù)為：．例題3觀察：

（1）你能總結(jié)出什么規(guī)律？（2）比較與的大?。敬鸢浮浚?）；（2）【分析】（1）由題意根據(jù)圖片可以看出單位“1”相同時(shí)，，且分子依次增加1，分母依次增加1；（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）得出的規(guī)律，可知到分子分母也分別增加了1，從而得解．【詳解】解：解：（1）由到到到得到：前一分?jǐn)?shù)分子依次增加1，分母依次增加1，則前一分?jǐn)?shù)值小于后一分?jǐn)?shù)值，所以；（2）因?yàn)椋?，所以前一分?jǐn)?shù)值小于后一分?jǐn)?shù)值，則有．【點(diǎn)睛】本題考查圖形與數(shù)字的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形及各分?jǐn)?shù)分子和分母的變化找到規(guī)律．跟進(jìn)練習(xí)閱讀材料并回答問(wèn)題：我們學(xué)習(xí)過(guò)許多分?jǐn)?shù)比較大小的方法，如通分，或?qū)⒎肿幼兂上嗤臄?shù)或?qū)⒎謹(jǐn)?shù)化成小數(shù)，都是有效的分?jǐn)?shù)大小比較的方法，但是并不是所有的數(shù)都適合用這樣的做法來(lái)比較大小．(1)請(qǐng)問(wèn)下列適合用通分來(lái)比較大小的一組數(shù)是；適合將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來(lái)比較大小的一組數(shù)是；①；②，，，③，，，(2)我們經(jīng)常也會(huì)用到將分?jǐn)?shù)與比較大小，進(jìn)而比出分?jǐn)?shù)大小的方法．如，，這三個(gè)數(shù)，比0.5要小，而．我們就可以比較這三個(gè)數(shù)的大?。ㄓ谩埃肌边B接）．像這樣的方法稱為“中間數(shù)”比大小法，中間數(shù)有時(shí)也可以是其他數(shù)字．(3)閱讀上述材料后，完成下列問(wèn)題（沒(méi)有用到第（2）小題材料中做法的不得分）：①，，，，這組數(shù)中，哪一個(gè)最?。竣?，，，，，，這組數(shù)中，第三小的是哪一個(gè)？【答案】(1)①；②；(2)(3)①本組數(shù)中，最??；②這組數(shù)中，第三小的是．【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)、通分法則判斷即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則解答；（3）①先比較各個(gè)分?jǐn)?shù)與的大小，再比較和的大小即可；②先比較各個(gè)分?jǐn)?shù)與的大小，再比較、、的大小，進(jìn)而得到答案．【詳解】（1）解：適合用通分來(lái)比較大小的一組數(shù)是①，適合將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來(lái)比較大小的一組數(shù)是②，故答案為：①；②；（2）解：∵，，∴，故答案為：；（3）解：①∵，∴、和是較小的兩個(gè)數(shù)，∵，，∴，∴本組數(shù)中，最?。虎凇?，∴較小的三個(gè)數(shù)是；∵，∴，∴這組數(shù)中，第三小的是．【點(diǎn)睛】本題考查的是分?jǐn)?shù)的通分，掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的大小比較法則是解題的關(guān)鍵．壓軸題3分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算例題4觀察：根據(jù)上述式子，完成下列問(wèn)題：(1)＝﹣，＝+．(2)計(jì)算：．(3)計(jì)算：．(4)解方程：．【答案】(1)7，8，8，9(2)(3)36(4)x＝【詳解】（1），故答案為：7，8，8，9（2）（3）（4）∵∴即：∴即∴例題5計(jì)算：．【答案】【分析】首先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的部分，然后連續(xù)約分即可求解．【詳解】原式．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)乘法，熟練掌握分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義和運(yùn)算法則是本題的關(guān)鍵，重點(diǎn)是先去括號(hào)，然后計(jì)算連乘．跟進(jìn)練習(xí)1.設(shè)a，b，c，d為自然數(shù)，且，，求a，b，c，d．【答案】；；；；；【分析】根據(jù)得到，由大小關(guān)系得到，從而得到a，依次類推得到b、c，最后計(jì)算判斷即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，∵a，b，c，d為自然數(shù)，∴a=2或3，當(dāng)時(shí)，，∴，∴b=3或4或5，當(dāng)時(shí)，，∴，∴c=4或5或6或7或8或9或10或11，由，依次代入經(jīng)過(guò)計(jì)算可得：，，，，，．2.觀察：那么直接寫出下面的計(jì)算結(jié)果：．【答案】【分析】根據(jù)已知條件可得，然后將各個(gè)相乘項(xiàng)以此規(guī)律變形計(jì)算求解即可．