2023年江西省八所重點中學(xué)高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（3月份）及答案解析

2023年江西省八所重點中學(xué)高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（3月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合用={%氏2-1WO},N={-l,0,l},則MCN=（）

A.{-1,0}B.{1}C.{-1,0,1）D.0

2.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667—1754）發(fā)現(xiàn)的公式（cosx+ismx）n=cosnx+isinnx推動了復(fù)

數(shù)領(lǐng)域的研究.根據(jù)該公式，可得（cos±+isin》4Q+2i）=（）

A.1+2iB.-2+iC.1—2iD.-2—i

3.已知f服從正態(tài)分布N（2,cr2）,a&R,當(dāng)P（f>a）=0.5時，關(guān)于x的二項式（ax+服尸的

展開式的常數(shù)項為（）

A.1B.4C.6D.12

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點4（0,-2）,點P為直線2x-4y+3=0上一動

點,則|PA|+|PB|的最小值是（）

A.屋B.4C.5D.6

5.已知一袋中有標(biāo)有號碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，

當(dāng)四種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取5次卡片時停止的概率為（）

A75口135「2n3

A，5125120?百32

6.意大利著名天文學(xué)家伽利略曾錯誤地猜測鏈條在自然下垂時的形狀是拋物線.直到1690

年，雅各布?伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數(shù)學(xué)界征求答案.1691年他的弟弟

約翰?伯努利和萊布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表達(dá)式一雙

X_x

曲余弦函數(shù)：f（x）=c+acos吟=C+a?齒手一五，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.當(dāng)c=0,Q=1時，

記口=f（/。為/6=/（/）,幾=/（I），則P，m，幾的大小關(guān)系為（）

A.p<m<nB.m<n<pC.m<p<nD.p<n<m

7.已知正三棱錐的側(cè)棱長為I,其各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為16兀，且2W1W

2/N，則該正三棱錐體積的取值范圍是()

A.[學(xué),2/3]B.[<7,2<3]C.[yT3,3^]D.[胃,34]

8.在△ABC中，AC=6,BC=8,NC=90。/為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=2,則

方?麗的取值范圍是()

A.[-20,12]B.[-12,20]C.[-16,24]D.[-24,16]

9.己知函數(shù)/'(X)=5sin(a)x+0)(3>0,切=-，為/'(%)的零點，刀出為/⑺圖象

的對稱軸，如果存在實數(shù)沏，使得對任意的實數(shù)X,都有f(Xo-看)Sf(X)S/(Xo)成立，當(dāng)3

取最小值時()

A./(x)在[0總上是增函數(shù)B./(%)在[一盤為上是增函數(shù)

C./(%)在[0,骸上是減函數(shù)D./(x)在[-5堵]上是減函數(shù)

10.如圖，正方體ZBCD-4B1GD1的棱長為6,4"點P是?___________r

2Z---------------------71LI

底面4BCD內(nèi)的動點，且P到平面4DD1&的距離等于線段PM的長度，A1

則線段B]P長度的最小值為(

A.2AT6

AMB

B.2<l3

C.3<6

D.3V-l3

11.已知橢圓C：務(wù)，=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi，6?點2在。上且位于第一象

限，圓01與線段&P的延長線，線段PF2以及X軸均相切，的內(nèi)切圓為圓。2.若圓01與

圓。2外切，且圓。1與圓。2的面積之比為9,則C的離心率為()

D.2

12.若存在實數(shù)k和m使得函數(shù)門x)和g(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)T都滿足：gQ)<

kx+m<f(x)恒成立，則稱此直線y=kx+zn為f(x)和g(x)的“分離直線”.有下列命題：

(T)/(x)=/和g(x)=abix之間存在唯一的“分離直線"y=2Vex-e時a=2e；②/'(x)=

/和g(x)="x<0)之間存在“分離直線”，且m的最小值為一4,則()

A.①、②都是真命題B.①、②都是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是真命題，②是假命題

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

X+y>2

13.若x,y滿足約束條件x+2yW4,則2=》一、的最小值是.

,y>0

14.函數(shù)f(x)=翳的單調(diào)遞增區(qū)間為.

15.設(shè)雙曲線鳥一馬=l(a>0,6>0)的左，右焦點分別為Fi，尸2,左，右頂點分別為4B,

以4B為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第四象限的交點為P,若/MF2為等腰三角形，則直線PF?

