專(zhuān)題01 三角形中三邊關(guān)系、高線、中線、角平分線壓軸題十三種模型全攻略（原卷版）

專(zhuān)題01三角形中三邊關(guān)系、高線、中線、角平分線壓軸題十三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一三角形的穩(wěn)定性】 1【考點(diǎn)二三角形的分類(lèi)】 3【考點(diǎn)三構(gòu)成三角形的條件】 5【考點(diǎn)四確定第三邊的取值范圍】 6【考點(diǎn)五三角形內(nèi)角和定理的證明】 8【考點(diǎn)六與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題】 11【考點(diǎn)七與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題】 13【考點(diǎn)八畫(huà)三角形的高】 15【考點(diǎn)九與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題】 16【考點(diǎn)十根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度】 19【考點(diǎn)十一根據(jù)三角形的中線求面積】 21【考點(diǎn)十二三角形角平分線的定義】 23【考點(diǎn)十三利用網(wǎng)格求三角形面積】 25【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 28【典型例題】【考點(diǎn)一三角形的穩(wěn)定性】例題：（2022秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）由于疫情，現(xiàn)在網(wǎng)課已經(jīng)成為我們學(xué)習(xí)的一種主要方式，網(wǎng)課期間我們常常把手機(jī)放在一個(gè)支架上面，就可以非常方便地使用，如圖，此手機(jī)能穩(wěn)穩(wěn)放在支架上利用的原理是（

）A．三角形具有穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．三角形的內(nèi)角和為 D．垂線段最短【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列生活實(shí)例中，利用了“三角形穩(wěn)定性”的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是一座鋼架橋，它的支撐部分采用了三角形結(jié)構(gòu)，起到了堅(jiān)固和穩(wěn)定的作用，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是_______．【考點(diǎn)二三角形的分類(lèi)】例題：（2023春·上海浦東新·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列分類(lèi)正確的是（

）A．三角形可分為等腰三角形、等邊三角形B．三角形可分為不等邊三角形、等腰三角形以及等邊三角形C．三角形可分為不等邊三角形和等邊三角形D．三角形可分為不等邊三角形和等腰三角形【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于三角形的分類(lèi)，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（

）A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤C．甲的分法錯(cuò)誤，乙的分法正確 D．甲的分法正確，乙的分法錯(cuò)誤2．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知：如圖，試回答下列問(wèn)題：（1）圖中有_______個(gè)三角形，其中直角三角形是______．（2）以線段為公共邊的三角形是___________．（3）線段所在的三角形是_______，邊所對(duì)的角是________．【考點(diǎn)三構(gòu)成三角形的條件】例題：（2023春·河北邯鄲·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列每組數(shù)分別是三根木棒的長(zhǎng)度，能用它們擺成三角形的是（

）A．2cm，4cm，7cm B．3cm，6cm，9cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，4cm，9cm【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能構(gòu)成三角形的是（

）A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，4，5 D．5，7，132．（2021秋·廣東江門(mén)·八年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┫铝腥龡l線段中，不能組成三角形的是（

）A．3、4、5 B．3、4、7 C．7、8、13 D．8、9、16【考點(diǎn)四確定第三邊的取值范圍】例題：（2023春·黑龍江綏化·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)是4和9，且周長(zhǎng)是偶數(shù)，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西西安·七年級(jí)西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2、7，若第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，則此三角形第三邊的長(zhǎng)是______．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)三角形的第一條邊長(zhǎng)為，第二條邊長(zhǎng)為(1)求第三條邊長(zhǎng)的取值范圍；（用含，的式子表示）(2)若，滿足，第三條邊長(zhǎng)為整數(shù)，求這個(gè)三角形周長(zhǎng)的最大值【考點(diǎn)五三角形內(nèi)角和定理的證明】例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）某班學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和為展開(kāi)證明討論，以下四個(gè)學(xué)生的作法中，不能證明的內(nèi)角和為的是（

）A．過(guò)點(diǎn)A作 B．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作C．過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D D．過(guò)BC上一點(diǎn)D作，【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于”時(shí)，飛翔班的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于”的是（

）A．延長(zhǎng)至D過(guò)C作 B．過(guò)A作C．過(guò)D作 D．過(guò)P作，，2．（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）下圖是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號(hào)代表的內(nèi)容．下列回答不正確的是（

