專題08 等腰三角形、直角三角形中的分類討論問題專訓(xùn)（原卷版）

專題08等腰三角形、直角三角形中的分類討論問題專訓(xùn)【題型目錄】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓(xùn)題型二直角三角形中的分類討論問題專訓(xùn)【知識梳理】1、等腰三角形中的分類討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可．1.無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論．2.“兩定一動”等腰三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當(dāng)時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）【經(jīng)典例題一等腰三角形中的分類討論問題】【例1】1．（2023春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知，，若點在坐標軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點的個數(shù)是（

）

A．3 B．4 C．6 D．7【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，．點P為直線上一動點，并沿直線從右向左移動，若點P與三個頂點中的至少兩個頂點構(gòu)造成等腰三角形時，則將點P在直線上進行標記．那么滿足條件的點P（不與點B、C重合）的位置有（）A．3個 B．4個 C．6個 D．8個2．（2023春·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，射線于點D，點M為射線上一點，如果點M滿足三角形為等腰三角形，則的度數(shù)為．

3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

4．（2022秋·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等腰中，，，點在線段上運動（點不與點、重合），連接，作，交線段于點．

(1)點運動到圖①位置時，，則_________，________；(2)如圖②，當(dāng)時，求證：(3)在點的運動過程中，的形狀也在變化，判斷當(dāng)是等腰三角形時，等于多少度？（請直接寫出結(jié)果）5．（2022秋·吉林四平·八年級四平市第三中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在中，，，點D在邊上運動（D不與A，B重合），連接，作，交與點E．(1)當(dāng)時，若，則．(2)當(dāng)時，判斷的形狀，并說明理由．(3)在點D運動的過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【知識梳理】2、直角三角形中的分類討論：【解題技巧】1.無圖需分類討論——經(jīng)典運用：已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論．2.“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）③當(dāng)時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）【經(jīng)典例題二直角三角形中的分類討論問題】【例2】（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點、分別是邊長為的等邊的邊、上的動點，點從頂點，點從頂點同時出發(fā)，且它們的速度都是，當(dāng)運動時間為（

）秒時，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，，若動點以的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，設(shè)點的運動時間為秒（），連接，當(dāng)是直角三角形時，的值為（

）

A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或72．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點、分別是邊長為的等邊的邊、上的動點，點從頂點，點從頂點同時出發(fā)，且它們的速度都是，當(dāng)運動時間為（

）秒時，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或3．（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別在邊上勻速運動，它們的速度分別為，，當(dāng)點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為．

（1）當(dāng)時，為等腰三角形；（2）當(dāng)時，為直角三角形．4．（2023春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，平分交于點D，點E是上一個動點．若是直角三角形，則的度數(shù)可以是．5．（2022秋·四川瀘州·八年級四川省瀘縣第四中學(xué)校考期末）如圖1，已知等邊邊長為，點P、Q分別是邊上的動點，點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，且它們的速度都為．連接交于點M．(1)求證：；(2)連接，何時是直角三角形？(3)如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線上運動，直線交于點M，求的度數(shù)．6．（2019秋·廣東佛山·八年級佛山市實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）閱讀材料：

如圖①，在中，，若，則有；利用以上結(jié)論解決問題：如圖②，等邊的邊長為，動點P從點B出發(fā)，以每秒的速度向點A移動，動點Q從點A出發(fā)，以每秒的速度向點C移動，兩動點同時出發(fā)，其中一點到達終點，另一點也隨之停止移動．設(shè)動點P的移動時間為t秒．(1)填空：______（度）；t的取值范圍是_____；(2)試求當(dāng)t取何值時，的形狀是等邊三角形；(3)試求當(dāng)t取何值時，的形狀是直角三角形．【重難點訓(xùn)練】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓(xùn)1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形底角的度數(shù)為（）A． B．或 C． D．或2．（2022秋·浙江·八年級期末）如圖，是等腰三角形，，，BP平分；點D是射線BP上一點，如果點D滿足是等腰三角形，那么的度數(shù)是（