的斜率的大小為.

16.首項為0的無窮數(shù)列｛廝｝同時滿足下面兩個條件①|(zhì)即+1-即|="5=1,2,3,...)；

②an<展(n=1,2,3,...),求S2023的最大值.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

在AABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,acosB-2acosC=(2c—b)cosA.

(1)若。=以求cosB的值；

(2)若b=3,NB4C的平分線4。交BC于點D,求4。長度的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD_L平面BCD,AB=AD,。為BD的中點.

(1)證明：04_LCD；

(2)己知AOCD是邊長為1的等邊三角形，己知點E在棱4。的中點，且二面角E-BC-。的大

小為45。，求三棱錐4-BCD的體積.

19.(本小題12.0分)

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過4(一4,0),B(4,0),C(2,3)三點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若過右焦點尸2的直線，(斜率不為0)與橢圓E交于M,N兩點、,求直線4M與直線BN的交點的

軌跡方程.

20.(本小題12.0分)

某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對某款血夜試劑進(jìn)行試生產(chǎn).

(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四

道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款血夜試劑在生產(chǎn)中，前三道工序

的次品率分別為為=P2=l，P3=

①求批次/的血液試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率B；

②第四道工序中智能自動檢測為次品的血液試劑會被自動淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線

并由工人進(jìn)行抽查檢驗.已知批次I的血液試劑智能自動檢測顯示合格率為95%,求工人在流

水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率(百分號前保留兩位小數(shù))：

(2)已知某批次血液試劑的次品率為p(0<p<1),設(shè)100個血液試劑中恰有1個為不合格品的

概率為0(p)，求(p(p)的最大值點Po.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=%ex-1+2ax-a,g(x)=ln(x+1)—%.

(1)當(dāng)Q=2時，求y=f(x)在點(1/(1))處的切線方程；

(2)對于在(0,1)中的任意一個常數(shù)b,是否存在正數(shù)殉，使得"(工。)+2詔-1<0,請說明理

由；

(3)設(shè)九(冗)=/(x)-ag(x-1)-4ax+2a,%是九(%)的極小值點,且似%。>0,證明：/i(xt)>

22.(本小題10.0分)

(t2,11

I%=~+~2-1

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為《4t、^?>0，1為參數(shù))?

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知直線1：x-y-2=0與x軸的交點為尸，且曲線C與直線2交于4B兩點，求|凡4|+|FB|

的值.

23.(本小題12.0分)

設(shè)a,b,c為正數(shù)，且a+b+c=l.

(1)證明a?+b2+c2>|；

(2)證明(層+非+仁僅捻+白+盤)*.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因為M={x\x2-1<0}={x|-1<x<1},N=[-1,0,1).

則MCN={-1,O,1}.

故選：C.

先求出集合M,然后結(jié)合集合交集運算即可求解.

本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可知(cosg+isiWT=cos(4x2)+isin(4x2)=i,

OOOo

故(cosj+isin》4(i+2i)=i(l+2i)=-2+i.

oo

故選：B.

根據(jù)題中定義化簡式子，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法計算即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：因為f服從正態(tài)分布NR,/),p6>a)=0.5,

所以a=2,

二項式(2x+喪尸的展開式的第k+1項幾+1=C《(2x)3-k(毋=C^23-kx3~3k,

令3-3k=0,可得k=1,

所以二項式(ax+5)3的展開式的常數(shù)項為&=盤x22=12.

故選：D.

由正態(tài)分布性質(zhì)求a,再由二項式展開式通項公式求(ax+1廠的展開式的常數(shù)項.

本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：設(shè)點4(0,-2)關(guān)于直線2x-4y+3=0的對稱點為A'(x,y),

所以|PA|+\PB\=\PA'\+\PB\>\A'B\=J簽+*=%

當(dāng)且僅當(dāng)點P為線段AB與直線2x-4y+3=0的交點時等號成立，

所以|P4|+|PB|的最小值是4.

故選：B.

求點4(0,-2)關(guān)于直線2x-4y+3=0的對稱點A的坐標(biāo)，由此可得|P川+\PB\=\PA'\+\PB\,

結(jié)合結(jié)論兩點之間線段最短可求|P川+|PB|的最小值.

