過(guò)關(guān)卷13.3-4 等腰三角形-簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)考點(diǎn)專訓(xùn)（解析版）（人教版）

過(guò)關(guān)卷13.3-4等腰三角形一、選擇題（每小題3分，共36分）1．有下列說(shuō)法：①等腰三角形的腰相等；②等腰三角形的兩底角相等，③等腰三角形的中線、高線和角平分線互相重合；④等腰三角形兩底角的平分線相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高線其中正確的有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別判斷即可．【詳解】解：①等腰三角形的腰相等，故正確；②等腰三角形的兩底角相等，故正確；③等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的高，底邊上的中線互相重合，故錯(cuò)誤；④等腰三角形兩底角的平分線相等，故正確；⑤等腰三角形的腰一定大于或等于腰上的高線，故錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解等腰三角形的性質(zhì)，難度不大．2．如圖，CD是△ABC的邊AB上的中線，且CD＝AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD＝BD B．∠A＝30°C．∠ACB＝90° D．△ADC與△BCD的面積相等【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等底等高的三角形面積相等進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、∵CD是△ABC的邊AB上的中線，∴AD=BD，故A正確，不符合題意；B、不能判定出∠A=30°，故B錯(cuò)誤，符合題意；C、∵CD=CD＝AB，∴CD=AD=BD，∴CD＝AB，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=90°，故C正確，不符合題意；D、∵△ADC與△BCD邊AD和BD上的高相等，且AD=BD，∴△ADC與△BCD的面積相等，故D正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等底等高的三角形面積相等，理解三角形的中線性質(zhì)和等腰三角形的等邊對(duì)等角性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，根據(jù)等邊對(duì)等角與三線合一的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：∵AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD=25°，∴∠BAC=50°，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．如圖，在中，平分，平分，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，若，，，則的周長(zhǎng)是（）A．15 B．16 C．17 D．24【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等邊對(duì)等角得到BE=OE，OF=CF，再進(jìn)行線段的代換即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∵平分，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，同理可得：OF=CF，∴的周長(zhǎng)為AE+AF+EF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=7+8=15．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定“等邊對(duì)等角”，熟知平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和等腰三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列結(jié)論一定正確的是（）A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC【答案】C【分析】證明∠BEC=∠BCE，可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖可知，CD⊥AB，CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．6．在正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，已知線段，以為腰畫(huà)等腰，則頂點(diǎn)C共有（）個(gè)．A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為頂點(diǎn)，可得點(diǎn)C．【詳解】解：如圖，點(diǎn)C共有5個(gè)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的定義結(jié)合網(wǎng)格性質(zhì)畫(huà)圖是解題的關(guān)鍵．7．如圖，直線、交于點(diǎn)，若、是等邊的兩條對(duì)稱軸，且點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)重合），則點(diǎn)、中必有一個(gè)在（）A．的內(nèi)部 B．的內(nèi)部C．的內(nèi)部 D．直線上【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】解：如圖，∵△PMN是等邊三角形，∴△PMN的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)三角形的頂點(diǎn)，∵直線CD，AB是△PMN的對(duì)稱軸，又∵直線CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，∴直線AB一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)M或N，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．8．如圖，等邊中，，點(diǎn)在邊上，，，垂足分別為、，設(shè)，若用含的式子表示的長(zhǎng)，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，∴∠BPD=90°-∠B=30°，∠CDE=90°-∠C=30°，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．9．如圖，△ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則下邊結(jié)論①P在∠A的平分線上；②QP//AR；③△BRP≌△QSP；④QS=SC中正確的有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的判定定理知，①正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)知，∠1=∠2，∠3=∠2，所以∠1=∠3，內(nèi)錯(cuò)角相等，所以PQ∥AR，②正確；根據(jù)AAS證明△BRP≌△QSP，③正確；根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得④正確．【詳解】解：如圖，∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，∴∴點(diǎn)P在∠A的平分線上，故①正確；∵點(diǎn)P在∠A的平分線上；∴∠2=∠3．又∵AQ=PQ，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴QP//AR，故②正確．∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠C．

又∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，

∴∠BRP=∠CSP．

又∵PR=PS，

∴△BRP≌△QSP，故③正確．∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°又QP//AR∴∠PQC=∠BAC=60°∴∠QPC=60°∴△PQC為等邊三角形，∵PS⊥AC∴QS=SC，故④正確∴正確的結(jié)論有①②③④，共4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】充分利用等邊三角形三個(gè)角相等、三線合一等性質(zhì)，找到圖中相等的量，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)進(jìn)行判定．10．若等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則這個(gè)等腰三角形的底角為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】首先根據(jù)題意作圖，然后分別從等腰三角形一腰上的高在內(nèi)部與在外部去分析，根據(jù)直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，則此直角邊所對(duì)的角是30°角，再由等邊對(duì)等角的知識(shí)，即可求得這個(gè)三角形的底角．【詳解】解：如圖①：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵CD=AC，∴∠A=30°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=；如圖②：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵CD=AC，∴∠CAD=30°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B=30°，∴∠B=∠ACB=15°．∴這個(gè)三角形的底角為：75°或15°．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解．11．如圖1．直線，是等邊三角形，點(diǎn)在直線上，邊在直線上，把沿方向平移長(zhǎng)度的一半得到；持續(xù)以上的平移得到圖2，再持續(xù)以上的平移得到圖3，…，則第2021個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)為（）A．8084 B．6064 C．4042 D．2021【答案】A【分析】先得出陰影部分的三角形是等邊三角形，然后觀察圖可得第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè)，小等邊三角形有2n個(gè)，據(jù)此可求解．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴由平移的性質(zhì)可得、、都是等邊三角形，∴觀察圖可得，第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè)，小等邊三角形有2個(gè)，第2個(gè)圖形中大等邊三角形有4個(gè)，小等邊三角形有4個(gè)，第3個(gè)圖形中大等邊三角形有6個(gè)，小等邊三角形有6個(gè)，……；∴由此規(guī)律可得：第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè)，小等邊三角形有2n個(gè)，∴第2021個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)為（個(gè)）；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的性質(zhì)及規(guī)律問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得到規(guī)律．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，且∠ABC＝60°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OA＝OC，作點(diǎn)B關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)B'．連接BB'、OB'、CB'．下列結(jié)論正確的是（）①∠OAB＝∠OCB；②；③當(dāng)時(shí)，．A．① B．①③ C．② D．①②③【答案】D【分析】證明△ABO≌△CBO（SSS），推出∠BAO＝∠BCO，∠ABO＝∠CBO＝30°，故①正確由B，B′關(guān)于OC對(duì)稱，推出OB＝OB′，CB＝CB′，∠CB′O＝∠CBO＝30°，∠BCO＝∠B′CO，故②正確，再證明∠AJK＝∠COK＝90°，可得③正確．【詳解】解：如圖，連接OB，設(shè)AB交于J．，設(shè)OA交于K．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，在△ABO和△CBO中，，∴△ABO≌△CBO（SSS），∴∠BAO＝∠BCO，∠ABO＝∠CBO＝30°，故①正確∵B，關(guān)于OC對(duì)稱，∴，，故②正確，∴，∵，∴OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∵∠OKC＝∠AKJ，∠BCO＝∠B′CO＝∠JAK，∴∠AJK＝∠COK＝90°，∴，故③正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共18分）13．如圖，在△ABC中，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，連接CD，∠ACB=46°，則∠A=_____°．【答案】67【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=46°，∴∠A=（180°-∠ACB）=67°；故答案為：67．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等是解題的關(guān)鍵．14．如圖，中，，將沿平移得到，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】5【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得BE=3cm，AB∥DE，從而得∠EGC=∠BCA，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵將沿平移得到，∴BE=3cm，AB∥DE，∴∠A=∠EGC，∵，∴∠A=∠BCA，∴∠EGC=∠BCA，∴EG=EC=8-3=5cm，故答案是：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平移的對(duì)應(yīng)邊平行且相等，是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD．若，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】2【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴∠A+∠ABC=，∵線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=，∴，∵，∴AD=BD=2CD=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在中，，，AD平分交BC于D，于E，若的周長(zhǎng)是4cm，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)________cm．【答案】4【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CD=DE，然后利用“HL”證明Rt△ACD和Rt△AED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=AE，然后求出AB=△BDE的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∵△BDE的周長(zhǎng)=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，∴AB=4cm．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是利用線段和差把三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AB的長(zhǎng)．17．如圖，，內(nèi)有一定點(diǎn)P，且．在上有一動(dòng)點(diǎn)Q，上有一動(dòng)點(diǎn)R．若周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是________．【答案】8【分析】先畫(huà)出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR的周長(zhǎng)=EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．【詳解】解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°-θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN，連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形，∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分線，∴FR=RP，∴△PQR的周長(zhǎng)=EF，∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=8，即在保持OP=8的條件下△PQR的最小周長(zhǎng)為8．故答案為：8．．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短距離問(wèn)題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，即把求三角形周長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)解答．18．如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，關(guān)于直線，對(duì)稱，的角平分線交邊于點(diǎn)G、連接，當(dāng)?shù)闹档扔赺______時(shí)，為等腰三角形．