第02講 解直角三角形（解析版）

第02講解直角三角形目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航課程標準1.知道解直角三角形的概念。2.會用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形，并能解決簡單的實際問題。3.會將求非直角三角形中的邊、角問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。知識精講知識精講知識點01解直角三角形1．解直角三角形的概念由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。2．直角三角形中邊角之間的關(guān)系如圖所示，在中，，為銳角，，他們所對的邊分別為a，b，c，其中除直角外，其余的5個元素之間有以下關(guān)系：元素之間的關(guān)系關(guān)系式三邊之間的關(guān)系（勾股定理）銳角之間的關(guān)系邊角之間的關(guān)系除直角外再知道其中的兩個元素（至少有一個元素是邊），利用這些關(guān)系就可以求出其余的三個未知元素。知識點02解直角三角形的常見類型及方法圖示已知條件解法步驟兩邊（1）兩直角邊（a，b）由，求;;（2）一直角邊和斜邊（如（a，c））由，求;;一邊一銳角（3）一直角邊和一銳角銳角，鄰邊（如，b）；；銳角，對邊（如，a）；；（4）斜邊，銳角（如c，）；；注意：1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算。

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊。知識點03求非直角三角形中的邊和角將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，具體可以歸納為以下三種情況：（1）作高，把銳角三角形或鈍角三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形；（2）作高，把平行四邊形、梯形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形；（3）連接對角線，把矩形、菱形和正方形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形。能力拓展能力拓展考法01解直角三角形【典例1】如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上一點，，，F(xiàn)是AD邊的中點，cm，則BE的長為（

）A．6cm B．cm C．cm D．8cm【答案】A【解析】解：∵F是AD的中點，（cm），∴（cm），∵，∴（cm），又∵四邊形ABCD是矩形，∴，，∴，在Rt△ABE中，．故選：A．【即學即練】如圖，在中，，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于點D，若AB=6，則AE的值是（

）A． B． C．3 D．2【答案】B【解析】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴∠A=30°，∴AE=∵AB=6，∴AD=AB=3，∴AE=故選：B．【典例2】如圖，在中，，，，作等腰三角形ABD，使．，且點C不在射線AD上．過點D作，垂足為E．則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由題意可得如圖所示：∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故選C．【即學即練】如圖，在△ABC中，，，，點D是CB延長線上的一點，且，則tan∠DAC的值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】解：在中，，，，，，，．故選：A．考法02解非直角三角形【典例3】在東西方向的海岸線上有，兩個港口，甲貨船從港沿東北方向以海里時的速度出發(fā)，同時乙貨船從港口沿北偏西方向出發(fā)，后相遇在點處，如圖所示．問港與港相距（）海里．A． B． C． D．【答案】B【解析】解：作于點，甲貨船從港沿東北的方向以5海里小時的速度出發(fā)，，，，乙貨船從港沿西北方向出發(fā)，，，，答：港與港相距海里，故選：．【即學即練】已知△AOC，如圖，建立平面直角坐標系，則點A的坐標是（）A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）【答案】B【解析】解：過A作AD⊥x軸，交x軸于點D，在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α，∴AD=csinα，OD=ccosα，則A的坐標為（ccosα，csinα），故選B．【典例4】金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有兩種方式：一種是從西坡上山，如圖，先從A沿登山步道走到點B，再沿索道乘坐纜車到點C；另一種是從北坡景區(qū)沿著盤山公路開車上山到點C．已知在點A處觀測點C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距離AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，長度為2600米，CD⊥AD于點D，BF⊥CD于點F則BE的高度為（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（）A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米【答案】D【解析】解：在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：，∴∠CBF＝30°，∵BC＝2600，∴CF＝1300，BF＝1300，∵CD⊥AD于點D，BF⊥CD，BE⊥AD，∴四邊形BEDF是矩形，∴DE＝BF＝1300，∵AE＝1000米，∴AD＝AE+DE＝1000+1300，∵∠CAD＝37°，∴CD＝AD?tan37°＝（1000+1300）×0.75＝2436.75，∴BE＝DF＝2436.75﹣1300≈1136.8米，答：BE的高度為1136.8米．故選：D．【即學即練】某游客乘坐“金碧皇宮號游船”在長江和嘉陵江的交匯處A點，測得來福土最高樓頂點F的仰角為45°，此時他頭項正上方146米的點B處有架航拍無人機測得來福士最高樓頂點F的仰角為31°，游船朝碼頭方向行駛120米到達碼頭C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD走到點D，再向前走160米到達來福士樓底E，則來福士最高樓EF的高度約為（）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米 B．322.5米 C．350.2米 D．418.5米【答案】B【解析】如圖所示：延長AC和FE交于點G，過點B作BM⊥FE于點M，作DH⊥AG于點H，得矩形ABMG、DHEG，設(shè)DH＝x，則HC＝2x，BM＝AG＝160+120+2x＝280+2x．EG＝DH＝x，∵∠FAG＝45°，∠FGA＝90°，∴∠AFG＝45°，∴FG＝AG，EF＝FG﹣EG＝AG﹣EG＝280+2x﹣x＝280+x，∴FM＝FG﹣MG＝280+2x﹣146＝134+2x，在Rt△FBM中，tan31°＝，即＝0.6，解得x＝42.5，則EF＝280+x＝322.5．故選：B．考法03構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積【典例5】某同學利用數(shù)學知識測量建筑物DEFG的高度．他從點出發(fā)沿著坡度為的斜坡AB步行26米到達點B處，用測角儀測得建筑物頂端的仰角為37°，建筑物底端的俯角為30°，若AF為水平的地面，側(cè)角儀豎直放置，其高度BC=1.6米，則此建筑物的高度DE約為(精確到米，參考數(shù)據(jù)：，)（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】如圖，設(shè)CB⊥AF于N，過點C作CM⊥DE于M，∵沿著坡度為的斜坡AB步行26米到達點B處，∴，∴AN=2.4BN，∴BN2+（2.4BN）2=262，解得：BN=10（負值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，∴ME=11.6，∵∠MCE=30°，∴CM==11.6，∵∠DCM=37°，∴DM=CM·tan37°=8.7，∴DE=ME+DM=11.6+8.7≈26.7（米），故選：C．【即學即練】如圖，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一點，將沿直線AM對折得到，若AN平分，則CN的長為（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】解：如圖，過點N作CD的垂線交于點E由折疊可知：，，∵AN平分∴∴∵∴，∴∴∵，∴∴，∴∴在中，由勾股定理可得：故選：C【典例6】如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，過點D作DG⊥AC于點G，過點B作BH⊥AC于點H，∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG=DO，同理可得：BH=BO，S四邊形ABCD=×AC×DG+×AC×BH=×AC××（DO+BO）=，故選：C．【即學即練】在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，則△ABC的面積為（

