2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點講解+真題測試3

專題3.1函數(shù)的概念及其表示（真題測試）

一、單選題

1.(2013?陜西?高考真題(文))設(shè)全集為R,函數(shù)/(x)=VT3的定義域為M,則CRM為()

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.S，l]D.[l,+oo)

2.(2012?安徽?高考真題(理))下列函數(shù)中，不滿足:〃2x)=2/(x)的是

A./(x)=WB./(x)=x-NC./(x)=x+lD.f(x)=-x

3.(2022?北京?高考真題)己知函數(shù)/(x)=；,則對任意實數(shù)x,有()

1+2

A./(-x)+f(x)-0B./(-x)-/(x)=0

C./(-x)+f(x)=lD.f(-x)-/(x)=g

4.(2015?山東?高考真題)函數(shù)y=+L的定義域為()

X

A.{小2-1且xwO}B.

C.何1>-1且xwO}D.{x|x>-l)

5.(2014?江西?高考真題(文))已知函數(shù)兀0='X"O'3GR),若/(/(-1))=1,則用()

[2,X<0

A.-B.4C.1D.2

42

6.(2013?浙江?高考真題(文))已知a,b,c￡R,函數(shù)若/(0)=/(4)>f(1),則()

A.a>0,4a+b=0B.。<0,4a+b=0

C.〃>0,2a+b=0D.a<Ot2a+b=0

8.(2014?浙江?高考真題(理))已知函數(shù)〃x)=d+加+fer+c,且0<〃—1)=〃-2)=/(-3)43,則

A.c<3B.3<c<6C.6<c<9D.c>9

一次24-2,X<1,/ZX\

11貝V/7卜________；若當(dāng)勿

二、多選題9.（2022.浙江.高考真題）已知函數(shù)=-t

X+——1,X>1,112〃

.X

時，14/（x）43,則b-a的最大值是_________.

A.函數(shù)D(x)的值域為[0』B.若。伍)=1,則。(玉+1)=1

C.若必看)一￡)(電)=0,則Xi-々eQD.HreR,。卜+血)=1

II.(2022.海南中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(2x)=4/+l(xw[-2,2]),下列說法正確的是()

A./(1)=5

B./(x)=x2+l

C.〃x)的定義域為[-1,1]

D.f(x-l)的圖像關(guān)于x=l對稱

12.(2022?海南?模擬預(yù)測)下面關(guān)于函數(shù)/(x)=生=的性質(zhì)，說法正確的是()

x-2

A./(x)的定義域為(-oo,2)u(2,+oo)B./(幻的值域為R

C./(X)在定義域上單調(diào)遞減D.點(2,2)是/(X)圖象的對稱中心

三、填空題

13.(2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)“X)對于任意的正實數(shù)x,y滿足/(刈)=/(x)+/(y),

且"3)=1,則”81)=.

14.(2014.上海.高考真題(理))設(shè)/3)=廣'"-'"'者"2)=4,則。的取值范圍為

jr,x€[q+的s

2x+a,x<1

{若加一加〃")，則〃的值為

—x2+2,x<l,//.xx

16.(2022?浙江?高考真題)已知函數(shù)f(x)h1.?則/昨若當(dāng)勿時,

---1,X>1,I\2yy

X

14/(x)<3,貝lj方一a的最大值是

2x-5,x>0

四、解答題17.(2020?山東?高考真題)已知函數(shù)/(%)=

x2+2x,x<0

(1)求⑴]的值；

(2)求川"1|)<3,求實數(shù)。的取值范圍.

18.(2016?浙江?高考真題(文))設(shè)函數(shù)f(x)=V+-^,xe[0,l].證明:

1+X

(I)f(x)>l-x+x2;

33

(II)-</?<-.

42

19.(2022?全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的定義域：

(1)已知函數(shù)/(可的定義域為[-2,2],求函數(shù)y=/(f-l)的定義域.

⑵已知函數(shù)y=/(2x+4)的定義域為[0,1],求函數(shù)〃x)的定義域.

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,2],求函數(shù)y=/(x+l)-/U2-l)的定義域.

x2-5,x>0

20.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=?

x+6,x<0

(1)若750=4,求機的值；

⑵若/(-儲-1)>1，求4的取值集合.