本題主要考查點到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：依題意，

恰好取5次卡片時停止，說明前4次出現(xiàn)了3種號碼且第5次出現(xiàn)第4種號碼，

3種號碼出現(xiàn)的次數(shù)為2,1,1,則有用、番*饕*1=144,

恰好取5次卡片時停止的概率為署=卷.

故選：C.

恰好取5次卡片時停止，說明前4次出現(xiàn)了3種號碼且第5次出現(xiàn)第4種號碼，3種號碼出現(xiàn)的次數(shù)為

2,1,1,可以分步完成，先確定前3種號碼出現(xiàn)的順序，再分別確定這三種號碼出現(xiàn)的位置，最

后讓第4種號碼出現(xiàn)有一種方法，相乘即可.

本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：當(dāng)c=0,a=l時，/(乃=竺尹，其定義域為R,所以/(-x)=寶絲=/(盼，則

/(%)為偶函數(shù)，

所以P=/。。以；)=/(-^32)=f(log32),

又當(dāng)x>0時，f'(x)=史尹>0恒成立，所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

22

-O-2

e3>e<e3

又log31=0<log32<log33=1,1，所以，0。32<則加。費2)<61)</(向，

故p<n<m.

故選：D.

確定雙曲余弦函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)指對幕大小關(guān)系，即可得p,m,n的大小關(guān)系.

本題主要考查函數(shù)值大小的比較，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查運算求解能力與邏輯

推理能力，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)球的半徑為R,

因為%；=4兀R2=16兀，

所以正三棱錐外接球半徑R=2,

設(shè)△ABC的外接圓的圓心為D,

因為P—ABC是正三棱錐，所以PD1平面4BC,

設(shè)外接球球心為。，則。。平面48C,

所以O(shè)D〃PD,故點0在直線PD上，

當(dāng)球心。與點P在平面2BC的異側(cè)時或球心在平面4BC內(nèi)時，

如圖所示，OD=a(OSa<2),

所以O(shè)P=。4=2,AD=VOA2-OD2=V4-a2,

因為(2-a)2+4-a2=I2,2<l<2/7,

解得1,

所以0<a<1,

又因為N/1OB=—,所以AB=BC=AC=3xV4-a2>

所以SMBC=2x4BxACxsin———―-—(4—a?),

=x22

所以Vp_.Bc|S^ABCxPD=1x(4—a)x(2—a)=?(a，-2a-4a+8),

令/(a)=a3—2a2—4a+8,0<a<1,

由/'(a)=3a2-4a-4=(a-2)(3a+2)<0,

所以f(a)在［0,1］遞減,

又f(0)=8,f(l)=3,

所以當(dāng)a=0時，即，=2A/"7時，

三棱錐P-4BC的體積取最大值，最大值為2C，

當(dāng)a=1時，即/=2時，

三棱錐P-4BC的體積取最小值，最小值為學(xué)；

當(dāng)球心。與點P在平面ZBC的同側(cè)，

如圖所示，設(shè)OC=a(0<a<2),

由已知OP=OA=2,AD=VOA2-OD2=V4-a2-

因為(a+2)2+4-a2=I2,2<l<20,

解得—IWaWO,矛盾；

綜上，正三棱錐體積的取值范圍是［手,2仁］.

故選：A.

由外接球表面積求出半徑，設(shè)球心到底面距離為a,由三角函數(shù)關(guān)系解出底面三角形面積，由此可

確定正三棱錐體積關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系.

本題考查正三棱錐體積的計算，考查分類討論思想，函數(shù)思想以及運算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：而=不一而，而=而一方，刀?麗=(N-而)?

(CB-CP)=CA-CB-CP-(CA+CB)+CP2<

如圖所示，CA+CB=CD,---------------\(J

即PA-PB=CACB-CP-CD+CP=4-\CP\-\CD\cosd=4-20cos。，

則兩?麗的取值范圍為［-16,24］.

故選：C.

根據(jù)△4BC的幾何關(guān)系將刀和而進(jìn)行展開，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可求出范圍.

