專題22 期末復(fù)習(xí)之幾何模型提高訓(xùn)練（解析版）

專題22八上期末復(fù)習(xí)之幾何模型提高訓(xùn)練【角平分線相關(guān)】—角平分線性質(zhì)定理、角平分線＋平行線→等腰三角形、角平分線＋垂線→等腰等1．（2021秋?八步區(qū)期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AB＝6，DE＝4，則△ABD的面積是（）A．24 B．18 C．12 D．6【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)得出DF＝DE，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DF＝4，∵AB＝6，∴S△ABD＝×AB×DF＝×6×4＝12．故選：C．2．（2022秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC的三邊AB、BC、AC的長(zhǎng)分別是9、12、15．其三條角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4【分析】過O點(diǎn)作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：OD＝OE＝OF，利用三角形的面積公式計(jì)算可求解．【解答】解：過O點(diǎn)作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，∵△ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，∴OD＝OE＝OF，在△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝15，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB?DO：BC?EO：AC?OF＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，故選：C．3．（2022?東莞市校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，若∠BDE＝50°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】首先利用平行線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，接著利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABC，最后利用三角形的內(nèi)角和求出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵DE∥AB，∠BDE＝50°，∴∠ABD＝∠BDE＝50°，而BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．故選：B．4．（2022春?廣饒縣期末）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．70° D．45°【分析】根據(jù)BF平分∠ABC可得，∠FBC＝∠ABC，同理，然后根據(jù)∠BFC＝125°，利用三角形內(nèi)角和可得∠∠FBC+∠FCB＝55°，從而得到∠ABC+∠ACB＝110°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠A＝70°．【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．故選：C．5．（2022春?東港市期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，若∠B＝70°，∠C＝40°，則∠DAE的度數(shù)為15°．【分析】由三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合題干信息，運(yùn)用合理的邏輯推理即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠BAC＝70°，∵AD是BC邊上的高，∴∠CAD＝50°，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠BAC＝35°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝15°．故答案為：15°．6．（2022春?錦江區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，連接AE，則∠AEB的度數(shù)為30°．【分析】過E點(diǎn)作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到EF＝EH，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，EH＝EP，則EF＝EH，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷AE平分∠FAC，則可計(jì)算出∠FAE＝50°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠AEB的度數(shù)．【解答】解：過E點(diǎn)作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如圖，∵BE平分∠ABC，∴EF＝EH，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，∵CE平分外角∠ACD，∴EH＝EP，∴EF＝EH，∴AE平分∠FAC，∵∠BAC＝80°，∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°，∴∠FAE＝∠FAC＝50°，∵∠FAE＝∠ABE+∠AEB，∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°．故答案為30°．7．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分線，AE⊥BC，DF⊥BC，求證：AH＝DF．【分析】首先利用角平分線的性質(zhì)證明FD＝AD，然后利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系證明∠AHD＝∠ADH，最后利用等腰三角形的判定即可求解．