21.(2022?江西?二模(理))已知函數(shù)/(幻=：犬+2|+|23一”|一3。3>0)的定義域為M.

(1)若加=r，求實數(shù)。的取值范圍;

(2)求{x|x"}cM.

22.(2022?河南?模擬預(yù)測)近年來隨著科技的發(fā)展，藥物制劑正朝著三效，即高效、速效、長效；以及三

小，即毒性小、副作用小、劑量小的方向發(fā)展.緩釋片是通過一些特殊的技術(shù)和手段，使藥物在體內(nèi)持續(xù)

釋放，從而使藥物在體內(nèi)能長時間的維持有效血藥濃度，藥物作用更穩(wěn)定持久.某醫(yī)藥研究所研制了一種

具有緩釋功能的新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：成人按規(guī)定劑量服用后，檢測到從第0.5小時起開始起效，第2

小時達到最高12微克/毫升，并維持這一最高值直至第4小時結(jié)束，接著開始衰退，血液中含藥量〉(微克)

與時間x(小時)的函數(shù)關(guān)系如圖，并發(fā)現(xiàn)衰退時y與x成反比例函數(shù)關(guān)系.

(1)①當(dāng)0.54xW2時，求y與x之間的函數(shù)表達式；

②當(dāng)x>4時，求y與x之間的函數(shù)表達式；

(2)如果每毫升血液中含藥量不低于4微克時有效，求一次服藥后的有效時間是多少小時.

專題3.1函數(shù)的概念及其表示(真題測試)

一、單選題

1.(2013?陜西?高考真題(文))設(shè)全集為R,函數(shù)/(x)=VT3的定義域為M,則CRM為()

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.S，l]D.[l,+oo)

【答案】B

【解析】

由1-xNO得所以M=(一?,1],務(wù)M=(1,*?),故選B.

2.(2012.安徽?高考真題(理))下列函數(shù)中，不滿足:/(2x)=2/(x)的是

A..f(x)=WB./(x)=x-|^C./(x)=x+lD./(x)=-x

【答案】C

【解析】

【詳解】

試題分析:A中〃2.=國=2國=2〃力,B中〃2x)=2x—|2x|=2〃x),C中f(2x)=2x+l*2/(x),D

中〃2x)=-2x=2/(x)

3.(2022?北京?高考真題)己知函數(shù)/(x)=±,則對任意實數(shù)x,有()

1+2

A./(-x)+/(x)=0B.f(-x)-f(x)=O

C.f(-x)+f(x)^lD./(-x)-/(x)=l

【答案】C

【解析】

【分析】

直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

【詳解】

/(-x)+/(x)=—1+—1=21+1—!-=1,故A錯誤，C正確；

')八)1+2一'1+2"1+2、1+2”

/(-%)-/(%)=--------=------—=--——,不是常數(shù)，故BD錯誤；

八'八11+2->1+2*1+2,1+2*2'+12'+1

故選：C.

4.(2015?山東?高考真題)函數(shù)>=，幣+-的定義域為()A.{4讓-1且XHO}B.{x|x>-l}

C.{x|x>-l且xwO}D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)解析式有意義的要求列不等式求函數(shù)定義域.

【詳解】

由函數(shù)解析式有意義可得

x+1NO且XKO

所以函數(shù)的定義域是{x|xNT且XMO},

故選：A.

5.(2014?江西?高考真題(文))已知函數(shù)/)=""'X"°'(aeR),若/(/(-1))=1,則a=()

[2,x<0

A.-B.：C.1D.2

42

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出/(-I)的值，再求/(/(-I))的值，然后列方程可求得答案

【詳解】

解：由題意得f(-l)=2?D=2,

所以/(/(-D)=/(2)=a-22=4?=l,解得用:.

故選：A

6.(2013?浙江?高考真題(文))已知a,b,cGR,函數(shù)/(幻=以2+法+,若/(0)=/(4)>f(1),則()

A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+%=0

C.a>0,2a+b=0D.?<0,2a+l>=0

【答案】A

【解析】【分析】

由已知得/(x)的圖象的對稱軸為x=2且/(x)先減后增，可得選項.