【詳解】解：原式====故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分?jǐn)?shù)的運(yùn)算規(guī)律性知識(shí)，運(yùn)用已知條件得出分?jǐn)?shù)的分子與分母的變化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)于該問(wèn)題中需要提取，才能正確計(jì)算．壓軸題4運(yùn)算律使用例題6計(jì)算：．【答案】【分析】把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和小數(shù)，再相加即可．【詳解】．跟進(jìn)練習(xí)計(jì)算：【答案】1【分析】設(shè)，，原式變形進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：設(shè)，，原式=====1.【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，整體思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．壓軸題5循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)例題7計(jì)算：．【答案】【分析】將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)限循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化以及分?jǐn)?shù)加法的運(yùn)算法則，將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)是解題關(guān)鍵．壓軸題6應(yīng)用類問(wèn)題例題8馬路上有一輛車身長(zhǎng)為米的公共汽車由東向西行駛，車速為每小時(shí)千米．路一旁的人行道上有甲、乙兩名年輕人正在練長(zhǎng)跑，甲由東向西跑，乙由西向東跑．某一時(shí)刻，汽車追上了甲，秒鐘后汽車離開了甲；半分鐘之后，汽車遇到了迎面跑來(lái)的乙；又過(guò)了秒鐘汽車離開了乙．問(wèn)再過(guò)多少秒以后甲、乙兩人相遇？【答案】再過(guò)16秒以后甲、乙兩人相遇【分析】根據(jù)題意先求出甲、乙的速度，然后求出相遇前兩人之間的路程，再根據(jù)相遇問(wèn)題的特點(diǎn)解答.【詳解】解：車速為每秒：（米），所以甲的速度為每秒：（米），乙的速度為每秒：（米），汽車離開乙時(shí)，甲、乙兩人之間相距：（米），所以甲、乙再次相遇時(shí)間：（秒）；答：再過(guò)16秒以后甲、乙兩人相遇．【點(diǎn)睛】本題考查了行程問(wèn)題，正確理解題意、熟知路程、速度與時(shí)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．跟進(jìn)練習(xí)甲、乙合作完成一項(xiàng)工程，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高了，乙的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高，甲、乙合作6小時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)．如果甲單獨(dú)做需要11小時(shí)，那么乙單獨(dú)做需要多少小時(shí)？【答案】18小時(shí)【分析】根據(jù)題意，把這項(xiàng)工程看作單位“1”，則甲的工作效率為，甲在合作時(shí)的工作效率為×(1+)＝，甲乙合作的工作效率為，用合作的工作效率減去甲在合作時(shí)的工作效率，就是乙在合作時(shí)的工作效率，再用乙在合做時(shí)的工作效率除以（1+），既得乙的工作效率．然后根據(jù)工作總量÷工作效率=工作時(shí)間，求出乙獨(dú)做的時(shí)間．【詳解】解：乙在合作時(shí)的工作效率：?×(1+)=?=，乙獨(dú)做時(shí)的工作效率：÷(1+)=÷=，乙獨(dú)做所用時(shí)間：1÷=18（小時(shí)），答：乙單獨(dú)做需要18小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查工程問(wèn)題．關(guān)鍵把這項(xiàng)工作看成單位“1”，工作效率分別用分?jǐn)?shù)表示出來(lái)，通過(guò)工作效率之間的數(shù)量關(guān)系求出乙獨(dú)做時(shí)的工作效率，再根據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，求出乙獨(dú)做的工作時(shí)間．鞏固訓(xùn)練1.簡(jiǎn)便運(yùn)算．（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）首先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分求解即可；（2）先求出括號(hào)內(nèi)的值，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后約分求解即可；（3）首先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)加法計(jì)算法則計(jì)算即可；（4）首先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后應(yīng)用乘法分配了即可．