）．A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°3．（2021秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）若以的一邊為邊畫一個等腰三角形，使它的第三個頂點也在的其他邊上，則這樣的等腰三角形最多能畫出（

）A．個 B．個 C．個 D．個4．（2022秋·河南三門峽·八年級?？计谀┤鐖D，在等腰三角形中，，，D為的中點，點E在上，，若點P是等腰三角形的腰上的一點，則當(dāng)為等腰三角形時，的度數(shù)是______．5．（2021秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級呼和浩特市實驗中學(xué)?？计谥校?）等腰三角形一條腰上的中線將它的周長分成12和9兩部分，則腰長為___．（2）若BD是等腰三角形ABC中一條腰上的高，且∠ABD＝50°，則等腰三角形ABC的頂角的度數(shù)為___．6．（2023秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如果一條線段將一個三角形分割成2個小等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“好線”；如果兩條線段將一個三角形分割成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的“好好線”．（1）如圖，在中，，點D在邊上，且，則_____度；（2）在中，和是的“好好線”，點D在邊上，點E在邊上，且，，則的度數(shù)為____________．7．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）在中，，，，在直線BC上取一點P使得是等腰三角形，則可以考慮點P在線段延長線上和______上的情況；當(dāng)點P在線段延長線上時，等腰三角形PAB的腰長為______．8．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，是等腰三角形，平分；點是射線上一點，如果點滿足是等腰三角形，那么的度數(shù)是____．

9．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）很多三角形過它一個頂點的一條直線，可把它分成兩個小等腰三角形．由此，請你探究如下幾個問題．（1）如圖1，在中，，，，直線交于D，求證：與都為等腰三角形；（2）請你在圖2、圖3中，分別過一個你認為合適的三角形頂點畫出一條直線，把它們各自分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所得小等腰三角形兩個底角的度數(shù)（不證明）；（3）在（1）、（2）中，都是將一個等腰三角形，分成兩個小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成兩個小等腰三角形嗎？若能，請你設(shè)計符合上述條件且6個內(nèi)角度數(shù)均不同的兩個三角形，并且分別過一頂點畫一直線分成兩個小等腰三角形；同時標出所得小等腰三角形兩個底角的度數(shù)（不證明）；若不能，請說明理由．10．（2023春·上海長寧·七年級統(tǒng)考期末）在中，，點代別在上，且，聯(lián)結(jié)交于點．

(1)如圖1，是底邊上的中線，且，①試說明的理由；②如果為等腰三角形，求的度數(shù)：(2)如圖2，聯(lián)結(jié)并延長，交延長線于點G．如果，，試說明的理由．11．（2023春·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊中，，現(xiàn)有M、N兩點分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊按順時針方向運動，已知點M的速度為，點N的速度為．當(dāng)點N第一次到達點B時，M、N兩點同時停止運動．

(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊？（提示：有一個角是的等腰三角形是等邊三角形）(3)當(dāng)點M、N在邊上運動時，是否存在以為底邊的等腰？若存在，請求出此時點M、N運動的時間；若不存在，請說明理由．12．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）在中，，點D是上一點，將沿翻折后得到，邊交射線于點F．（友情提示：翻折前后的兩個三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等）

(1)如圖1，當(dāng)時，求證：；(2)如圖2，若，，是否存在這樣的x的值，使得是以為腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．13．（2023春·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）已知在中，，點是邊上一點，．

(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，過點作，垂足為點，與相交于點．①試說明的理由；②如果是等腰三角形，求的度數(shù)．14．（2023春·廣東深圳·七年級深圳外國語學(xué)校?？计谀┤绻粋€三角形被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么這種分割叫做等腰分割，這條線段稱為這個三角形的等腰分割線．如圖1，當(dāng)和為等腰三角形時，為的等腰分割線．

(1)如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證：是的一條等腰分割線．(2)如圖3，在中，，，，請你用兩種不同的方法完成的等腰分割，并直接寫出每種分割之后兩個等腰三角形的頂角度數(shù)．(3)在中，為的等腰分割線，且，，請直接寫出的度數(shù)．15．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點O是等邊內(nèi)一點，以O(shè)C為邊作等邊三角形OCD，連接OD．

