第10講 二次函數(shù)單元復(fù)習(xí)（原卷版）

第10講二次函數(shù)單元復(fù)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會二次函數(shù)的意義；

2．會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)；

3．會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸(公式不要求記憶和推導(dǎo))，并能解決簡單的實際問題；

4．會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。知識精講知識精講知識點01二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù)。

注意：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)。這里，當(dāng)a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零。a的絕對值越大，拋物線的開口越小。知識點02二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時

開口向上

當(dāng)時

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2．拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點。

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3．拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，

故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側(cè).

(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.

當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：

①，拋物線經(jīng)過原點；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.

以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.

4．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.(可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).注意：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．知識點03二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系函數(shù)，當(dāng)時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個不等實數(shù)解方程有兩個相等實數(shù)解

方程沒有實數(shù)解注意：二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根。

知識點04利用二次函數(shù)解決實際問題利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義。

利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

(2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標(biāo)聯(lián)系起來；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.注意：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、橋梁、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.能力拓展能力拓展考法01求二次函數(shù)的解析式【典例1】已知拋物線的頂點坐標(biāo)是，且與y軸交于點，這個拋物線的解析式是（

）A． B．C． D．【即學(xué)即練】已知拋物線經(jīng)過點，且該拋物線的對稱軸經(jīng)過點A，則該拋物線的解析式為（）A． B． C． D．【典例2】如圖，將二次函數(shù)的圖像沿軸對折，得到的新的二次函數(shù)的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】若拋物線與拋物絨的頂點重合，且與軸的交點的坐標(biāo)為，則拋物線的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．考法02根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)判斷代數(shù)式的符號【典例3】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【即學(xué)即練】二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象大致是(

)．A． B．C． D．【典例4】如圖，已知開口向下的拋物線與x軸交于點對稱軸為直線．則下列結(jié)論：①；②；③函數(shù)的最大值為；④若關(guān)于x的方數(shù)無實數(shù)根，則．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【即學(xué)即練】在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考法03函數(shù)與一元二次方程【典例5】已知拋物線（，，是常數(shù)，）經(jīng)過點和，其對稱軸在軸左側(cè)．有下列結(jié)論：①拋物線經(jīng)過；②有兩個不相等的實數(shù)根；③，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【即學(xué)即練】已知拋物線（a，b，c為常數(shù)，）經(jīng)過點，，其對稱軸在y軸左側(cè)．有下列結(jié)論：①；②拋物線經(jīng)過點；③方程有兩個不相等的實數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例6】已知拋物線經(jīng)過點，，則關(guān)于的一元二次方程的解為（

）A．或 B．或C．或 D．或【即學(xué)即練】如圖，拋物線過點（1，0）和點（0，－2），且頂點在第三象限，設(shè)p＝a－b＋c，則下列判斷錯誤的是（

）A．a(chǎn)＋b＝2 B．方程有兩個不相等的實數(shù)根C．0＜b＜2 D．－1＜p＜0考法04二次函數(shù)與實際問題【典例7】從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．則下列結(jié)論不正確的是（）A．小球在空中經(jīng)過的路程是40m B．小球運動的時間為6sC．小球拋出3s時，速度為0 D．當(dāng)s時，小球的高度m【即學(xué)即練】如圖，將一個小球從斜坡的點O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．小球落地點距O點水平距離為7米B．小球距O點水平距離超過4米呈下降趨勢C．當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時，小球距O點水平距離為3mD．小球距斜坡的最大鉛直高度為【典例8】如圖，矩形中，，動點P沿著的路徑勻速運動，過點P作，垂足為Q，設(shè)點P的運動路程為x，以B，C，P，Q為頂點的四邊形的面積為y，則y與x的大致函數(shù)圖象為（

）A． B．C． D．【即學(xué)即練】某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為和，其中x為銷售量（單位：輛）．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得最大利潤為（

）A．45.51萬元 B．45.56萬元 C．45.6萬元 D．45.606萬元分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．拋物線先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，所得拋物線是（

）A． B．C． D．2．拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．3．由二次函數(shù)y＝2（x﹣3）2＋1，可知（

）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的頂點坐標(biāo)為（3，1）C．其圖象的對稱軸為直線x＝﹣3 D．當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而增大4．在體育選項報考前，某九年級學(xué)生對自己某次實心球訓(xùn)練的錄像進行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y(米)與水平距離x(米)之間的關(guān)系為y=，由此可知該生此次實心球訓(xùn)練的成績?yōu)?