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，DF⊥BC，BD是∠ABC的平分線，∴FD＝AD，∠ABH＝∠CBD，∵AE⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠BAH+∠CAH＝∠CAH+∠C＝90°，∴∠C＝∠BAH，∵∠AHD＝∠ABH+∠BAH，∠ADH＝∠C+∠CBD，∴∠AHD＝∠ADH，∴AH＝AD，∴AH＝DF．8．（2022春?敘州區(qū)期末）如圖1，直線m與直線n垂直相交于O，點(diǎn)A在直線m上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動(dòng)，AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線．（1）∠ACB＝135°；（2）如圖2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分線，BD與AC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ADB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；（3）如圖3，過C作直線與AB交于F，且滿足∠AGO﹣∠BCF＝45°，求證：CF∥OB．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠BAO+∠ABO＝90°，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠OBE﹣∠OAB＝90°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可；（3）根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念得到∠BCG＝45°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠CBG＝∠BCF，根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論．【解答】（1）解：∵∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CAB＝∠BAO，∠CBA＝∠ABO，∴∠CAB+∠CBA＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°，故答案為：135°；（2）解：∠ADB的大小不發(fā)生變化，∵∠OBE是△AOB的外角，∴∠OBE＝∠OAB+∠AOB，∵∠AOB＝90°，∴∠OBE﹣∠OAB＝90°，∵BD平分∠OBE，∴∠EBD＝∠OBE，∵∠EBD是△ADB的外角，∴∠EBD＝∠BAG+∠ADB，∴∠ADB＝∠EBD﹣∠BAG＝∠OBE﹣∠OAB＝45°；（3）證明：∵∠ACB＝135°，∠ACB+∠BCG＝180°，∴∠BCG＝180°﹣∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∵∠AGO是△BCG的外角，∴∠AGO＝∠BCG+∠CBG＝45°+∠CBG，∵∠AGO﹣∠BCF＝45°，∴45°+∠CBG﹣∠BCF＝45°，∴∠CBG＝∠BCF，∴CF∥OB．【將軍飲馬】——最值模型將軍飲馬，處理方法——對(duì)稱＋連接1．（2021秋?潁東區(qū)期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP＝3，若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是（）A．3 B． C． D．6【分析】作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P''，連接P'P''與OA，OB分別交于點(diǎn)M與N，則P'P''的長(zhǎng)即為△PMN周長(zhǎng)的最小值；連接OP'，OP''，利用已知條件可以證明∠P′OP″＝60°即可求出P'P''；【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P''，連接P'P''與OA，OB分別交于點(diǎn)M與N，則P'P''的長(zhǎng)即為△PMN周長(zhǎng)的最小值，連接OP'，OP''，∵OP＝3，∠AOB＝30°，由對(duì)稱性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°，∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°，∴OP′＝OP''＝P'P''，∴P'P''＝3；故選：A．2．（2021秋?蓮都區(qū)期末）如圖，牧童在A處牧馬，牧童的家在B處，A，B處到河岸的距離分別是AC＝300m，BD＝500m，且C，D兩地之間的距離為600m．牧童從A處將馬牽到河邊去飲水，再牽回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）m C．1000m D．（300+100）m【分析】將此題轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題，作出A點(diǎn)關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出BA′的長(zhǎng)即為牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．【解答】解：作A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交河岸與P，則PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短，故牧童應(yīng)將馬趕到河邊的P地點(diǎn)．作DB′＝CA′，且DB′⊥CD，∵DB′＝CA′，DB′⊥CD，BB′∥A′A，∴四邊形A′B′DC是矩形，∴B'A'＝CD＝500m，DB′＝A′C＝AC＝300m，在Rt△BB′A′中，連接A′B′，則BB′＝BD+DB′＝500+300＝800m，BA′＝＝＝1000（m）．故選：C．3．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時(shí)，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°【分析】過點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，可證得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由“直角三角形兩銳角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，如圖，此時(shí)BE+EF最?。