【詳解】

由八。)=/(4),得/(x)=ar2+bx+c,圖象的對稱軸為x=-■-=2,：.4a+b=0,

2a

又/(0)y(l)，f(4)>f(1),.?j(x)先減后增,于是。X),

故選：A.

7.(2017.山東.高考真題(文))設(shè)=，若〃。)=〃4+1)，則噂)=

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【詳解】

由x'l時〃x)=2(x—1)是增函數(shù)可知，若aNl,則/(a)w/(a+l),所以由，(。)=/3+1)得

G=2(a+l-l),解得a=；,則/(￡|=f(4)=2(4-l)=6,故選C.

8.(2014?浙江?高考真題(理))已知函數(shù)=d+加+fer+c,K0</(-l)=/(-2)=/(-3)<3,則

A.c<3B.3<c<6C.6<c<9D.c>9

【答案】C

【解析】

【詳解】

,、/、，、-\+a-b+c=-8+4a-2b+c[a=6,.,,

由“T=〃-2=〃一3得，｛之.，解得〃“，所以/x=d+6x2+llx+c,

、/一1+〃一。+c=-27+9a-30+c[/?=11/

由0</(—1)43,得0<—1+6—11+C43,即6<c49,故選C.

二、多選題

9.(2022?浙江?高考真題)已知函數(shù)/(x)=1''則/啟。=_________；若當(dāng)向時，

X+--1,x>\,I12〃

x

14/(x)43,則?！猘的最大值是.

【答案】—3+百##6+3

【解析】【分析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出?的最小值功的最大值即可.

【詳解】

由已知嗎)=一出+2=5.=汨-1啜,

所以巾外張

當(dāng)X41時，由l4f(x)43可得1V-V+2V3,所以一14x41,

當(dāng)x>l時，由14f(x)43可得14x+'-143,所以1<X?2+6，

X

14/(1)43等價于一14%工2+5/5，所以［〃,勿口［一1,2+6］，

所以人-。的最大值為3+VL

故答案為：—,3+6.

28

10.(2021?山東淄博?高三階段練習(xí))函數(shù)。(x)=［：xe；被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是()

［U,X史Q

A.函數(shù)D(x)的值域為［0』B.若。小)=1,則。(毛+1)=1

C.若。(大)-。(%2)=0,則X|-々eQD.小eR,垃)=1

【答案】BD

【解析】

【分析】

求得函數(shù)。(%)的值域判斷選項A；推理證明判斷選項B；舉反例否定選項C；舉例證明3xeR,。卜+應(yīng))=1.

判斷選項D.

【詳解】

選項A：函數(shù)。(力的值域為{0,1}.判斷錯誤；

選項B：若￡>(%)=1,則x°wQ,/+lwQ,則。($+1)=1.判斷正確;

選項C：。(2兀)一。㈤=0-0=0,但2兀-尸兀任Q.判斷錯誤；選項D：當(dāng)x=-0時，

D(JC+V2)=D(-X/2+>/2)=￡)(O)=1.

則玉eR,￡>［+及)=1.判斷正確.

故選：BD

11.(2022?海南中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(2幻=4/+10€［-2,2］),下列說法正確的是()

A./(I)=5

B./(x)=x2+i

C.〃x)的定義域為[-1,1]

D."x-D的圖像關(guān)于x=l對稱

【答案】BD

【解析】

【分析】

先求解函數(shù)/(X)的表達式及定義域，根據(jù)函數(shù)/(X)的性質(zhì)判斷各項正誤.

【詳解】

解：因為/(2x)=4/+l(xe[-2,2D，所以/(幻=f+1,故B項正確;

f⑴=1+1=2,故A項錯誤；

因為xe[-2,2],所以2xe[Y,4],故的定義域為[~4,4],故C項錯誤：

因為〃幻=爐+1，所以/(x)為偶函數(shù)，則f(x-l)的圖像關(guān)于x=l對稱，故D項正確.

故選：BD.