【詳解】（1）．（2）（3）．（4）．故答案為（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算，關(guān)鍵是去括號(hào)時(shí)要注意符號(hào)變化問(wèn)題，并且要熟練掌握分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算法則．2.已知：；；；…；請(qǐng)根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算．【答案】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)分解的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)第一項(xiàng)的減數(shù)和第二項(xiàng)的被減數(shù)正好抵消，以此類推，整個(gè)式子就只剩第一項(xiàng)的被減數(shù)和最后一項(xiàng)的減數(shù)，依照這個(gè)規(guī)律可得到結(jié)果．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)的分解規(guī)律，依照規(guī)律發(fā)現(xiàn)加減可以相互抵消，進(jìn)而可以解決本題，但是本題難度大，需要很強(qiáng)的理解能力和運(yùn)算能力．3.（1）操作：如果把圓的面積看作整體1，請(qǐng)?jiān)趫D中用陰影部分表示出分?jǐn)?shù)，，，，再觀察式子，；；；思考并回答下列問(wèn)題．（2）把分?jǐn)?shù)，，，由小到大的順序排列是_________________．（3）比較大?。甠_______（填“<”或“>”）．（4）如果一個(gè)分?jǐn)?shù)（且a，b為正整數(shù)）的分子和分母都加上1，所得的分?jǐn)?shù)一定比原來(lái)的分?jǐn)?shù)__________（填“大”或“小”）．（5）猜想，如果一個(gè)分?jǐn)?shù)（且a，b為正整數(shù)）的分子和分母都加上相同的自然數(shù)，所得的分?jǐn)?shù)（

）A．一定比原來(lái)的分?jǐn)?shù)大B．一定比原來(lái)的分?jǐn)?shù)小C．與原來(lái)的分?jǐn)?shù)相等D．可能比原來(lái)的分?jǐn)?shù)大，也有可能與原來(lái)的分?jǐn)?shù)相等【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）<；（4）大；（5）D【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行表示即可；（2）根據(jù)（1）中面積大小進(jìn)行比較即可；（3）根據(jù)題目可推得，從而得到結(jié)果；（4）根據(jù)（1）、（2）即可得到結(jié)果；（5）分“加上的自然數(shù)為0和加上的自然數(shù)不為0”兩種情況，進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）如圖所示；（2）由（1）中陰影面積的大小得知，；（3）由（2）可推得，，∴；（4）由（1）、（2）可知，，，，∴一個(gè)分?jǐn)?shù)（且a，b為正整數(shù)）的分子和分母都加上1，所得的分?jǐn)?shù)一定比原來(lái)的分?jǐn)?shù)大；（5）若一個(gè)分?jǐn)?shù)（且a，b為正整數(shù)）的分子和分母都加上0，則所得的分?jǐn)?shù)與原來(lái)的分?jǐn)?shù)相等，若一個(gè)分?jǐn)?shù)（且a，b為正整數(shù)）的分子和分母都加上相同的非零自然數(shù)，由（4）可知，所得的分?jǐn)?shù)可能比原來(lái)的分?jǐn)?shù)大，所以選D．的關(guān)鍵．4.姐、弟二人錄入一批稿件，姐姐單獨(dú)錄入需要的時(shí)間是弟弟的，姐姐先錄入了這批稿件的，接著由弟弟單獨(dú)錄入，共用24小時(shí)錄入完．問(wèn)：姐姐錄入用了多少小時(shí)？【答案】小時(shí)【分析】設(shè)弟弟單獨(dú)打印需要的時(shí)間為x小時(shí)，姐姐單獨(dú)打印需要的時(shí)間是弟弟所需時(shí)間的，那么姐姐單獨(dú)打印需要的時(shí)間就是小時(shí)，姐姐先打印了這批稿件的，那么需要的時(shí)間就是的，同理可得弟弟打完剩下的部分需要（1-）小時(shí)，根據(jù)姐姐和弟弟一共用了24小時(shí)列出方程求解即可【詳解】解：設(shè)弟弟單獨(dú)打印需要的時(shí)間設(shè)為x小時(shí)，那么姐姐單獨(dú)打印需要的時(shí)間就是小時(shí)；；；（小時(shí)）答：姐姐錄入用了小時(shí)5.如圖，在一環(huán)行軌道上有三枚子彈同時(shí)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)．已知甲于第10秒鐘時(shí)追上乙，在第30秒時(shí)追上丙，在第