）A． B．＋1 C． D．＋1【答案】C【解析】如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴BD＝AD．在Rt△ACD中，∠C＝30°，∴CD＝AD．∵BD＋CD＝BC，∴AD＋AD＝1＋．即AD＝1．∴S△ABC＝×BC×AD＝（1＋）．故選：C．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∵設(shè)BC=3x，則AC=4x，根據(jù)勾股定理可得：，故選：B2．在Rt△ABC中，C90，AB5，AC4．下列四個選項，正確的是（

）A．tanB B．cotB C．sinB D．cosB【答案】C【解析】解：如圖：∵C90，AB5，AC4∴∴，故選項A錯誤，不符合題意；，故選項B錯誤，不符合題意；，故選項C正確，符合題意；，故選項D錯誤，不符合題意；故選：C．3．在中，，，，則的（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】解：如圖，在中，，，，在中，．故選D．4．在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB=，則△ABC的面積等于（）A．15 B． C．6 D．【答案】D【解析】如圖，作BC邊上的高AD，∵sinB=，即，∴，∴AD=3，∴．故選D．5．如圖，一把梯子AB長4米，靠在垂直水平地面的墻上，若梯子與地面的夾角為，則梯子底端A到墻面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵∠ACB=90°，∴cosa=，∴AC=4cosa米，故選：A．6．如圖，某校數(shù)學興趣小組探究活動中要測量河的寬度，該小組同學在河岸一邊上選定一點A，再在河岸另一邊選定點P和點B，使（河的兩岸平行）.若利用測量工具測得為m米，，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可計算得到小河寬度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】解：∵BP⊥AP，∴∠APB＝90°，在Rt△ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α，∴PA＝PB?tanα＝mtanα（米），∴小河寬度PA為mtanα米，故選：C．7．在ABC中，，，，那么的長為________．【答案】6【解析】解：∵在ABC中，，，，∴；故答案為6．8．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，則△ABC的面積是___．【答案】【解析】解：如圖，過點作于點，在中，，即，解得，則的面積是，故答案為：．9．在中，，求．【答案】【解析】解：如圖所示，∵，∴，10．如圖，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于點D，sinA＝（1）求BD的長；（2）求tanC的值．【答案】（1）12；（2）【解析】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于點D，sinA＝∴即解得：BD＝12；（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，∴AD＝5，∴DC＝8，∴tan∠C＝題組B能力提升練1．已知中，，，D是AC上一點，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∠C=90°，∠A=∠CBD，∴，∵，∴，∴BC=2DC，∴在Rt△DCB中，，∴，故選：B．2．如圖，是的高，若，，則邊的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，∴，∵直角中，，∴，∴直角中，由勾股定理可得，．故選D．3．如圖，四邊形ABCD為菱形，O為對角線AC的中點，，，則菱形的周長為（