(1)求證：；(2)若，，當(dāng)為多少度時，是等腰三角形．題型二直角三角形中的分類討論問題專訓(xùn)1．（2020秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，點P在邊AC上以1cm/s的速度從點A向終點C運動，與此同時點Q在邊AB上以同樣的速度從點B向終點A運動，各自到達終點后停止運動，設(shè)運動時間為t（s），則當(dāng)△APQ是直角三角形時，t的值為（

）A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s2．（2023秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┑冗叺倪呴L為，點、分別是邊、上的動點，點、分別從頂點、同時出發(fā)，且速度都是，則經(jīng)過______秒后，是直角三角形．3．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，點P是BC邊上的動點，設(shè)，當(dāng)為直角三角形時，x的值是______．4．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，等邊三角形中，，于點D，點E、F分別是、上的動點，沿所在直線折疊，使點C落在上的點處，當(dāng)是直角三角形時，的值為______．5．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，中，，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊順時針運動，已知點M的速度為/s，點N的速度為2/s．當(dāng)點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．當(dāng)點M、N運動_____秒后，可得到直角三角形．6．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等邊三角形的邊長是2，點在等邊三角形的邊上（除點外），以為一邊作等邊三角形，頂點、、逆時針排序．若三角形是直角三角形時，則的長度是____________．7．（2022秋·北京順義·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點為中點，若動點以1cm/s的速度出發(fā)，沿著由的方向運動，設(shè)點E運動的時間為秒，連接，當(dāng)為直角三角形時的值為______．8．（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，沿方向勻速運動，點P的速度是，點Q的速度是，當(dāng)Q到達C點時，P、Q兩點停止運動，設(shè)P、Q兩點運動的時間為t秒，若為直角三角形，則t的值是___________．9．（2022秋·浙江金華·八年級浙江省蘭溪市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，P點是射線上的一個動點，，（1）當(dāng)______時，是直角三角形；（2）設(shè)，則滿足______時，是鈍角三角形．10．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在中，若過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關(guān)于點的二分割線．例如：如圖，在中，，，若過頂點的一條直線交于點，且，則直線是的關(guān)于點的二分割線．如圖，已知，同時滿足：①為最小角；②存在關(guān)于點的二分割線，則的度數(shù)為______．11．（2023春·廣東河源·八年級校考期中）如圖，已知是邊長為的等邊三角形，動點P從A點出發(fā)，以的速度向B運動，同時點Q從B點出發(fā)以速度向C運動，當(dāng)Q點到達點時，兩點停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（），則

(1)___________，___________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)t為何值時，是等邊三角形？(3)當(dāng)t為何值時，是直角三角形？12．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖1所示，在邊長為12的等邊中，動點P以的速度從點A出發(fā)，沿線段向點B運動設(shè)點P的運動時間為，．(1)當(dāng)_____時，是直角三角形；(2)如圖2．若另一動點Q從點C出發(fā)，沿線段向點A運動，且動點P，Q均以的速度同時出發(fā)，那么當(dāng)_____時，是直角三角形(3)如圖3，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線方向運動，且動點P，Q均以的速度同時出發(fā)．當(dāng)點P到達終點B時，點Q也隨之停止運動，連接交于點D，過點P作于E，試問線段的長度是否變化？若變化，請說明如何變化；若不變，請求出的長度．13．（2022秋·廣西南寧·八年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等邊中，厘米，厘米．如果點以3厘米/秒的速度運動．(1)如果點在線段上由點向點運動，點在線段上由點向點運動．它們同時出發(fā)，若點的運動速度與點的運動速度相等．經(jīng)過2秒后，和是否全等？請說明理由．(2)在（1）的條件下，當(dāng)兩點的運動時間為多少時，是一個直角三角形？(3)若點的運動速度與點的運動速度不相等，點從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都順時針沿三邊運動，經(jīng)過25秒點與點第一次相遇，請直接寫出點的運動速度是多少厘米/秒？14．（2023春·廣東河源·八年級統(tǒng)