）定理：三角形的內(nèi)角和為．已知：．

求證：．證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，◎（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），___▲______（_____※______）．（平角定義），（等量代換）．A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表兩直線平行，同位角相等【考點(diǎn)六與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題】例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)作．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）將一副直角三角板如圖放置，已知，，，則為（

）

A．45° B．60° C．90° D．105°2．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)D，E在的邊BC上，，，若，則的度數(shù)為（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【考點(diǎn)七與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題】例題：（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，和分別平分和，若，則的大小為_(kāi)_____．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，是的平分線，，．求的度數(shù)．2．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校考期中）如圖，在中，是的角平分線，作交于點(diǎn)E，，，求的度數(shù)．

【考點(diǎn)八畫(huà)三角形的高】例題：（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列各圖中，正確畫(huà)出邊上的高的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┫旅嫠膫€(gè)圖形中，線段是的高的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，，，點(diǎn)，，是垂足，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．中，是邊上的高 B．中，是邊上的高C．中，是邊上的高 D．中，是邊上的高【考點(diǎn)九與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題】例題：（2023春·廣東惠州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在直角三角形中，，，，，則點(diǎn)到的距離是（

）

A．3 B．4 C．5 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，分別是的高，，，，求的長(zhǎng)．

2．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）三角形如圖，的邊上的高為，中線為邊上的高為，已知，，．

(1)求的面積；(2)求的長(zhǎng)；(3)和的面積有何關(guān)系？【考點(diǎn)十根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度】例題：（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是的中線，，．若的周長(zhǎng)為16，則周長(zhǎng)為_(kāi)_________．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的周長(zhǎng)為，，是邊上的中線，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大2，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

2．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，為邊上的高，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接．

(1)當(dāng)為邊上的中線時(shí)，若，的面積為24，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)為的角平分線時(shí)，若，，求的度數(shù)．【考點(diǎn)十一根據(jù)三角形的中線求面積】例題：（2023春·廣東茂名·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為20，點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為（）

A．4 B．5 C．6 D．10【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山西太原·七年級(jí)山西大附中?？计谥校┤鐖D，是的中線，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（）（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的中線，點(diǎn)E、F分別為的中點(diǎn)，若的面積為，則的面積是________．

【考點(diǎn)十二三角形角平分線的定義】例題：（2023·云南楚雄·統(tǒng)考一模）如圖，，平分，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是的角平分線，，交AC于點(diǎn)F，已知，求的度數(shù)．2．（2023春·上?！て吣昙?jí)階段練習(xí)）已知：如圖，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求證：BC//DE．【考點(diǎn)十三利用網(wǎng)格求三角形面積】例題：（2023春·廣東湛江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，求的面積．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？计谥校┫聢D為的網(wǎng)格，每一小格均為正方形，已知．

(1)畫(huà)出中邊上的中線；(2)畫(huà)出中邊上的高．(3)直接寫(xiě)出的面積為_(kāi)________．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)畫(huà)出中邊上的高；(2)畫(huà)出中邊上的中線；(3)直接寫(xiě)出的面積為_(kāi)_____．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形的是（

）A．3，4，5 B．8，7，15 C．3，4，8 D．5，5，112．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）從數(shù)學(xué)角度看下列四副圖片有一個(gè)與眾不同，該圖片是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，中邊上的高是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在三角形中，為的平分線，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023春·河北石家莊·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，三邊的中線，，的公共點(diǎn)為，若，則圖中陰影部分的面積是（

）

A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題6．（2023春·上海浦東新·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是4cm和9cm，則第三條邊長(zhǎng)x的范圍是______．7．（2023春·山西臨汾·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是螳螂的示意圖，已知，，，則的度數(shù)為_(kāi)__________．

8．（2023秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)D是的邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段、的中點(diǎn)，且的面積為60，則的面積_______．9．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的_________邊上的高；在中，是_________上的高，還是_________的高；是_________的_________邊上的高．10．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)丹陽(yáng)市第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是的角平分線，是的BC邊上的高，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____°．三、解答題11．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，是的角平分線，，若，，求的度數(shù)．12．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京市科利華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C是方格紙中的格點(diǎn)．

(1)畫(huà)出邊上的中線；(