陜西省西安市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期四模理科數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2024-1月考4理科數(shù)學(xué)試題（滿(mǎn)分：150分，考試時(shí)間：120分鐘）必考題部分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.2.若，其中i是虛數(shù)單位，a，且，設(shè)，則為（）A.2 B. C.6 D.3.若，是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量，則“與所成角為銳角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C.D.5.下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（）A.圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B.有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)6.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且數(shù)列是等差數(shù)列，則（）A.1或 B.2或 c.2或 D.或7.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（）A. B.3 C. D.58.2023年10月26日19時(shí)34分，神舟十七號(hào)航天員湯洪波、唐勝杰、江新林和神舟十六號(hào)航天員景海鵬、朱楊柱和桂海潮順利“會(huì)師太空”，為記錄這一歷史時(shí)刻，他們準(zhǔn)備在天和核心艙合影留念.假設(shè)6人站成一排，要求神舟十六號(hào)3名航天員互不相鄰且景海鵬不站在兩端，不同站法共有（）A.36種 B.48種 C.72種 D.144種9.最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年），該書(shū)第二章為“天時(shí)類(lèi)”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”，其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當(dāng)盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時(shí)，平地的降雨量（降雨量是指在一定時(shí)間內(nèi)降落在地面上的某一點(diǎn)或某一單位面積上的水層深度）是（）A.9寸 B.6寸 C.4寸 D.3寸10.如圖的曲線(xiàn)就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線(xiàn)，我們叫葫蘆曲線(xiàn)（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱(chēng)它為倒影曲線(xiàn)），它每過(guò)相同的間隔振幅就變化一次，且過(guò)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的方程為（，其中為不超過(guò)x的最大整數(shù)，）.若該葫蘆曲線(xiàn)上一點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為、則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.11.過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)，作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，若，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.312.關(guān)于x的不等式的解集為R，則的最大值是（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題P的否定是：“對(duì)所有正數(shù)x，”，則命題P是_______.14.拋物線(xiàn)繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到拋物線(xiàn)，則的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)______.15.已知函數(shù)，，的大致圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的3倍后，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)______.16.正項(xiàng)數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意滿(mǎn)足.若k，，且，則的最大值為_(kāi)______.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.本小題滿(mǎn)分12分某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績(jī)好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖.記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格.經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格25優(yōu)秀10合計(jì)100（1）請(qǐng)完成列聯(lián)表.并判斷是否有99%的把握認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與體育鍛煉有關(guān)：（2）現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列.附：，其中.18.本小題滿(mǎn)分12分在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大?。唬?）若，求點(diǎn)的取值范圍.19.本小題滿(mǎn)分12分在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且不與x軸重合的直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)T，B之間）.（1）記直線(xiàn)，的斜率分別為，，求的值；（2）設(shè)直線(xiàn)與交于點(diǎn)M，求的值.20.本小題滿(mǎn)分12分如圖，在四棱錐中，，，側(cè)面底面，底面為矩形，E為AB上的動(dòng)點(diǎn)（與A，B兩點(diǎn)不重合）.（1）判斷平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請(qǐng)證明：如果不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，試求二面角余弦值的絕對(duì)值的取值范圍.21.本小題滿(mǎn)分12分已知函數(shù)，.（1）證明：；（2）若存在直線(xiàn)，其與兩條曲線(xiàn)和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)從左到右的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，證明：.選考題部分請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.22.本小題滿(mǎn)分10分如圖，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)，曲線(xiàn)M是以為直徑，為圓心的半圓，點(diǎn)B在曲線(xiàn)M上，四邊形是正方形.（1）當(dāng)時(shí)，求B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)B在曲線(xiàn)M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求D點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.23.本小題滿(mǎn)分10分已知關(guān)于x不等式的解集為.（1）求a，b值；（2）當(dāng)，，且滿(mǎn)足時(shí)，求的最小值.2023-2024-1月考4理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的題號(hào)123456789101112答案DDCCBCACDDBA二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.