本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：已知函數(shù)〃x)=5s譏(3X+w)(3>O,\(p\<^),x=一瀝/(%)的零點，x4為f(x)圖

象的對稱軸，

則—+@—七兀,Ze】GzQ),—(ji)+(p=2+伍兀,七ez②)，

由@可得：3=1+2k,<p=兀+(k,k］,k2GZ),

又則或卬=一%

又存在實數(shù)沏，使得對任意的實數(shù)X,都有f(a-工)</(%)</(右)成立，

則37+717=^,7162,故(o=13+26n,neZ,又3>0,且3=1+2k(k€Z),

則3mm=13,由②得此時尹=%

則/(x)=5sin(13x+》，函數(shù)在R上的增區(qū)間滿足-5+2kn<13x+1<^+2kn,kGZ,

所以一段+等?！炊?等，卜一，

則/(x)=5sin(13x+?的增區(qū)間為卜居+轡選+得］,keZ,

所以/(x)在［-治堵］上是增函數(shù).

故選：B.

根據(jù)正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)確定3,9的取值情況，再利用已知不等式，縮小3的取值情況，即可

得3的最小值，從而得0的值，根據(jù)/(X)的解析式求得f(x)在R上的增區(qū)間，即可判斷選項得答案.

本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：在正方體48(7。一41當(dāng)?shù)摹?中，

點P到平面2。。遇1的距離即為點P到直線4D的距離，

在正方形力BCD中，如圖，以4為原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則B(6,0),M(4,0),設(shè)P(x,y),

則|PM|=V(x-4)2+y2,

因為P到平面ADD1&的距離等于線段PM的長度，

所以(X—4)2+y2=%2,所以y2=8x-16,

貝=(%—6)2+y2=%2—4%+20,

因為_L平面4BC。，BPu平面4BCD,

所以1BP,則由建|=V36+x2-4x+20=Vx2-4x+56.

則當(dāng)久=2時，=

故選：B.

由題意點P到平面ADZMi的距離即為點P到直線AD的距離，在正方形4BCD中，以4為原點建立平

面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y),根據(jù)題意求出尤，y的關(guān)系式，再根據(jù)勾股定理結(jié)合二次函數(shù)即可得解.

本題考查坐標(biāo)法求解兩點間距離問題，函數(shù)思想，屬中檔題.

11.【答案】A

【解析】解：由已知及平面幾何知識可得圓心。1、。2在NPaF2的角平分線上.如圖:

設(shè)圓。1、。2與x軸的切點分別為4,B,由平面幾何知識可得，直線PF2為兩圓的公切線，

切點。也在NP&E的角平分線上，所以|PFJ=IF/2I=2c,

由橢圓的定義知|Pa|+\PF2\=2a,則IPF2I=2a-2c,

所以儼2。|=||PF2|=a-c,

所以IF2川=\F2B\=\F2D\=a-c,

所以因川=因尸21+1?2*=2c+a-c=a+c,\F^B\=IF/2I一血司=2c-a+c=3c-a.

又圓。1與圓。2的面積之比為9,

所以圓01與圓。2的半徑之比為3,

因為。28〃。]4所以黑=鬻!，

即至?=9，整理得4a=8c,故橢圓C的離心率6=￡=1

a+c3a2

故選：A.

設(shè)圓。1、。2與％軸的切點分別為4B,圓心01、。2在4PF/2的角平分線上，從而切點。也在心「居尸2

的角平分線上，所以|PF1|=\F,F2\=2c,由切線的性質(zhì)求得陽川，由圓面積比得半徑比匿｝,

然后由相似形得出a,c的關(guān)系式，從而求得離心率.

