方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)（圖片版）

3.1函數(shù)與方程3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

ax2+bx+c=0(a>0)的根y=ax2+bx+c(a>0)的圖象△=b2－4ac△＞0△=0△＜0圖象與x軸的交點(diǎn)

兩個相等的實(shí)數(shù)根x1=x2沒有實(shí)數(shù)根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)沒有交點(diǎn)兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2一、復(fù)習(xí)與引入二、形成概念

對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。注意:零點(diǎn)指的是一個實(shí)數(shù),不是一個點(diǎn)．函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三角等價關(guān)系：函數(shù)零點(diǎn)的定義：例1.求下列函數(shù)的零點(diǎn)：求函數(shù)零點(diǎn)的步驟：

(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；

(3)寫出零點(diǎn).典例講解同步練習(xí)二、知識探究問題:如何判斷一個函數(shù)是否存在零點(diǎn)？

例：函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的是否存在零點(diǎn)觀察函數(shù)的圖象，看看兩函數(shù)零點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值有什么關(guān)系？零點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值正負(fù)相異零點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值正負(fù)相同變號零點(diǎn)不變號零點(diǎn)2-2-43-112Oxy423-112Oxy函數(shù)零點(diǎn)的分類問:若有變號零點(diǎn)，如何判斷變號零點(diǎn)的位置？二、知識探究（1）觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象：在區(qū)間[-2,1]上有零點(diǎn)______；

f(-2)=_______，f(1)=_______，

f(-2)·f(1)_____0（“<”或“>”）．在區(qū)間(2，4)上有零點(diǎn)______；

f(2)=_______，f(4)=_______，

f(2)·f(4)____0（“<”或“>”）．

2-2-41O1-2234-3-1-1yx－1－45<3<-37結(jié)論：區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值正負(fù)相異若有變號零點(diǎn)，如何判斷變號零點(diǎn)的位置？函數(shù)零點(diǎn)存在性的探究二、知識探究（2）

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上,當(dāng)f(a)f(b)<0時就一定有零點(diǎn)嗎？abOxy1）圖象是連續(xù)不斷;2）f(a)f(b)<0.函數(shù)零點(diǎn)存在性的探究條件:二、知識探究（2）

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根．有零點(diǎn)axyboaxyboaxboy函數(shù)零點(diǎn)存在性定理1）圖象是連續(xù)不斷;2）f(a)f(b)<0.Useyourhead：

如果函數(shù)y=f(x)

在[a,b]上,圖象是連續(xù)的，并且f(a)·f(b)﹤0,那么這個函數(shù)在(a,b)內(nèi)的零點(diǎn)是唯一的嗎？如何才能保證零點(diǎn)唯一？xy00yx1）圖象是連續(xù)不斷;2）f(a)f(b)<0;3）在[a,b]上單調(diào).有且只有一個零點(diǎn)1.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象不間斷,并且有f(a)·f(b)<0，

則這個函數(shù)在這個區(qū)間上_____A.只有一個零點(diǎn);B.至多有一個零點(diǎn);C.至少有一個零點(diǎn);D.不一定有零點(diǎn).思考:若圖象連續(xù)的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),

一定有f(a)·f(b)<0嗎？C同步練習(xí)2.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象不間斷,且有一個變號零點(diǎn)x0，

且f(a)>0,f(b)<0,f((a+b)/2)>0,則x0在哪個區(qū)間內(nèi)_______同步練習(xí)3.若函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0,則下列命題正確的是______A.函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點(diǎn)

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，4）內(nèi)有零點(diǎn)D同步練習(xí)三、知識應(yīng)用由表可知f(2)<0，f(3)>0，從而f(2)·f(3)<0，

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)．由于函數(shù)y=lnx和y=2x在定義域域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),因此它僅有一個零點(diǎn)．用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x、f(x)的對應(yīng)值表：解法1：思考:如何說明零點(diǎn)的唯一性？108642-2-4512346xyOx123456789f(x)

-1.30691.09863.38637.79189.945912.079414.1972f(x)=lnx+2x-6-4例2.求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個數(shù).5.6094零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用x1234f(x)-++-估算f(x)在各整數(shù)處的取值的正負(fù)：由表可知f(2)<0，f(3)>0，從而f(2)·f(3)<0，

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)．三、知識應(yīng)用解法2：例2.求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個數(shù).零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用例2.求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個數(shù).

解法3：

方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。1.方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間為()A(0,2)