12.(2022?海南?模擬預(yù)測)下面關(guān)于函數(shù)/*)=2一x-3J的性質(zhì)，說法正確的是()

x-2

A.f(x)的定義域為(-0o,2)u(2,+oo)B./(X)的值域為R

C./(*)在定義域上單調(diào)遞減D.點(2,2)是/(*)圖象的對稱中心

【答案】AD

【解析】

【分析】

由/。)=2+—二，可知由y=,向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到/(x),根據(jù)y=工的性質(zhì)得到

X

/(X)的性質(zhì)，即可判斷；

【詳解】解：/(x)=出口=2(X-2)+1=2+L

x-2x-2x-2

由〉：'5■向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到“X)=2+一二，

Xx-2

因為>=:關(guān)于(0,0)對稱，所以“X)關(guān)于(2,2)對稱，故D正確；

函數(shù)/(X)的定義域為(F，2)D(2,+OO),值域為(f,2)u(2,+00),故A正確，B錯誤;

函數(shù)”X)在(-8,2)和(2,內(nèi))上單調(diào)遞減，故C錯誤；

故選：AD

三、填空題

13.(2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)對于任意的正實數(shù)x,y滿足〃-)=/(x)+/(y),

且/(3)=1,則481)=.

【答案】4

【解析】

【分析】

分別對x,)，進行賦值，即可解得結(jié)果.

【詳解】

由題可知〃9)=/(3)+/3)=2,〃81)=〃9)+/(9)=4.

故答案為：4.

14.(2014?上海?高考真題(理))設(shè)“X)=產(chǎn):"一"?、若"2)=4,則。的取值范圍為____________.

[x*,xe[a5+a),

【答案】(-8,2]

【解析】

【詳解】

由題意，若”>2,則/(2)=2不合題意，因此442,此時xe[a,+8)時，f(x)=x2,滿足/(2)=4.

、[2x+a,x<\

15.(2011?江蘇?高考真題)已知實數(shù)awO,函數(shù)f(x)={若/(l-a)=/(l+a),則。的值為

\^x-2a,x>1

3

________[答案]--

4

【解析】

分當(dāng)a>0時和當(dāng)。<0時兩種分別討論求解方程，可得答案.

【詳解】

當(dāng)。>0時，l-a<l,l+a>l,所以f(l—a)=/(l+a),

2(l-a)+a=-(l+a)-2?,解得a=_]<0,不滿足，舍去；

3

當(dāng)avO時，1—v1,所以一(1—a)—2a=2(1+a)+。,解得a=—1<0,滿足.

3

故答案為：--

一X?+2,x41,

16.（2022?浙江?高考真題）已知函數(shù)/（》）=?1,，則/；若當(dāng)xe［4,6］時,

XH---1,工>1,

X

1</?<3,則匕一。的最大值是

47

【答案】-3+8##6+3

2o

【解析】

【分析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出。的最小值功的最大值即可.

【詳解】

由己知用)=-(￡|+2=9.心=:+?=:

所以小C，

當(dāng)xWl時，由14f(x)43可得1V-X2+243,所以—14X41,

當(dāng)X>1時，由l4f(x)43可得IWX+L-143,所以1<XM2+6,

X

14/(x)43等價于-14x42+6,所以［a向0-1,2+6］，

所以6-a的最大值為3+6.

07

故答案為：—?3+>/3.

28

2x-5,x>0

四、解答題17.（2020.山東?高考真題）已知函數(shù)〃x）=

x2+2x,x<0'

（1）求/0⑴］的值;

（2）求/（卜-1|）<3,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)3；(2)-3<a<5.

【解析】

【分

（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入計算即可;

（2）先判斷的取值范圍，再代入分段函數(shù)解析式，得到〃的具體不等式寫法，解不等式即

可.

【詳解】

解：(1)因為1>0,

所以/(l)=2xl_5=_3,因為_3vO,

所以/[/(1)]=f(-3)=(-3)2+2x(—3)=3.

(2)因為

則飾-1|)=2卜-1|-5,

因為母-1|)<3,所以2,一1|-5<3,

即,一1卜4,解得一3<a<5.

18.（2016?浙江?高考真題（文））設(shè)函數(shù)/（*）=祈+丁匚,xe[0,l].證明:

1+x

（I）/U）>l-x+x2;

33

（II）-</?<-.

42

【答案】（I）證明詳見解析；（II）證明詳見解析.