本題主要考查了求橢圓的離心率，考查了橢圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】A

【解析】解：對于命題①，函數(shù)f(x)=M和g(x)=2"nx的圖像在久=，3處有公共點,

若存在f(x)和g(x)的隔離直線，那么該直線過這個公共點

設(shè)隔離直線的斜率為k,則隔離直線方程為y—e=fc(x—Ve),即y=kx-k^T~e+e,

由f(%)>kx-ky/~~e+e(x>0)恒成立，即/—fc%+ky[~e—e>0(%>0)恒成立，

(i)當(dāng)k=0時，則/>e(x>0)不恒成立，不符合題意；

(ii)當(dāng)AVO時，令"(%)=%2一版+“7一°(無〉0),對稱軸％=2V0,“(%)在(0,小)上單調(diào)遞

增，且〃(V~Z)=O,故kV0不恒成立，不符合題意；

(山)當(dāng)/c>0時，令〃(%)=x2-/ex+k>T~e—e(x>0),對稱軸x=g>0,

則〃(%)e譏=〃(今=一號+ky/~~e—e=-(&-2J)>o，只有k=2y[~e>即直線y=2y/~~ex—e,

下面證明g(%)=2elnx<2y/~~ex—e,令G(%)=2V-ex—e—2elnx,

求導(dǎo)G'(x)=2「令G，(x)=O,得X=，7,

當(dāng)％e(o,，7)時，G'Q)<0,函數(shù)G(x)在區(qū)間(0,上單調(diào)遞減；

當(dāng)％W(/7,+8)時，G'(%)>0,函數(shù)G(x)在區(qū)間+8)單調(diào)遞增；

故當(dāng)x=/Z時，函數(shù)GQ)取得極小值，也是最小值，故G(%)Z0,即g(%)42G-。

所以/(%)=/和g(久)=2e之間存在唯一的隔離直線y=2>J_ex—e,

所以命題①是真命題；

對于命題②，設(shè)f(x)=/和g(%)=i(%<0)的隔離直線為y=〃％+m,

則,對任意￡<0恒成立，即；2/對任意X<°恒成立，

[-<fcx+m(kx2+mx-1<0

由k/+mx—1<0恒成立，得k<0,

⑷當(dāng)k=0時，則m=0符合題意；

(五)當(dāng)k<0時，則—kx—mN0對任意％<0恒成立，令九(x)=x2-kx-m(x<0),

對稱軸％=^<0,需4=爐+4m<0,即/<-4m,故m<0,

令d(%)=k/+mx-1(%V0),對稱軸％=一養(yǎng)W0,需4=病+軟工0,

即?n2<—4k,所以8<16m2<—64k,故一4<fc<0,

同理可得<16k2<—64m,即—4<m<0,

故m的最小值為-4,

故命題①正確，命題②正確；

故選：A.

命題①，/(%)=/和。(久)=2包九%有公共點(J[e),故隔離直線過該點，設(shè)為點斜式，結(jié)合二

次函數(shù)性質(zhì)對參數(shù)分類討論，即可求解；

命題②，設(shè)隔離直線為y=kx+b,則年”“一小2°對任意x<0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)

\KX+TITX—1工0

對參數(shù)分類討論，即可求解.

本題考查函數(shù)的新定義“隔離直線”，解題中理解“隔離直線”的定義，注意利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的單調(diào)性及最值時解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題.

13.【答案】-2

【解析】解：如圖，作出約束條件的平面區(qū)域，如圖所示陰影部分,

將目標(biāo)函數(shù)z=x-y變形得y=x-z,

所以根據(jù)其幾何意義可得，當(dāng)直線、=》-2經(jīng)過點4（0,2）時，其縱截距最大，即目標(biāo)函數(shù)z取到最

小值,

所以Z=X-y的最小值是Zmin=0-2=-2.

故答案為：—2.

根據(jù)線性約束條件確定可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特點確定最小值即可.

本題主要考查簡單線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】（0,，7）

【解析】解：函數(shù)的定義域為（。,+8）,則（（乃=號至，

令（（x）>0,解得O<X</Z,故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,4Z）.

故答案為：（0,，飛）.

求導(dǎo)數(shù)/'（X），令/'（x）>0,解不等式即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】?

【解析】解：由題意得以AB為直徑的圓方程為/+y2=Q2,

2

x+y2=Q2

根據(jù)題意聯(lián)立方程b，解得P點坐標(biāo)為（匕,_@），

y=——xccJ

va

又△/MF2等腰三角形，則點P在線段”2的中垂線上，即不=妥，

...貯_竺￡,.?.c2—ac—2a2=0,即e?—e—2=0,解得e=2或e=—1（不合題意，舍去），

c2

???c=2a,b=Vc2—a2=yp^a,

ab.—

則=f?=??

c--c

故答案為：￡3.