存在正數(shù)x，；14.；15.或，…；16.18解析：1.因?yàn)椋?，所以A顯然錯(cuò)誤：，B錯(cuò)誤：，，所以錯(cuò)誤；.D錯(cuò)誤.故選：D.2.，則，故，解得，，所以.故選：D.3.，不共線(xiàn)，由題意，與所成角為銳角等價(jià)于，則，即，反之成立，則“與所成角為銳角”是“”的充分必要條件.故選：C.4.函數(shù)的定義域?yàn)?，排除選項(xiàng)A，，則函數(shù)為偶函效、排除選項(xiàng)D，又時(shí)，，，則，排除選項(xiàng)B.故選：C.5.以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱.而以矩形的一條對(duì)角線(xiàn)為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯(cuò)誤；若梭柱有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時(shí)棱柱一定是直棱柱，故B正確；如圖所示，若，，滿(mǎn)足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時(shí)底面不是正三角形，故C錯(cuò)誤；用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái).若截面與底面不平行，則不是梭臺(tái)，故D錯(cuò)誤；6.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，，成等差數(shù)列，可得，即，化簡(jiǎn)得，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：C.7.作出可行域，如圖所示：因?yàn)?，又因?yàn)楸硎究尚杏騼?nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)斜率的倒數(shù)，設(shè)，由圖可得，即，所以，所以，即的最小值為.故選：A.8.先排神舟十七號(hào)航天員，共有種排法，這三人形成4個(gè)空，要求神舟十四號(hào)3名航天員互不相鄰且景海鵬不站在兩端，共有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種排法.故選：C.9.如圖所示，由題意知天池盆上底面半徑是14寸，下底面半徑是6寸，高為18寸，由積水深9寸知水面半徑為寸，則盆中水體積為（立方寸），所以平地降雨量為（寸），故選：D.10.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，代入可得，所以，則，解得，.所以，，由圖象可知y上下對(duì)稱(chēng)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為.故選：D.11.如圖，過(guò)M作圓C的兩條切線(xiàn)，，切點(diǎn)為A，B，連結(jié)，，則、為兩個(gè)全等的直角三角形，，又，.當(dāng)取最小值時(shí)，，由圓半徑為1，知，.在直角三角形中，由射影定理得，，在直角三角形中，，.的最小值為.故選：B.12.根據(jù)題意可知，關(guān)于x的不等式的解集為R，即對(duì)任意恒成立；令函數(shù)，，即函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的上方，所以；設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，切點(diǎn)為；由得，所以，即；此時(shí)切線(xiàn)方程為，即，所以；根據(jù)題意直線(xiàn)須在的上方或重合，所以；所以，令，則，可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，得，.又k，，且，即，整理得，又由基本不等式可得，，，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，，，時(shí)，取得最大值，可得的最大值為18.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（滿(mǎn)分12分）（1）解：某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績(jī)好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有體育鍛煉習(xí)慣的有45人.經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖.記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格.根據(jù)題意，得到列聯(lián)表為：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格254570優(yōu)秀201030合計(jì)4555100由上表數(shù)據(jù)，可得.所以有99%的把握認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關(guān).（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得大于600分的頻率為.小于600分的頻率為，所以由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機(jī)抽取5人，優(yōu)秀人數(shù)X服從超幾何分布，由題意X的可能值為0，1，2，3.，，，，所以隨機(jī)變量X分布列為：X0123P18.（滿(mǎn)分12分）解：（1）由.所以，可得，即.余弦定理得，又，所以.（2）由.因?yàn)?，所以，又，所以，所以，得，所以，所?19.（滿(mǎn)分12分）解：（1）設(shè)直線(xiàn)l的方程為，，，聯(lián)立，整理得，則，，.所以.（2）由（1）可知，，故直線(xiàn)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).設(shè)直線(xiàn)與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為，則A與關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)，則.所以直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為.故點(diǎn)滿(mǎn)足方程組解得因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，即，整理得，所以點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，且，恰好為該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，依題意，點(diǎn)A在T，B之間，所以，得，點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)的右支上運(yùn)動(dòng)，所以.20.（滿(mǎn)分12分）解：（1）平面平面.證明如下：∵平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，.又，，平面，又平面，∴平面平面；（2）分別取，中點(diǎn)O，F(xiàn)，連接，，又，O為中點(diǎn)，，∵平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，平面，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取.設(shè)平面的法向量，則，取，，，，，，，，即，∴所求取位范圍為.21.（滿(mǎn)分12分）解：（1）令，，則.令.則當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以存在唯一零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，由得，得.兩邊取對(duì)數(shù)得，所以.所以，所以，即.（2）由可得，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，且趨向于0，.當(dāng)x趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮，所以如圖所示.由，可得，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)x趨向于0時(shí)，且趨向于0，，當(dāng)x趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮.所以如圖所示.所以若存在直線(xiàn)，