逜D是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故選：B．4．（2021秋?德清縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)Q是直線y＝x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AQ為邊，在AQ的右側(cè)作等邊△APQ，使得點(diǎn)P落在第一象限，連結(jié)OP，則OP+AP的最小值為（）A．6 B．4 C．8 D．6【分析】根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)先證明點(diǎn)P在直線PM是運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)軸對(duì)稱最值問題，作點(diǎn)P關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，求出AB的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖，作∠OAM＝60°，邊AM交直線OQ于點(diǎn)M，作直線PM，由直線y＝x可知，∠MOA＝60°，∴∠MOA＝∠OAM＝60°，∴△OAM是等邊三角形，∴OA＝OM，∵△APQ是等邊三角形，∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∴∠OAQ＝∠MAP，∴△OAQ≌△MAP（SAS），∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，∴PM∥x軸，即點(diǎn)P在直線PM上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，AB即為所求最小值，此時(shí)，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，∴∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝8．故選：C．5．（2022春?于洪區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝2，在邊BC上取兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)），且始終保持MN＝1，線段MN在邊BC上平移，則AM+EN的最小值為．【分析】作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG，過點(diǎn)G作GH∥MN，過點(diǎn)N作NH∥MG，當(dāng)E、N、H三點(diǎn)共線時(shí)，AM+NE有最小值，過點(diǎn)H作HK⊥CD交延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，求出EH即為所求．【解答】解：作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG，過點(diǎn)G作GH∥MN，過點(diǎn)N作NH∥MG，∴四邊形MGHN是平行四邊形，∴NH＝MG＝AM，∴AM+NE＝NH+NE，當(dāng)E、N、H三點(diǎn)共線時(shí)，AM+NE有最小值，過點(diǎn)H作HK⊥CD交延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，∵AB＝5，CE＝2，∴EK＝7，∵M(jìn)N＝1，∴GH＝1，∴HK＝4，在Rt△HKE中，EH＝，∴AM+EN的最小值為，故答案為：．6．（2022春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、P（3，0），過點(diǎn)P作直線l⊥x軸，點(diǎn)B是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到線段AC，則AC+PC的最小值為6．【分析】連接AP，在射線AO上截取AD＝AP，連接BD，作D點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'B，連接DD'，可證明△PAC≌△DAB（SAS），此時(shí)當(dāng)A、B、D'三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CP有最小值，最小值為AD'的長(zhǎng)．【解答】解：連接AP，在射線AO上截取AD＝AP，連接BD，作D點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'B，連接DD'，∵、P（3，0），∴AO＝3，OP＝3，∴tan∠OAP＝，∴∠OAP＝30°，∵∠BAC＝30°，∴∠PAC＝∠CAP，∵AD＝AP，AB＝AC，∴△PAC≌△DAB（SAS），∴CP＝BD，由對(duì)稱性可知BD＝BD'，∴AC+CP＝AB+BD'≥AD'，當(dāng)A、B、D'三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CP有最小值，∵AP＝6，DD'＝6，∴AD'＝6，∴AC+CP的最小值為6，故答案為：6．7．（2022春?五華縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）已知點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（4，2），畫出△ABC經(jīng)過平移后得到的△A1B1C1，寫出頂點(diǎn)A1、B1的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，畫出A1P+BP為最小值時(shí)點(diǎn)P的位置，并求出A1P+BP的最小值．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，可得點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)．（2）過x軸作點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A1B'，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P即為所求，可得A1P+BP＝B'A1，結(jié)合勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．點(diǎn)A1（2，4），B1（3，0）．（2）如圖，點(diǎn)P即為所求．A1P+BP＝B'A1＝＝．∴A1P+BP的最小值為．