聯(lián)立圓與漸近線方程，表示出P點坐標(biāo)，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)計算出雙曲線離心率，將b、c由a

表示出來，最后根據(jù)斜率公式求解，即可得出答案.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】0

【解析】解：假設(shè)數(shù)列｛時｝中存在%,見+i同時為非負(fù)數(shù)，

因為@+i—Qj|=if

若a+1—囚=2,則有%1=+i之i>"+；）?與條件矛盾，

若a?+i—囚=-3WJaf=ai+1+i>i>與條件矛盾,

所以假設(shè)錯誤，即數(shù)列｛an｝中相鄰兩項不可能同時為非負(fù)數(shù)，

即對于任意的幾WN*,an+1,an中至少有一個小于0,

①當(dāng)0n>0時，an+1<0,

aa=

因為—n\=九，所以Qn+1~n一九，

所以%i+i—an—nf所以a九+dn+1—2an-n<2x----n——1,

②當(dāng)0n+1NO時，則anV0,

因為|an+i-Qnl=幾，所以Qn+i一冊=九，

所以an=an+i-n,所以an+an+1=2an+1-n<2x"十'-n=o,

由①②可得，Q,+Gn+100恒成立，nE/V*,

所以52023=%+a2+。3+-------^a2022+a2023,

所以S2023=%++[a+?]+—F(。2022+02023)S0,

(a2+a3)45

考慮數(shù)列：0,-1,1,-2,2.......-1011,1011,

可以驗證所給數(shù)列滿足條件，且S2023=0,

所以52023的最大值為。?

故答案為：0.

利用反證法證明數(shù)列｛即｝中相鄰兩項不可能同時為非負(fù)數(shù)，再證明斯+1-廝W0,由此證明

s2023<0,舉例說明存在滿足條件的數(shù)列且S2023=0,由此可得其最大值.

本題主要考查數(shù)列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)vacosB-lacosC=(2c—b)cosA,由正弦定理得:

sinAcosB—2sinAcosC=(2sinC—sinBycosA,

整理得sinQ4+B)=2sin(A+C),

sin(兀-C)=2sin(n-B),即sinC=2sinB,

由正弦定理得：c=2b,又a=c,則由余弦定理得:

a2+c2—h2c2+c2—^c27.

cosB==；

2ac-2?~8

(2)設(shè)4840=。，如圖所示,

則S-Bc=^bcsin29=^AC-AD-sind-AD-sind,

Ix3x6-sin29=1x3-AD-sind+^x6-AD-sind,

AD=4cos3,8G(06)，貝6(0,4).

【解析】(1)利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角恒定變換可得c=2b,再結(jié)合余弦定理可得cosB的值；

(2)設(shè)=利用面積公式與等面積法可得AD=4COS。，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得4。

長度的取值范圍.

本題考查解三角形問題，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：:AB=4。，。為BC的

中點，:AOLBD,

又平面4BDJL平面BCD,平面48。n平面BCD=

BD,A。u平面BCD,

所以401平面BCD,又CDu平面BCD,???AO1CD；

(2)取。。的中點F,

因為AOCD為等邊三角形，所以CF1。。，

過。作。M〃CF,與BC交于M,貝U0M10D,

由(1)可知。41平面BCD,

因為。M,。。u平面BCD,所以。410M,0A10D,

所以。M,0D,。4兩兩垂直,

所以以。為原點，。“，OD,0A所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

設(shè)0A=a,因為。A_L平面BCD,所以不？=(0,0,a)是平面BCD的一個法向量,

設(shè)平面BCE的一個法向量為布=?y,z),因為配=(q2,0),BE=(0，l，^.

ZZ乙乙

n?=—%4-12y=0

所以|一取S=(VSa,—a,3),

n-BE="y+-z=0

V22

因為二面角E-BC-。的大小為45。,

所以|cos〈UX孫=|懸言|=［，解得a=|,

IUnI|7l|乙乙

所以匕-BCD=QJX2S>ocD?04=4

【解析】(1)證明A。1BD,結(jié)合平面ABD1平面BCD,平推出A。1平面BCD,然后證明2。1CD；

(2)根據(jù)線面關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值的坐標(biāo)運算求得錐體的高度，即可

求得三棱錐4-BCD的體積.