【答案】10°，25°或40°【分析】首先由軸對(duì)稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三種情況討論解答即可，當(dāng)GD=GF時(shí)，就可以得出∠GDF=80°，根據(jù)∠ADG=40°+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出結(jié)論；當(dāng)DF=GF時(shí)，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，當(dāng)DF=DG時(shí)，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．①當(dāng)GD=GF時(shí)，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．②當(dāng)DF=GF時(shí)，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．③當(dāng)DF=DG時(shí)，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴當(dāng)θ=10°，25°或40°時(shí)，△DFG為等腰三角形．故答案為：10°，25°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵．三、解答題（19題6分，其余每題8分，共46分）19．一艘輪船由南向北航行，在處測(cè)得小島在西偏北方向上，兩小時(shí)后，輪船在處測(cè)小島在西偏北方向上，在小島周圍18海里內(nèi)有暗礁，若輪船仍按15海里時(shí)的速度向前航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？【答案】該船繼續(xù)向北航行有觸礁的危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)已知條件易求海里，再根據(jù)30°角直角三角形的性質(zhì)可得海里，由，即可判定該船繼續(xù)向北航行有觸礁的危險(xiǎn)．【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為．輪船的速度是15海里時(shí)，到的時(shí)間是2小時(shí)，（海里）．處測(cè)得小島在西偏北方向上，兩小時(shí)后，輪船在處測(cè)小島在西偏北方向上，，，，，（海里），，（海里），，該船繼續(xù)向北航行有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，其中輪船有沒(méi)有危險(xiǎn)由PC的長(zhǎng)與18比較大小決定．20．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，將邊繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，，則有，然后問(wèn)題可求證；（2）由（1）可得，然后可得，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∴，由（1）可得，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．如圖所示，在中，．（1）尺規(guī)作圖（尺和圓規(guī)），過(guò)頂點(diǎn)，作的角平分線；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在上任取一點(diǎn)，連接、．①求證：；②當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①見(jiàn)詳解；②見(jiàn)詳解．【分析】（1）利用角平分線的尺規(guī)作圖：以A為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC于M、N，然后分別以M、N為圓心大于MN為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)即可；（2）①由等腰三角形的“三線合一”得到AD所在直線為線段BC的垂直平分線，即可得到答案；②由直角三角形銳角互余和角的相等關(guān)系即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）以A為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC于M、N，然后分別以M、N為圓心大于MN為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)，（2）①如圖，∵，AD平分∠BAC，∴AD所在直線為線段BC的垂直平分線，∴BE=CE，②如圖，延長(zhǎng)BE交AC于F，令射線AE交BC于H，由，AD平分∠BAC，可知∠ABC=∠ACB，AH⊥BC，即∠AHB=90°，∴∠BAD+∠ABC=90°，當(dāng)時(shí)，∠CBE+∠ACB=∠BAD+∠ABC=90°，∴∠BFC=90°，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的“三線合一”是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）試說(shuō)明：DE＝EF；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)；（3）請(qǐng)你猜想：當(dāng)∠A為多少度時(shí)，∠EDF+∠EFD＝120°，并請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）70°；（3）∠A=60°，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系可得BD=CE，利用可SAS證得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”即可得結(jié)論；（2）由等腰的性質(zhì)求得∠B＝∠C＝70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推知∠BDE+∠DEB＝110°；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BDE＝∠FEC，根據(jù)平角的定義即可得答案；（3）由（2）知，∠DEF＝∠B，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠DEF=60°，可得∠B＝60°，推出△ABC是等邊三角形，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，∴BD＝EC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF．（2）∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠BDE+∠DEB＝180°-40°=110°．∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠FEC，∴∠FEC+∠DEB＝110°，∴∠DEF＝180°-110°=70°．（3）當(dāng)∠A＝60°時(shí)，∠EDF+∠EFD＝120°，理由如下：∵∠EDF+∠EFD＝120°，∴∠DEF＝180°-120°=60°，由（2）知，∠DEF＝∠B，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∴當(dāng)∠A＝60°時(shí)，∠EDF+∠EFD＝120°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE與AC交于E．（1）當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠BAD＝°，∠DEC＝°；當(dāng)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD與△DCE全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）25，115，?。唬?）2，理由見(jiàn)解析；（3）可以，80°或110°．【分析】（1）首先利用三角形內(nèi)角和為180°可算出∠BAD＝180°-40°-115°＝25°；再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠DEC的度數(shù)；（2）由三角形全等的性質(zhì)即可知AB＝DC＝2．（3）分類討論當(dāng)①時(shí)和當(dāng)②時(shí)，計(jì)算出的大小即可．【詳解】解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，∴∠BAD＝180°-40°-115°＝25°；∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°，∴∠EDC＝180°-∠ADB-∠ADE＝180°-115°-40°＝25°．∴∠DEC＝180°-40°-25°＝115°，當(dāng)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變??；（2）∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝2．（3）根據(jù)題意可知，故，①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴．②當(dāng)時(shí)，∴，∴．綜上可知，當(dāng)或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．24．如圖1，若△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC各邊上，則稱△DEF是△ABC的內(nèi)接三角形．（1）如圖2，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC各邊上的點(diǎn)，且AD＝BE＝CF，則△DEF是△ABC的內(nèi)接．A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或等邊三角形D．直角三角形（2）如圖3，已知等邊三角形ABC，請(qǐng)作出△ABC的邊長(zhǎng)最小的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（3）問(wèn)題：如圖4，△ABC是不等邊三角形，點(diǎn)D在AB邊上，是否存在△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF？如果存在，如何作出這個(gè)等邊三角形？①探究1：如圖5，要使△DEF是等邊三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我們以點(diǎn)D為角的頂點(diǎn)任作∠EDF＝60°，且DE交BC于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F．我們選定兩個(gè)特殊位置考慮：