【三角形全等模型】——K型圖、手拉手模型、倍長(zhǎng)中線模型等1．（2022春?蘭州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點(diǎn)O，在BD上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．56° B．60° C．62° D．64°【分析】根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴∠BDC＝∠BAC＝56°，故選：A．2．（2022?博山區(qū)一模）如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，則∠BOC的度數(shù)是（）A．135° B．125° C．120° D．110°【分析】利用手拉手模型﹣旋轉(zhuǎn)性全等，證明△DAC≌△BAE，可得∠ADC＝∠ABE，最后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∠ADB＝DBA＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC＝∠ABE，∴∠BOC＝∠BDO+∠DBA+∠ABE＝∠BDO+∠DBA+∠ADC＝∠ADB+∠DBA＝60°+60°＝120°，∴∠BOC的度數(shù)是120°，故選：C．3．（2022春?惠濟(jì)區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠BAC＝45°，BE⊥AC交AD，AC于點(diǎn)G，E．連接CG．過點(diǎn)E作EF∥CG交AB于點(diǎn)F，連接FD．則下列結(jié)論：①∠BAD＝∠EBC；②DF∥AC；③AG＝2CD；④AE＝EG+GC．正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)：“三線合一”可得：AD⊥BC，AD平分∠BAC，再利用“等角的余角相等”即可判斷結(jié)論①正確；利用SAS證明△ABG≌△ACG，可得∠ACG＝∠ABG＝45°，進(jìn)而可得AF＝EF＝BF，即點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，得出DF是△ABC的中位線，即可判斷結(jié)論②正確；利用ASA證明△AGE≌△BCE，可得AG＝BC＝2CD，即可判斷結(jié)論③正確；由于BE＝EG+BG，AE＝BE，BG＝CG，即可判斷結(jié)論④正確．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠ACB＝90°，∵∠CAD+∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠EBC，∴∠BAD＝∠EBC．故①正確；∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，在△ABG和△ACG中，，∴△ABG≌△ACG（SAS），∴∠ACG＝∠ABG＝45°，∵EF∥CG，∴∠AEF＝∠ACG＝45°，∴∠BEF＝90°﹣45°＝45°＝∠AEF＝∠BAC＝∠ABE，∴AF＝EF＝BF，即點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，又點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線，∴DF∥AC；故②正確．∵∠CAD+∠ACB＝∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠BAC＝∠ABE＝45°，∴AE＝BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（ASA），∴AG＝BC，∵BC＝2CD，∴AG＝2CD；故③正確．∵AE＝BE，BE＝EG+BG，∴AE＝EG+BG，又∵△ABG≌△ACG，∴BG＝CG，∴AE＝EG+CG；故④正確．綜上所述，正確的有①②③④共4個(gè)．故選D．4．（2021春?杭州期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連結(jié)BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE交AD于點(diǎn)F．△BCE和△AEF的面積分別為S1和S2，若2S1＝3S2，則CE的長(zhǎng)為2．【分析】作輔助線GH過點(diǎn)E，且GH∥AB，構(gòu)造一線三垂直模型，用EH分別表示出S1和S2的值，列出關(guān)于EH的式子，求出EH即可求出CE．【解答】解：如圖，作GH過點(diǎn)E，且GH∥AB，∵∠HBE+∠HEB＝90°，∠HEB+∠GEF＝90°，∴∠HBE＝∠GEF，∵AC為正方形的對(duì)角線，∴CH＝EH，∴HB＝GE，在△HBE和△GEF中，，∴△HBE≌△GEF（ASA），∴GF＝EH，設(shè)EH＝a，AF＝6﹣2a，，，∵2S1＝3S2，∴6a＝3（a2﹣9a+18），解得a＝2，∴CE＝＝2，故答案為2．5．（2021秋?泌陽(yáng)縣期末）如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為30．【分析】證明△BAF≌△EDF（AAS），則S△BAF＝S△EDF，利用割補(bǔ)法可得陰影部分面積．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠D，在△BAF和△EDF中，，∴△BAF≌△EDF（AAS），∴S△BAF＝S△EDF，∴圖中陰影部分面積＝S四邊形ACEF+S△BAF＝S△ACD＝?AC?AD＝×6×10＝30．故答案為：30．6．（2022?武漢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是80．【分析】過點(diǎn)D作DM⊥CI于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥CI于點(diǎn)N，由正方形的性質(zhì)可證得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，F(xiàn)N＝CJ，可證得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，從而可得CN，可得BJ與AJ，即可求解．【解答】解：過點(diǎn)D作DM⊥CI，交CI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥CI于點(diǎn)N，∵△ABC為直角三角形，四邊形ACDE，BCFG為正方形，過點(diǎn)C作AB的垂線CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四邊形ABHL為正方形，∴AL＝AB＝10，∵四邊形AJKL為矩形，∴四邊形AJKL的面積為：AL?AJ＝10×8＝80，故答案為：80．