本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，向量法求解二面角問題，三棱錐的體積的求解，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)橢圓方程E：各馬=1，

16

滔=1

±

山AC兩點可知:9，解得=16,b2=12,

+?=

a2

所以橢圓方程為裝+3=1:

161Z

(2)設(shè)X=zny+2,%。2，乃)，

4=576m2+576>0

x—my+2_-12m

聯(lián)立卜2y2月十乃一3m2f4

匕+記=1

{yi、2=痂-3彳6

直線AM：'=^（*+4）,

直線BN：丫=熱0-4),

-12m-4%高-4（滯十段）+加2

_4”？2-%+12y2v

消去y：

-3y2+為713而+4以3y2+（瑞2）

因斜率不為0,故該直線方程為x=8(y*0).

【解析】(1)首先設(shè)橢圓方程，代入橢圓上的點的坐標(biāo)，即可求解；

(2)首先設(shè)直線1的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求直線AM與直線BN的交點坐標(biāo)，即

可求解交點的軌跡方程.

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)①批次I的血夜試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率為：

P1=l-[(l-P1)(l-P2)(l-P3)]=l-^x|x^=^

②設(shè)批次I的血夜試劑智能自動檢測合格為事件4人工抽檢合格為事件8,

由已知得P(A)=蓋,P(4B)=1_Pi=1_'=

則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品為事件B|4

則P(B|4)=需=如嘿=$73.68%；

99

(2)100個血液試劑中恰有1個不合格的概率s(p)=CJOOxpx(1-p),

因此(p'(p)=100[(l-p)99-99Pq-2嚴(yán)]=100(1-p)98(l-100p),

令d(p)=o,得p=o.oi,

當(dāng)pG(0,0.01)時，<p'(P)>0:當(dāng)pG(0.01,1)時“3)<0,

所以s(p)的最大值為Po=0.01.

【解析】(1)①根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨立事件的概率公式，以及對立事件概率和為1,即可求

解；②根據(jù)己知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解；

(2)求出100個血液試劑中恰有1個為不合格品的概率為R(p),然后利用導(dǎo)數(shù)求解R(p)的最大值點,

即可求出Po.

本題考查獨立事件的概率公式的應(yīng)用，條件概率公式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求解概率的最值，屬中檔

題.

21.【答案】解：(1)當(dāng)a=2時,/(%)=xe*T+4x-2,/(l)=3,/'(x)=(%+1)案一1+4/(1)=6,

則y=/(%)在點(14(1))處的切線方程是y-3=6(x-1),即y=6x-3.

(2)對于在(0,1)中的任意一個常數(shù)b,假定存在正數(shù)與，使得〃(加+2詔一1<0成立，

顯然有〃(加+|XQ-1<0=gln(Zo+l)-xo+1x2—1<0=(X。+l)e-Xo+_1<0,

令"(%)=(x+l')e~x+1x2—l,x>0,則H'(x)=-xe~x+bx=x(b—e~x'),

當(dāng)0<x<—伍b時，H'(x)<0,則H(x)在(0,Tnb)上單調(diào)遞減，當(dāng)x>Tnb時，H'(x)>0,則H(x)

在(一比瓦+8)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x=一伍b時，”(乃加沅=H(—lnb)=(-Inb+l)elnb+(Zn&)2—1=1(/nh)2-blnb+b-1,

令G。)=一%%-I,。v%vi,求導(dǎo)得：G'(x)=；￥>0,即G(x)在(0,1)上單

調(diào)遞增，

VxG(0,1),G(x)<G(l)=0,即H(Tnb)<0,

所以存在正數(shù)與=~lnb,使得e9(x。)+2詔一1<0.

(3)證明：依題意，h(x)=/(x)—ag(x—1)-4ax+2a=xex~r—a(x+Znx),h!(x)=(%+

l)e*T—a(l+：)=(%ex-1—a),

令F(%)=%e%T—a,x>0,F'(%)=(%+l)e"T>0,即尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因>0,當(dāng)a<0時，F(xiàn)(x)>0,即九'(%)>0,函數(shù)九(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，不存在極值，

當(dāng)Q>0時，F(xiàn)(0)=-a<0,F(a+l)=(a+l)ea-a>0,從而存在%】>0,使得尸(勺)=0,

即九'(%i)=0,

當(dāng)0<x</時，F(xiàn)(x)<0,九'(%1)<0,當(dāng)%>%1時,F(x)>0,九'(%1)>0,因此,是函數(shù)無(%)

X11X11X1-1

的極小值點，滿足a=x1e"f九(%1)=x1e^—。(右+Inx^=x1e(l—xr-Inx^>0,

則1一%i-ln%i