）A．8 B．4 C． D．【答案】A【解析】解：如圖所示，連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，O是AC的中點，∴AB=BC=CD=AD，O為BD中點，且AC⊥BD，∵∠BAC=30°，∴，∴菱形的周長為AB+BC+CD+AD=8，故選：A．4．如圖，矩形的兩對角線相交于點，若，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AB=CD=1，在Rt△ABD中，tan∠ADB==，∴∠ADB=30°．故選：B．5．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為AD的中點，連接OE，，，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【解析】是菱形，E為AD的中點，，．是直角三角形，．，，，．，即，，．故選：C．6．在平面直角坐標系中，一象限內(nèi)射線OA與x軸正半軸的夾角為α，點P在射線OA上，若，則點P的坐標可能是（）A．（3，5） B．（5，3）C．（3，4） D．（4，3）【答案】D【解析】解：過點P作PB⊥x軸于點B，∵cosα＝，∴可假設(shè)OB＝4，則OP＝5，∴PB＝，∴點P的坐標可能是（4，3）．故選：D．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CD，則AB的長為_______．【答案】6【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC∠ABC＝30°，在Rt△BDC中，CD，∴tan30°，∴BC3，∴AB＝2BC＝6，∴AB的長為6，故答案為：6．8．如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD=CE=2，則△ABP的周長為_____．【答案】【解析】解：如圖所示，過點E作EF⊥AB于F，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，∵CE=BD=2，AB=AC=6，∴AE=4，∴，∴BF=4，∴，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∵∠BDP=∠ADB，∴△BDP∽△ADB，∴，∴，∴，∴，∴△ABP的周長，故答案為：．9．一天小明與父親爬山，在停車場附近看到了一棵樹，小明想測量這棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上（如圖所示），此時測得地面上的影長為12米，坡面上的影長為5米、斜坡的坡角為30°，同一時刻，一根長為1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影長為2.5米，求這棵樹的高度（結(jié)果精確到0.1米）．【答案】9.0米【解析】解：延長AC、BF交于點D，過點C作CE⊥BD于E，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，∠CFE=30°，CF=5，∴CE=2.5（米），EF=5cos30°=（米），∵同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2.5米，∴，∴DE=2.5CE=（米），∴BD=BF+EF+DE=12++6.25=18.25+（米），，，∴AB=BD÷2.5=（18.25+）≈9.0（米），答：這棵樹的高度約為9.0米．10．如圖，在中，，D是的中點，連接，過點B作的垂線，交延長線于點E．已知．(1)求線段的長；(2)求的值．【答案】(1)25(2)【解析】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=30，∴cosA=，解得：AB=50.∵△ACB為直角三角形，D是邊AB的中點，∴CD==25．（2）解：在Rt△ABC中，.又∵AD=BD=CD=25，設(shè)DE=x，EB=y，則在Rt△BDE中，①，在Rt△BCE中，②，聯(lián)立①②，解得x=7∴．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，等腰三角形ABC中，，，D為AC上一點，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖：過點D作DE⊥AB于點E，∵等腰三角形ABC，，，∴∠A=45°，因為DE⊥AB，∴∠DEA=90°∴∠EDA=∠DAE=45°，∴?DEA為等腰直角三角形，在Rt?ABC中，∵AD=2∴AE=ADsin45°=2∵∠DBE=∠ABC-∠DBC=45°-15°=30°∴在Rt?DBE中BD=2DE=2×2=4，在Rt?DBC中，設(shè)BC=x，則CD=x-2由勾股定理可得，，∴，解得：（舍去），所以sin∠BDC=，故選：A2．如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】解：過點A作AD⊥BC于點D，連接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四邊形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，則CE=AD=2，當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在CE的中點N處，當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∴CF=BF-BC=6,∵點N是CE的中點，點M是EF的中點，∴MN=CF=3，∴點M的運動路徑長為3，故選：B．3．在Rt△ABC中，，，若，則AB的長為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如圖所示，在Rt△ABC中，，，若，則根據(jù)∴，∴,故選：A．4．如圖，某商場準備將自動扶梯改造成斜坡式.已知商場的層高為6m，為，改造后扶梯的坡比是，則改造后扶梯相比改造前增加的長度是（）A．6m B．m C．m D．m【答案】D【解析】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∴，∵AB=6，∴，∵,∴BD=2AB=12，∴，∴．故選：D．5．如圖，四邊形為正方形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，點，，在同一直線上，與交于點，延長與的延長線交于點，，．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】解：∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵為正方形，，，在同一直線上，∴，∴，故①正確；∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；設(shè)正方形邊長為a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正確；過點E作交FD于點M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正確綜上所述：正確結(jié)論有4個，故選：D6．如圖，在中，，．矩形的頂點、、分別在邊、、上，若，則矩形面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】C【解析】解：過點作，垂足為，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，矩形的面積，當時，矩形的面積最大值為：，故選：C．7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，則＝_____．【答案】【解析】過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于點D，如圖所示