)A．6米 B．10米 C．12米 D．15米5．已知拋物線過點(2，2)，則m的值為(

)A．1 B．4 C．3 D．06．二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc>0；②若(?3，y1)，(4，y2)在拋物線上，則y1<y2；③當(dāng)?1<x<3時，y<0時；④8a+c>0．其中正確的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④7．二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線_________________；8．二次函數(shù)的圖象如圖，對稱軸為直線．（1）_________；（2）若直線與拋物線在的范圍內(nèi)有兩個交點，則t的取值范圍是___________．9．一條拋物線由拋物線平移得到，對稱軸為直線，并且經(jīng)過點．(1)求該拋物線的解析式，并指出其頂點坐標(biāo)；(2)該拋物線由拋物線經(jīng)過怎樣平移得到？10．如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器，發(fā)射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發(fā)射點20米時達(dá)到最大高度10米．將發(fā)石車置于山坡底部O處，山坡上有一點A，點A與點O的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，AB是高度為3米的防御墻．若以點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；(2)試通過計算說明石塊能否飛越防御墻AB；(3)在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面OA的最大距離．題組B能力提升練1．已知點，在拋物線上，且與x軸的交點為和．當(dāng)時，則，應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，對于二次函數(shù)，下列說法中錯誤的是（

）A．y的最小值為1B．圖象頂點坐標(biāo)為（2，1），對稱軸為直線x=2C．當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)時，y的值隨x值的增大而減小D．它的圖象可由的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到3．若兩個不相交的函數(shù)圖像在豎直方向上的最短距離稱為這兩個函數(shù)的“和諧值”．則拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝x﹣2的“和諧值”為（）A．3 B．2 C． D．4．若函數(shù)y＝ax2﹣x+1（a為常數(shù)）的圖象與x軸只有一個交點，那么a滿足(

)A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)≤ C．a(chǎn)＝0或a＝﹣ D．a(chǎn)＝0或a＝5．一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）26．如圖所示，在中，，且，設(shè)直線截此三角形所得的陰影部分的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A． B． C． D．7．已知二次函數(shù)的圖像頂點在x軸上，則_________8．如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標(biāo)分別為A(﹣3，6)，B(1，3)，則方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．9．某件產(chǎn)品的成本是每件10元，試銷售階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表所示．x/元15203035y/件2520105(1)觀察以上數(shù)據(jù)，根據(jù)我們所學(xué)到的一次函數(shù)、二次函數(shù)，回答：y是x的什么函數(shù)？并求出解析式．(2)要使得每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少？此時每日的銷售利潤是多少？10．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；(3)將該二次函數(shù)的圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，請在圖中直接畫出平移后的二次函數(shù)的大致圖象，并寫出平移后的圖象與軸的另一個交點的坐標(biāo)．題組C培優(yōu)拔尖練1．若A(，)，B(，)，C(1，)為二次函數(shù)圖象上的三點，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．如圖，點A是拋物線圖象在第一象限內(nèi)的一個動點，且點A的橫坐標(biāo)大于1，點E的坐標(biāo)是（0，1），過點A作AB軸交拋物線于點B，過A、B作直線AE、BE分別交軸于點D、C，設(shè)陰影部分的面積為，點A的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．3．如圖，是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（

）A．x＞3 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣14．已知二次函數(shù)的y與x的部分對應(yīng)值如表：x－10234y50－4－30以下結(jié)論，①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線；③當(dāng)時，；④若是拋物線上兩點，則，其中正確的是（

）A．①② B．②③④ C．①③ D．①②④5．拋物線與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點，為圖形G上兩點，若，則m的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．6．拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點位于第二象限，其部分圖像如圖所示，給出以下判斷：①且；②；③；④；⑤直線與拋物線兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，則．其中正確的個數(shù)有（