【解析】

【詳解】

試題分析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力、分析問題

4

和解決問題的能力.第一問，利用放縮法，得到」1—YV—1L,從而得到結(jié)論；第二問，由得Vwx,

1+x1+x

進行放縮，得到再結(jié)3合第一問的結(jié)論，得到了。）>（3,從而得到結(jié)論.

l-(-x)41-x4

試題解析：（【）因為1—X+/一/=

1—(―X)1+X

1_丫4[1

由于工￡[0,1],有----<----,HP1—X+x2-x3<----,

l+x1+xX+1

所以/（X）N1—x+廠.

(II)由OWxWl得x3Sx,故

」133(x-l)(2x+l)3,3

<x+-------+-=------:-----+-<-

x+1222(%+1)22

3

所以

1Q3

由(I)得了(1)21一工+/=(工一彳)~+二N二，

244

又因為〃士1)=1上9＞3三,所以3

22444

33

綜上,~

42

【考點】函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù).

【思路點睛】(I)先用等比數(shù)列前〃項和公式計算1-x+f-V,再用放縮法可得l-x+r-Vv」一，進

14-X

而可證了(x)21—x+f；(II)由(I)的結(jié)論及放縮法可證

19.(2022?全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的定義域：

⑴已知函數(shù)〃x)的定義域為［-2,2］,求函數(shù)y=.f(x2-l)的定義域.

⑵已知函數(shù)y=/(2x+4)的定義域為［0,1］,求函數(shù)〃x)的定義域.

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域為［T2］,求函數(shù)y=/(x+l)-f(x2—1)的定義域.

【答案】⑴［亞句；

(2)［4,6］；

⑶［石,1］.

【解析】

【分析】抽象函數(shù)定義域求解，需注意兩點：①定義域是函數(shù)解析式中自變量“x”的范圍；

②對于同一個對應(yīng)關(guān)系“尸，“尸后括號里面式子整體范圍相同.

(14=/卜2-1)中/-1的范圍和/(￡)中X范圍相同，“X)中x范圍是［-2,2］；

⑵/(X)中x的范圍和y=/(2x+4)中2x+4范圍相同，y=/(2x+4)中x范圍是［0,1］；

(3)y=f(x+l)-f(x2-l)中x+1與爐-1均與/(x)中x范圍相同,/(尤)中x的范圍是［T2］.

(1)

令一2??一七2得一即0wfW3,從而一相布,

；?函數(shù)y=/(x2-l)的定義域為「瓜內(nèi)］.

⑵

???y=/(2x+4)的定義域為[0,1],即在y=/(2x+4)中XG[0,1],令f=2什4,xe[0,1],則re[4,6],即在

/⑺中，re[4,6],

.??/（X）的定義域為[4,6].

⑶

由題得:4x41,

-1<X2-1<2

二函數(shù)y=/(x+1)--1)的定義域為[-G,1].

Y>0

20.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=（二’-

x+6,x<0

（1）若/（a）=4,求巾的值；

⑵若求a的取值集合.

【答案】（1）3或-2

⑵{4-2<a<2}

【解析】

【分析】

（1）結(jié)合分段函數(shù)解析式列方程，由此求得加的值.

（2）首先判斷-/_1的取值范圍，然后解一元二次不等式求得a的取值集合.

（1）當(dāng)機20時，/（，〃）=機2-5=4,

解得m=3或相=一3(舍去)；

當(dāng)〃?<0時，/O)=m+6=4,

解得m=-2.

???用的值為3或-2.

(2)

對任意實數(shù)asR，-a2-1<0,

=-a2-1+6>1,v4,

解得-2vav2.

的取值集合是{x|-2<a<2

21.(2022?江西?二模(理))已知函數(shù)f(x)=J|x+2|+|2x—a|-3a(a>0)的定義域為

⑴若M=R,求實數(shù)”的取值范圍：

(2)求{x|xNa}cM.

4

【答案】(l)0<aMy;

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行求解即可；

(2)根據(jù)絕對值的性質(zhì)、交集的定義，結(jié)合篙工之間的大小關(guān)系分類討論進行求解即可.

(1)

3x+2—6z,,

卜+2|+|2工一4=<2+a—x,-2<x<]所以|x+2|+|2x-a|的最小值為3X]+2-Q=2+5,因止匕2+￡N3Q,

~3x+a-2,xV—2

4

所以0