7．（2021秋?長(zhǎng)沙期末）如圖，射線AD平分∠CAB，點(diǎn)F是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)G垂直平分BC于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AB于點(diǎn)H，連接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC．【分析】連接FB，過F作FI⊥AC，垂足為I，根據(jù)HL證明直角三角形的全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：連接FB，過F作FI⊥AC，垂足為I，∵AD平分∠CAB，F(xiàn)I⊥AC，F(xiàn)H⊥AB，∴FH＝FI，又FG垂直平分BC，∴FC＝FB，在Rt△FIC與Rt△FHB中，，∴Rt△FIC≌Rt△FHB（HL），∴CI＝BH，在Rt△FIA與Rt△FHA中，，∴Rt△FIA≌Rt△FHA（HL），∴AI＝AH，∴AB＝AH+HB＝AI+BH＝AC+CI+HB＝AC+2BH，∵AB＝10，BH＝2，∴AC＝6．【等腰三角形的分類討論】1．（2021秋?萊州市期末）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)【分析】根據(jù)題意，要分情況討論：①4是腰；②4是底．必須符合三角形三邊的關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊．【解答】解：①若4是腰，則另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不構(gòu)成三角形，舍去．②若4是底，則腰是8，8．4+8＞8，符合條件．成立．故周長(zhǎng)為：4+8+8＝20．故選：B．2．（2022春?新洲區(qū)期末）已知平面直角坐標(biāo)系中有A（2，2）、B（4，0）兩點(diǎn)，若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【分析】分三種情況，當(dāng)AB＝AC時(shí)，當(dāng)BA＝BC時(shí)，當(dāng)CA＝CB時(shí)，進(jìn)行分析即可解答．【解答】解：如圖：當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交y軸于點(diǎn)C1，C2，當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)C3，C4，當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)C5，交y軸于點(diǎn)C6，∵點(diǎn)A，B，C2三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，∴滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是5，故選：A．3．（2021秋?長(zhǎng)春期末）若△ABC中剛好有∠B＝2∠C，則稱此三角形為“可愛三角形”，并且∠A稱作“可愛角”．現(xiàn)有一個(gè)“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角形的“可愛角”應(yīng)該是（）A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72°【分析】分設(shè)三角形底角為α，頂角為2α或設(shè)三角形的底角為2α，頂角為α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，得出答案．【解答】解：①設(shè)三角形底角為α，頂角為2α，則α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②設(shè)三角形的底角為2α，頂角為α，則2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可愛角”應(yīng)該是45°或72°，故選：C．4．（2021秋?贛縣區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到線段AD'，連接BD'、CD'．若△D'BC是等腰三角形，則α＝30°或60°或150°．【分析】分D'B＝BC或D'B＝BC或D'B＝D'C，三種情形，分別畫出圖形，利用正方形和等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：如圖，當(dāng)D'B＝BC時(shí)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD'＝AD＝AB＝BC＝DB'，∠DAB＝90°，∴△ABD'是等邊三角形，∴∠BAD'＝60°，∴∠DAD'＝150°，即a＝150°；如圖，當(dāng)D'B＝BC時(shí)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD'＝AD＝AB＝BC＝DB'，∠DAB＝90°，∴△ABD'是等邊三角形，∴∠BAD'＝60°，∴∠DAD'＝30°，即a＝30°；如圖，當(dāng)D'B＝D'C時(shí)，連接DD'，∴D'在線段BC的垂直平分線上，∴D'D＝AD'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD'＝AD＝DD'，∴△ADD'是等邊三角形，∴∠DAD'＝60°，即a＝60°，當(dāng)CD'＝BC＝AD時(shí)，此種情況不存在，綜上所述，a的值為：30°或60°或150°，故答案為：30°或60°或150°．5．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）如圖矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，過點(diǎn)P作PE⊥BP，交DC于E點(diǎn)，將△ABP沿直線PE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若△B′PD為等腰三角形，求AP的長(zhǎng)．【分析】設(shè)AP＝x，則PD＝4﹣x，若△B'PD為等腰三角形，則需分以下三種情況進(jìn)行討論：①若B'P＝PD，即BP＝PD；根據(jù)BP＝PD列出方程即可解出；②若B'P＝B'D，過點(diǎn)B'作B'F⊥AD，交AD于點(diǎn)F，證明△